专题01 三角形中的特殊模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题01.三角形中的倒角模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，，∴． 又∵在中，，∴， ∴，∴．即． 方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，… （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 ；（2）推理过程见解析；（3）；（4）减少，10 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ，故答案为：三角形的内角和等于； （2）∵，∴， ∵，∴； （3）如图，延长交于点F，∵， ∴，故答案为：； （4）延长，交于点G，如图：∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴． 而图中，∴应减少．故答案为：减少，10． （2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．则的度数为 　　； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）； 【详解】解：（1），理由如下：连接，如图①， 将三角形纸片沿折叠，点落在四边形内点的位置，． ，，， 即；故答案为：； （2），理由如下：设与交于点，如图②， ，，，； （3）延长交的延长线于，由（2）中结论可知，如图③， ，．，．故答案为：； 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25·绵阳市八年级期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）；(2)见解析；(3)70° 【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） （2）证明：连接 CD 并延长至 F， ∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B， ∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ； （3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C， ∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°， ∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C， ∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，∴∠CAD =2∠CAE，∠CBD=2∠CBF， ∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF），∴150°-∠C=2（110°-∠ C），解得：∠C=70°． 例2（24-25江苏·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴,故选：B． 例3（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由；(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析；(2)；． 【详解】（1）解：，理由：连接， 在中，∵， ∴， 在中，∵，∴， ∴，即； （2）解：由（）得， ∵，，∴，故答案为：； 如图，设，， 由（）可知，，∴，∵，∴． 例4（24-25福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度．    【答案】（1），理由见详解； （2）①30；②95°；（3） 【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E    ∵ 又∵∴ （2）①由（1）可知 ∵，∴ ②由（1）可知 ∵，∴ 平分 ，CF平分 （3）由（1）可知 ∵， ∴ ∵，分别是、的2020等分线（） ∴ ∴ 例5（24-25浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 【详解】作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接． 由轴对称图形的性质可得，． 在中，，在中，． 因此，所以． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】/125度 【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∵， ∴， ∴．故答案为：． 例2（24-25江苏宿迁·七年级校考期中）三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于180°． (1)【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点． 由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________ ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (2)【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=_____°;②若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=______°． (3)【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= _____°； ②分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之间的数量关系； ③分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：． 【答案】(1)(2)；(3)； ；证明见解析 【详解】（1）∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B，故答案为：∠A+∠B； （2）①∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝80°，∠DBC＝150°，∴∠ACB＝∠DBC-∠A＝70°，故答案为：70； ②∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB＝(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC)＝∠A+(∠ACB+∠A+∠ABC)＝∠A+180°， ∵∠A＝80°，∴∠DBC+∠ECB＝260°，故答案为：260； （3）①连接AP，如图，∵∠DBP＝∠BAP+∠BPA，∠ECP＝∠CAP+∠CPA， ∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA＝∠BAC+∠BPC， ∵∠BAC＝80°，∠BPC＝150°，∴∠DBP+∠ECP＝230°，故答案为：230； ②设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠DBO＝∠OBP＝x，∠PCO＝∠OCE＝y， 则：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，∴2∠A+2∠O＝∠A+∠P． ∵∠O＝50°，∴∠P＝∠A+100°，故答案为：∠P＝∠A+100°； ③证明：延长BP交CN于点Q，如图： ∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP， ∵由①知：∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，又∠A＝∠BPC， ∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP． ∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，∴∠MBP＝∠PQC，∴． 例3（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1)(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：如图，连接，∵，， ∴，故答案为：； （2）解：设与交于F，∵，， ∴，∴； （3）解：，理由如下：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴； （4）解：．如图， ∵，，，∴． 模型3.翻角模型 例1（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图， 把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变．则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部 ∴ 故选：B ． 例2（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：，由三角形外角的性质可得： ，，故选：B． 例3（24-25七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：结论：，理由：连接， 沿折叠和重合，，，， ． （2），理由：连接， 沿折叠和重合，，，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ，，，． 1．（24-25·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∴， ∵，∴，故B正确．故选：B．    2．（24-25七年级下·山东·期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（　　） A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2） 【答案】B 【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°， ∴∠AED= (180°−∠1),∠ADE= (180°−∠2)， ∴∠AED+∠ADE= (180°−∠1)+ (180°−∠2)=180°− (∠1+∠2) 在△ADE中,∠A=180°−(∠AED+∠ADE)=180°−[180°− (∠1+∠2)]= (∠1+∠2) 则2∠A=∠1+∠2，故选择B项. 