专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题02.平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 9 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴由图①； 图②中过点E作，    ∵，∴，∴，， ∴，即， 同理可得图③，， ∴图4时，．故选C． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，若，则 ． 【答案】/度 【详解】解：连接，如图， ∵，∴， ∵，∴，故答案为：． 例2（2025·山西吕梁·校考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】解：如图，过点作工作篮底部，，    工作篮底部与支撑平台平行，工作篮底部支撑平台，， ，，，，故选：． 例3（2025·江西·模拟预测）如图，已知，若的外角为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作，如图： 则， ，，，， ．故答案为：D． 例4（24-25七年级上·广东·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，过E作，∵，∴， ∴，∴， 又∵，分别为的角平分线， ∴， ∴四边形中，．故选：D． 例5（24-25·安徽合肥·七年级校考期中）如图，，平分，平分，则与的数量关系为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点E作，过点F作，    ∵，∴，∴，， ∴，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴，故选：C． 例6（24-25·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点C作，过点D作．    ∵，∴， ∴，，, ∴ 故选：C． 例7（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作．（已作），（   ）． 又（已知），______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质），即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：过点E作． （已作），（两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知），（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质），即； （2）如图，过点C作，过点D作，∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 例8（24-25七年级下·北京东城·校考期末）如图，已知．    (1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明） 【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1），证明：，， ，，； （2）， 证明：，， ，，， ，； （3）如图1，； 如图2，； 如图3，； 如图4，； 四个角，，，之间的数量关系有4种，故答案为：4．    1．（24-25下·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知：，则 （    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作，    ，，，， ，，，， ，故选：B． 2．（2025·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，作，则，    ，，，， ， 故选D． 3．（24-25下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 【答案】B 【详解】解：如图，作CF//ED，  ∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°，∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作，    ∵，∴，，，， ∵，，，故选：C． 5．（24-25下·海南·八年级校考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作，∵，∴，    ∴，即， ∵，，∴的度数为．故选：D． 6．（24-25下·重庆七年级课时练习）如图，两直线、平行，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB 观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则故选D 7．（2025·甘肃临夏·二模）物理课上，小琪同学发现一个有趣的现象．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点，小琪同学测得，她利用所学的数学知识很快计算出了入射光线与折射光线的夹角的度数．聪明的你也一定知道的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵光线平行于主光轴，∴，， ∴，故选：C． 8．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，，， ，，， ，，，．故答案为：． 9．（24-25下·贵州安顺·七年级校考阶段练习）如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n = °． 【答案】 【详解】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB， ∵AB∥CD，AB∥PM∵AB∥PM∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°，∴∠1+∠APC+∠3=360°； （2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥PM∥QN∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°；∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°； 根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补． 即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）．故答案为： 10．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，分别过点作直线平行于直线，连接， ，，，， ， ，，，， ， ， ， ，又， ．故答案为：． 11．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【详解】解：如图，过作，过作，    又∵，∴， ∴，， ， ∴， 又∵、分别平分、，∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·北京石景山·期末）已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F． (1)如图，，过O点作射线，与互余．求证：； (2)若，，请用含，的式子表示． 【答案】(1)证明见解析(2)或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵与互余，∴，∴，∴， ∵，∴； （2）解：当如图1，过O作，则， ∴，，∴， ∵，∴，又， ∴，∴； 如图2，过O作，则，∴，， ∴， ∴， ∵，∴，又， ∴，∴， 综上，或． 13．（24-25七年级下·北京通州·期末）如图1，，，，求度数． 小明的解题思路是：如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；    完成下列任务：(1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程； (2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上） 【答案】(1) (2)当点P在区域①内时，；当点P在区域②内时，；当点P在区域③内时，；当点P在区域④内时，；当点P在区域⑤内时，；与点P在区域④内同理可得 ，∵，，∴， 又， （2）解：当点P在区域①内时，，过点P作∴    ∵∴∴∴； 当点P在区域②内时，，过点P作∴ ∵∴∴∴； 当点P在区域③内时，，与点P在区域①内同理可得； 当点P在区域④内时，，    过点P作∴ ∵∴∴ ∴； 当点P在区域⑤内时，， 过点P作∴∵∴∴ ∴； 当点P在区域⑥内时，， 与点P在区域④内同理可得． 14．（24-25下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．    （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）． 【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB∥CD， 又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°， 又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；        （2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°； （3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示， 用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°； （4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度． 故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n． 15．（24-25下·浙江七年级课时练习）已知．    (1)如图①，点C是夹在和之间的一点，当时，垂足为C，你知道是多少度吗？ (2)如图②，点，是夹在和之间的两点，请想一想：的度数为 ； (3)如图③，随着与之间点的增加，那么的度数为 ．（不必说明理由） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图所示，过点C作的平行线． ∵，∴，∴，， ∴．又∵，∴．       （2）解：如图所示，过点作， ∵，∴，∴， 同（1）可得，∴， ∴，故答案为：； （3）解：由（1）（2）可知，之间每多增加一个点，那么所得角度之和就会增加， ∴，故答案为：． 16．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：过点B作，∴ （两直线平行，内错角相等）． ∵，∴（ ），∴， ∵，∴． 【类比探究】（2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线之间的点，连接平分，平分，设，若，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接平分，平分，已知，试探究的度数，若不变求其值，若变化说明理由． 【答案】（1）；平行于同一直线的两直线平行；（2）；（3）的值不变，为． 【详解】（1）证明：如图1，过点B作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，∴（平行于同一直线的两直线平行），∴， ∵，∴． 故答案为：；平行于同一直线的两直线平行； （2）∵平分，平分， ∴， ∴， ∵，∴由（1）可得， ∴， ∴的度数为； （3）解：的值不变，为， 理由：∵平分，平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，由（1）可得， ∴， ∵，∴． 17．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作，∴． ∵，，∴．∴． ∴，即． 【类比应用】（1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】（3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴； （2）如图，过P点作， ∵，∴，∴，， ∴，即，∴； （3）由示例知，过Q点作， ∵，∴，∴，， ∴，∴， 又∵，分别是与的角平分线， ∴，，∴， 由（2）知，，∴， ∴， 即． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 9 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，若，则 ． 例2（2025·山西吕梁·校考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 例3（2025·江西·模拟预测）如图，已知，若的外角为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级上·广东·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例5（24-25·安徽合肥·七年级校考期中）如图，，平分，平分，则与的数量关系为（        ）    A． B． C． D． 例6（24-25·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果，那么（　　）    A． B． C． D． 例7（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作．（已作），（   ）． 又（已知），______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质），即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 例8（24-25七年级下·北京东城·校考期末）如图，已知．    (1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明） 1．（24-25下·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知：，则 （    ）    A． B． C． D． 2．（2025·河南周口·校联考三模）如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25下·海南·八年级校考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，，的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25下·重庆七年级课时练习）如图，两直线、平行，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2025·甘肃临夏·二模）物理课上，小琪同学发现一个有趣的现象．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点，小琪同学测得，她利用所学的数学知识很快计算出了入射光线与折射光线的夹角的度数．聪明的你也一定知道的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图1是一款落地的平板支撑架，，是可转动的支撑杆．调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则 ． 9．（24-25下·贵州安顺·七年级校考阶段练习）如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n = °． 10．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，，则的度数为 ． 11．（24-25七年级上·广东·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    12．（24-25七年级下·北京石景山·期末）已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F． (1)如图，，过O点作射线，与互余．求证：； (2)若，，请用含，的式子表示． 13．（24-25七年级下·北京通州·期末）如图1，，，，求度数． 小明的解题思路是：如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；    完成下列任务：(1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程； (2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上） 14．（24-25下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形为一张长方形纸片．    （1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°． （2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°． （3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°． （4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 15．（24-25下·浙江七年级课时练习）已知．    (1)如图①，点C是夹在和之间的一点，当时，垂足为C，你知道是多少度吗？ (2)如图②，点，是夹在和之间的两点，请想一想：的度数为 ； (3)如图③，随着与之间点的增加，那么的度数为 ．（不必说明理由） 16．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）【感知】 （1）如图1，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接．求证：； 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：过点B作，∴ （两直线平行，内错角相等）． ∵，∴（ ），∴， ∵，∴． 【类比探究】（2）如图2，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B、F是直线之间的点，连接平分，平分，设，若，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，直线，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间一点，连接平分，平分，已知，试探究的度数，若不变求其值，若变化说明理由． 17．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作，∴． ∵，，∴．∴． ∴，即． 【类比应用】（1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】（3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $