专题 6.1 图形的相似（全章知识梳理+题型精析+小结反思）- 2025-2026学年苏科版九年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 6.1 图形的相似（全章知识梳理+题型精析+小结反思） 目录 一．全章知识梳理与题型分类精析 2 【知识点一】比例线段 2 【题型1】成比例线段 2 【知识点二】比例线段的性质 2 【题型2】利用比例线段的性质求值 2 【知识点三】黄金分割 3 【题型3】利用黄金分割求值证明 3 【知识点四】平行线分线段成比例定理 4 【题型4】由平行线判断成比例线段 4 【知识点五】平行线分线段成比例推论 5 【题型5】利用平行线分线段成比例推论求值证明 5 【题型6】构造平行线分线段成比例进行求值 6 【知识点六】相似多边形的性质 7 【题型7】利用相似多边形性质求值与证明 7 【知识点七】相似三角形的判定 8 【题型8】相似三角形的判定 8 【题型9】相似三角形的判定综合 9 【知识点八】相似三角形的性质 10 【题型10】利用相似三角形的性质求值证明 10 【题型11】利用相似三角形的性质与判定综合求值证明 11 【知识点九】用相似三角形解决问题 12 【题型12】相似三角形的应用 12 【知识点十】位似图形 13 【题型 13】位似图形 14 三.易错点小结与解题方法反思 15 （一）易错点小结： 15 （二）解题方法反思： 16 （三）改进方向： 17 一．全章知识梳理与题型分类精析 【知识点一】比例线段 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．特别的，如果与的比等于与的比，即，则线段叫做线段、的比例中项． 【题型1】成比例线段 【例题1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段a，b，满足． (1)求的值； (2)当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期中），，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·月考）在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段 ． 【知识点二】比例线段的性质 (1)．基本性质：； (2)．合比性质：⇔＝； (3)．等比性质：； 【题型2】利用比例线段的性质求值 【例题2】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a的值． 【变式1】（25-26九年级上·河北张家口·月考）已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，那么 ． 【知识点三】黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比 【题型3】利用黄金分割求值证明 【例题3】（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 【变式1】（2025·安徽亳州·一模）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点把线段分成，两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图②，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是 ． 【知识点四】平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．即如图所示， 若l3∥l4∥l5，则，. 【题型4】由平行线判断成比例线段 【例题4】（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，若，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）在横格本上，嘉嘉画了两条相交线m，n，并标注相关交点的字母如图所示，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【知识点五】平行线分线段成比例推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 即如图所示，若∥，则，. 【题型5】利用平行线分线段成比例推论求值证明 【例题5】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，若，则下面所列比例式中正确的是（）    A． B． C． D． 【题型6】构造平行线分线段成比例进行求值 【例题6】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值；(2)求的长． 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，，直线、与、、分别相交于点、、和点、、，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为 ． 【知识点六】相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【题型7】利用相似多边形性质求值与证明 【例题8】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，在等边中，图中所有三角形均为等边三角形，其中最小的三角形面积为，的面积为，则四边形的面积是 ． 【知识点七】相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似． (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． (3) 三边对应成比例的两个三角形相似． (4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 【题型8】相似三角形的判定 【例题9】（25-26九年级上·江西抚州·月考）如图，在中，点是的边上的一点． 小星：若，则可证： 小红：若，则可证 小亮：若．则可证 (1)请判断三人的对错：小星___________，小红___________，小亮___________．（均选填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【变式4】（25-26九年级上·四川成都·月考）将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形 ．（填写一个即可） 【变式5】（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，为线段上一点，，，判断与是否相似，并说明理由． 【题型9】相似三角形的判定综合 【例题10】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在的、边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，现有下列三种尺规作图确定E、F的方案，则正确的方案为（   ）    A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有乙、丙对 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是 ． 【知识点八】相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 【题型10】利用相似三角形的性质求值证明 【例题10】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在和中，是边上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【变式1】（23-24九年级上·上海·月考）如图，已知点，，求： (1)直线的解析式； (2)过点的直线（与x轴不重合）截且与的另一边相交于点P，若截得的小三角形与相似，试求点P的坐标． 【变式2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）已知在四边形中，，是对角线上一点，且． (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的长． 【题型11】利用相似三角形的性质与判定综合求值证明 【例题11】（25-26九年级上·全国·期末）如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)，，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，对角线与相交于点，且． (1)求证：． (2)若，求的值． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【知识点九】用相似三角形解决问题 测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子. 【题型12】相似三角形的应用 【例题12】（25-26九年级上·四川达州·期末）达州市标志性建筑——凤凰楼，由凤凰主楼，文化广场，仿古六角楼和艺术回廊构成，总占地面积9750平方米．某校九年级某班数学兴趣小组为了测量凤凰主楼的高度，进行了实地测量：如图2，首先把长为1米的标杆垂直立于地面上的点处，当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米；再将标杆沿方向平移38米至点处（即米，米），当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米，已知，，，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你帮助该兴趣小组求出凤凰楼的高度． 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米．以所在的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点M的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 步 【知识点十】位似图形 1．位似图形的定义： 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比 ２．位似图形性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． E21.位似图形的画法： （1）确定位似中心； （2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； （3）描出新图形. 【题型 13】位似图形 【例题13】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为 ． 【变式1】（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，与关于点B位似，其中，，则与的面积之比是 ． 三.易错点小结与解题方法反思 （一）易错点小结： 1.比例线段相关易错： （1）混淆成比例线段的顺序，忽略 “四条线段成比例” 的定义中 “对应关系”，如误将“a:b=c:d” 写成 “a:c=b:d” 导致计算错误； （2）运用等比性质时，未验证分母之和不为0的前提条件，直接代入计算； （3）黄金分割问题中，误将 “较长线段与整条线段的比为黄金比” 混淆为 “较短线段与较长线段的比”，或忽略黄金分割点有两个的情况。 2.平行线分线段成比例易错： （1）应用平行线分线段成比例定理时，找错对应线段，尤其是多条平行线截两条直线时，混淆线段的 “部分与整体” 关系； （2）忽略推论的适用条件，将“平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线）” 误用于非三角形图形，或延长线方向判断错误导致比例式列错。 3.相似多边形与三角形易错： （1）判定相似多边形时，仅关注对应边成比例，忽略对应角相等的条件； （2）相似三角形判定中，误用 “两边成比例”，未验证夹角相等，或错将 “非夹角” 当作夹角； （3）混淆相似三角形的性质，将 “面积比等于相似比的平方” 误记为 “面积比等于相似比”，或在计算对应高、中线、角平分线时未按相似比求解； （4）直角三角形相似判定中，遗漏 “斜边与一条直角边对应成比例” 的特殊判定方法，或误将直角边与斜边对应成比例当作判定依据。 4.位似图形易错： （1）忽略位似图形的 “对应顶点连线经过位似中心” 这一核心条件，误将普通相似图形当作位似图形； （2）以原点为位似中心时，忘记对应点坐标的比有 “k” 和 “-k” 两种情况，只考虑同向位似，遗漏反向位似的坐标求解； （3）混淆 “位似比” 与 “相似比”，忽略位似比是 “对应点到位似中心距离之比”，与相似比本质一致，但应用于坐标计算时需注意符号。 5.实际应用易错： （1）利用相似三角形测量物体高度时，未确保 “对应角相等” 的前提（如忽略光线平行、标杆与地面垂直等条件），导致模型建立错误； （2）未统一单位就代入比例式计算，或在复杂图形中找错相似三角形的对应边。 （二）解题方法反思： 1.比例线段问题： （1）处理成比例线段时，先明确线段的对应关系，可通过标注字母顺序强化记忆； （2）运用比例性质）时，先验证适用条件，复杂比例可设 “k 值法”（设 a:b:c=k，用 k 表示各线段）简化计算； （3）黄金分割问题中，牢记 “较长线段 = 整条线段×≈0.618”，并结合图形判断黄金分割点的位置（靠近线段一端或另一端）。 2.平行线与比例线段问题： （1）遇到平行线截线段的问题，先在图形中标记平行线和截线，用 “箭头” 标注对应线段，明确 “上：下 = 上：下”“上：全 = 上：全” 等比例关系； （2）需构造平行线时，优先过线段端点或分点作平行线，利用 “作辅助线→得平行→列比例” 的思路突破，避免盲目作线。 3.相似图形判定与性质问题： （1）判定相似三角形时，优先观察角的关系（两角对应相等最易判定），若有边的比例关系，务必验证夹角是否相等； （2）牢记 “相似三角形性质口诀”：对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比是平方；对应高、中、角分线，比例同样等于相似比； （3）处理相似多边形问题时，先确定对应顶点（可通过图形旋转、平移方向判断），再分别验证对应角相等和对应边成比例。 4.位似图形问题： （1）判定位似图形时，先连接对应顶点，观察连线是否交于同一点（位似中心），再验证相似比是否一致； （2）计算位似图形坐标时，若位似中心为原点，直接将原坐标乘以位似比 k（同向）或 - k（反向）；若位似中心为非原点，通过 “作垂线→找比例→算坐标” 的步骤求解。 5.实际应用问题： （1）建立相似模型时，先明确 “被测物体” 与 “参考物” 的对应关系（如高度对应高度、影长对应影长），确保模型中各直角、平行关系成立； （2）解题时先统一单位，再根据相似性质列比例式，计算后检验结果是否符合实际场景（如高度为正数、长度合理）。 （三）改进方向： 1.夯实基础，强化概念辨析： （1）整理 “比例性质”“相似判定条件”“位似定义” 等核心概念的易错点对比表，标注关键词（如 “夹角”“对应”“位似中心”），定期复习； （2）针对易混淆的知识点（如黄金分割的两个比例、相似与位似的区别），通过 “一题多解”“反向错题”（故意做错再纠正）加深理解。 2.规范解题步骤，养成画图习惯： （1）所有几何题均先画出规范图形，标注已知条件、线段长度、角度，用不同颜色标记对应边、对应角，减少因图形模糊导致的错误； （2）解题时按 “已知→依据（定理 / 性质）→推导→结论” 的步骤书写，尤其是比例式和相似判定，必须注明依据。 3.针对性刷题，总结题型规律： （1）分类练习高频题型（如比例线段求值、相似三角形判定综合、位似坐标计算、实际测量问题），每类题型至少练习 5-8 题，总结解题模板； （2）建立 “错题本”，标注错题类型（如 “比例性质误用”“相似对应边找错”），定期复盘，重点攻克重复出错的知识点。 4.提升综合应用能力： （1）练习多知识点融合题（如 “平行线 + 相似三角形 + 勾股定理”），培养 “从复杂图形中分离基本模型” 的能力（如将梯形转化为三角形 + 平行四边形）； （2）拓展实际应用场景，尝试用相似知识解决生活中更多问题（如测量建筑物高度、计算河流宽度），强化 “数学建模” 思维。 5重视检验环节： （1）解题后通过 “逆向验证” 检验结果（如将求得的线段长度代入比例式，验证是否成立）； （2）对于数值计算，关注结果的合理性（如相似比为正数、面积不会大于原图形面积），及时发现计算错误。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 6.1 图形的相似（全章知识梳理+题型精析+小结反思） 目录 一．全章知识梳理与题型分类精析 2 【知识点一】比例线段 2 【题型1】成比例线段 2 【知识点二】比例线段的性质 4 【题型2】利用比例线段的性质求值 4 【知识点三】黄金分割 6 【题型3】利用黄金分割求值证明 6 【知识点四】平行线分线段成比例定理 8 【题型4】由平行线判断成比例线段 8 【知识点五】平行线分线段成比例推论 10 【题型5】利用平行线分线段成比例推论求值证明 10 【题型6】构造平行线分线段成比例进行求值 13 【知识点六】相似多边形的性质 15 【题型7】利用相似多边形性质求值与证明 15 【知识点七】相似三角形的判定 18 【题型8】相似三角形的判定 18 【题型9】相似三角形的判定综合 22 【知识点八】相似三角形的性质 26 【题型10】利用相似三角形的性质求值证明 26 【题型11】利用相似三角形的性质与判定综合求值证明 30 【知识点九】用相似三角形解决问题 34 【题型12】相似三角形的应用 34 【知识点十】位似图形 36 【题型 13】位似图形 37 三.易错点小结与解题方法反思 39 （一）易错点小结： 39 （二）解题方法反思： 40 （三）改进方向： 41 一．全章知识梳理与题型分类精析 【知识点一】比例线段 在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．特别的，如果与的比等于与的比，即，则线段叫做线段、的比例中项． 【题型1】成比例线段 【例题1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知线段a，b，满足． (1)求的值； (2)当线段x是a，b的比例中项且时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例线段， 对于（1），由，再代入计算即可； 对于（2），先求出b，再根据比例中项求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵线段x是a，b的比例中项， ∴， ∴（舍负）． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期中），，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，解题的关键是根据“成比例线段的比例关系”列方程求解． 根据成比例线段的定义得，代入已知长度列方程，解出的值． 【详解】解：成比例线段的定义是：若成比例，则（或）． 已知，，，代入比例关系： 故选C 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·月考）在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段和解一元二次方程，设出未知数，根据题意列方程是解题的关键． 设，则 ，根据比例关系列出方程，解一元二次方程，并根据舍去不合题意的根，即可得解． 【详解】解：设，则 ， 由得， 即， 两边乘以得， 展开得， 整理得， 解方程得， 由于，即，而（不合题意），故取， 所以． 故答案为： 【知识点二】比例线段的性质 (1)．基本性质：； (2)．合比性质：⇔＝； (3)．等比性质：； 【题型2】利用比例线段的性质求值 【例题2】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a的值． 【答案】(1)6 (2)9 【分析】此题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键． （1）设，则，代入即可求出的值； （2）根据，，得出，求出k的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴，， ． （2）解：，， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·河北张家口·月考）已知，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例．熟练掌握比例性质，是解题的关键．由已知比例关系，可设，代入各选项逐一验证即得． 【详解】解：∵， ∴设． A：将代入A选项验证： 左边，右边， 左边右边，故A选项结论正确． B：，， ∴，故B选项结论正确． C：， 故C选项结论正确． D：当时，，则， 故D选项结论不正确． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的性质，根据比例关系，设参数表示变量，代入所求表达式计算． 【详解】解：由， 设，（）， 则． 故答案为：． 【知识点三】黄金分割 点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割．其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比． 【题型3】利用黄金分割求值证明 【例题3】（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ， 因为， 所以 故答案为： 【变式1】（2025·安徽亳州·一模）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义结合，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点把线段分成，两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点，的值为黄金分割数．在顶角为的等腰三角形中，底与腰的比值为黄金分割数，所以我们常称这类三角形为“黄金三角形”．如图②，，，均为“黄金三角形”，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，先求出k，再根据“黄金三角形”的定义先求出，再求出即可． 【详解】解：如图①，设，则， ， ，， ， 整理得， ，即， 解得：（负值舍去）， ∵为“黄金三角形”， ，即， ， 为“黄金三角形”， ，即， ， 故答案为：． 【知识点四】平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．即如图所示， 若l3∥l4∥l5，则，. 【题型4】由平行线判断成比例线段 【例题4】（25-26九年级上·上海普陀·月考）如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线分线段成比例逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，若，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴错误的是选项D； 故选D． 【变式2】（25-26九年级上·河北石家庄·月考）在横格本上，嘉嘉画了两条相交线m，n，并标注相关交点的字母如图所示，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握两条直线被一组平行线所截、所得的对应线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由平行线间对应线段的部分与整体的比例相等，即成立，不符合题意； B．由平行线间对应线段成比例，即成立，不符合题意； C．由平行线间整体与整体、部分与部分的比例相等，即成立，不符合题意； D．由平行线分线段成比例可得，即不成立，符合题意． 故选D． 【知识点五】平行线分线段成比例推论 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 即如图所示，若∥，则，. 【题型5】利用平行线分线段成比例推论求值证明 【例题5】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·上海·月考）如图，已知，那么下列比例式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定等知识，得到四边形BDEF是平行四边形是解题的关键． 由，则四边形是平行四边形，得到，则，可判断A，可判断C，根据得到，即可判断B和D． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， ， 即，， 故A不符合题意； 若，，与已知条件不符， 故不成立，C符合题意； B、， ，， 故B、D选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，若，则下面所列比例式中正确的是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例知识点，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理，分别对各选项进行分析判断． 【详解】A、因为，由平行线分线段成比例定理可得，而，所以该选项错误． B、由于，则四边形是平行四边形，所以． 因为，根据平行线分线段成比例定理可得，又因为，所以，该选项正确． C、因为，可得，又因为，所以，该选项错误． D、因为，则，而，所以，该选项错误． 故选：B． 【题型6】构造平行线分线段成比例进行求值 【例题6】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 【变式1】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，，直线、与、、分别相交于点、、和点、、，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键． 直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【知识点六】相似多边形的性质 （1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例. （2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【题型7】利用相似多边形性质求值与证明 【例题8】（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形性质，是解题的关键．相似多边形对应角相等，对应边成比例． （1）根据相似多边形对应角相等解答； （2）根据相似多边形对应边成比例解答． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为： （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可． 【详解】解：在矩形中，设， 则，， 由翻折得， 四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， ， ， 矩形矩形， ，即， 解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， ． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·月考）如图，在等边中，图中所有三角形均为等边三角形，其中最小的三角形面积为，的面积为，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质，由题意得，即得，设，则，可得，得到，即得到，进而即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，， ∴， 设，则， ∵最小的三角形面积为， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 【知识点七】相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似． (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． (3) 三边对应成比例的两个三角形相似． (4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似． 【题型8】相似三角形的判定 【例题9】（25-26九年级上·江西抚州·月考）如图，在中，点是的边上的一点． 小星：若，则可证： 小红：若，则可证 小亮：若．则可证 (1)请判断三人的对错：小星___________，小红___________，小亮___________．（均选填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)对，对，错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错； （2）证明：选择小星的证明： ∵，， ∴， 选择小红的证明： ∵，， ∴． 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 【变式3】（25-26九年级上·四川成都·月考）将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形 ．（填写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 【变式4】（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，为线段上一点，，，判断与是否相似，并说明理由． 【答案】相似，见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，勾股定理解三角形，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 根据勾股定理得出，再由相似三角形的判定证明即可． 【详解】解：相似，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型9】相似三角形的判定综合 【例题10】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在的、边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，现有下列三种尺规作图确定E、F的方案，则正确的方案为（   ）    A．甲、乙、丙都对 B．只有甲、乙对 C．只有甲、丙对 D．只有乙、丙对 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，圆内接四边形性质，相似三角形的判定等知识，综合性强﹒甲：由尺规作图可得四边形是圆内接四边形，证明，结合，即可证明；乙：由尺规作图可得，结合，即可证明；丙：由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线，证明，得到，即可证明﹒ 【详解】解：甲：由尺规作图可得四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 乙：由尺规作图可得， 又∵， ∴； 丙：由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 即甲、乙、丙都对 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是 ． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 【知识点八】相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 【题型10】利用相似三角形的性质求值证明 【例题10】（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在和中，是边上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据得出，进而根据两边成比例夹角相等，证明即可； （2）根据（1）的结论，得出，代入已知条件即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得 ． 【变式1】（23-24九年级上·上海·月考）如图，已知点，，求： (1)直线的解析式； (2)过点的直线（与x轴不重合）截且与的另一边相交于点P，若截得的小三角形与相似，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元二次方程，相似三角形的性质及勾股定理． （1）利用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）分点在上和上两种情况，利用相似三角形的对应边的比相等，从而求得的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：． 则直线的解析式是：； （2）解：∵，，． ∴，，，， 当在上时，如图， 当时， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴（舍去）； 当在上时，当时，如图， ∴， ∴， 解得：， 设， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 当时， ∴， ∴， ∵， ∴的横坐标为， ∵在上，当时，， ∴， 综上所述，或或． 【变式2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）已知在四边形中，，是对角线上一点，且． (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定． （1）根据已知可得，根据平行线的性质可得，即可得证； （2）根据线段中点的性质可得，根据相似三角形的性质可得，代入数据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴； （2）解：∵是的中点， ， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得; 【题型11】利用相似三角形的性质与判定综合求值证明 【例题11】（25-26九年级上·全国·期末）如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，弦，垂足为． (1)求证：； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用垂径定理得到，即，结合等量代换和弧、弦、圆心角的关系，得到，根据得到，即可证明； （2）连接，交于点，得到，证明，利用相似三角形性质求出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ，且为的直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接，交于点， D是的中点， ， 为的直径， ，即， ， ， 弦， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，对角线与相交于点，且． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）证明，即可得证； （2）由（1）的结论，求出的长，证明，列出比例式，结合面积比与相似比的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ． ， ， ， ； （2）解：由（1）得，且，解得， ． ， . ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，对角线与相交于点O，，过点B作交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证，得是菱形，再由菱形的性质得，可得，再由，可得，从而得出，然后证即可； （2）由勾股定理得，由，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是菱形， ，， ， ， ， ，即， 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 【知识点九】用相似三角形解决问题 测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子. 【题型12】相似三角形的应用 【例题12】（25-26九年级上·四川达州·期末）达州市标志性建筑——凤凰楼，由凤凰主楼，文化广场，仿古六角楼和艺术回廊构成，总占地面积9750平方米．某校九年级某班数学兴趣小组为了测量凤凰主楼的高度，进行了实地测量：如图2，首先把长为1米的标杆垂直立于地面上的点处，当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米；再将标杆沿方向平移38米至点处（即米，米），当凤凰主楼顶端、标杆顶端与地面上的点在同一直线上时，测得米，已知，，，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你帮助该兴趣小组求出凤凰楼的高度． 【答案】米 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意可得，，再利用相似三角形性质列式即可求出本题答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵米，米， ∴，即： ， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴，即， ∴米． 【变式1】（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米．以所在的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点M的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得米，米，米，，，则，由相似三角形的性质代入数据计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，米，米，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点A的坐标为， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门一十五步有木，问出南门几何步见木？”其大意如下：如图，、分别是正方形边和的中点，正方形的边长为步，出东门继续往东走步有一树木点，问出南门继续往南走多少步恰好能看到位于点处的树木即点在直线上？则根据以上信息，算出的长是 步 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，步，步，步， ∴， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【知识点十】位似图形 1．位似图形的定义： 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ２．位似图形性质： 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． E21.位似图形的画法： （1）确定位似中心； （2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点； （3）描出新图形. 【题型 13】位似图形 【例题13】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可． 【详解】解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或． 故答案为：或． 【变式1】（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形中位似中心的确定，“位似图形对应点的连线经过位似中心” ，据此即可求解． 【详解】解：如图，作直线交直线于点， ∴点的坐标为，与是位似图形， ∴位似中心的坐标为． 故选：C 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，与关于点B位似，其中，，则与的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点之间的距离、位似三角形的性质，熟练掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据两点之间的距离，得出和的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与关于点B位似，且相似比为， ∴与的面积之比是， 故答案为． 三.易错点小结与解题方法反思 （一）易错点小结： 1.比例线段相关易错： （1）混淆成比例线段的顺序，忽略 “四条线段成比例” 的定义中 “对应关系”，如误将“a:b=c:d” 写成 “a:c=b:d” 导致计算错误； （2）运用等比性质时，未验证分母之和不为0的前提条件，直接代入计算； （3）黄金分割问题中，误将 “较长线段与整条线段的比为黄金比” 混淆为 “较短线段与较长线段的比”，或忽略黄金分割点有两个的情况。 2.平行线分线段成比例易错： （1）应用平行线分线段成比例定理时，找错对应线段，尤其是多条平行线截两条直线时，混淆线段的 “部分与整体” 关系； （2）忽略推论的适用条件，将“平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线）” 误用于非三角形图形，或延长线方向判断错误导致比例式列错。 3.相似多边形与三角形易错： （1）判定相似多边形时，仅关注对应边成比例，忽略对应角相等的条件； （2）相似三角形判定中，误用 “两边成比例”，未验证夹角相等，或错将 “非夹角” 当作夹角； （3）混淆相似三角形的性质，将 “面积比等于相似比的平方” 误记为 “面积比等于相似比”，或在计算对应高、中线、角平分线时未按相似比求解； （4）直角三角形相似判定中，遗漏 “斜边与一条直角边对应成比例” 的特殊判定方法，或误将直角边与斜边对应成比例当作判定依据。 3.位似图形易错： （1）忽略位似图形的 “对应顶点连线经过位似中心” 这一核心条件，误将普通相似图形当作位似图形； （2）以原点为位似中心时，忘记对应点坐标的比有 “k” 和 “-k” 两种情况，只考虑同向位似，遗漏反向位似的坐标求解； （3）混淆 “位似比” 与 “相似比”，忽略位似比是 “对应点到位似中心距离之比”，与相似比本质一致，但应用于坐标计算时需注意符号。 4.实际应用易错： （1）利用相似三角形测量物体高度时，未确保 “对应角相等” 的前提（如忽略光线平行、标杆与地面垂直等条件），导致模型建立错误； （2）未统一单位就代入比例式计算，或在复杂图形中找错相似三角形的对应边。 （二）解题方法反思： 1.比例线段问题： （1）处理成比例线段时，先明确线段的对应关系，可通过标注字母顺序强化记忆； （2）运用比例性质）时，先验证适用条件，复杂比例可设 “k 值法”（设 a:b:c=k，用 k 表示各线段）简化计算； （3）黄金分割问题中，牢记 “较长线段 = 整条线段×≈0.618”，并结合图形判断黄金分割点的位置（靠近线段一端或另一端）。 2.平行线与比例线段问题： （1）遇到平行线截线段的问题，先在图形中标记平行线和截线，用 “箭头” 标注对应线段，明确 “上：下 = 上：下”“上：全 = 上：全” 等比例关系； （2）需构造平行线时，优先过线段端点或分点作平行线，利用 “作辅助线→得平行→列比例” 的思路突破，避免盲目作线。 3.相似图形判定与性质问题： （1）判定相似三角形时，优先观察角的关系（两角对应相等最易判定），若有边的比例关系，务必验证夹角是否相等； （2）牢记 “相似三角形性质口诀”：对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比是平方；对应高、中、角分线，比例同样等于相似比； （3）处理相似多边形问题时，先确定对应顶点（可通过图形旋转、平移方向判断），再分别验证对应角相等和对应边成比例。 4.位似图形问题： （1）判定位似图形时，先连接对应顶点，观察连线是否交于同一点（位似中心），再验证相似比是否一致； （2）计算位似图形坐标时，若位似中心为原点，直接将原坐标乘以位似比 k（同向）或 - k（反向）；若位似中心为非原点，通过 “作垂线→找比例→算坐标” 的步骤求解。 5.实际应用问题： （1）建立相似模型时，先明确 “被测物体” 与 “参考物” 的对应关系（如高度对应高度、影长对应影长），确保模型中各直角、平行关系成立； （2）解题时先统一单位，再根据相似性质列比例式，计算后检验结果是否符合实际场景（如高度为正数、长度合理）。 （三）改进方向： 1.夯实基础，强化概念辨析： （1）整理 “比例性质”“相似判定条件”“位似定义” 等核心概念的易错点对比表，标注关键词（如 “夹角”“对应”“位似中心”），定期复习； （2）针对易混淆的知识点（如黄金分割的两个比例、相似与位似的区别），通过 “一题多解”“反向错题”（故意做错再纠正）加深理解。 2.规范解题步骤，养成画图习惯： （1）所有几何题均先画出规范图形，标注已知条件、线段长度、角度，用不同颜色标记对应边、对应角，减少因图形模糊导致的错误； （2）解题时按 “已知→依据（定理 / 性质）→推导→结论” 的步骤书写，尤其是比例式和相似判定，必须注明依据。 3.针对性刷题，总结题型规律： （1）分类练习高频题型（如比例线段求值、相似三角形判定综合、位似坐标计算、实际测量问题），每类题型至少练习 5-8 题，总结解题模板； （2）建立 “错题本”，标注错题类型（如 “比例性质误用”“相似对应边找错”），定期复盘，重点攻克重复出错的知识点。 4.提升综合应用能力： （1）练习多知识点融合题（如 “平行线 + 相似三角形 + 勾股定理”），培养 “从复杂图形中分离基本模型” 的能力（如将梯形转化为三角形 + 平行四边形）； （2）拓展实际应用场景，尝试用相似知识解决生活中更多问题（如测量建筑物高度、计算河流宽度），强化 “数学建模” 思维。 5重视检验环节： （1）解题后通过 “逆向验证” 检验结果（如将求得的线段长度代入比例式，验证是否成立）； （2）对于数值计算，关注结果的合理性（如相似比为正数、面积不会大于原图形面积），及时发现计算错误。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $