10.2 平行线的判定-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（沪科版·新教材 安徽专版）

10.2平行线的判定 第1课时平行线的概念及三线八角 y 要固梳理 1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 2.平行线的基本事实及性质定理： (1)基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， (2)性质定理：如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.即如果直线a∥c,b∥c,那么直线 a地 3.同位角、内错角、同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中， (1)若两个角分别在两直线相同的一侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的一对角叫作同位角. (2)若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样的一对角叫作内错角 (3)若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的一对角叫作同旁内角 已课内基础闯关 (2)(1)中所作的直线b,c的位置关系是 知识点① 平行线的概念 1.下列图形中，AB不平行于CD的是( B B 知识点③ 同位角、内错角、同旁内角 A 4.下列图形中，∠1和∠2是内错角的是( 7(C) D B 知识点② 平行线的基本事实及性质定理 2.如果a∥b,b∥c,那么a∥c.这个结论的依据 是 D A.等量代换 5.如图，直线a,b,c被直线l1,l2所截，与∠1 B.平行线的定义 是同位角关系的角有 个；与∠1是 C.经过直线外一点，有且只有一条直线与已 内错角关系的角有 个；与∠1是同 知直线平行 旁内角关系的角有 个 D.如果两条直线和第三条直线平行，那么这 两条直线平行 3.如下图，已知直线a、点B、点C (1)分别过点B,C作直线a的平行直线b,c. 第5题图 480 七年级数学HK版 已课外拓展提高 (2)图中的∠FGB与∠BFG是哪两条直线 6.分类讨论思想已知∠AOB,P是平面内任 被哪一条直线所截形成的一组什么角？ 一点，过点P画一条直线与OA平行，则这 样的直线 A.有且仅有一条 B.有两条 C.不存在 D.有一条或不存在 7.如图，下列说法中，正确的有 ①∠1和∠4是同位角；②∠1和∠5是同位 12.如下图，将一张长方形硬纸片ABCD对折 角；③∠7和∠2是内错角；④∠1和∠4是 后打开，折痕为EF.把长方形ABEF平摊 同旁内角；⑤∠1和∠2是同旁内角 在桌面上，另一边CDFE无论怎样改变位 A.1个 B.2个 置，总有CD∥AB.为什么？ C.3个 D.4个 75 B 7 第7题图 第8题图 巴综合能力提升 8.如图，在长方体ABCD-EFGH中，与线段 13.推理能力复杂的数学问题我们常会把它 AB平行的线段有 分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为 9.(2025合肥肥西期末)如图，∠APC与 零，这是一种常见的数学解题思想 ∠BCP的位置关系是 (选填 “对顶角”“同位角”“内错角”或“同旁内角”) 图① 图② (1)如图①，直线11，l2被直线l3所截，在这 第9题图 第10题图 个基本图形中，形成了 对同旁 10.(教材变式)如图，直线AD与BC被直线 内角， AC所截得的内错角是 ;直线 (2)如图②，平面内三条直线11,12，l3两两 AB与BC被直线AC所截得的同旁内角是 相交，交点分别为A,B,C,图中一共有 ；图中∠6的同位角是 对同旁内角 (3)平面内四条直线两两相交，最多可以形 11.如右图，直线AB,BC交于点A F/D B 成 对同旁内角 B,直线DE分别交AB,BC (4)平面内n条直线两两相交，最多可以形 于点F,G. C 成 对同旁内角（用 (1)写出图中的所有内错角 含n的代数式表示). 下册第10章 第2课时平行线的判定方法1 要固梳理 平行线的判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简单地说，同位 角相等，两直线平行.由此可以衍生出“垂直于同一条直线的两条直线平行”这一判定，因为两条直线垂直 于同一条直线产生了一对90°的同位角，所以这两条直线平行， 巴课内基础闯关 6.如下图，CE平分∠ACD,若∠1=30°，∠2= 知识点① 同位角相等，两直线平行 60°，试说明：AB∥CD. A人2 E 1.如图，∠1=120°，要使a∥%，则∠2=( A.60° B.80 C.100°D.120 D E C B 第1题图 第2题图 2.如图，下列能判定AB∥CD的条件是( 7.如下图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠3 A.∠A=∠B B.∠A=∠ACE 120°.试说明：a∥b∥c C.∠B=∠DCE D.∠B=∠ACD 3.如图所示的是过直线外一 点作已知直线的平行线的 4Y3 方法，其依据是 ( A.过直线外一点，有且只有 第3题图 一条直线与已知直线平行 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.两点之间线段最短 D.同位角相等，两直线平行 知识点② 垂直于同一条直线的两条直线平行 4.某学员在练车场练习开小轿车，第一次向左拐 8.如图，亮亮用一把直角尺在纸上画出两条平 弯30°行驶一段后，第二次向右拐弯30°，如图. 行的直线a和b.这样做的道理是（) 经过两次拐弯后行驶的方向与原来行驶的方向 (填“平行”或“不平行”). 130 4 B 第8题图 110° A.平行于同一条直线的两条直线平行 30 C 第4题图 第5题图 B.垂直于同一条直线的两条直线平行 5.如图，直线AB,CD被直线CE所截，∠C= C.垂线段最短 110°.请写出能判定AB∥CD的一个条件： D.经过直线外一点，有且只有一条直线平行 (写出一种情况即可). 于这条直线 482 七年级数学HK版 已课外拓展提高 13.如右图，∠ABC=∠ACB, 9.(2025合肥肥西期末)下列图形中，已知∠1 BD平分∠ABC,CE平分 ∠ACB,∠DBF=∠F,则 B =∠2，可以得到AB∥CD的是 CE与DF的位置关系如何？请说明理由. A B -b D 10.如图，分别将一副三角板的一条直角边与 直尺边重合，则另两条直角边AB和CD满 足ABCD.理由是 已综合能力提升 14.推理能力(1)如图①，AB,CD,EF是三条 公路，且AB⊥EF,CD⊥EF.请直接写出 AB与CD的位置关系. D (2)如图②，在(1)的条件下，若小路OM平 第10题图 第11题图 分∠EOB,通往加油站N的岔道O'N平分 11.(教材变式)如图，∠EFB=∠GHD=57°， ∠CO'F.试判断OM与O'N的位置关系， ∠IGA=123°，由这些条件可得到 并说明理由、 组平行线，分别是 E M E 之小路 6公路 B A 12.如下图，AB⊥BC,∠1+∠2=90°，∠2 07 ,公路 公路 D C-0 D =∠3. 公路 BE与DF平行吗？为 加油站盒公8 A 图① 图② 什么？ 解：BE∥DF.理由如下： 因为AB⊥BC, 所以∠ABC= 即∠3+∠4= 又因为∠1+∠2=90°，且∠2=∠3， 所以 ( 所以BE∥DF 下册第10章 83△ 第3课时平行线的判定方法2,3 要闾梳理 1.平行线的判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简单地说，内 错角相等，两直线平行 2.平行线的判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简单地说， 同旁内角互补，两直线平行 已课内基础闯关 5.跨物理学科光线从空气射入水中会产生折 射现象，同时光线从水中射入空气也会产生 知识点① 内错角相等，两直线平行 折射现象.如下图，光线a从空气射入水中， 1.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD 再从水中射入空气，形成光线b,根据光学知 的是 识有∠1=∠2，∠3=∠4.请判断光线a与 光线b是否平行，并说明理由 B 4 D 2.某条街道的示意图如图所示.如果∠B= ∠C,那么AB与CD的位置关系是 知识点② 同旁内角互补，两直线平行 6.如图，一个弯形管道AB CD.若它的两个拐角∠B A…可 “ =110°，∠C=70°，则管道 第6题图 第2题图 第3题图 ABCD.推理依据是 3.(教材变式)如图，填空： (1)若∠1=∠2，则 7.(2025合肥庐江月考)如下图，BE平分 依据是 ∠ABD,DE平分∠BDC,且∠a+∠3= (2)若∠1=∠3，则 90°.试说明：AB∥CD. 依据是 4.如下图，已知∠1=∠2，∠3=∠4.试说明： AB∥EF. G3 D 七年级数学HK版 已课外拓展提高 (2)若将图①改变为图②，其他条件不变， 8.如图，由下列条件不能判定AD∥BC的是 (1)中的结论是否仍成立？请说明理由. ( A.∠DAB+∠B=180°B.∠DAC=∠ACB C.∠D+∠DCB=180°D.∠BAC=∠DCA 第8题图 第9题图 9.将一副三角板按图所示的方式放置，∠BAC =∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°，则下 列结论正确的有 () 综合能力提升 ---------0 ①∠1=∠3：②∠CAD+∠2=180°；③若 12.推理能力如图，直线AB和CD被直线EF ∠2=30°，则有AC∥DE;④若∠2=30°，则 所截 BC∥AD. (1)如图①，若EG平分∠BEF,FH平分 A.4个 B.3个C.2个D.1个 ∠DFE,则∠1与∠2满足 10.如图，三块相同的三角板（三个角的度数分 时，AB/CD. 别为30°，60°，90)拼成一个图形，则图中的 (2)如图②，若EG平分∠MEB,FH平分 平行线有 ∠DFE,则∠1与∠2满足 B 时，AB∥CD (3)如图③，若EG平分∠AEF,FH平分 ∠DFE,则∠1与∠2满足什么条件时，AB∥ 第10题图 11.如图①，已知∠EAC=90°，∠1+∠2=90°， CD?为什么？ ∠1=∠3，∠2=∠4. G A E B A E/B D罗E 个H D CF D C/ 图① 图② 图③ 30 3>d 图① 图② (1)试说明：DE∥BC. 下册第10章 85△10.解：(1)因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°.因为 ∠AOC=∠AOB+∠BOC,∠BOC=60°，所以 ∠AOC=90°+60°=150°.因为OM平分∠AOC,所 以∠COM=2∠AOC=75.因为ON平分∠B0C, 所以∠C0N-合∠B0C-号×60-30，所以 ∠MON=∠COM-∠CON=75°-30°=45°. (2因为∠C0M=号∠A0C,∠C0N=3∠B0C,所 以∠MON=∠COM-∠ON=2（∠AOC- ∠BOC)=2∠AOB=40°.因为∠MON:∠AOC= 2:7,所以∠AOC=140°.因为OM平分∠AOC,所 以∠A0M=2∠A0C=70°，所以∠A0N=∠A0M +∠M0N=70°+40°=110°. 11.解：(1)当∠1=∠2时，OP⊥CD.理由如下： 因为OE⊥AB,所以∠AOC+∠1=90°. 因为∠1=∠2， 所以∠AOC+∠2=90°，所以OP⊥CD. (2)因为∠AOC+∠BOC=180°，且∠AOC= 2∠BOC,即∠B0C=2∠AOC, 1 所以∠AOC+2∠AOC=180°，所以∠AOC=60°. 因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°， 所以∠COE=∠AOE-∠AOC=30°. (3)∠AOD,∠BOC,∠FON,∠EOM. 【解析】(3)由(2)可知，∠AOC=60°.因为射线OM平 分∠BOD,所以∠BOM=∠DOM=∠AON= ∠CON=30°.因为OE⊥AB,OF⊥CD,所以∠AOE =∠COF=90°，所以∠EOF=∠AOC=60°，所以 ∠AOD=∠BOC=∠FON=∠EOM=180°-60°= 120°=2∠E0F. 故与2∠EOF度数相等的角是∠AOD,∠BOC, ∠FON,∠EOM. 10.2平行线的判定 第1课时平行线的概念及三线八角 1.D2.D 3.解：(1)如图，直线b,c即为所求. C (2)平行 4.B5.322 6.D【解析】①若点P在直线OA上，则不能画出与OA 平行的直线：②若点P不在直线OA上，则过点P有 且只有一条直线与OA平行.综上，这样的直线有一条 或不存在. 7.B【解析】①∠1和∠4不是同位角，故说法错误； ②∠1和∠5是直线DE和直线BC被直线AB所截形 成的一组同位角，故说法正确： ③∠7和∠2不是内错角，故说法错误； ④∠1和∠4不是同旁内角，故说法错误； ⑤∠1和∠2是直线AB和直线CF被直线BC所截形 成的一组同旁内角，故说法正确。 8.EF,HG,DC9.内错角 10.∠5和∠4∠3和∠4∠2 11.解：(1)∠AFG与∠BGF是一组内错角，∠B与 ∠BFD是一组内错角，∠B与∠BGE是一组内错 角，∠CGF与∠BFG是一组内错角. (2)∠FGB与∠BFG是直线BC和直线AB被直线 DE所截形成的一组同旁内角. 12.解：因为ABEF,CD∥EF,所以CD∥AB. 13.(1)2 (2)6 (3)24 (4)n(n-1)(n-2) 【解析】(3)如图，平面内四条直线两两相交，直线，， 12,l,被1，所截，形成了6对同旁内角；直线11，L2,1 被l3所截，形成了6对同旁内角；直线11，l3,1,被l2 所截，形成了6对同旁内角；直线l2,l3,l:被，所截， 形成了6对同旁内角，则最多可以形成24对同旁内 角.(4)由(2)(3)可得平面内三条直线两两相交，最多 可以形成6=3×2×1对同旁内角，平面内四条直线 两两相交，最多可以形成24=4×3×2对同旁内角， 同理可得平面内五条直线两两相交，最多可以形成 60=5×4×3对同旁内角，所以平面内n条直线两两 相交，最多可以形成n(n一1)(n一2)对同旁内角. 第2课时平行线的判定方法1 1.D2.C3.D 4.平行5.∠1=110°（答案不唯一） 6.解：因为CE平分∠ACD,∠1=30°，所以∠ACD= 2∠1=60°.因为∠2=60°，所以∠2=∠ACD,所以AB ∥CD. 7.解：因为∠1=∠2=60°， 所以ab. 因为∠3=120°， 所以∠4=180°-∠3=180°-120°=60°， 所以∠4=∠2， 所以b∥c, 所以ab∥c. 8.B9.D 10.垂直于同一条直线的两条直线平行 下册参考答案 27△ 11.2IH∥EF,AB∥CD【解析】因为∠IGA=123°， 所以∠IGB=180°-∠IGA=180°-123°=57°. 因为∠EFB=∠GHD=57°， 所以∠IGB=∠EFB=∠GHD 所以IH∥EF,AB∥CD 12.解：90°90°∠1∠4等角的余角相等同位角 相等，两直线平行 13.解：CE∥DF.理由如下： 因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, 所以∠DBF=名∠ABC,∠BCE=∠ACB, 因为∠ABC=∠ACB, 所以∠DBF=∠BCE. 又因为∠DBF=∠F, 所以∠BCE=∠F,所以CE∥DF 14.解：(1)AB∥CD. (2)OMO'N.理由如下： 示意图如图，延长NO交AB于点P. 因为AB⊥EF,CD⊥EF, 所以∠EOB=∠CO'F=90° 因为OM平分∠EOB,O'N平分∠CO'F, 所以∠EOM=∠FO'N=45°. 因为∠FO'N=∠EO'P, 所以∠EOM=∠EO'P, 所以OMO'N. 第3课时平行线的判定方法2,3 1.D2.AB∥CD 3.解：(1)ABCE内错角相等，两直线平行 (2)ACDE内错角相等，两直线平行 4.解：因为∠1=∠2， 所以AB∥CD 因为∠3=∠4， 所以CD∥EF,所以AB∥EF. 5.解：a∥b.理由如下： 如图.因为∠1=∠2， 所以180°-∠1=180°-∠2， …“62 即∠5=∠6. 因为∠3=∠4，所以∠3十∠5=∠46 +∠6， 所以a∥b. 6.同旁内角互补，两直线平行 7.解：因为BE平分∠ABD,DE平分∠BDC, 所以∠ABD=2∠a,∠BDC=2∠B. 因为∠a+∠3=90°， 所以∠ABD+∠BDC=2∠a+2∠B=2(∠a+∠B)= 2×90°=180°， 所以AB∥CD 8.D【解析】A.因为∠DAB+∠B=180°，所以AD∥ BC:B.因为∠DAC=∠ACB,所以AD∥BC:C.因为 ∠D+∠DCB=180°，所以AD∥BC:D.因为∠BAC= 428 七年级数学HK版 ∠DCA,所以AB∥DC,不能判定AD∥BC. 9.B【解析】因为∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，所以 ∠1=∠3，故①正确；∠CAD十∠2=∠1+∠2十∠3 十∠2=90°+90°=180°，故②正确；因为∠2=30°，所 以∠1=60°=∠E,所以AC∥DE,故③正确；因为∠2 =30°，∠B=45°，所以∠3=60°≠∠B,所以BC与AD 不平行，故④不正确. 10.AB∥EC,AC∥ED,AE∥BD 11.解：(1)因为∠1=∠3，∠2=∠4， 所以∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2）. 因为∠1+∠2=90°，所以∠1+∠3+∠2+∠4 =180°. 因为∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=2×180 =360°， 所以∠D+∠B=180°，所以DE∥BC. (2)成立.理由如下： 如图，连接EC. 因为∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2 =90°， 所以∠3+∠4=∠1+∠2=90°. 3 因为∠EAC=90°，所以∠AEC+ ∠ACE=180°-90°=90°， 所以∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°， 即∠DEC+∠BCE=180°，所以DE∥BC, 所以(1)中的结论仍成立. 12.解：(1)∠1+∠2=90 (2)∠1=∠2 (3)∠1=∠2时，AB∥CD. 理由：因为EG平分∠AEF,FH平分∠DFE, 所以∠AEF=2∠1，∠DFE=2∠2. 因为∠1=∠2， 所以∠AEF=∠DFE,所以AB∥CD. 10.3平行线的性质 1.C变式题55°2.B 3.解：因为AD∥BC,∠B=70°，∠C=60°， 所以∠DAE=∠B=70°，∠DAC=∠C=60°， 所以∠DAE-∠DAC=70°-60°=10°， 即∠DAE与∠CAD的度数之差为10°. 4.35 5.50°【解析】因为AB∥CD,EC∥FB, 所以∠B+∠EGB=180°，∠EGB=∠C, 所以∠B+∠C=180°， 因为∠C=85°-x,∠B=3x+25°， 所以85°-x+3.x+25°=180°，解得x=35°， 所以/C=85°-x=85°-35°=50°. 6.D【解析】因为DA⊥AB,CD⊥DA, 所以AB∥CD,所以∠B+∠C=180°. 又因为∠B=56°，所以∠C=180°-∠B=180°-56 =124°.