第9章 平面向量（举一反三单元自测·拔尖卷）高一数学苏教版必修第二册

第9章 平面向量（举一反三单元自测·拔尖卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·甘肃嘉峪关·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在菱形中一定有 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 2．（5分）（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 3．（5分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（5分）（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 6．（5分）（24-25高一下·江苏南通·月考）是所在平面上一点满足的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 7．（5分）（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 8．（5分）（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列说法中，不正确的有（    ） A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底 B．若与共线，则 C．与向量不平行 D．在平面直角坐标系中，若，，三点共线，则 10．（6分）（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 11．（6分）（24-25高一下·四川宜宾·期末）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·广东深圳·期中）已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，则点的坐标为 ． 13．（5分）（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 . 14．（5分）（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 16．（15分）（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17．（15分）（24-25高一下·湖北随州·月考）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 18．（17分）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 19．（17分）（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 平面向量（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·甘肃嘉峪关·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在菱形中一定有 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解题思路】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【解答过程】对于A，若，则与大小相等，方向不确定，故A错误； 对于B，若时，则与方向不确定， 故与可能共线也可能不共线，故B错误； 对于C，由菱形，可且， 所以，一定有，故C正确； 对于D，两个非零向量的方向相同或方向相反时我们两向量为平行向量， 规定零向量与任一向量为平行向量，平行向量又称共线向量， 故共线向量不一定是在同一条直线上的向量，也可在相互平行的直线上，故D错误. 故选：C. 2．（5分）（24-25高一下·江苏南通·期中）已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【答案】C 【解题思路】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案. 【解答过程】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C. 3．（5分）（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由共线求出，检验即可得解. 【解答过程】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 4．（5分）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据基底的定义结合平面向量共线定理判断各个选项中两向量是否共线即可. 【解答过程】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 5．（5分）（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解题思路】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【解答过程】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 6．（5分）（24-25高一下·江苏南通·月考）是所在平面上一点满足的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解题思路】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得. 【解答过程】由，得， 即， 两边平方得， 所以，则，即， 所以是直角三角形. 故选：B. 7．（5分）（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【解答过程】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C. 8．（5分）（24-25高一下·江苏无锡·期中）在△ABC中 ，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，由此可知表示轴上一点到和的距离之和，由对称性即可得出答案. 【解答过程】由可得， 又因为，，所以， 建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 所以，， ， 所以， ， 表示轴上一点到和的距离之和， 所以求即， 关于轴的对称点为， 所以， 所以的最小值为，    故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏无锡·月考）下列说法中，不正确的有（    ） A．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底 B．若与共线，则 C．与向量不平行 D．在平面直角坐标系中，若，，三点共线，则 【答案】ABD 【解题思路】A选项，，故与共线，A错误；B选项，举出反例；C选项，根据向量平行所满足的坐标公式进行判断；D选项，先表达出，根据平行得到方程，求出，D错误. 【解答过程】A选项，因为，所以与共线，不可以作为平面内所有向量的一组基底，A错误； B选项，若与同向共线，则，若与反向共线，则，B错误； C选项，， 所以向量不平行，C正确； D选项，，若，，三点共线， 则，解得，D错误. 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高一下·广东广州·期中）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ABD 【解题思路】利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D. 【解答过程】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，令，在等边中，， 由选项A得， ，，， ， 因此，B正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C错误； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（24-25高一下·四川宜宾·期末）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【解题思路】对于A，由向量的线性运算可得；对于B，由在方向上的投影向量为代入坐标运算即可；对于C，由，根据几何意义求的最大值即可；对于D，设设，则，即当时，取得最小值，根据图形求最小值即可. 【解答过程】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为， ，以为原点，分别为轴，设， 则，解得， ， 对于A，因为 ，，所以，故A正确； 对于B，， 在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，设中点为， ，所以取最大即取最大， 由题知，当 在点或点处时，取最大， 此时，， ， 所以，故C正确； 对于D，设 ，， 所以当时，取的最小值， 根据题意，，所以在延长线上， 又，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·广东深圳·期中）已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，则点的坐标为 ． 【答案】 【解题思路】由题，设，代入坐标运算解方程求出点的坐标. 【解答过程】由题，设， 所以，即， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·河北邯郸·期末）如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，（，），则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】先根据平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算，得到的关系，再利用基本不等式，求和的最小值. 【解答过程】因为点在上，所以， 因为是的中点，所以， 又因为，（，）， 所以， 所以，，计算可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【解题思路】（1）直接由数量积的坐标运算公式计算即可求解； （2）根据向量线性运算和模的坐标计算公式求解即可； （3）根据向量线性运算和数量积的坐标计算公式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 16．（15分）（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量，满足：，，与的夹角为. (1)求； (2)设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量数量积的定义求解即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可. 【解答过程】（1）因为，，与的夹角为， 所以； （2）因为向量与的夹角为锐角， 所以且与不同向共线. 可得：， 将，，代入上式可得：， 整理得：，可得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 17．（15分）（24-25高一下·湖北随州·月考）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 【答案】(1)（1+）N. (2) 【解题思路】（1）根据力的平衡．利用数量积进行求解的大小； （2）解法一，根据力的平衡，利用数量积求解夹角；解法二，利用数量积进行求解夹角. 【解答过程】（1）因为三个力平衡，所以， 所以 , 故的大小为. （2）解法一：设与的夹角为θ， 则， 即=，解得， 因为，所以. 解法二：设与的夹角为θ， 得， 因为，所以. 18．（17分）（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【解题思路】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）将向量用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质计算的值，即可证得结论成立； （3）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 19．（17分）（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出； （2），，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出． （3）由向量的线性运算得，，然后结合数量积的运算律得 ，利用二次函数性质即可求解最值. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，化简为． （2）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又 ， 所以， 所以解得． （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以 ， 故当时，取到最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $