第9章 平面向量（举一反三单元自测·培优卷）高一数学苏教版必修第二册

第9章 平面向量（举一反三单元自测·培优卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．（5分）（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 5．（5分）（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 7．（5分）（24-25高一下·重庆·月考）在中，，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形 8．（5分）（2025高二下·浙江温州·学业考试）直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·辽宁·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 10．（6分）（24-25高一下·山西吕梁·月考）已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为2 B．当时，求与夹角为 C．若在方向上的投影向量的模为，则或 D．若与夹角为钝角，则的取值范围是 11．（6分）（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知向量，，若，则实数x的值为 . 13．（5分）（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则 . 14．（5分）（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知不共线，且，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 16．（15分）（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 17．（15分）（24-25高一下·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 18．（17分）（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 19．（17分）（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 平面向量（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解题思路】根据向量的相关概空可判断AC的真假；根据零向量的概念可判断B的真假，根据共线向量的概念可判断D的真假. 【解答过程】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C. 2．（5分）（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 3．（5分）（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知向量，满足，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【解答过程】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 4．（5分）（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】A 【解题思路】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解. 【解答过程】， . 故选：A. 5．（5分）（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可. 【解答过程】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 6．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解题思路】利用平面向量共线定理求解. 【解答过程】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 7．（5分）（24-25高一下·重庆·月考）在中，，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形 【答案】D 【解题思路】结合条件利用数量积的运算律得，再根据数量积的定义求得，即可判断三角形的形状. 【解答过程】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 又，所以，所以， 所以为等腰非等边三角形. 故选：D. 8．（5分）（2025高二下·浙江温州·学业考试）直角梯形ABCD中，，，，点为中点，在边上运动（包含端点），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立直角坐标系，分类讨论在边上运动时的取值范围，从而得解. 【解答过程】依题意，建立直角坐标系，如图，    则， 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 当在边上运动时，记， 则，所以，则； 当在边上运动时，记， 则， 所以，则； 综上：. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·辽宁·期中）关于平面向量，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C． 【解答过程】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则 ，故B正确； 对于C，若，则 ，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 10．（6分）（24-25高一下·山西吕梁·月考）已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的值为2 B．当时，求与夹角为 C．若在方向上的投影向量的模为，则或 D．若与夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】BC 【解题思路】根据向量共线的坐标运算求解判断A，根据向量垂直的坐标运算求解判断B，根据投影向量的坐标公式列式求解判断C，根据向量夹角的坐标运算列不等式求解判断D. 【解答过程】对于A，向量，且，所以，则，故A错误； 对于B，时，，则，所以与的夹角为，故B正确； 对于C，由已知在方向上的投影向量的模为， 所以，解得或，故C正确； 对于D，若与夹角为钝角，则且与不共线， 所以且，故D错误. 故选：BC. 11．（6分）（24-25高一下·广东深圳·期中）四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、），则（   ） A． B．当时，为中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可. 【解答过程】以为原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系,    因为四边形是边长为1的正方形，是线段上的动点（包括端点、） 则，，，，设 ， 对于A，，，所以，故A选项正确； 对于B，，，，由于， 所以，解得，则为中点，故B选项正确； 对于C，，，则， 所以，则当时，的最小值为2，故C选项不正确； 对于D，当或时，的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知向量，，若，则实数x的值为 . 【答案】 【解题思路】由垂直向量数量积以及数量积的运算律，建立方程，可得答案. 【解答过程】由，则，解得. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则 . 【答案】 【解题思路】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的运算律进行求解即可. 【解答过程】因，，， 由， 而 ， 所以， 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知不共线，且，则 . 【答案】1 【解题思路】根据平面向量共线定理将变形为，即可根据平面向量基本定理得，即可求出的值. 【解答过程】因为，且不共线， 所以，整理可得. 又因为， 所以由平面向量基本定理可得， 所以. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形和四边形都是平行四边形． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量共线的向量． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据向量相等的概念直接求解； （2）根据共线向量的概念直接求解即可. 【解答过程】（1）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴. 故与向量相等的向量是，. （2）由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，. 16．（15分）（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量基本定理得到； （2）在（1）基础上，利用向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【解答过程】（1）点是的中点，， 故， ； （2）由（1）知， ． 17．（15分）（24-25高一下·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （3）两个向量的数量积大于零且两向量不共线，求出范围即可. 【解答过程】（1）因为且， 所以，解得. （2）因为，所以，又且， 所以，解得. （3）由两向量的夹角为锐角，则，且与不共线， 由，得，解得， 由与共线，得， 所以向量与的夹角为锐角时，的取值范围为. 18．（17分）（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【解题思路】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【解答过程】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 19．（17分）（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在等边三角形中，，线段与交于点.    (1)求； (2)求； (3)若为所在平面内一动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，进而，利用数量积的坐标运算求解即可； （2）将转化为，利用平面向量夹角的坐标运算公式求解即可； （3）设，求得的坐标，利用数量积的坐标运算得 ，然后利用平方非负求解即可. 【解答过程】（1）以D为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，    由，可得， 由可得，所以， 则； （2）由图可得 ； （3）设，则， 所以 ， 当时取“=”号， 所以得最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $