专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（几何模型讲义）数学新教材人教版七年级下册

专题01.平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.猪蹄模型（M型） 4 模型2.锯齿模型 7 10 猪蹄模型与锯齿模型名称均源于生活观察，因图形类似猪蹄的开口形状而得名，是平行线拐点模型中最基础的形态。在猪蹄模型基础上增加多个拐点，形成左右交替的锯齿状结构。锯齿模型是猪蹄模型的扩展，两者均基于“见拐点作平行线”的通用解法。 （24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】（3）如图3，直线，，，，，则____． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1），理由如下：如图1中，作， ∵，，∴，∴，， ∴，即． （2）如图2中，作，，，∵，∴， ∴，，，， ∴，即． 故答案为：． （3）如图3中，作，，， ∵，，， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，则， ∴．故答案为：； （4）如图，过点作 ∴即，∵，即 ∵平分平分，∴∴ ∵，∴∴∴ 由（1）可得∴ 故答案为：． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型1.猪蹄模型（M型） 例1（24-25下浙江·七年级校考期末）如图，，，，那么 .    【答案】/50度 【详解】解：如图，过点M作直线，则， 又，，，，    ，，故答案为： 例2（2023·山东·统考中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    【答案】 【详解】解：，，，， ，，故答案：． 例3（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，． (1)试问、、之间的数量关系为_______ (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：．理由：过C作，则， ∵，∴，∴，∴； （2）解：如图，设刀柄左下角顶点为A，过A作直线l平行于刀片边缘线，l与垂直方向夹角为，直线l与水平方向夹角为， ∵直线l平行于刀片边缘线，，∴，， ∵刀柄外形是一个长方形，∴，∴，∴． 例4（24-25七年级上·吉林长春·期末）探究：（1）如图①，，点、、分别在直线、、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明． 拓展：（2）将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．则、、之间的数量关系为______． 应用：（3）如图③，，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，连接、，、的平分线交于点．若，则______度． 【答案】探究：（1）证明见解析；拓展：（2）；应用：（3）或 【详解】解：（1），，，， ，； （2）．理由如下：∵，∴， ∵，∴，∵，∴； （3）如图所示，当点Q在直线的右侧时， 由（1）得，，∴， ∵、的平分线交于点，∴， ∴由（1）得，； 如图所示，当点Q在直线的左侧时，由（1）得，， ∵、的平分线交于点，∴， ∴由（1）得，；综上所述，或． 模型2.锯齿模型 例1（24-25下·广东·七年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？ （2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论． 【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC． 【详解】解：（1）如图，过点G作GE∥AB， ∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD． ∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°． （2）如图，过点G作GF∥AB ∵AB∥GF，∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF． ∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°． （3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD． ∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）． ∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD． ∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC． 例2（24-25八年级上·广东·培优）如图，∥．(1)如图，若，，求的度数；(2)如图，若，，，若，则与的数量关系是______．请写出理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解：过点作，过点作， ，，，，，， ，，，， ， 的度数和为； （2）解：，理由：连接并延长， 是的一个外角，， 是的一个外角，， ，，， ， 由（1）得：，， ，， ，，， ，故答案为：． 例3（24-25上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接． (1)如图，当点在直线上，连接，若，求证：； (2)如图，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：； (3)如图，在（）的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点G，和直线相交于点，当时，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）证明：如图，过点作，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）证明：如图，分别过点和点作，，∴，， ∵， 即， ∴，∴，∴，∴； （3）如图，过点作，由 () 得， ∴，，，∴， 设，，，则， ∵ 、分别是、的角平分线，∴， ∵，∴，由 () 得，∴， ∵，∴， ∵，，， ∴，∴，∴ ∴，∴，即的度数为. 1．（24-25下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点B作，    ∵，∴，∴， ∴，故选A． 2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， 在中，是的一个外角，则， ∵，，故选：C． 3．（2025·河南郑州·一模）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ， ，，， ，，故选：B． 4．（24-25下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点E作，∵，∴， ∴，∴， 过点C作，则有，同理， ∵和分别平分和，∴， ∴，， 即，解得：，故选：D．    5．（2025·广东清远·一模）如图，直线被所截，， 度． 【答案】80 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，故答案为：80． 6．（24-25下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，，和的平分线相交于点P．请写出、、的数量关系 ．    【答案】 【详解】解：如图，作， ，，，， ，，， 和的平分线相交于点P．，， ，，，，， ，即．故答案为：． 7．（24-25下·江苏镇江·七年级统考期中）探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：过点作，如图所示， ， ，，，， ，故答案为：． 8．（24-25下·广东广州·七年级校考期中）如图，，：：：：：：，若，则    【答案】 【详解】解：过作，过作，    ，，， ，，，， ：：：：：：， 设，，，，，， ，，，， ，，， ，，，，故答案为：． 9．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）如图，，，，则与的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，分别过点H、F作的平行线，，设，则， ∵，∴，∴， ∴， ∵，，∴，∴， ∴ ∴，故答案为：． 10．（24-25下·北京西城·七年级统考期末）如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论． （1）；（2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【详解】（1）过点作，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD， ，， ． （2），， 又∵∠BED=∠BEF+∠DEF，． 11．（24-25下·江苏淮安·七年级统考期末）在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程： 证明：过点，作，如图2 ∴______（_________________） ∵，_______=（已知） ∴（___________） ∴______=_______ ∴_____（________________） ∵ ∴ 【答案】BEF；两直线平行内错角相等；FEC；等量代换；C；FEC；DC；内错角相等两直线平行 【详解】证明：过点，作，如图2，（两直线平行 内错角相等）， ，（已知）， （等量代换），，（内错角相等 两直线平行）， ，． 故答案为：，两直线平行 内错角相等，，等量代换，，，，内错角相等 两直线平行． 12．（24-25下·江苏苏州·七年级校考期中）如图1，由线段组成的图形像英文字母，称为“形”． （1）如图1，形中，若，则______； （2）如图2，连接形中两点，若，试探求与的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，且的延长线与的延长线有交点，当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】（1）50°；（2）∠A+∠C=30°+α，理由见解析；（3）∠A-∠DCM=30°+α或30°-α 【详解】解：（1）过M作MN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C， ∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；故答案为：50°； （2）∠A+∠C=30°+α，延长BA，DC交于E，∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°， ∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α； （3）①如下图所示：延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F， ∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30° 由三角形的内外角之间的关系得：∠1=30°+∠2；∠2=∠3+α ∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A-∠C=30°+α． ②如图所示，210-∠A=（180°-∠DCM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α． 综上所述，∠A-∠DCM=30°+α或30°-α． 13．（24-25下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    【答案】（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由见解析；（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7，一般情况：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 【详解】解：（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5．理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5， ∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；    （2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7， ∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 14．（24-25下·广东河源·七年级期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．(1)如图，试说明； (2)如图，若，，分别平分和，求的度数； (3)如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．    【答案】(1)见解析；(2)；(3)． 【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得答案；（2）根据垂直的定义及(1)中的结论可得答案；（3）设的度数为，的度数为，则由(1)得，，由(1)(2)得，、，然后两式相加可得答案． 【详解】（1）如图，过点作，则，    ，，，， ， （2），，由（1）知，， ，分别平分和， ， （3）设的度数为，的度数为，则由（1）得，， 由（2）得，，， 由得，． 15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)等于 【详解】（1）证明：如图，过作． ，，，，． （2）解：、、三者之间的数量关系：．理由如下： 如图：过作．由（1）①． ，，②， ①②得，即， ，，． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：，，． ，，， 由三角形内角和得：． 答：等于． 16．（24-25八年级上·广东·期末）如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】(1)(2)(3)；(4)，求解过程见解析 【详解】（1）解：过点作，如图所示，    ∵，∴，∴，， ∵，，∴，故答案为：； （2）解：过点作，过点作，如图所示， ∵，∴，∴，，， ∵，，，， ∴， ∵，，∴，故答案为：； （3）解：与（1）同理可得：，， ∵平分，平分，∴，， ∴， ∵，，∴，按照上述方法可知， ∵，平分，平分，， ∴，同理可得， ∴，故答案为：，； （4）解：过点作，过点作，如图所示，则，    ∴，，，∴， ∴， ∵，，∴，故答案为：． 17．（24-25下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） 【详解】解：过点作，，    ，，， ，； 由得：，， 、分别平分、，，， ，即； ， 理由：、分别平分、，，， ， 由得：，， 即； 过点作，过点作，    ，，，， ，，， ，，，，， 、分别平分、，，， ，故答案为：； 过点作，过点作，过点作，    ，，，， ，，， ， 、分别平分、，，， ， 故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01.平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.猪蹄模型（M型） 4 模型2.锯齿模型 7 10 猪蹄模型与锯齿模型名称均源于生活观察，因图形类似猪蹄的开口形状而得名，是平行线拐点模型中最基础的形态。在猪蹄模型基础上增加多个拐点，形成左右交替的锯齿状结构。锯齿模型是猪蹄模型的扩展，两者均基于“见拐点作平行线”的通用解法。 （24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】（3）如图3，直线，，，，，则____． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型1.猪蹄模型（M型） 例1（24-25下浙江·七年级校考期末）如图，，，，那么 .    例2（2023·山东·统考中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    例3（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，． (1)试问、、之间的数量关系为_______ (2)应用：如图a是我们常用的折叠式小刀，图b中刀柄外形是一个长方形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图b所示，经测量，求的度数． 例4（24-25七年级上·吉林长春·期末）探究：（1）如图①，，点、、分别在直线、、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明． 拓展：（2）将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．则、、之间的数量关系为______． 应用：（3）如图③，，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，连接、，、的平分线交于点．若，则______度． 模型2.锯齿模型 例1（24-25下·广东·七年级校考期中）已知，直线AB∥CD。（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？ （2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？ （3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论． 例2（24-25八年级上·广东·培优）如图，∥．(1)如图，若，，求的度数；(2)如图，若，，，若，则与的数量关系是______．请写出理由． 例3（24-25上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线与直线内部有一个点，连接． (1)如图，当点在直线上，连接，若，求证：； (2)如图，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：； (3)如图，在（）的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点G，和直线相交于点，当时，若，，求的度数． 1．（24-25下·河北石家庄·七年级统考期末）山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南郑州·一模）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25下·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（2025·广东清远·一模）如图，直线被所截，， 度． 6．（24-25下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，，和的平分线相交于点P．请写出、、的数量关系 ．    7．（24-25下·江苏镇江·七年级统考期中）探照灯、汽车灯及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，经灯碗反射以后平行射出．若，，则的度数为 ． 8．（24-25下·广东广州·七年级校考期中）如图，，：：：：：：，若，则    9．（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）如图，，，，则与的数量关系是 ． 10．（24-25下·北京西城·七年级统考期末）如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论． （1）；（2）． 11．（24-25下·江苏淮安·七年级统考期末）在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，．求证：请补充下面证明过程： 证明：过点，作，如图2 ∴______（_________________） ∵，_______=（已知） ∴（___________） ∴______=_______ ∴_____（________________） ∵ ∴ 12．（24-25下·江苏苏州·七年级校考期中）如图1，由线段组成的图形像英文字母，称为“形”． （1）如图1，形中，若，则______； （2）如图2，连接形中两点，若，试探求与的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，且的延长线与的延长线有交点，当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系． 13．（24-25下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    14．（24-25下·广东河源·七年级期末）如图，已知，点，分别在，上，点在，之间，，，三点均在直线的同侧．(1)如图，试说明； (2)如图，若，，分别平分和，求的度数； (3)如图，若的度数为，平分交的延长线于点，平分交的延长线于点，请用含的代数式表示．    15．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 16．（24-25八年级上·广东·期末）如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 17．（24-25下·江苏连云港·七年级统考期中）已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $