9.3 分式方程-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（沪科版·新教材 安徽专版）

9.3分式方程 第1课时 分式方程及其解法 要固梳理 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.分式方程的解：使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值叫作方程的解. 3.解分式方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥检验 4.分式方程的增根：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0.若为0， 则是增根；若不为0，则是原分式方程的根。 色课内基础闯关 6.解方程： 知识点① 分式方程的定义 ①)(2025合肥瑶海区月考)异-】 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是 =1x ( 入琴 2x=3 B.3x C. =3 D.1 2+12 知识点② 分式方程的解 2.若x=4是关于x的分式方程二2-1 (2)x+112 =1. x+3x2-9 x x-3 的根，则a的值为 知识点③解分式方程 3把分式方程， 二转化为一元一次方程 时，方程两边需同乘 ( 知识点④ 分式方程的增根 A.x B.2x C.x+4 7.若关于x的分式方程1一m=1(m为常 D.x(x+4) x-44-x 4分式方程2 千7的解是 数)有增根，则增根是 变式题求增根→求字母参数 A.x=1 B.x=-2 D.x=2 若关于：的分式方程，三写1=”3有端 根，则m的值为 ( 1 5.方程 +1=0 的解 为 A.-1 B.-3 2x+3 x C.1或-3 D.5 468 七年级数学HK版 巴课外拓展提高 8.分式方程工 3 -1= x-1 (x-1)(x+2)的解为 ( A.x=1 B.x=-1 C.无解 D.x=-2 9如果关于x的分式方程上一m xx+1 =0的解是 负数，那么实数m的取值范围是 ( 综合能力提升 A.m<1且m≠0B.m<1 14.转化思想阅读材料：对于两个不相等的非 C.m>1 D.m<1且m≠-1 0： 10若分式方程品十 1 2 零实数m,n,若分式x一m)(r一n) =二有增根，则 x-2 x 则x=m或x=n. 实数a的值是 ( 因为（x-m)(x一)-x2-(m+)x+m A.0或2 B.4 C.8 D.4或8 =x十m”-(m十n),所以关于x的方程x十 1.定义：a*6=分方程2*(x+3)=1* m”=m十n有两个解，分别是x=m,x2=. x +2)的解为 利用上面的结论解答下列问题： 易错点 忽视增根而致错 (1)关于x的分式方程x+a=b的两个解 2 12.(2025合肥蜀山区期末)已知关于x 分别是x1=一2，x2=一3，则a= 的分式方程，”， 1 x-2 =1的解是非 ,b= 负数，则m的取值范围是 (2)关于x的分式方程3x+m+2)(n-5) 3.x+1 =2n一4的两个解分别为x1,x2（x1<x2). 变式题分类讨论思想若关于x的方程 求后尚红 3 kx-1 x-2 x-2 =1无解，则k的值为 2 13.已知关于x的分式方程二十 mx 1 (x-1)(x十2)x+2 (1)若方程的增根为x=1,求m的值. (2)若方程有增根，求m的值. (3)若方程无解，求m的值. 下册第9章 69△ 第2课时分式方程的实际应用 要固梳理 列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解验、答.要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路 程÷时间.工作量问题：工作效率=工作量÷工作时间等等 色课内基础闯关 知识点① 行程问题 1.(教材变式)某班学生乘汽车从学校出发去参 加活动，目的地距学校60km,一部分学生乘 慢车先行0.5h,另一部分学生再乘快车前往， 他们同时到达.已知快车的速度比慢车的速 度每小时快20km,求慢车的速度.设慢车的 速度为xkm/h,则可列方程为 ( A.6060 1 ·xx+202 知识点③ 工程问题 60 601 B.- ·x-20x2 4.(2025宣城期末)某公路进行施工，为尽量减 601 少施工对市民出行造成的影响，实际施工时 C.+20 2 工作效率比原计划提高了20%，结果提前4 60 601 D. 个月完成这一任务.设原计划x个月完成这 x x-202 一任务，根据题意可列方程为 () 知识点②销售问题 A.1X(1-20%)_1 2.古代数学文化我国古代著作《四元玉鉴》记 x x-4 载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人 B. ×(1+20%)1 2 x-4 去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一 株椽.”其大意如下：现请人代买一批椽，这 1×(1-2%) 1 工 x+4 批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费 1×(1+20%)1 是3文，那么少拿1株椽后，剩下的椽的运费 D, x+4 恰好等于1株椽的价钱.试问6210文能买 5.某县政府在创建文明城市的进程中，着力美 多少株椽.设这批椽的数量为x株，根据题 化城市环境，改造绿化涡河北岸，建设绿地 意可列方程为 公园，计划种植树木30万棵.由于青年志愿 者的加入，实际每天植树的数量比原计划多 3.为营造良好体育运动氛围，某学校用800元 20%,结果提前5天完成任务.设实际每天 购买了一批足球，又用1560元加购了第二 批足球，且所购数量是第一批购买数量的2 植树x万棵，可列方程为 倍，但单价降了2元.请问该学校两批足球 的单价分别是多少？ 70 七年级数学HK版 已课外拓展提高 (3)插花时，技术小组成员小明发现自己单 6.(教材变式)甲打字员计划用若干小时完成 位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或 文稿的电脑输入工作.2h后，乙打字员协助 完成(9一m)盆大盆栽的插花任务，并且完成 此项工作，且乙打字员文稿电脑输入的速度 35盆小盆栽所用的时间与完成10盆大盆栽 是甲打字员的1.5倍，结果提前6h完成任 所用的时间相同.求m的值. 务，则甲打字员原计划完成此项工作的时间 是 ( A.17hB.14hC.12hD.10h 7.跨物理学科在电路的探究学习中，我们发现 如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电 阻R满足R=R,+R2;如图②，在并联电路 综合能力提升 111 中，总电阻R满足RR+R如图③已知 9.应用意识某纪念品公司决定生产一批马年 纪念品挂件，有A,B两种型号的机器可以 R1=122,R3=42,总电阻为122，则R2= 生产该纪念品挂件.已知A型号机器20min 0 生产的挂件与B型号机器5min生产的挂 件总量为325个，且A型号机器平均每分钟 生产挂件10个. (1)B型号机器平均每分钟生产挂件多少个？ 图① 图② 图③ (2)随着挂件的畅销，公司决定将A,B两种 第7题图 8.（2025合肥期末)假期将至，某学校准备购买 型号的机器进行智能升级.已知升级后的B 花卉装点校园，采购小组到市场上了解到每 型号机器平均每分钟生产的挂件数量是升 枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用 级后的A型号机器的3倍.若生产1800个 800元购买B种花卉的数量是用320元购 挂件，B型号机器比A型号机器少用 买A种花卉的数量的2倍， 80min,升级后的A,B型号机器平均每分钟 生产挂件各多少个？ (1)小华同学列的方程是2×320=800 aa+5,则 a代表的是 (2)请你用不同于(1)中小华的方法，求用 320元购买A种花卉的数量. 下册第9章a21 a+a2+124 6.解：由2-3x十=-1，得x≠0， 则-3x+1=-1, x 所以x-3+1=-1,即x十1=2. 1 所以x-9x+1一7 9.3分式方程 第1课时分式方程及其解法 1.D 2.6【解析】将x=4代入分式方程，可得“，-1，解得 4 a=6. 3.D4.A5.x=-1 6.解：(1)去分母，得2x-x(x十1)=(1-x)(x十1)， 去括号，得2x-x2-x=1-x2, 移项，得2x-x2一x十x2=1, 合并同类项，得x=1. 检验：当x=1时，x(x十1)≠0. 故x=1是原分式方程的解。 (2)方程两边同乘以(x十3)(x一3)，得(x十1)(x一3) -12=(x+3)(x-3), 去括号、移项，得2x=一6， 解得x=一3. 检验：当x=-3时，(x十3)(x一3)=0. 故x=一3是原分式方程的增根， 所以原分式方程无解. 7.x=4 变式题D【解析】方程去分母，得5-(x-3)=m.因 为分式方程有增根，所以x一3=0，所以m=5. 8.C【解析】去分母，得x(x+2)一(x一1)(x十2)=3， 去括号，得x2十2x一x2一2x十x十2=3，合并同类项 得x十2=3，解得x=1.检验：当x=1时，（x一1)(x十 2)=0.故x=1是原分式方程的增根，所以原分式方程 无解 9.A【解析】由题意，得x十1≠0，即x≠一1.方程去分 母，得x十1一m.x=0,移项，得x-mx=-1,合并同类 项，得1-a=-1,系数化为1：得因为 原分式方程的解是负数，所以m一1<0且m-1≠ 一1，解得m<1且m≠0. 10.D【解析】方程两边同乘以x(x一2)，得3x一a十x =2(x一2)，所以a=2x十4.由题意可知，分式方程的 增根为x=0或x=2.当x=0时，a=4;当x=2时， a=8.综上所述，实数a的值为4或8. 2 1 11.x=一1【解析】根据题意，得，十3x十2去分母， 得2(x十2)=x十3，去括号，得2x十4=x十3，解得x =一1.检验：当x=一1时，(x十3)(x十2)≠0.故x =一1是原分式方程的解. 12.m≤1且m≠一1【解析】方程去分母，得一m-1=x -2,解得x=-m十1. 因为方程的解是非负数， 所以x>≥0且x≠2， 所以-m+1≥0且-m十1≠2， 解得m≤1且m≠-1. 变式题2或一1【解析】方程去分母，得3一(kx一1) =x-2,整理，得(k十1)x=6.①当x=2时，分母为 0,方程无解，即2(k十1)=6，解得k=2:②当k十1= 0,即k=一1时，方程无解.综上，k的值为2或一1. 13.解：方程两边同乘以(x十2)(x一1)，得2(x十2)十mx =x-1,整理，得(m+1)x=-5. (1)将x=1代入，得m=-6. (2)由题意，得x=1或x=-2,分别代入，得m=-6 3 或m=2 (3)当m十1=0时，该方程无解，此时m=一1； 当m十1≠0时，原分式方程有增根，由(2)得m=一6 3 或m=2 综上所述，m的值为-1或-6或 14.解：(1)6-5 (2因为3x+m+2)n-5》=2m-4,所以3z十1十 3.x+1 (m+2)(n-5)=2m-3. 3x+1 令3x+1=,则有1+n+2)n-5)=2m-3=(m十 2)+(n-5) 设该方程的两个根分别为t1,t2,且11<12，所以t1= n一5，t2=n+2,即3x1+1=n一5,3.x2+1=n+2,所 以x,=”-6 3,3x2+2=n+3, n-6 3+31 所以3x,+2n十3》 第2课时分式方程的实际应用 1.A 2.3(x-1)=6210 x 3.解：设第一批足球的单价为x元，则第二批足球的单价 为(x一2)元. 由题意相 1560 -X2= r-2,解得x=80. 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意， 则x一2=78. 23N 下册参考答案 故该学校两批足球的单价分别是80元、78元. 4.B5 30×(1+20%)_30=5 6.C【解析】设甲打字员原计划完成此项工作的时间是 1 x,则甲打字员的工作效率是一，乙打字员的工作效 率是2 依题意，得二6+3(x6-2》=1. 2x 解得x=12 经检验，x=12是原分式方程的解，且符合题意。 故甲打字员原计划完成此项工作的时间是12h. 7.24【解折1由题意，得位十尽=2-解得R:=24 1 经检验，R,=24是原分式方程的解，且符合题意.故 R。的电阻为24Ω. 8.解：(1)每枝A种花卉的单价 (2)设用320元购买A种花卉的数量为x枝， 则每枝A种花卉的单价为320元，每枝B种花卉的单 价为（婴+5）元 根据题意，相2+5- 2x, 解得x=16. 经检验，x=16是原分式方程的解，且符合题意 故用320元购买A种花卉的数量为16枝. (3)由题意，得35-10 m 9-m ,解得m=7. 经检验，m=7是原分式方程的解，且符合题意，所以m =7. 9.解：(1)设B型号机器平均每分钟生产挂件x个 由题意，得20×10+5x=325,解得x=25. 故B型号机器平均每分钟生产挂件25个. (2)设升级后的A型号机器平均每分钟生产挂件m 个，则升级后的B型号机器平均每分钟生产挂件 3m个. 由题意，得1801800=80，解得m=15. m 3m 经检验，m=15是原分式方程的解，且符合题意， 所以3m=3×15=45. 故升级后的A型号机器平均每分钟生产挂件15个， 升级后的B型号机器平均每分钟生产挂件45个. 章末对点导练 1.A2.23.B 4.②【解析】当x=5时，分式的分子为x一5=0，分母 为x2-4.x+a=25-20+a=a+5. 当a十5≠0，即a≠一5时，分式才有意义： 5.D6.A 424 七年级数学HK版 7(1) 2 (2 3c a+1 3)x2（4)x中3 x-3 8.D【解析】原式=二y) _.z-x-y x-y x 9.A【解析】原式=a.Q- -=a+b. 10.15 11.解：(1)这个“接力游戏”中计算错误的同学是小明和 小红 【2)原武a(a-1)=g二a-10 a-1 a2-a2+2a-12a-1 a-1 a-1 2x(x-2) x(x+2) 12.解：原式= (x+2)(x-2) -(x+2)(x-2) +(x+2)(x-2 =2x2-4x-x2-2x+4z (x+2)(x-2) x2-2x (x+2)(x-2) x(x-2) =(x+2)(x-2 x x+2 当x=1时，原式=1十23 11 13.解：原式=3a-6b+3b_3(a-)3 (a-b)2 (a-b)a-b' 因为a-6-1=0,所以a-6=1,所以原式=子=3。 14.解：原式=「3+20_(a十1)(a-1D7 a+1 L a+l a+1 (a-1)月 3+2a-a2+1.a+1 a+1 (a-1)9 -a2+2a+4,a+1-a2+2a+4 a+1 ·(a-1)=a-2a+1 因为a2-2a-1=0,所以a2-2a=1, 所以-a2+2a=-1, -1+43 所以原式=1十12 15.解：(1)方程两边同乘3(x-2),得6=x+3(x-2) 解得x=3.检验：当x=3时，3(x一2)≠0.故原分式 方程的解为x=3. (2)方程两边同乘(x十1)(x-1),得2x(x一1)一3= 2c+1Dú-.解得x=-检验：当x=-时， 1 红十1怎-1)≠0，故原分式方程的解为=日 16.解：去分母，得k一2(x一2)=2x, 去括号，得k一2x十4=2x, 移项，得一2.x-2x=一k-4, 合并同类项，得一4x=一k一4，