专题4.3 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心考点，涵盖线性运算、数量积、模长及平行垂直关系等高考高频内容，按“定理本质-坐标运算-位置关系”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法总结、分层题型训练及高考真题演练，帮助学生系统构建知识网络，突破向量分解与坐标运算难点。 资料以高考命题规律为导向，设计7类典型题型及变式训练，如用基底表示向量时强化基底选择思维，结合几何图形解决最值问题培养几何直观。通过真题统计与2026年预测明确复习方向，助力学生用数学语言精准表达向量关系，提升解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

专题4.3 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、平面向量基本定理及坐标表示 平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容。从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。在高考复习过程中应注意加强对平面向量基本定理、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 平面向量基本定理及坐标表示 新课标I卷：第3题，5分 全国乙卷（文数）：第6题，5分 全国甲卷（文数）：第3题，5分 新课标I卷：第3题，5分 全国甲卷（理数）：第9题，5分 全国一卷：第6题，5分 全国二卷：第12题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，平面向量基本定理及坐标表示的考情将继续维持稳定态势，大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定在5分左右。核心考点聚焦向量数量积的坐标运算、向量的模长与夹角的坐标运算、以及平行与垂直关系的坐标运算，难度不大；也可能结合实际情境（如速度、位移等）考查，要灵活求解。 知识点1 平面向量基本定理及其解题策略 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路： 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略 1．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理可得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 3．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 4．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【方法技巧与总结】 1．若与不共线，且，则. 2．已知P为线段AB的中点，若A()，B()，则P点坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A()，B()，C()，则G. 【题型1 用基底表示向量】 【例1】（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平面向量的线性运算直接求解即可. 【解答过程】在中，， 则 . 又因为，所以. 故选：A. 【变式1-1】（2025·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解. 【解答过程】因为为边的中点，， 所以. 故选：D. 【变式1-2】（2026·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，和DF交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平行四边形的性质，结合平面向量的线性运算性质、平面向量基本定理进行求解即可. 【解答过程】设的中点为，连接， 因为，所以是的中点，所以，且， 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以，且， 所以 又因为， 所以，因为， 所以，所以， 因为， 所以， 所以 . 故选：B. 【变式1-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由平面向量的线性运算进行计算可得结果. 【解答过程】因为，所以， 则 ． 故选：B． 【题型2 利用平面向量基本定理求参数】 【例2】（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可. 【解答过程】因为①，②， 由，得，所以， 即，，所以. 故选：D. 【变式2-1】（2025·湖南·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的线性运算得，结合平面向量基本定理即可得解. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以． 故选：D． 【变式2-2】（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【解答过程】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】由平面向量基本定理结合，可得，再由，即可求出的值. 【解答过程】由，可得， 则 则 故， 所以 故选：C. 【题型3 向量共线（平行）的坐标表示】 【例3】（2026·广西·模拟预测）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值. 【解答过程】，，则， 由得，解得. 故选：D. 【变式3-1】（2026·四川遂宁·一模）已知平面向量与平行，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【解题思路】利用向量平行的坐标表示可求答案. 【解答过程】因为与平行，所以，解得. 故选：A. 【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）已知向量，若与同向共线，则为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解题思路】根据向量共线定理的坐标表示即可求解． 【解答过程】∵与共线， ∴，即，解得． 当时，，与同向共线，符合题意． 当时，，，与反向共线，不符合题意，舍去． 综上，， 故选：A． 【变式3-3】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【解答过程】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 【题型4 平面向量数量积的坐标表示】 【例4】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知向量，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解题思路】利用向量的坐标运算求解. 【解答过程】，， ， . 故选：B. 【变式4-1】（2025·浙江杭州·一模）设向量.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】由向量的坐标表示出，然后解方程即可. 【解答过程】， ∴， 解得. 故选：A. 【变式4-2】（2025·广西来宾·模拟预测）已知向量，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】C 【解题思路】利用向量的数量积运算求解即可. 【解答过程】由题意，得，故. 故选:C. 【变式4-3】（2026·河北沧州·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（   ）    A．12 B． C．16 D． 【答案】A 【解题思路】建立如图所示的平面直角坐标系，得，，再由平面向量的数量积运算即可求解． 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系：    由于正六边形的边长为1， 所以，， 所以， 所以， 故选：A. 【题型5 平面向量夹角、模长的坐标表示】 【例5】（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量坐标运算求出，再利用向量数量积公式求向量的夹角. 【解答过程】因为， 所以，解得， 所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为， 故选：B. 【变式5-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．5 D．20 【答案】B 【解题思路】根据求出，再用模的坐标表示求解即可. 【解答过程】向量，，由，得，则， 所以. 故选：B. 【变式5-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是（  ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【解题思路】应用向量数量积的坐标运算及求参数范围，注意排除同向共线的情况即可. 【解答过程】由题意， 若，此时同向共线，非锐角， 所以且. 故选：B. 【变式5-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量，若，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量垂直的坐标关系求出，再结合向量的坐标运算和模长公式求解. 【解答过程】由，可得，解得， ， ，则. 故选：D. 【题型6 向量垂直的坐标表示】 【例6】（2025·广东·模拟预测）已知向量，，且与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量垂直的坐标表示式计算即得. 【解答过程】由题意可得，， 由与垂直可得，解得． 故选：C． 【变式6-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的坐标运算先求，最后利用数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】由题意有，又因为， 所以， 故选：B. 【变式6-2】（2025·广西柳州·一模）设向量，，则（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】D 【解题思路】由向量平行、垂直的坐标表示求得，再结合充分、必要条件的概念逐个判断即可. 【解答过程】若，则解得：或， 若，则解得：或， 所以“”是“”的不必要条件， “”是“”的不必要条件， “”是“”的不充分条件， “”是“”的充分条件， 故选：D. 【变式6-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示，列式求解. 【解答过程】由向量，，得， 由，得，所以. 故选：B. 【题型7 由向量的坐标运算解决最值和范围问题】 【例7】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】建立坐标系，写出点的坐标，设，，得到，求出最大值. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设，， 则， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 【变式7-1】（2025·湖北·模拟预测）已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由可推导得到，结合可设，，利用向量坐标运算表示出，计算可得，可知当时，取得最小值，进而得到结果. 【解答过程】， ，则， ，两点在以为圆心，为半径的圆上， 设，由可取， ， ， 则当时，取得最小值，. 故选：C. 【变式7-2】（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【解答过程】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 【变式7-3】（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】作垂直于于点，作垂直于于点，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标计算出的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案. 【解答过程】 如图，作垂直于于点，作垂直于于点， 又，，， 则，，，， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，，则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值． 故的最小值是． 故选：C． 考点一 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【解题思路】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【解答过程】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【解答过程】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【解答过程】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【解答过程】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【解题思路】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【解答过程】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【解答过程】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 7．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【解答过程】向量满足， 所以. 故选：B. 二、填空题 8．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 . 【答案】 【解题思路】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【解答过程】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 9．（2025·上海·高考真题）已知，若，则 ． 【答案】 【解题思路】由平面向量共线的坐标表示即可求解. 【解答过程】由得，解得. 故答案为：. 10．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 ． 【答案】； 【解题思路】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【解答过程】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 11．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 【答案】； 【解题思路】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【解答过程】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 12．（2024·上海·高考真题）已知，，，则k的值为 ． 【答案】 【解题思路】根据向量的平行关系求解即可． 【解答过程】由题意可知，，则， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、平面向量基本定理及坐标表示 平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容。从近几年的高考情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。在高考复习过程中应注意加强对平面向量基本定理、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的相关公式，灵活进行求解。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 平面向量基本定理及坐标表示 新课标I卷：第3题，5分 全国乙卷（文数）：第6题，5分 全国甲卷（文数）：第3题，5分 新课标I卷：第3题，5分 全国甲卷（理数）：第9题，5分 全国一卷：第6题，5分 全国二卷：第12题，5分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，平面向量基本定理及坐标表示的考情将继续维持稳定态势，大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定在5分左右。核心考点聚焦向量数量积的坐标运算、向量的模长与夹角的坐标运算、以及平行与垂直关系的坐标运算，难度不大；也可能结合实际情境（如速度、位移等）考查，要灵活求解。 知识点1 平面向量基本定理及其解题策略 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路： 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略 1．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理可得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 3．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 4．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【方法技巧与总结】 1．若与不共线，且，则. 2．已知P为线段AB的中点，若A()，B()，则P点坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A()，B()，C()，则G. 【题型1 用基底表示向量】 【例1】（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·山东济南·二模）在中，为边的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD中，和DF交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在中，点D为边上一点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 利用平面向量基本定理求参数】 【例2】（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·湖南·三模）在中，点是线段上一点，若，，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【题型3 向量共线（平行）的坐标表示】 【例3】（2026·广西·模拟预测）已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式3-1】（2026·四川遂宁·一模）已知平面向量与平行，则的值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）已知向量，若与同向共线，则为（    ） A． B． C． D．0 【变式3-3】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【题型4 平面向量数量积的坐标表示】 【例4】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知向量，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式4-1】（2025·浙江杭州·一模）设向量.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-2】（2025·广西来宾·模拟预测）已知向量，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【变式4-3】（2026·河北沧州·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（   ）    A．12 B． C．16 D． 【题型5 平面向量夹角、模长的坐标表示】 【例5】（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．5 D．20 【变式5-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量，若的夹角为锐角，则实数的取值范围是（  ） A． B．且 C． D． 【变式5-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量，若，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【题型6 向量垂直的坐标表示】 【例6】（2025·广东·模拟预测）已知向量，，且与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式6-2】（2025·广西柳州·一模）设向量，，则（   ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【变式6-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 由向量的坐标运算解决最值和范围问题】 【例7】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（     ） A． B． C． D．2 【变式7-1】（2025·湖北·模拟预测）已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 考点一 平面向量基本定理及坐标表示 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 二、填空题 8．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 . 9．（2025·上海·高考真题）已知，若，则 ． 10．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 ． 11．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ． 12．（2024·上海·高考真题）已知，，，则k的值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $