第19章 【模型构建专题】 与正方形有关的常考模型-【木牍中考•课时A计划】2025-2026学年八年级下册数学配套课件（沪科版·新教材）

该初中数学课件聚焦正方形常考几何模型，系统梳理“十字架”“一线三垂直”“半角模型”“对角互补模型”等类型，通过条件结论呈现、例题解析搭建学习支架，帮助学生衔接正方形性质与全等三角形等前序知识，构建几何模型认知框架。 其亮点在于以模型构建为主线，通过具体例题（如“十字架”模型中AE⊥BF证BF=AE）培养学生几何直观（数学眼光）和推理能力（数学思维），用规范证明过程强化数学语言表达。专题化设计帮助学生系统掌握解题方法，提升几何素养，也为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

HK 数 学 8年级 下册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 类型1　“十字架”模型 类型 过顶点型 不过顶点型 条件 在正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，AE⊥BF 在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在AB，CD，BC，AD上，EF⊥GH 图示 结论 ①△ABF≌△DAE；②BF＝AE GH＝EF 1 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 1.如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE＝5.若折痕为PQ，则PQ的长为( )   A.13 B.14 C.15 D.16 A 1 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝3，E是BC边上一点，且CE＝2BE，连接AE，F是AB边上一点，过点F作FG⊥AE交CD于点G，连接EF，EG，AG，则四边形AFEG的面积为　 　.  　5　 2 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 3.[2025·亳州期末节选]如图1，在正方形ABCD中，AE⊥FG，AE，FG相交于点O. (1)求证：AE＝FG； 图1 证明：过点F作FH⊥CD于点H. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠FHG＝90°，FH＝AD＝AB， ∵AE⊥FG，∴∠BAE＝∠HFG， ∴△ABE≌△FHG，∴AE＝FG. 3 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)如图2，连接DO，当BE＝DG时，求证：OD＝AD. 图2 证明：延长FG与AD的延长线相交于点P. ∵AE⊥FG，∴∠P＝∠BAE， 又∵∠ABE＝∠PDG＝90°，BE＝DG， ∴△ABE≌△PDG，∴AB＝DP. ∵AB＝AD，∴AD＝PD， ∴OD为Rt△AOP斜边AP上的中线， ∴OD＝AD. 3 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 类型2　“一线三垂直”模型 条件 在正方形ABCD中，过B，D两点分别作点C所在直线的垂线，垂足分别为点E，F 基本 图形 同侧“一线三垂直” 异侧“一线三垂直” 结论 △BCE≌△CDF 4 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 4.如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，分别过点D，B作DE⊥l于点E，BF⊥l于点F.若DE＝4，BF＝5，则EF的长为　 　.  　9　 4 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 5.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF＝90°且EF＝AE，过点F作FM⊥BC，垂足为点M. (1)求证：BE＝CM； 证明：∵在正方形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC， ∴∠BAE＋∠BEA＝90°. ∵∠AEF＝90°，∴∠BEA＋∠MEF＝90°， ∴∠BAE＝∠MEF， ∵AE＝EF，∴△ABE≌△EMF(AAS)， ∴AB＝EM，∴BC＝EM， ∴BC－EC＝EM－EC，即BE＝CM. 5 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)延长CD至点N，使得DN＝BE，求证：四边形AEFN是正方形.  证明：易证△ABE≌△ADN， ∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN， ∵AE＝EF，∴EF＝AN， ∵∠DAN＋∠EAD＝∠BAE＋∠EAD＝90°， ∴∠EAN＝∠AEF＝90°，∴AN∥EF， ∴四边形AEFN是平行四边形， ∵AE＝EF，∴四边形AEFN是菱形， ∵∠AEF＝90°，∴四边形AEFN是正方形. 5 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 类型3　半角模型(旋转) 条件 在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45° 基本 图形 结论 ①EF＝BE＋DF； ②△AGF是等腰直角三角形； ③EA平分∠BEF，FA平分∠DFE； ④△CEF的周长是正方形ABCD边长的2倍 6 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 6.[2025·合肥肥西期末]如图，四边形ABCD为正方形，点M，N分别在边CD，BC上.连接AM，AN，MN，且∠MAN＝45°. (1)已知CM＝6，CN＝8，求MN的长； 解：MN的长为10. 6 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)已知DM∶CM＝3∶2，求AB∶BN的值. 解：延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE. 在正方形ABCD中，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ABE＝90°， ∴△ABE≌△ADM(SAS)，∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAN＋∠DAM＝90°－∠MAN＝45°， ∴∠BAN＋∠BAE＝45°，即∠EAN＝∠MAN＝45°， ∴△AEN≌△AMN(SAS)，∴EN＝MN. ∵EN＝BE＋BN＝DM＋BN，∴MN＝DM＋BN， ∵DM∶CM＝3∶2，∴设DM＝3a，CM＝2a，∴AB＝BC＝CD＝DM＋CM＝5a， 设BN＝b，则AB∶BN＝5a∶b，∴MN＝DM＋BN＝3a＋b，∴CN＝BC－BN＝5a－b. 在Rt△MNC中，由勾股定理，得CN2＋CM2＝MN2，∴(5a－b)2＋(2a)2＝(3a＋b)2， 整理得a(5a－4b)＝0， ∵a＞0，b＞0，∴5a－4b＝0，即5a＝4b，∴AB∶BN＝5a∶b＝4. 6 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 7.[2025·滁州期末]如图1，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，且点E不与点C，D重合，F是CB延长线上一点，且BF＝DE.连接EF，过点A作AG⊥EF，垂足为点G. (1)求证：G是EF的中点. 图1 解：易证△ADE≌△ABF(SAS)， ∴AF＝AE. ∵AG⊥EF，∴G是EF的中点. 7 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)如图2，连接DG. ①求∠ADG的度数； ②求证：DE＋DC＝DG. 图2 7 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 解：①如图1，连接CG. 由(1)得△ADE≌△ABF，∴∠1＝∠2， ∵∠1＋∠BAE＝90°，∴∠2＋∠BAE＝90°，即∠EAF＝90°， ∵G是EF的中点，∴AG＝EF， 同理，在Rt△EFC中，CG＝EF，∴AG＝CG， 又∵DG＝DG，AD＝CD， ∴△ADG≌△CDG(SSS)， ∴∠ADG＝∠CDG，且∠ADG＋∠CDG＝90°， ∴∠ADG＝∠ADC＝45°. 图1 7 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 ②如图2，取CE的中点M，连接GM，GC， ∴GM为△EFC的中位线， ∴GM∥CF，GM＝CF， ∴∠DMG＝∠DCB＝90°， 在Rt△DGM中，∠GDM＝45°， ∴△DMG为等腰直角三角形，∴DG＝GM， ∵GM＝CF，∴DG＝CF，即CF＝DG， ∵CF＝BF＋BC＝DE＋DC， ∴DE＋DC＝DG. 图2 7 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 类型4　对角互补模型 条件 在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠EOF＝90°，分别与边AB，BC交于点E，F 基本 图形 (BO平分∠ABC) 结论 OE＝OF，S四边形OEBF＝S正方形ABCD＝OB2 OE＝OF 8 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 8.如图，在边长为5的正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，当点E，F分别在AB，BC上运动时，始终保持OE⊥OF. (1)求证：△OEB≌△OFC. 解：证明略. 8 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 (2)四边形OEBF面积是否不变?  若不变，请求出该四边形的面积；若变化，请说明理由. 解：∵S四边形OEBF＝S△BOE＋S△BOF. 由(1)知S△BOE＝S△COF， ∴S四边形OEBF＝S△COF＋S△BOF＝S△BOC. ∵BC＝5，∴OB＝OC＝， ∴S四边形OEBF＝S△BOC＝OB·OC＝. 8 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 (3)试确定EF的长度的取值范围. 解：依题意，当OE⊥AB，OF⊥BC时，EF有最小值， 此时点E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF＝AC＝； 当点E运动到B点，点F运动到C点时，EF有最大值，此时EF＝BC＝5. 综上所述，EF的取值范围是≤EF≤5. 8 -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 温馨提示 本课件由安徽木牍教育图书有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ -‹#›- 【模型构建专题】　与正方形有关的常考模型 1 2 3 4 5 6 7 8 $