2025-2026学年第二学期苏科版数学九年级第六章图形的相似单元试卷

**基本信息** 本卷为八年级数学相似三角形单元复习卷，含原创题与真实情境题，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度，考查相似三角形判定与性质、比例线段等核心知识，适配单元复习需求，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|相似三角形判定（第2题）、重心性质（第5题原创）|结合图形辨析，考查空间观念| |填空题|8/24|比例中项（第9题）、黄金分割（第10题）|基础概念与计算，强化抽象能力| |解答题|11/82|相似应用（第24题路灯影子）、动点探究（第26题原创）|分层设计，从证明（22题）到综合探究（27题），体现推理能力与模型意识|

2025-2026学年第二学期八年级数学单元测试 姓名 学号 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．下列各组图形一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 3．如图，在△中，点，分别在边，上，添加一个条件仍不能判定△与△相似的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点，分别在△的边，上，△△，，分别是，的中点，若，则（　　） A． B． C． D． （原创）5．如图，△中，是三角形的重心，，，，则的长是（　　） A． B．5 C． D．7 6．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，正方形与△中，分别与、相交于点、点，若△的面积为6，正方形的面积为16，则与的长度比值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，是△的中线，点在上，延长交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．已知线段，，线段是、的比例中项，那么等于　　． 10．如图，已知线段的长为2，点是的黄金分割点，则　　 ． 11．如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是　　 ． 12．在阳光下，高为的旗杆在地面上的影长为，在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为，则这座建筑物的高度为 　　． 13．在△中，，于，，，则　　． （原创）14．如图，、分别是△的边、上的点，且，、相交于点，若，则　　 ． 15．如图，在中，点是边上的一点，，，，则边的长为 　　． 16．如图，在四边形中，点在边上，若，，且．记的面积为，的面积为，的面积为，则　　． 三．解答题（共11小题，满分82分） 17．（本题满分8分）求值：（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 18．（本题满分6分）如图，已知，，，，，求的长． 19．（本题满分6分）如图，在中，，，，，求的长． 20．（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的△，请写出点的对应点的坐标； （2）画出将向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的△，写出点的对应点的坐标； （3）请在图中标出△与△的位似中心，并写出点的坐标． 21．（本题满分6分）如图，中，，分别是，上的点，且，，分别是，的中点．若，，，求的长． （原创）22．（本题满分8分）如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点、分别在、上，已知，． （1）求证：； （2）求这个正方形的边长与周长． 23．（本题满分8分）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 24．（本题满分7分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置并画出小亮在灯光下形成的影子； （2）如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高． 25．（本题满分7分）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米，求旗杆的高． （原创）26．（本题满分10分）如图，在△中，，，点是边上的一个动点，点在上，点在运动过程中始终保持，设的长为． （1）求证：△△； （2）求为何值时，最大？ （3）直接写出为何值时，△为等腰三角形？ 27．（本题满分10分）已知正方形，是对角线上一点． （1）如图1，连接，．求证：△△； （2）如图2，是延长线上一点，交于点，．判断△的形状并说明理由； （3）在第（2）题的条件下，．求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 3 比例性质 0.99 2 单选题 3 相似多边形的性质 0.8 3 单选题 3 相似三角形判定 0.7 4 单选题 3 相似三角形的性质 0.7 5 单选题 3 三角形重心的性质及其应用问题 0.7 6 单选题 3 平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质 0.6 7 单选题 3 相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质 0.6 8 单选题 3 平行线分线段成比例定理 0.5 9 填空题 3 比例中项的概念．注意线段不能是负数 0.9 10 填空题 3 黄金分割的定义 0.7 11 填空题 3 相似三角形的性质 0.6 12 填空题 3 相似三角形的应用 0.6 13 填空题 3 射影定理 0.7 14 填空题 3 相似三角形的判定和性质 0.7 15 填空题 3 相似三角形的判定和性质 0.6 16 填空题 3 相似三角形的判定与性质 0.4 17 解答题 8 代数式的值和比例的性质 0.8 18 解答题 6 平行线分线段成比例 0.7 19 解答题 6 相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及平行线分线段成比例 0.7 20 解答题 6 位似变换，平移变换 0.7 21 解答题 6 相似三角形的判定与性质 0.7 22 解答题 8 相似三角形的判定与性质，正方形、矩形的性质的综合应用 0.65 23 解答题 8 三角形相似的判定和性质 0.7 24 解答题 7 应用与设计作图，中心投影 0.7 25 解答题 7 相似三角形的判定与性质 0.65 26 解答题 10 相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质 0.5 27 解答题 10 正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识 0.4 Sheet2 Sheet3 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学单元测试参考答案与试题解析 一.选择题 (共8小题) 1．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质即可求得答案. 【解答】解: 2x=3y, 故选: C . 2.下列各组图形一定相似的是 ( ) A.两个直角三角形 B.两个菱形 C.两个矩形 D.两个等边三角形 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形. 【解答】解：Q等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又Q直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选: D . 3．如图，在△中，点，分别在边，上，添加一个条件仍不能判定△与△相似的是（　　） A． B． C． D．     【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法逐一判断即可. 【解答】解: ∠A=∠A, ．，有两个角对应相等，能使△与△相似， 故该选项不符合题意； ．由得，有两个角对应相等，能使△与△相似， 故该选项不符合题意； ．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使△与△相似， 故该选项不符合题意； ．，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使△与△相似， 故该选项符合题意． 故选：． 4．如图，点，分别在△的边，上，△△，，分别是，的中点，若，则（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：，分别是，的中点， 、分别为△、△的中线， △△， ， ， 故选：． 5．如图，△中，是三角形的重心，，，，则的长是（　　） A． B．5 C． D．7 【分析】延长交于点，证明；证明，求出，即可解决问题． 【解答】解：如图，延长交于点； 点是△的重心， ； ， ， ． 由勾股定理得： ，而，， ， ． 故选：． 6．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，于是推出△△，△△，先求出的比值，继而得出的比值，再根据相似三角形对应边成比例即可求出的长． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，，， △△， ， ，， ， 即， ， ， △△， ， ，， ， ， ， 故选：． 7．如图，正方形与△中，分别与、相交于点、点，若△的面积为6，正方形的面积为16，则与的长度比为何（　　） A． B． C． D． 【分析】由正方形的性质可求，，由面积的和差关系可求，即可求，，由相似三角形的判定和性质可求解． 【解答】解：如图，过点作于，交于， ， ， 四边形是矩形， ， 正方形的面积为16， ，， △的面积为6， ， ， ， ， △△， ， 故选：． 8．如图，是△的中线，点在上，延长交于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【分析】过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，计算即可． 【解答】解：过点作交于， 则， 是△的中线， ， ， ， ， ， 故选：． 二．填空题（共8小题） 9．已知线段，，线段是、的比例中项，那么等于　　． 【分析】根据线段比例中项的概念，，可得，从而得出的值． 【解答】解：线段是、的比例中项， ， 解得， 又线段是正数， ； 故答案为：． 10.如图,已知线段AB的长为2,点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则. 【分析】由黄金分割点的定义，知AC是较长线段，再由黄金分割的公式 计算即可. 【解答】解：Q线段AB=2，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)， 故答案为： 11.如果两个相似三角形的面积之比为16：9，那么它们的周长之比是4：3. 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的周长的比等于相似比求出周长之比. 【解答】解：Q两个相似三角形的面积之比为16：9， ∴它们的相似比为4：3， ∴它们的周长之比为4：3， 故答案为：4：3. 12.在阳光下，高为6m的旗杆在地面上的影长为4m，在同一时刻，测得附近一座建筑物的影长为20m，则这座建筑物的高度为30 m. 【分析】设建筑物高度为 xm，然后根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解. 【解答】解：设建筑物高度为 xm， 由题意得， 解得x=30, 答：这座建筑物的高度为30m. 故答案为：30. 13.在△ABC中, ∠ACB=90, CD⊥AB于D, AC=2, BD=3,则AD= 1 . 【分析】根据射影定理即可得到结论． 【解答】解：，于， ， ，， ， （负值舍去）， 故答案为：1． 14．如图，、分别是△的边、上的点，且，、相交于点，若，则 ． 【分析】根据题意得到，再判定△△，即可求解． 【解答】解：设点到的高为， ，， ， ， ，， △△， ， 故答案为：． 15．如图，在中，点是边上的一点，，，，则边的长为 　4　． 【分析】通过证明，可得，即可求的长． 【解答】解：，， ， ，， ， ， ， 故答案为：4． 16．如图，在四边形中，点在边上，若，，且．记的面积为，的面积为，的面积为，则　　． 【分析】过点作，过点作于点，交于点，如图，则，先证明得到，即，再根据平行线分线段成比例定理，由得到，根据三角形的面积公式得到，即，然后利用分式的化简计算求解． 【解答】解：过点作，过点作于点，交于点，如图，则， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 三．解答题（共11小题） 17．求值： （1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【分析】（1）设，，代入即可求出答案； （2）设，根据比例的性质得出，，，代入得出，求出，求出、、，再代入求出即可． 【解答】解：（1）设，， 则； （2）设， 则，，， ， ， 解得：， ，，， ． 18．如图，已知，，，，，求的长． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可刚刚结论． 【解答】解：，， ， ，， ，， ， ， ． 19．如图，在中，，，，，求的长． 【分析】由，利用平行线的性质及平行线分线段成比例，可得出和，结合，可证出，再利用相似三角形的性质可求出的长． 【解答】解：， ，． 又， ， ，即， ． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的△，请写出点的对应点的坐标； （2）画出将向左平移1个单位，再向上平移2个单位后得到的△，写出点的对应点的坐标； （3）请在图中标出△与△的位似中心，并写出点的坐标． 【分析】（1）根据位似图形的性质，即可画出△； （2）根据平移的性质，即可画出△； （3）根据位似图形的性质，可得点的坐标． 【解答】解：（1）如图△即为所求作的三角形， 点的坐标； （2）如图，△即为所求作的三角形， 点的坐标； （3）点即为所求作．． 21．如图，中，，分别是，上的点，且，，分别是，的中点．若，，，求的长． 【分析】首先根据相似三角形的判定得出，进而得出，即可得出答案． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ． 故的长为：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出是解题关键． 22．如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点、分别在、上，已知，． （1）求证：； （2）求这个正方形的边长与周长． 【分析】（1）根据四边形是正方形，得到，进而得出，，即可判定； （2）设正方形的边长为，则，，根据，得出，即，进而解得，即可得出正方形的边长与周长． 【解答】解：（1）四边形是正方形， ， ，， ； （2）如图，设与交于点， ， 四边形是矩形， ， 设正方形的边长为，则，， ， ，即， 解得， 正方形的边长为，周长为． 23．如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且． （1）求证：； （2）若，求的值． 【分析】（1）根据题意可得，，根据内角和定理，可知，且，所以； （2）由第（1）中，可得，，根据题目条件，可知与数量关系，即求出答案． 【解答】解：（1）证明：，， ， ， ； （2）由（1）可知， ， ， ， ， ， ． 24．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡所在的位置并画出小亮在灯光下形成的影子； （2）如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高． 【分析】（1）连接延长交于，点即为所求．连接，延长交于．线段即为所求． （2）根据，可得，即可推出． 【解答】（1）解：如图，点为灯泡所在的位置， 线段为小亮在灯光下形成的影子． （2）解：由已知可得，， ， ． 灯泡的高为． 25．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米，求旗杆的高． 【分析】先证明△△，列比例式可得的长，再证明△△，可得的长，最后由线段的差可得结论． 【解答】解：， ， ， △△， ， 米，米，米， ， 米， 同理得△△， ，即， 米， （米， 旗杆的高是3米． 26．如图，在△中，，，点是边上的一个动点，点在上，点在运动过程中始终保持，设的长为． （1）求证：△△； （2）求为何值时，最大？ （3）直接写出为何值时，△为等腰三角形？ 【分析】（1）根据等边对等角，可以证得，然后根据三角形的外角的性质，证得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得； （2）根据相似三角形的对应边的比相等，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】（1）证明：如图， ，， ． 又， ， △△； （2）解：△△， ，即， ， ， 有最大值， 当时，有最大值； （3）解：当或时，△为等腰三角形．理由如下： ①当时， ，， 在△和△中， ， △△， ，即， 解得． ②当时，． △△． ，即． 解得． ③当时，点与点重合，点与点重合，此时． 或当时，， ， 情况不成立． 综上所述，当或时，△为等腰三角形． 27．已知正方形，是对角线上一点． （1）如图1，连接，．求证：△△； （2）如图2，是延长线上一点，交于点，．判断△的形状并说明理由； （3）在第（2）题的条件下，．求的值． 【分析】（1）由正方形的性质得，，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明△△； （2）由△△，得，可推导出，因为，所以，则，而，则，所以，即可证明△是等腰三角形； （3）由，，得，则，可证明，进而证明，则，由勾股定理得，而，所以，由全等三角形的性质得，再证明△△，则，所以． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 在△和△中， ， △△． （2）解：△是等腰三角形，理由如下： △△， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △是等腰三角形． （3）解：，， ， ∴∠BAC =∠F , ∴∠AEG=∠AGF-∠BAC=∠AGF-∠F=∠FBG, ∠AGE=∠FGB,且∠FGB=∠FBG , ∴∠AGE =∠AEG , ∴AE=AG , ∴GE=EF-GF=2√2-2, △ABE≅△ADE , ∴BE=DE=2, AG∥CD , ∴△AGE∽△CDE , 的值为 学科网（北京）股份有限公司 $