3．（24-25·江苏·七年级专题练习）如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（    ） A．160° B．150° C．140° D．110° 【答案】C 【详解】解：，，翻折，，， ，，故选：C． 4．（24-25·河南·八年级假期作业）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°， ∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD， ∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB， 同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°， ∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选B． 5．（24-25·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在三角形纸片，，现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处．其中，点在纸片的内部，点、分别在边、上．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处．，， ，， ，，， ，，，故选：C． 6．（24-25·浙江·八年级假期作业）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ． 【答案】/度 【详解】根据折叠性质，得，， ∵，∴， ∵，∴， ∴，故答案为：． 7．（24-25·宁夏吴忠·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ ． 【答案】126° 【详解】解：∵DE∥BC，∴∠DEN＝∠A′NM＝27°， 由翻折不变性可知：∠AED＝∠DEN＝27°，∴∠NEC＝180°﹣2×27°＝126°，故答案为126°． 8．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，在中，是边上的高，点E，F分别是，边上的点，连接，将沿着翻折，使点A与边上的点G重合，若，，则的度数为 ．    【答案】/49度 【详解】解：∵是边上的高，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，由折叠可得：，， ∴，∴， ∴，故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）（1）如图1，，若，求证：． （2）如图2，已知，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析（2） 【详解】（1）证明：，∴， ，∴．∴．∴． （2）解：延长交于点E， ∵，∴，∵，， ∴． 11．（25-26·山东八年级课时练习）如图，中，，D是上一点，延长至E，使．试确定与的位置关系，并证明你的结论（一题多解）． 【答案】见解析 【详解】解：ED⊥BC，证明如下： 解法一：如图所示，延长ED到F交BC于F， ∵AB=AC，AD=AE，∴∠E=∠ADE，∠C=∠B， ∵∠ADE=∠BDF，∴∠E=∠BDF， ∵∠E+∠C=∠BFD，∠B+∠BFD+∠BDF=180° ∴∠E+∠B+∠C+∠BDF=180°即2∠B+2∠BDF=180°， ∴∠B+∠BDF=90°，∴ED⊥BC； 解法二：如图，过点D作DF∥BC交AC于F， ∵AB=AC，AD=AE，∴∠E=∠ADE，∠C=∠B， ∵DF∥BC，∴∠B=∠ADF，∠C=∠AFD∴∠AFD=∠ADF， ∵∠E+∠EDF+∠EFD=180°，即∠E+∠EDA+∠ADF+∠EFD=180°， ∴2∠ADF+2∠EDA=180°，∴∠ADF+∠EDA=90°， ∴∠EDF=90°，∴ED⊥DF，∴ED⊥BC． 12．（24-25·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形． 求证：． 【详解】作直线PQ，分别与AB，AC交于点M，N 由三角形的三边关系可得 ①+②+③得 ∴，即． 13．（2025·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质． 定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）． （1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ； ①②③ 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）． 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形． 小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）． 【答案】（1）①；（2）证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）由凹四边形的定义得出，图①是凹四边形．故答案是①； （2）①一组对角相等；②它是一个轴对称图形； ①已知：如图1， 在凹四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求证：∠B=∠D． 证明：连接AC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D． ②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直线是燕尾四边形的对称轴； （3）如图2，连接AC，过点B作BE⊥AC交AC的延长线于E； 由（2）知，燕尾四边形ABCD是轴对称图形，∴∠BCE=∠BCD=60°，∴∠CBE=30°， 在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE=BC=2，BE= CE=2， 在Rt△ABE中，AB=6，BE=2，根据勾股定理得，AE=， ∴S△ABC=S△ABE-S△CBE=BE•AE-BE•CE=BE（AE-CE）=×2×（2-2）=6-2 ∴燕尾四边形ABCD的面积为2S△ABC=12−4． 14．（24-25·河南新乡·七年级期中）发现与探究 【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形中，判断与的数量关系．请将如下说理过程补充完整． 解：，理由：延长交于点， ∵是的外角，∴________________________________， 同理，是的外角，∴________________________________， ∴（等量代换）． 【验证】 某木材零件如图2所示，图纸要求，，零件样品生产出来后，经测量得到，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需调整的大小，使，请直接写出，应将图中______（填“增加”或“减小”）______°． 【答案】发现：，；验证：不符合规格，理由见解析；探究：增加，5 【详解】解：（1）发现：解：， 理由：延长交于点，∵是的外角， ∴，同理，是的外角， ∴，∴（等量代换）． 故答案为：，； （2）验证：由“发现”可知：，∴， ∵符合标准的零件，， ∴符合标准的零件， ∵，∴该零件不符合规格； （3）探究：∵，∴， ∴， ∵，保持不变， ∴应增加故答案为：增加，5． 15．（24-25·上海·七年级专题练习）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________． （3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】（1）如图边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为 ∴又∵∴ ∵在四边形中，内角和为∴． （2）法一：∵和分别平分和∴ 又∵∴ ∴ ∴． 法二：连接BD，∵B、P、D三点共线∴BD、AF、CE交于P点 ∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP，∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB ∵和分别平分和，∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB， ∵∠APC＝100°，∴∠PAC＋∠PCA＝180°−100°＝80°， ∴∠PAB＋∠PCB＝80°，∴∠B＝∠APC −（∠PAB＋∠PCB）＝100°−80°＝20°． （3）法一：如图：连接AC ∵， ∴ ∴ 又∵和分别平分和∴ ∴ ∴． 法二：如图，连接BD并延长到G，∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD， ∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，∴∠2＋∠4=30°，同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70°∴∠B＝70°． 16.（24-25·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20(2)54(3)；理由见解析 【详解】（1）解：如图1，连接，并延长到点E， 则、，∴，即， ∵，，，∴，故答案为：20； （2）解：∵将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处， ∴，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴． （3）解：；理由如下：如图3， 由（1）知，∵平分，∴， ∵平分，∴，∵，， ∴ 即． 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），的位置关系不变，即． 【详解】解：（1）结论：，理由：连接， 沿折叠和重合，， ，， ． （2），理由：连接， 沿折叠和重合，， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ，，，； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ，， 由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即；， ， ，，∴． 18．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2) (3)猜想，理由见解析(4)，理由见解析 【详解】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，，∴ ∵，∴，∴； （2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，∴ ∵，∴，∴； （3）解：猜想，理由如下：设交于M， 由三角形的外角的性质知：，， ，即； （4）解：，理由如下：设交于M， 由三角形的外角的性质知：，， ，，，即， 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01.三角形中的倒角模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，，∴． 又∵在中，，∴， ∴，∴．即． 方法二：如图③，连结并延长至F．∵与分别为和的外角，… （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】（3）如图④， ；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． （2024·贵州贵阳·二模）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 　 ，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．则的度数为 　　； 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25·绵阳市八年级期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图” 如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和． （即如图 1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C， 即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C． 方法二：如图 3，连接 CD 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . . 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与 BF 交于 G， 若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小． 例2（24-25江苏·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由；(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数． 例4（24-25福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”． 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度．    例5（24-25浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 例2（24-25江苏宿迁·七年级校考期中）三角形内角和定理告诉我们：如图①三角形三个内角的和等于180°． (1)【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB=180°，点D是BC延长线上一点． 由平角的定义可得∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD=________ ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (2)【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠DBC=150°，则∠ACB=_____°;②若∠A=80°，则∠DBC+∠ECB=______°． (3)【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点． ①若∠A=80°，∠P=150°，则∠DBP+∠ECP= _____°； ②分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O=50°，求∠A和∠P之间的数量关系； ③分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A=∠P，求证：． 例3（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 模型3.翻角模型 例1（24-25七年级下·贵州贵阳·期末）如图， 把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变．则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·河南南阳·期末）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 1．（24-25·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东·期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（　　） A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2） 3．（24-25·江苏·七年级专题练习）如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（    ） A．160° B．150° C．140° D．110° 4．（24-25·河南·八年级假期作业）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25·江苏苏州·七年级统考期末）如图，在三角形纸片，，现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处．其中，点在纸片的内部，点、分别在边、上．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25·浙江·八年级假期作业）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为 ． 7．（24-25·宁夏吴忠·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝ ． 8．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，在中，是边上的高，点E，F分别是，边上的点，连接，将沿着翻折，使点A与边上的点G重合，若，，则的度数为 ．    9．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ． 10．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）（1）如图1，，若，求证：． （2）如图2，已知，，，，求的度数． 11．（25-26·山东八年级课时练习）如图，中，，D是上一点，延长至E，使．试确定与的位置关系，并证明你的结论（一题多解）． 12．（24-25·重庆·八年级统考期末）已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形． 求证：． 13．（2025·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质． 定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）． （1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ； ①②③ 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）． 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形． 小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究. 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）． 14．（24-25·河南新乡·七年级期中）发现与探究 【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形中，判断与的数量关系．请将如下说理过程补充完整． 解：，理由：延长交于点， ∵是的外角，∴________________________________， 同理，是的外角，∴________________________________， ∴（等量代换）． 【验证】 某木材零件如图2所示，图纸要求，，零件样品生产出来后，经测量得到，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需调整的大小，使，请直接写出，应将图中______（填“增加”或“减小”）______°． 15．（24-25·上海·七年级专题练习）（1）在锐角中，边上的高所在直线和边上的高所在直线的交点为，，求的度数．（2）如图，和分别平分和，当点在直线上时，且B、P、D三点共线，，则_________． （3）在（2）的基础上，当点在直线外时，如下图：，，求的度数． 16.（24-25·福建福州·七年级校考期末）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 17．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 18．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，在中，，点、是边、上的点，点是平面内一动点．令，，． (1)若点在线段上，如图1所示，，求的值； (2)若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系________； (3)若点运动到边的延长线上，如图3所示，则、、之间有何关系？猜想并说明理由； (4)若点运动到外，如图4所示，则请表示、、之间的关系，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $