专题11 特殊平行四边形中的最值模型之费马点模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级下册

该初中数学讲义以“费马点模型”为核心，通过“模型背景-结论证明-应用步骤”的逻辑链构建知识体系，用框架图呈现费马点与加权费马点的结论及作法，思维导图梳理“识模型-选旋转-转线段-定最值-算长度”的解题流程，突出120°条件、旋转构造等重难点及与手拉手模型的内在联系。 讲义亮点在于结合矩形、正方形等特殊平行四边形设计例题，如矩形翻折后动点到三顶点距离和最小值问题，培养推理意识与几何直观。易错点总结精准，通用步骤指导明确，基础生可掌握模型应用，优秀生能拓展加权模型，助力教师实施分层教学与精准复习。

专题11 特殊平行四边形中的最值模型之费马点模型 在特殊平行四边形的几何最值问题中，除将军饮马、胡不归、瓜豆模型外，费马点模型是解决 “单点到三顶点距离和最小” 这一类问题的专属模型，题型新颖、构造性强，常出现在期末与中考的填空、解答压轴题中。本专题就特殊平行四边形中的费马点模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.费马点模型 2 模型2.加权费马点模型 3 【模型运用】 3 【易错点总结】 12 【模型小结】 12 13 模型1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°） 证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。 【最值原理】两点之间，线段最短。 模型2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 例1（2023•灞桥区校级模拟）如图，在矩形中，，，是的中点，是边上一动点，将沿着翻折，使得点落在点处，矩形内有一动点，连接、、，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】如图，将绕点顺时针旋转得到△，利用勾股定理求出，再根据，可得结论． 【解答】解：如图，将绕点顺时针旋转得到△， 则，，共线，，， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 点的运动轨迹是， ， 的最小值为， 故答案为：． 例2（2026•光明区模拟）如图，是等边三角形，是正方形对角线（不含点）上任意一点，，（点在的左侧），当的最小值为时，正方形的边长为　　． 【分析】作辅助线，过点作交的延长线于，连接，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为． 【解答】解：过点作交的延长线于，连接， ， 设正方形的边长为，则，， 在中， ， ． 解得（舍去负值）． 正方形的边长为． 故答案为：． 例3（2024秋•同步）四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站，则的最小值为 　　公里． 【分析】这是“费马点”原理，将绕顺时针旋转得，连接、，将绕点逆时针旋转得到△，连接、、，如图2，此时、、共线，是最小值，利用旋转的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论． 【解答】解：如图1，将绕顺时针旋转得，连接、，将绕点逆时针旋转得到△，连接、， 由旋转得：，，，， 和是等边三角形， ， 同理得：和是等边三角形，，， 当、、、、、在同一条直线上时，有最小值，如图2， ，， 是和的垂直平分线， ，， ， 的高， ， 则的最小值是公里． 故答案为：． 例4（2025秋•泗阳县期中）在矩形中，，，，将线段绕着点旋转到，连接，点为矩形内一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】． 【分析】将△绕点逆时针旋转得到△，易得，，则，当且仅当、、、依次共线时取等，构造直角三角形求出即可． 【解答】解：如图，将△绕点逆时针旋转得到△， 则△△， ， 由旋转可知，，， △和△均为等边三角形， ，， ，当且仅当、、、依次共线时取等， 如图，过作于点，过作于点，过作，交延长线于点， ，， ， 线段绕着点旋转到， △为等边三角形， ， ， 同理可得，， ，， 在△中，， 即的最小值为； 故答案为：． 例5（2025春•张掖校级期中）（1）【问题发现】如图①，在△中，若将△绕点逆时针旋转得到△，连接；求 ； （2）【问题探究】如图②，已知△是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，为△内一点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点． ①求证：△△； ②求的最小值； （3）【实际应用】如图③，在矩形中，，，是矩形内一动点，为△内任意一点，是否存在点和点，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①见解析；②12； （3）存在，． 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据等腰三角形的性质求出结果即可； （2）①根据等边三角形的性质证明全等即可； ②连接，得到△是等边三角形，由两点之间线段最短得，求出即可得解； （3）过点作交于点，交于点，将△绕点逆时针旋转得△，连接，，，设交于点，由可得，进而求得，当时，有最小值，运用勾股定理可求解． 【解答】（1）解：将△绕点逆时针旋转得到△， ，， ， 故答案为：； （2）①证明：△是等边三角形， ，， 将线段绕点逆时针旋转， ，， ， 在△和△中， ， △△； ②连接， ，， △是等边三角形， ， △△， ， ， 由两点之间线段最短得， ， 当点、、、在同一条直线上时，取最小值，为的值， 延长，作，交的延长线于点， △是边长为的等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 即取最小值为12． （3）存在一点和一点，使得有最小值，理由如下： 过点作交于点，交于点，将△绕点逆时针旋转得△，连接，，，设交于点，如图所示： 由（2）知，当，，，在同一直线上时，有最小值，最小值为， 在矩形中，，， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 点在上， 当时，有最小值， ， ， △是等边三角形， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 例6【问题情境】 如图1，在△中，，，，则△的外接圆的半径值为 　5　 ． 【问题解决】 如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值． 【问题解决】 如图3，正方形是一个边长为的隔离区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动岗哨，到、的张角为，即，点、为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个岗哨的距离和最小，试求的最小值．（保留根号或结果精确到，参考数据，． 【答案】（1）5； （2）； （3）． 【分析】（1）作出三角形的外接圆，证明△是等边三角形，利用三线合一性质计算即可； （2）点在以为直径的圆上，根据圆心，，三点共线时最小，计算即可； （3）如图3，设所在圆的圆心为点，根据（1）可得所在圆的半径，以点为旋转中心，将△顺时针旋转，得到△，当，，，，共线时，最小，构造直角三角形求解即可． 【解答】解：（1）如图1，作△的外接圆，作直径，连接， ， ，， ， △是等边三角形， ， 设与交于点，， 在直角三角形中， ， ， ， ， 故答案为：5； （2）如图2， ， 点在以为直径的圆上，设圆心为点， 则， ，，三点线时最小， 在直角三角形中， ， ， 的最小值为：； （3）如图3，设所在圆的圆心为点，根据（1）可得所在圆的半径为，以点为旋转中心，将△顺时针旋转，得到△，当，，，，共线时，最小，过点作交的延长线于点，连接，则△是等边三角形，过点作于交于点，连接， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，， △是等边三形，且，， ， ，， ，， ， 最小值为：． 1. 模型识别错误：将“三点距离和”误判为将军饮马/胡不归模型； 2. 旋转方向/角度错误：未旋转60°，或旋转后未正确构造等边三角形； 3. 角度计算失误：正方形旋转后易出现150°角，菱形易出现60°/120°角，角度找错导致边长计算错误； 4. 忽略图形范围：费马点必须在图形内部/边上，误取外部点导致结果错误； 5. 勾股定理计算错误：含根式的边长化简失误。 【费马点模型通用解题步骤】 1. 识模型：题目求一点到三个顶点距离和最小→判定为费马点模型； 2. 选旋转：选取含定点的三角形，绕顶点旋转 60°，构造等边三角形； 3. 转线段：利用等边三角形性质，将PB转化为PF，PC转化为EF； 4. 定最值：当所有点共线时，距离和最小，最小值为对应线段长度； 5. 算长度：结合特殊平行四边形角度、边长，用勾股定理计算线段长。 1．（2024•榆阳区校级二模）如图，在中，，连接，，以点为圆心，长为半径画弧，弧分别交、、于点、、，点是上方内一动点，点是上一动点，连接、、，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到△，连接，，证明为等边三角形，△为等边三角形，可得，，当，，，，共线时，，此时最小，再进一步求解即可． 【解答】解：如图，把绕顺时针旋转得到△，连接，， ，，， 为等边三角形，△为等边三角形， ，， 当，，，，共线时， ，此时最小， ， ，而，， ，，， ，， ， ， 的最小值为； 故答案为：． 2．如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为　　． 【分析】首先证明点是和的交点，过点作于点，在内部过、分别作，则，点就是费马点，此时最小，根据特殊直角三角形才求出，，，的长，进而得出答案． 【解答】解：连接、，交于点，连接、， 四边形为正方形， ，，， 在和中， ，，， ， ，， ， 为等腰直角三角形， 以为斜边在矩形内作等腰， 点与点重合， 过点作于点，在内部过、分别作，则，点就是费马点，此时最小， 在等腰中，，， ， 故， 解得：，则， 故，同法可得， 则， 点到点、点、点的距离之和的最小值为， 故答案为． 3．（2024春•雁塔区校级月考）课本再现： （1）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则的度数为 　　； 迁移应用： （2）如图2，在正方形中，是边上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：； 拓展延伸： （3）如图3，在菱形中，，是边上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点． ①线段与的数量关系是 　　 ②连接，点为内一点，连接，，．若，则的最小值为 　　． 【答案】（1）90； （2）见解析； （3）①； ②． 【分析】（1）先证明，可得，从而得到，由此可得答案； （2）过点作交延长线于点，结合正方形的性质和旋转的性质证明，可得，，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，即可证明结论； （3）①过点作，与的延长线交于点，可证得，从而得到，，，进而得到，，继而得到； ②把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，过点作的垂线交的延长线于点，得为等边三角形，求出，当点，，，四点共线时，的值最小，即的长，可得的最小值为的长，根据勾股定理可求解 【解答】解：（1）矩形和矩形是全等矩形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ； 故答案为：90； （2）如图，过点作交延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）①过点作，与的延长线交于点， 四边形是菱形， ，， 由旋转得，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：； ②如图，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，过点作的垂线交的延长线于点，则，，， 是等边三角形， ， ， 当点，，，四点共线时，的值最小，最小值为线段的长， 四边形是菱形，且， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 4．（2024春•铜梁区校级期中）在中，，连接，已知，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转为线段． （1）如图1，线段与线段的交点和点重合，连接，求线段的长度； （2）如图2，点为延长线上一点，使得，连接交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，平面内一点，当最小时，求的面积． 【答案】（1）的长为； （2）证明祥见解答； （3）的面积为． 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质与判定，得到，，在中，应用勾股定理，求出的长，根据平行四边形的性质得到的长，根据等腰直角三角形的性质与判定，即可求解； （2）连接，，根据全等三角形的性质与判定得到，，，结合旋转的性质得到，，根据平行四边形的判定得到，，根据平行四边形的性质得到的长度，即可求解； （3）将绕点顺时针旋转90，得到△，由旋转的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，在线段上时取得最小值，作，根据等腰直角三角形的判定与性质，得到，在△中，应用勾股定理得到，，，，由△，得到，在中，得到，在中，得到，，根据，即可作答． 【解答】（1）解：过点作，交延长线于点， ，， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，，， ， 由旋转的性质可得：，， 是等腰直角三角形， ， 的长为； （2）证明：连接，， ，， ，， 又，， ， ，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （3）解：将绕点顺时针旋转，得到△，连接， 由旋转的性质可得，，，， ， ，当在线段上时取得最小值， 延长与延长线交于点，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，，， ， ，， ， 在△中，， ， ， △， 即△， ， 在中， ， 在中， ， ， ， 的面积为． 5．如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点． 如图（2），在锐角外侧作等边连接． 求证：过的费马点，且． 【分析】根据费马点的定义，在上取点，使，再在上取，然后连接，根据等边三角形的判定可以证明是等边三角形，从而得到，，根据角的关系可以推出，再利用边角边证明与△全等，根据全等三角形对应边相等可得，，从而可得点为的费马点，并且． 【解答】证明：在上取点，使， 连接，再在上截取，连接， ， ， 为正三角形， ，，， 为正三角形， ，， ， ， △， ，， ， 为的费马点， 过的费马点，且． 6．（2026春•二道区校级月考）【问题呈现】如图①，在△中，，，点为△内一点，连接、、，求的最小值，并说明理由； 【问题探究】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了、他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题． 他的做法是，如图②，将△绕点逆时针旋转得到△，连接，． 由旋转的性质可知： 证明过程缺失 ， ， ， 当，在直线上时，的值最小． 请帮助小华补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为 ． 【拓展提升】如图③，如图，在菱形中，，，连接，点是上的一个动点，连接，，则的最小值是　　 ． 【生活实际】如图④，一个矩形菜地的、、三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到、、三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为　　 平方千米． 【答案】【问题解决】； 【拓展提升】； 【生活实际】． 【分析】【问题解决】由旋转的性质可得，，，，得到△是等边三角形，因此，从而，根据勾股定理求出，即可解答； 【拓展提升】连接，与相交于点，由菱形的性质可得△和△都是等边三角形，得到．将△绕着点逆时针旋转，得到△，因此，，，即△是等边三角形，从而，进而得到，即的最小值是的长．在△中，解直角三角形求出，因此，即可解答； 【生活实际】将△绕点逆时针旋转得到△，连接，，过点作交的延长线于．当，，，共线时，的值最小，最小值为线段的长．则，，因为运输点到，，三个菜窖的总路程至少为千米，列式，即可解答． 【解答】解：【问题解决】由旋转的性质可知：，，，， △是等边三角形， ， ， ， ， 当，在直线上时，的值最小，为的长． ，， ， 在△中，， 最小值为， 故答案为：； 【拓展提升】连接，与相交于点， 在菱形中，，， △和△都是等边三角形， ． 将△绕着点逆时针旋转，得到△， ，，， △是等边三角形， ， ， 即的最小值是的长． △是等边三角形， ， 在菱形中，， 在△中，， 在菱形中，， 的最小值是， 故答案为：； 【生活实际】将△绕点逆时针旋转得到△，连接，，过点作交的延长线于．当，，，共线时的值最小，最小值为线段的长． 设千米，则千米， 千米，，， ， （千米），（千米）， ， 运输点到，，三个菜窖的总路程至少为千米， 千米， ， ， ， 的最小值为2千米，的最小值为千米， 此矩形菜地的面积的最小值为平方千米． 故答案为：． 7．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点． （1）如图1，在菱形中，，点是上的类费马点 ①为的中点，为的中点，则　4　． ②为上一动点，为上一动点，且，则　　． （2）如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小），①当时，　　． ②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值． 【答案】（1）①4，②；（2）①，②． 【分析】（1）①取的中点，连接，通过证明△，得，再证四边形是平行四边形即可得出答案； ②由①知，的最小值为与之间的距离，则过点作于，利用三角函数即可求出的值； （2）①将绕点顺时针旋转得△，连接，，则当、在线段上时，最小值为的长，可证出； ②将绕点顺时针旋转得△，连接，，则当、在线段上时，最小值为的长，且点是内部的费马点，利用勾股定理求出的长即可． 【解答】解：（1）①取的中点，连接， 四边形是菱形， ，， 点，分别是，的中点， ， 在和△中， ， △， ， ， 当、、三点共线时，最小值为的长， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：4； ②由①知，若、为动点，则的最小值为与之间的距离， 过点作于， 在中， ， ， 点是上的类费马点 的最小值为； 故答案为：； （2）①如图2，将绕点顺时针旋转得△，连接， ，，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，最小值为的长， 连接，与的交点为点， ，， ，， ， 同理， ； 故答案为：； ②如图3，将绕点顺时针旋转得△，连接， ，，，， 是等边三角形， ， ， 当、在线段上时，最小值为的长， 且点是内部的费马点， ，， ， 此时的最小值为． 8．（1）知识储备 ①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：． ②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离． （2）知识迁移 ①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法： 如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 　　的长度即为的费马距离． ②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）． （3）知识应用 ①判断题（正确的打，错误的打 ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 　　； ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 　　． ②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的 边长． 【分析】（1）①根据已知首先得出为等边三角形，进而得出，即； （2）①利用（1）中结论得出；以及线段的性质“两点之间线段最短”容易获解； ②画出图形即可；也可以将绕点按顺时针旋转得到，连接，作，然后在上截取，则△是等边三角形，由旋转的性质及两点之间线段最短即可得出结论； （3）①根据费马点和费马距离的定义直接判定即可； ②将沿点逆时针旋转到△，如图5，根据的最小值为，得的最小值为，即，设正方形的边长为，根据勾股定理列方程得：得：，解出可得正方形的边长． 【解答】（1）①证明：在上取一点，使，连接， 是等边三角形， ， 又， 是正三角形， ，， ， 又，， ， ， ；（4分） （2）①如图2，得：， 当、、共线时，的值最小， 线段的长度即为的费马距离， 故答案为：；（6分） ②过和分别向外作等边三角形，连接，，交点即为．（过或作外接圆视作与图2相同的方法，不得分）．（8分） （3）①ⅰ．； ⅱ．当三角形有一内角大于或等于时，所求三角形的费马点为三角形最大内角的顶点（10分） 故答案为：，，，； ②解：将沿点逆时针旋转到△， 如图5，过作，交的延长线于，连接， 易得：，，，， ，， △是正三角形， ， 的最小值为， 的最小值为， ，，，在同一直线上，即，（12分） 设正方形的边长为， ，， ， 在△中，，， 得：，， 在△中，由勾股定理得：， 解得：（舍去） 正方形的边长为2．（14分） 9．（2024•黄埔区一模）如图，在矩形和矩形中，，，，．矩形绕着点旋转，连接，，，． （1）求证：； （2）当的长度最大时， ①求的长度； ②在内是否存在一点，使得的值最小？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）①． ②的最小值为． 【分析】（1）根据题意，计算出，，然后求得，即可证明； （2）①当，，三点共线时，，的长度最大，由（1）知，，，，，可得，，因此． ②如图3，将绕着点顺时针旋转，且使，连接，根据边角关系，可得；同理将绕着点顺时针旋转，得到，且使，连接，根据旋转，可得，根据两边对应成比例且夹角相等可得：，因此，由于，即，因此当，，，四点共线时，最小，由题意可知：，，，，过点作垂直的延长线于点，可得，可知，，在中，根据勾股定理得，因此的最小值为． 【解答】（1）证明：四边形为矩形，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：①如图2，，当，，三点共线时，，的长度最大， 由（1）知，，，，， ，， ． 解：②如图3，将绕着点顺时针旋转，且使，连接， 根据边角关系，可得； 同理将绕着点顺时针旋转，得到，且使，连接， 根据旋转，可得， 根据两边对应成比例且夹角相等可得：， ， ，即， 当，，，四点共线时，最小， 由题意可知，，，，过点作垂直的延长线于点，可得， ，， 在中，根据勾股定理得， 的最小值为． 10．（2024•江西模拟）如图1，在矩形中，，点，分别是，上的中点，过点，分别作，，与交于点，连接． 特例感知 （1）以下结论中正确的序号有 　①②　； ①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③以，，为边围成的三角形不是直角三角形； 类比发现 （2）如图2，将图1中的四边形绕着点旋转，连接，观察与之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现； 拓展应用 （3）连接，当的长度最大时， ①求的长度； ②连接，，，若在△内存在一点，使的值最小，求的最小值． 【分析】（1）根据矩形的判定与性质、位似图形的性质以及直角三角形的判定逐个判断即可； （2），连接、，延长、，设交点为，设、交于点，先根据矩形的性质和勾股定理求得，再利用锐角三角函数求得，进而得到，利用位似图形的性质得到，进而证明△△，利用相似三角形的性质和三角形的内角和定理可求解； （3）先根据题意得到当点、、共线时取等号，此时的长度最大，①利用勾股定理求解即可；②将绕着点顺时针旋转，且使，连接．同理将绕着点顺时针旋转，得到，且使，连接．先证明△△，得到，利用△的边角关系得到，然后根据两点之间线段最短得到当、、、四点共线时，的长最小，过点作垂直的延长线于点，可得，在△中，根据勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）四边形是矩形， ， ，， ， 四边形是矩形，故①正确； 点，分别是，上的中点， ，，即， 矩形与四边形位似，故②正确； 延长交于，则四边形、四边形是矩形，如图1， ，，， △是直角三角形， 则以，，为边围成的三角形是直角三角形，故③错误， 故答案为：①②； （2），直线与的夹角． 证明：如图2，连接、，延长、，设交点为，设、交于点， 四边形是矩形， ，， ，则， ， ， 由（1）知，矩形与四边形位似， ，又， △△， ，，又， ； （3）， 当点、、共线时取等号，此时的长度最大， ①如图3， 由（2）知，，，，， ， ； ②如图4，将绕着点顺时针旋转，且使，连接．同理将绕着点顺时针旋转，得到，且使，连接． 根据旋转，可得，根据两边对应成比例且夹角相等可得△△， ， 过作于，则，， ，则， ， ， ，即， 当、、、四点共线时，的长最小， 由题意，，，，， 过点作垂直的延长线于点，可得， ，，则， 在△中，根据勾股定理得． 的最小值为． 11．已知正方形的边在轴上，在轴上，点与原点重合，点在第一象限．是等边三角形，点在第二象限．为对角线（不含点）上任意一点． （Ⅰ）如图①，若，当的值最小时，求点的坐标； （Ⅱ）如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接，，． ①求证； ②当的最小值为时，直接写出此时点的坐标． 【分析】（Ⅰ）根据两点之间线段最短确定的位置，作于点．根据正方形的性质和等腰三角形的性质计算即可； （Ⅱ）①根据等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定定理证明即可； ②过点作交的延长线于，设正方形的边长为，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】解：（Ⅰ）连接交于点， 根据“两点之间线段最短”，得此时的值最小． 过点作于点． 四边形是正方形， ，，，， ． ， ． 在中，有， 点的坐标为，； （Ⅱ）①是等边三角形， ．． ， ． 即， 是由绕点逆时针旋转得到， ， 在和中， ， ； ②过点作交的延长线于， ， 设正方形的边长为，则，， 在中， ， ． 解得，（舍去负值）． 正方形的边长为， 点的坐标为：，． 12．（2024•咸阳模拟）（1）如图①，在△中，，，为△内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将△绕点顺时针旋转得到△，则，连接，此时小明发现，且，则△为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值． （2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点在边上且米，为边上任意一点，点关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将点、点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点处打一口井，并修建地下管道，，，请问：是否存在一点，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）的最小值为； （2）存在，的最小值为300米，的长为米． 【分析】（1）按照小明的思路确定出的最小值为，再利用勾股定理求出即可； （2）连接，作点关于的对称点，先确定出点的轨迹，再按照问题（1）的思路，将△绕点顺时针旋转 得到△，连接，，，．得出当，，，，五点共线时，取得最小值，最小值为，再求出即可得到取得最小值；过点作于点，求出，再根据是取得最小值时，等边三角形的高，即可求出． 【解答】解：（1）如图，连接． 根据小明的思路可知，，， 则， ，， 在△ 中， 由勾股定理，得， 当，，，四点共线时取得最小值，的最小值为； （2）存在． 点，关于对称， 米， 点在以点为圆心，50米为半径的圆弧上． 如图，连接，作点关于的对称点”，则点的轨迹为弧， 由（1）同理可得，将△绕点顺时针旋转 得到△，连接，，，． 由旋转的性质得，，， △为等边三角形， ， ， ， 米 当，，，，五点共线时，取得最小值，最小值为， 此时点为与弧”的交点． 过点作于点，交于点， 则米，米，（米， 米， 由勾股定理，得（米， 取得最小值为（米， 过点作于点， 由勾股定理，得， ， 解得（米， （米， 取得最小值时，（米， 答：的最小值为300米，的长为米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 特殊平行四边形中的最值模型之费马点模型 在特殊平行四边形的几何最值问题中，除将军饮马、胡不归、瓜豆模型外，费马点模型是解决 “单点到三顶点距离和最小” 这一类问题的专属模型，题型新颖、构造性强，常出现在期末与中考的填空、解答压轴题中。本专题就特殊平行四边形中的费马点模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.费马点模型 2 模型2.加权费马点模型 2 【模型运用】 3 【易错点总结】 5 【模型小结】 5 5 模型1.费马点模型 结论：如图1，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 图1 图2 图3 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常只考查三角形的最大顶角小于120°） 证明：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。 【最值原理】两点之间，线段最短。 模型2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 例1（2023•灞桥区校级模拟）如图，在矩形中，，，是的中点，是边上一动点，将沿着翻折，使得点落在点处，矩形内有一动点，连接、、，则的最小值为 　　． 例2（2026•光明区模拟）如图，是等边三角形，是正方形对角线（不含点）上任意一点，，（点在的左侧），当的最小值为时，正方形的边长为　　． 例3（2024秋•同步）四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站，则的最小值为 　　公里． 例4（2025秋•泗阳县期中）在矩形中，，，，将线段绕着点旋转到，连接，点为矩形内一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 例5（2025春•张掖校级期中）（1）【问题发现】如图①，在△中，若将△绕点逆时针旋转得到△，连接；求 ； （2）【问题探究】如图②，已知△是边长为的等边三角形，以为边向外作等边三角形，为△内一点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点． ①求证：△△； ②求的最小值； （3）【实际应用】如图③，在矩形中，，，是矩形内一动点，为△内任意一点，是否存在点和点，使得有最小值？若存在求其值；若不存在，请说明理由． 例6【问题情境】 如图1，在△中，，，，则△的外接圆的半径值为 　　 ． 【问题解决】 如图2，点为正方形内一点，且，若，求的最小值． 【问题解决】 如图3，正方形是一个边长为的隔离区域设计图，为大门，点在边上，，点是正方形内设立的一个活动岗哨，到、的张角为，即，点、为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点，使得到、、三个岗哨的距离和最小，试求的最小值．（保留根号或结果精确到，参考数据，． 1. 模型识别错误：将“三点距离和”误判为将军饮马/胡不归模型； 2. 旋转方向/角度错误：未旋转60°，或旋转后未正确构造等边三角形； 3. 角度计算失误：正方形旋转后易出现150°角，菱形易出现60°/120°角，角度找错导致边长计算错误； 4. 忽略图形范围：费马点必须在图形内部/边上，误取外部点导致结果错误； 5. 勾股定理计算错误：含根式的边长化简失误。 【费马点模型通用解题步骤】 1. 识模型：题目求一点到三个顶点距离和最小→判定为费马点模型； 2. 选旋转：选取含定点的三角形，绕顶点旋转 60°，构造等边三角形； 3. 转线段：利用等边三角形性质，将PB转化为PF，PC转化为EF； 4. 定最值：当所有点共线时，距离和最小，最小值为对应线段长度； 5. 算长度：结合特殊平行四边形角度、边长，用勾股定理计算线段长。 1．（2024•榆阳区校级二模）如图，在中，，连接，，以点为圆心，长为半径画弧，弧分别交、、于点、、，点是上方内一动点，点是上一动点，连接、、，则的最小值为 　　． 2．如图，在边长为6的正方形中，点，分别为、上的动点，且始终保持．连接，以为斜边在矩形内作等腰，若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为　　． 3．（2024春•雁塔区校级月考）课本再现： （1）把两个全等的矩形和矩形拼成如图1的图案，则的度数为 　　； 迁移应用： （2）如图2，在正方形中，是边上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：； 拓展延伸： （3）如图3，在菱形中，，是边上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点． ①线段与的数量关系是 　　 ②连接，点为内一点，连接，，．若，则的最小值为 　　． 4．（2024春•铜梁区校级期中）在中，，连接，已知，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转为线段． （1）如图1，线段与线段的交点和点重合，连接，求线段的长度； （2）如图2，点为延长线上一点，使得，连接交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，平面内一点，当最小时，求的面积． 5．如图（1），为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点． 如图（2），在锐角外侧作等边连接． 求证：过的费马点，且． 6．（2026春•二道区校级月考）【问题呈现】如图①，在△中，，，点为△内一点，连接、、，求的最小值，并说明理由； 【问题探究】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了、他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题． 他的做法是，如图②，将△绕点逆时针旋转得到△，连接，． 由旋转的性质可知： 证明过程缺失 ， ， ， 当，在直线上时，的值最小． 请帮助小华补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为 ． 【拓展提升】如图③，如图，在菱形中，，，连接，点是上的一个动点，连接，，则的最小值是　　 ． 【生活实际】如图④，一个矩形菜地的、、三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到、、三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为　　 平方千米． 7．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形，是对角线上一点，、是边和上的两点，若点满足与之和最小，则称点为类费马点． （1）如图1，在菱形中，，点是上的类费马点 ①为的中点，为的中点，则　　． ②为上一动点，为上一动点，且，则　　． （2）如图2，在菱形中，，连接，点是的费马点，（即，，之和最小），①当时，　　． ②当时，你能找到的费马点吗？画图做简要说明，并求此时的值． 8．（1）知识储备 ①如图1，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：． ②定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离． （2）知识迁移 ①我们有如下探寻（其中，，均小于的费马点和费马距离的方法： 如图2，在的外部以为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段 　　的长度即为的费马距离． ②在图3中，用不同于图2的方法作出的费马点（要求尺规作图）． （3）知识应用 ①判断题（正确的打，错误的打 ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个 　　； ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部 　　． ②已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的 边长． 9．（2024•黄埔区一模）如图，在矩形和矩形中，，，，．矩形绕着点旋转，连接，，，． （1）求证：； （2）当的长度最大时， ①求的长度； ②在内是否存在一点，使得的值最小？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由． 10．（2024•江西模拟）如图1，在矩形中，，点，分别是，上的中点，过点，分别作，，与交于点，连接． 特例感知 （1）以下结论中正确的序号有 　　； ①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③以，，为边围成的三角形不是直角三角形； 类比发现 （2）如图2，将图1中的四边形绕着点旋转，连接，观察与之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现； 拓展应用 （3）连接，当的长度最大时， ①求的长度； ②连接，，，若在△内存在一点，使的值最小，求的最小值． 11．已知正方形的边在轴上，在轴上，点与原点重合，点在第一象限．是等边三角形，点在第二象限．为对角线（不含点）上任意一点． （Ⅰ）如图①，若，当的值最小时，求点的坐标； （Ⅱ）如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接，，． ①求证； ②当的最小值为时，直接写出此时点的坐标． 12．（2024•咸阳模拟）（1）如图①，在△中，，，为△内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将△绕点顺时针旋转得到△，则，连接，此时小明发现，且，则△为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值． （2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点在边上且米，为边上任意一点，点关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将点、点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点处打一口井，并修建地下管道，，，请问：是否存在一点，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $