9.3.1 分式方程的定义及解法 教案　　2024-2025学年沪科版数学七年级下册

《9.3.1 分式方程的定义及解法》教学设计 课型 新授课☑ 复习课☐ 试卷讲评课☐ 其他课☐ 教学内容分析 《9.3.1 分式方程的定义及解法》是沪科版七年级下册第9章《分式》的第三节第一课时的内容。分式方程是“数与代数”领域的重要部分，在七年级数学体系中具有承上启下的作用。它承接了一元一次方程、分式运算等知识，为后续学习一元二次方程、反比例函数等复杂内容奠定基础。 学习者分析 学生已具备一元一次方程解法、分式基本性质等知识基础，但对分式方程的特殊性认识不足。常见问题包括：分母处理时易漏乘、变号错误，最简公分母选取不准确，以及忽视增根检验。部分学生机械套用解整式方程的步骤，缺乏对分式方程本质的理解。在能力方面，学生能完成基础计算，但面对复杂情境（如含参数方程）时，分析问题和抽象建模能力较弱。此外，学习习惯差异明显：约30%的学生能自觉检验根的合理性，而部分学生因计算粗心或概念模糊，导致解法不规范。教学中需针对这些学情，通过对比整式方程强化分式方程特征，设计分层练习巩固转化思想，并加强变式训练提升应用能力。 教学目标 1.理解分式方程的定义，能识别分母含未知数的方程。 2.掌握去分母法解分式方程的步骤，包括找最简公分母、去分母化整式方程、求解并检验根的合理性。 3.通过对比整式方程，体会分式方程的特殊性与转化思想。 教学重点 分式方程的定义及去分母法解分式方程的步骤。 教学难点 增根的产生原因及检验方法。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 问题：为了满足经济高速发展的需要，我国铁路部门不断进行技术革新，提高列车运行速度.兰(甘肃兰州)新(新疆乌鲁木齐)高铁里程全长约1776 km.若某直快列车改为高铁列车后，速度提高 48%运行时间缩短约6 h求直快列车的速度. 思考：题目中的等量关系是什么？你会设什么为未知数？你能列出方程吗？ 学生活动1： 认真思考，举手回答问题 活动意图说明：过具体问题情境引入新课有利于调动学生思维的积极性，激发学生学习动机，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，能够培养学生的应用意识. 环节二：探究新知 教师活动2： 探究一：分式方程 想一想：你列出的方程是整式方程吗？结合它们的特征，想一想，它们是什么方程? 【归纳】 分母中含有未知数的方程叫作分式方程。 主要特征：1.只含分式，或分式和整式 2.分母中含有未知数 探究二：分式方程的解法 思考：如何解分式方程 6? 解：方程两边同乘以1.48v，得1.48×1 776=1 776+8.88x， 解这个整式方程，得x=96. 把x=96代入上述分式方程检验： 左边== +6=右边. 所以x=96是该分式方程的解. 因而，直快列车的速度为96 km/h. 探究三：增根 解方程2，把解得的根代入原方程中检验，你发现了什么？ 解：去分母，得=. 去括号、移项，得. 解得 把代入原方程检验时，原方程中分式的分母为零，分式没有意义，所以不是原方程的根，原方程无解. 【归纳】 增根：如果原方程两边同乘以最简公分母变形后，得到的整式方程的根不是原方程的根，称为原方程的增根.解分式方程时可能会产生增根，所以解分式方程必须验根. 探究四：解分式方程的一般步骤 合作交流：由以上解方程的过程，你能总结出解分式方程的步骤吗？把你的结论与同学交流。 一般步骤 1.确定最简公分母 2.去分母：方程两边同时乘最简公分母，将分式方程化为整式方程 3.解整式方程：去括号、移项、合并同类项、化系数为1 4.检验：将求出的x值代入最简公分母 学生活动2： 认真思考，探究分式方程的定义 认真听讲，了解分式方程的定义 认真思考，探究分式方程的解法 认真听讲，了解如何解分式方程 认真计算，探究增根 认真听讲，了解增根的概念 合作交流，探究解分式方程的一般步骤 活动意图说明：经历去分母法解分式方程的步骤，包括找最简公分母、去分母化整式方程、求解并检验根的合理性，并对比整式方程，体会分式方程的特殊性与转化思想。 环节三：例题精讲 教师活动3： 例1解方程： 解:方程两边同乘以最简公分母，得 展开，得. 解方程，得. 检验：当x=21时， 所以，原方程的根是x=21. 分式方程根的检验方法： 解分式方程时，通常在方程两边同乘以最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去. 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 学生认真听讲，理解分式方程根的检验方法 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 解分式方程的一般步骤 1.确定最简公分母 2.去分母：方程两边同时乘最简公分母，将分式方程化为整式方程 3.解整式方程：去括号、移项、合并同类项、化系数为1 4.检验：将求出的x值代入最简公分母 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列关于的方程中，是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2.分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3.若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 选做题： 4.若关于的分式方程无解，则 ． 5.关于的分式方程有非负数解，则的取值范围为 ． 6.下列有四个结论： ①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变； ②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为或 其中正确的结论是 （填写序号） 【综合拓展类作业】 7.已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知关于的分式方程的解为正数，则非负整数的所有个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.若分式方程无解，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 3.已知分式（为常数）满足表格中的信息，则的积是（    ） 的取值 4 6 分式的值 无意义 0 A． B．6 C．4 D．2 【综合拓展类作业】 4.若关于x的方程恒成立，若x的值非负，则m的取值范围是？ 教学反思 本节课通过实际问题引入分式方程，学生能初步理解其定义，但在去分母步骤中，约30%的学生出现漏乘或变号错误，表明对转化思想的理解不够深入。增根检验环节，部分学生习惯性代入原方程而非最简公分母，反映出对检验本质的认知偏差。改进建议：1）增加“错误案例分析”环节，通过对比正确与错误解法，强化规范意识；2）设计分层任务单，针对学困生提供“去分母步骤模板”，降低认知负荷；3）在工程问题应用中，增加“检验根的实际意义”讨论，如速度、时间需满足实际条件，从而深化对增根的理解。此外，可引入信息技术工具直观展示分式方程与整式方程的转化过程，帮助学生突破抽象思维障碍。 学科网（北京）股份有限公司 $$