专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 4 12 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 （2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹） 例1（2025·山东临沂·校考二模）如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2（25-26九年级上·北京朝阳·期中）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 例3（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 例4（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．    例5（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 例6（2025·广东·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 例7（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰中，，，D为边的中点，连接并取的中点P，连接，在绕点A旋转的过程中，线段的最小值为 ，最大值为 ． 例8（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 1.（2025·山东临沂·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为的上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（        ） A．8 B． C．9 D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，AB为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．5 D．6 4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，的半径为，点为上任意一点，的坐标为，为等腰三角形，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南驻马店·二模）如图，已知在正方形中 ，，，，，点D为中点，连接，点P为中点．连接，则的最大值为 ． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆O的直径，，弦，P是圆O上的动点，取的中点D，则的最大值为 ． 7.（25-26.广西九年级期中）如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____． 8．（2025·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是 ．    9．（2025·江苏无锡·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为 ． 10．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，，．若P在线段上，且始终满足，连接，则的最小值为 ． 12．（2025·广西防城港·模拟预测）如图，在梯形中，，点为上方一动点，连接、，以点为圆心作的半径为2，点为上一动点，连接、，则的最大值为 13．（24-25九年级下·上海青浦·月考）在中，，，，的半径为4，点是上的动点，点在线段上，且，那么长的取值范围是 ． 14．（2025·湖南永州·模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 下面是部分证明过程： 证明：连结，取的中点，连接． ，当点在直线外时， 当点在直线上时，易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ； 【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ． 15．（24-25九年级下·山东烟台·期中）【提出问题】如图1，已知圆的半径为2，点是圆上一动点，点是圆外一点，连接，取的中点，当点在圆上运动时，判断点的运动轨迹．    【解决问题】（1）小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程． 【简单应用】（2）如图2，已知正方形的边长为4，取的中点记为，以为圆心，长为直径作圆，点为圆上一动点，连接取其中点，求线段的最小值． 【灵活运用】（3）如图3，正方形的边长为4，点在以为圆心长为半径的圆上，连接，取其中点，连接并延长交线段于点，请直接写出的最小度数． 16．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点． (1)如图，点，，点，点为点的反转点．①当时，在图中画出点，并写出点的坐标为________；②当时，求线段长的取值范围； (2)已知的半径为，点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆中的最值模型之瓜豆原理（圆弧轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 4 12 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 （2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ；∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形，∴点到的距离为， ∴点到的最小值为，∴面积最小值为： ．故答案为：． 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹） 例1（2025·山东临沂·校考二模）如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3， ∵∠ACB=90°，即在中，， ∵E是斜边AB上的中点，∴， ∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴， ∴在中，，即； 当C、M、E三点共线时有或者； 即，∴CM最小值为5，故选：C． 例2（25-26九年级上·北京朝阳·期中）如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 取的中点，连接、， ∵M为的中点，∴，∴的中点M的轨迹是以为圆心，1为半径的， 因此交于点M，此时的值最大，由题意得，，， 在中，，，∴，∴，故选D． 例3（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∵，四边形为正方形，∴，则，∴， ∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，，  ∴为等边三角形，∴， ∴，故答案为：． 例4（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，，，， ，，．， 在以为圆心，3为半径的圆上，连接，则当在的延长线上时，最长， 根据勾股定理可得，此时，故答案为：． 例5（2025·江苏无锡·校考一模）如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接，，，DE． ∵，，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆， ∵，∴，∴，∴的最小值为．故选：A． 例6（2025·广东·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ，，，，， ，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故答案为：． 例7（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰中，，，D为边的中点，连接并取的中点P，连接，在绕点A旋转的过程中，线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵等腰中，，，∴， ∵D为边的中点，∴，取的中点O，连接，则， ∵P是的中点，∴， ∴在绕点A旋转的过程中，点P是在以点O为圆心，以长为半径的圆上运动， ∵，∴当点P在上时，取得最小值，为； ∵，∴当点P在延长线上时，取得最大值，为．故答案为：，． 例8（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②或(2) 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； 如图：当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 综上所述：或； （2）如图，画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为， 点分别绕点顺时针旋转得到，分析可知且相似比为， 可得圆的半径均为，随意转动图，可得． 1.（2025·山东临沂·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为的上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（        ） A．8 B． C．9 D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接BP，∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，∴BD=CD=12， ∵E是PC的中点，∴，∴当BP最大时，DE最大， ∵P是半径为的上一动点，∴当PB过圆心A时，PB最大，此时P、A、B三点共线， ∵AD=5，BD=12，∴AB=13，∴PB的最大值为13+3=16，∴DE的最大值为8．故选：A 2．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，AB为的直径，C为上一点，其中，，P为上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H． ∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK， 当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大,∵∴∠COH＝60° 在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC=AB=3，∴OH＝OC＝，CH＝， 在Rt△CKH中，CK＝，∴CQ的最大值为，故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：如图，把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2，    ，， ，，，， 过作于点，， 在中，， 点B是上一点，则点是上一点，， 当点三点共线，即点在上时，最小， ，故线段的最小值为．故选：A． 4．（25-26九年级上·北京·月考）如图，的半径为，点为上任意一点，的坐标为，为等腰三角形，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，在的上方作等腰，使得，，连接，．过点作于点． ，，则， ∴ ，， ，，，同法可得， ，，， ，，， ，，的最大值为．故选：A． 5．（2025·河南驻马店·二模）如图，已知在正方形中 ，，，，，点D为中点，连接，点P为中点．连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，，如图，连接，它们相交于点，连接， 在直角三角形中，，由勾股定理得：， ∵为中点，∴，依题意得：以点为圆心，以为半径画圆，即为点的运动路径，， 在直角三角形中，由勾股定理得：，解得：， ∵是的中点，点为中点．∴是的中位线，∴； 依题意得：以点为圆心，以为半径画圆，即为点的运动路径， 当共线时，且在射线的延长线上，即当运动到处，此时最大， 则，故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是圆O的直径，，弦，P是圆O上的动点，取的中点D，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，，， 点的运动轨迹为以为直径的，连接， ，∴当点D在的延长线上时，的值最大， 是的直径，，，是等边三角形， ，取的中点Q，连接，则， 在中，， ，，则的最大值为． 7.（25-26.广西九年级期中）如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，在上方以为一边作等边，连接， 和都是等边三角形，， ，即， 在和中，，，， 点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，设与交于点，过点作于点，则，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ，，是等边三角形，， ，， 在中，，则， 即的最小值为，故答案为：． 8．（2025·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：如图，取CD中点G，连接AE、GF、AG，    ∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDA=90°， ∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE， ∵，∴，∴， 又AE=1，解得，由勾股定理可得，， 由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF=；故答案为：. 9．（2025·江苏无锡·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，即（定长）， ∵点是定点，是定长，∴点在半径为的上， ∵，∴的最大值为，故答案为：． 10．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：，令，则，解得，或， ∴，∴抛物线的对称轴为直线，∴, ∴， 当时，，∴，∴, 连接，取的中点，则, 当点与点重合时，连接，如图，∴是的中位线，∴， 则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，如图， 由勾股定理得，， ∴的最小值为：，故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，，．若P在线段上，且始终满足，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴点A、C、D在以点B为圆心，4为半径的圆上， 如图，以点B为圆心，4为半径作，作直径，连接，过点P作，交于点F， ，，，，， ∵半径，∴，，∵直径，∴， ∵，∴，∴点P在以中点O为圆心，为直径的圆上，如图所示： 连接，则， 当点P在线段上时，的长取得最小值，如图所示： ∵，∴，∵， ∴，∴的最小值为：，故答案为： 12．（2025·广西防城港·模拟预测）如图，在梯形中，，点为上方一动点，连接、，以点为圆心作的半径为2，点为上一动点，连接、，则的最大值为 【答案】14 【详解】解：如图，连接，再作的外接圆， ∵，∴， 又∵，∴为等边三角形，∴， 又∵，∴D为的外接圆圆心， ∴当点D在线段上时，有最大长度，最大值为， ∴当点E在线段上时，最大为．故答案为：14． 13．（24-25九年级下·上海青浦·月考）在中，，，，的半径为4，点是上的动点，点在线段上，且，那么长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：交于，连接、，， ，，，， ，，，，， ，，，，解得：， 的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图，过作交于， 当、、三点共线时，在线段上时，取得最大值， ，，，， 解得：，，， ，， 的最大值为；如图，当、、三点共线时，在线段上时，取得最小值， ，的取值范围为， 故答案为：． 14．（2025·湖南永州·模拟预测）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 下面是部分证明过程： 证明：连结，取的中点，连接． ，当点在直线外时， 当点在直线上时，易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆． 【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ； 【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ． 【答案】（1）4π；（2） 【详解】（1）如图所示，在上取点Q，使，连接． ，当点在直线外时，∵，，∴， ∴，即，∴； 当点在线段上时，∵，∴， ∵，∴，∴； 当点P在延长线上时，同理可得，， 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． ∴点的运动路径长为；故答案为：； （2）∵点的坐标为，∴， ∵将线段绕着点逆时针旋转，∴， ∴点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，连接，取中点Q， ∵点N是的中点，∴是三角形的中位线，∴， ∴点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，∴， ∴当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值， ∵，，点Q是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴的最小值为．故答案为：． 15．（24-25九年级下·山东烟台·期中）【提出问题】如图1，已知圆的半径为2，点是圆上一动点，点是圆外一点，连接，取的中点，当点在圆上运动时，判断点的运动轨迹．    【解决问题】（1）小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程． 【简单应用】（2）如图2，已知正方形的边长为4，取的中点记为，以为圆心，长为直径作圆，点为圆上一动点，连接取其中点，求线段的最小值． 【灵活运用】（3）如图3，正方形的边长为4，点在以为圆心长为半径的圆上，连接，取其中点，连接并延长交线段于点，请直接写出的最小度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）连接，如图，    ∵B是的中点，C是的中点，∴是的中位线， ∴，∴点B的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆； （2）连接，取的中点G，连接，如图，    ∵正方形的边长为4，是的直径，∴的半径为2，∴， ∵G是的中点，F是的中点，∴是的中位线，∴， ∴点F的运动轨迹是以G为圆心，1为半径的圆， ∵点G为定点，∴当点F在上时，线段的长最小，最小值为． 连接，过点G作于N，交于点M，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴， ∵点G为的中点，∴，∴，∴为的中位线， ∴，∴， ∴．∴，∴的最小值是． （3）的最小度数为．理由：连接，取的中点H，连接，如图， ∵正方形的边长为4，∴， ∵H为的中点，∴，∵的半径为，∴点H在上， ∵点E在以A为圆心长为半径的圆上，∴． ∵点F为的中点，H为的中点，∴为的中位线，∴ ， ∴点F的运动轨迹是以H为圆心，为半径的圆， ∴当与相切时，取得最小度数．如图，   此时，∵，，∴，∴， ∵四边形为正方形，∴，∴．∴的最小度数为． 16．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点． (1)如图，点，，点，点为点的反转点．①当时，在图中画出点，并写出点的坐标为________；②当时，求线段长的取值范围； (2)已知的半径为，点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：①当时，点，画图如下： ∵记点关于点的对称点为，而，∴由旋转得， ∴，过点分别作轴的垂线，垂足为，∴， ∴，∴∴ ∴，∴，∴， ②由得， ∴点的轨迹为一条线段，而，则，由得， ∴，∴∴ 而，令，抛物线开口向上，∴当，，即， 当时，，时，，∴，的取值范围为：； （2）解：如图，固定变量，假设点P为第一象限定点， 过点P作点的对称点记为M，连接，则点M为定点， 则为的中位线，∴∴点轨迹为以M为圆心，为半径的圆， 连接，将绕点B逆时针旋转得到，则，点N为定点， 由题意得，∴，∴， ∴，∴点Q的轨迹为以N为圆心，为半径的圆， 连接，由得， 说明线段长的最大值和最小值的差只与半径有关，与点P的具体位置无关． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $