6.2 无理数和实数&解题技巧专题 比较实数大小的技巧-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（沪科版·新教材 安徽专版）

6.2无理数和实数 第1课时实数的概念与分类 里点梳理 1.无理数的概念：无限不循环小数叫作无理数.无理数可分为正无理数与负无理数 2.实数的分类： 正有理数 有理数零 有限小数或无限循环小数 正实数 (1)按定义：实数 负有理数 (2)按正、负：实数零 正无理数 负实数 无理数 无限不循环小数 负无理数 3.无理数的估计：估计无理数的大小要用逼近法，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值， 已课内基础闯关 4.将下列各数填在相应的大括号内. 3.030030003…(每两个3之间依次增加一 知识点① 无理数的概念 5 1.下列各数中，是无理数的是 个0)，512，π，3.1415926，-0.456,01 A.-1 .3 C.4 D.元 -9,√(-7)2,0.1. 有理数：{ 变式题无理数→负无理数 下列各数是负无理数的是 ,…} A.-3.14 8.3 C.√3 D.-√2 无理数：{ ,…}; 2.(教材变式)以下说法错误的是 正实数：{ A.无理数是无限小数 B.0.202202220…(相邻两个0之间依次多 一个2)是无理数 C.无理数是带根号的数 整数：{ ,…} D.无理数不可能是分数 知识点③ 无理数的估计 知识点②实数的分类 5.估算13在哪两个整数之间 7 3.在①22②3.14， 0①-2 1 ⑤0， A.2和3B.3和4C.6和7D.8和9 ⑥0.454455444555…(4和5的个数依次 6.(2025毫州期末)估计/10一2的值在( 31 A.1和2之间 B.2和3之间 增加1)，⑦√7，⑧-0.9中，有理数有 C.3和4之间 D.0和1之间 ,无理数有 7.结论开放题写出一个比1大且比2小的无 (填序号) 理数： 下册第6章 8.已知a的立方根是2，b是I2的整数部分， (2)判断x一8是有理数还是无理数，并说 则a+b的算术平方根是 明理由. 9.已知m<100<n,且m,n是两个连续的整 数，则m十n的值为 课外拓展提高 10.下列说法正确的是 ( ) 15.如下图，四边形ABCD是5×5网格中的格 A是分数 R号是无理数 点正方形，网格中的每个小正方形的边长 均为1. Cx3.14是有理数D8 3是有理数 (1)求正方形ABCD的面积. (2)试判断正方形ABCD的边长是有理数 11.（2025安庆太湖期末)在实数一√5,3.14,0， 还是无理数. π22 27,一9,0.1616616661…（每两个 之间依次多一个6)中，无理数的个数是 ( A.5 B.4 C.3 D.2 12.正整数a,b分别满足55<a<97,√3< b<√7，则b“= ( A.4 B.8 C.9 D.16 巴综合能力提升 13.定义：对于任意实数x,[x]表示不大于x 16.运算能力我们规定：[a]表示不大于a的 的最大整数.如：[3.14]=3，[1]=1， 最大整数，<a>表示不小于a的最小 [-1.2]=-2. 整数 (1)[-2.5]= 例如：[4]=2，<√4>=2；[√5]=2，<5> (2)对数65进行如下运算：①[√65]=8； =3. ②[√⑧]=2；③[√2]=1.这样对数65运算 (1)计算：[√10]= ,</10>= 3次后的值就为1，一个正整数总可以经过 若干次这样的运算后值为1，则数255经过 (2)若[√a]=1,则满足题意的所有整数a 次这样的运算后值为1. 的和为 14.一个正数x的两个不同的平方根分别是a (3)若m=[√200]，n=<√26>，求m一2n +1和2-2a. 一1的平方根. (1)求a和x的值. 七年级数学HK版 第2课时实数的运算及大小比较 香图税理 1.实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表 示，数轴上的每一个点都表示一个实数 2.实数的性质：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样 3.实数的运算：实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意 一个实数可以进行开立方运算.有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用 4.实数的大小比较：两个实数可以像有理数一样比较大小，即数轴上右边的点所表示的数总是大于左边的 点所表示的数.在实数范围内也有：正数大于零，负数小于零，正数大于负数；两个正数，绝对值大的数较 大：两个负数，绝对值大的数反而小 课内基础闯关 知识点③ 实数的运算 知识点①实数与数轴上的点的关系 5.计算：(1)(2025蚌埠月考)一27-√3+ 1.如图，数轴上表示√2的点可能是 (5)2+11-√51. A B C D 0 2 3 第1题图 A.A B.B C.C D.D 2w+1-A++(-1 变式题由无理数确定点的范围→由，点的 范围确定无理数 如图所示的数轴被墨迹覆盖，一√5，√7， 6.(教材变式)近似计算（精确到0.01）： √15中被墨迹覆盖的是 (1)-4√2+2√5. -2-10 45 变式题图 知识点② 实数的性质 (2)-2÷√6Xπ 2.实数1一π的绝对值是 A.1-π B.π-1 C.1+π D.-1-π 知识点④ 实数的大小比较 3.一√9的倒数是 7.下列各数中，最小的数是 () A号 A.-2 B.-√2 c D.-(-2) c日 8.一题多解法已知a=√5，b=2,c=5,则a, D.-3 b,c的大小关系是 4.若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数， A.b>a>c B.a>c>b 5一√2关于1的平衡数是 C.a>b>c D.b>c>a 下册第6章 已课外拓展提高 14.如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了 9.（2025桐城期中)实数a在数-a0 2个单位长度到达点B,点A表示的数为 轴上的位置如图所示，则a, 第9题图 一√2.设点B表示的数为m. a的大小关系是() 1 (1)实数m的值为 (2)在数轴上还有C,D两点分别表示实数 A.ax1 <a2 1 a B.<a<a2 c和d,且|2c+4|与√d一4互为相反数.请 a C.a<a<l D.1<a'<a 计算2c+3d-√3d-2c-√⑧的值. a 10.如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A 在数轴上，且表示的数为1.若点E在数轴 上（在点A的右侧），AB=AE,则点E表 示的数为 ) E 时432十0好234方一 综合能力提升 第10题图 15.运算能力如下图，一个直径为2的圆从原 A.7 2+√7 B. 点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上 2 与原点重合的点O到达点A,设点A表示 C.√7+1 D.√7+2 的数为a. 11.新定义题对于两个不相等的实数a,b,定义 (1)a的值为 一种新的运算：a*b=Va十b a-b a十b>0).如3 (2)求-(%+-27-1)-π的算术平 *2=3+2 方根。 3-2 =√5，则3*(6*3)= (3)利用计算器计算时，按键：SHIFT 12.若|x=5,则x= 厂-)⑥4中√回6目，显示结 变式题若|一x|=|一√3，则x= 果是 13.把下列各数表示在数轴上，比较它们的大 0 小，并用“>”连接 01234567 -2,5,-3,-√3，-23,5. 七年级数学HK版 解题技巧专题！ 比较实数大小的技巧 题型① 利用数轴比较实数的大小 4.比较下列各组数中两个数的大小： 1.在如下图所示的数轴上表示下列各数：√3， (1)-9-28与4. (2)25与3. 3 -3√6，一，并按顺序排列，用 “<”连接。 4的之可0十234方 题型④ 利用作差法比较实数的大小 51比较5与 亏的大小. 题型②利用绝对值法比较实数的大小 2.比较下列各组数的大小： (1)-5-2与-√7-2. (2)比较1-√2与1一√3的大小. (2)-5-4与-2-4. 题型⑤ 利用近似值法比较实数的大小 6.比较-5+1与一 √2 的大小（参考数据：v5 题型③利用平方法（立方法）比较实数的大小 ≈2.236,2≈1.414). 3.比较下列各组数中两个数的大小： (1)√10和3. 2)-万与-3 下册第6章 ⑦△参考答案 第6章实数 (2)因为103=1000,1003=1000000,1000<389017 <1000000,所以10</389017<100，因此可得 6.1平方根、立方根 /389017的结果是两位数.只有3的立方的个位数字 6.1.1平方根 是7，因此389017的个位上的数字是3.如果划去 1,A2士10变式题台 389017后面的三位017得到数389，而73=343,8= 512,可以确定389017的十位上的数字是7，于是可 3.B变式题(1)C(2)3 1 (3)13 得/389017=73. 4.(1)0.7(2)-3.6 6.2无理数和实数 5.1)2(2)2 第1课时实数的概念与分类 6.C 1.D变式题D 7.49或441【解析】①当a+3与2a-15是同一个平方 2.C3.①②④⑤⑦③⑥⑧ 根时，a+3=2a-15,解得a=18,此时m=441:②当 4.解：有理数：{512,3.1415926，-0.456,0，六： 5 a+3与2a-15是两个平方根时，a十3+2a-15=0, 解得a=4,此时m=49.综上所述，m的值为49 √-7)，…}： 或441. 8.解：将d=19.2,f=1.25代入v2=256(df+1), 无理数：3.030030003…（每两个3之间依次增加一 得2=256×(19.2×1.25+1)=6400， 所以v=√6400=80. 个0)，-河，0.，…}： 故肇事汽车的速度大约是80km/h. 正实数：3.1415926,3.030030003…（每两个3之间 6.1.2立方根 5 1.C变式题D 依次增加一个0)，/52，mv-7),0.1…: 2.(1)2.924(2)-1.077 整数：{/512,0，√(-7)，…}. 3.解：(1)原式=-(-0.3)=0.3. 5.B 273 (2)原式=√64=4 6.A【解析】因为5<√10<√16，所以3<√0<4， 所以3-2<√/10-2<4-2，即1<√10-2<2，所以 4.A 81 变式题√元 √0一2的值在1和2之间. 5.C【解析】因为该自然数的立方根为a,所以该自然数 7.√2（答案不唯一） 是α3，所以它前面与其相邻的自然数的立方根 8.√T【解析】因为a的立方根是2，所以a=2=8.因 是a-1. 为√<√I2<√6，所以3<√12<4.又因为b是 6.±2【解析】64开平方后得8或-一8，再分别开立方， √12的整数部分，所以b=3,所以a十b=8+3=11,则 得2或-2. a十b的算术平方根是√1I. 7.解：(1)①两②9③339(2)389017的立方根是 9.9【解析】因为m,n是两个连续的整数，64<100 73.【解析】(1)①因为103=1000,100=1000000， 1000<59319<1000000,所以10<59319<100， </125,所以4</100<5，所以m=4,n=5,所以m 十n=9. 所以/59319是两位数. 10.D11.C ②只有9的立方的个位数字才是9，因此/59319的个 12.D【解析】因为a,b都是正整数，55<64< 位上的数字是9. /97,3<√4<7，所以a=4,b=2,所以b=2 ③因为33=27,43=64,27<59<64，所以/59319的 =16. 十位上的数字是3.又因为/59319的个位上的数字是 13.(1)-3(2)3 9,所以59319=39. 【解析】(1)-3为小于一2.5的最大整数，故[-2.5] 下册参考答案 1 =-3.(2)①[√255]=15；②[√15]=3；③[√3]= 由数轴上各点的位置，得 1.故数255经过3次这样的运算后值为1. 5>|-251>5>-√5>-2>-3. 14.解：(1)由题意，得(a十1)十(2-2a)=0, 14.解：(1)-√2+2 解得a=3,则x=(a十1)2=42=16. (2)因为|2c+4|与√d一4互为相反数，所以|2c+4 (2)是有理数.理由如下： +√d-4=0. 因为a=3,x=16,所以x-8=9/16-8=8=2, 因为|2c+4|与√d-4均为非负数， 所以x一8是有理数 所以2c+4=0,d-4=0,所以c=-2,d=4, 15.解：(1)SE方8Am=5X5-4X2X1X4=17. 所以原式=√2×(-2)+3×4-√3×4-2×(-2) (2)由(1)得正方形ABCD的边长为√I7,√I7是无 8=√8-√/16-√8=-4. 理数，所以正方形ABCD的边长是无理数. 15.解：(1)-2π 16.解：(1)34(2)6 (2)将a=-2元代入-(？+-27-1)-， (3)因为14√200<15,5<26<6， 所以m=14,n=6, 得原式=-(-π十一27-1)-π=π十3十1-元 所以m-2n-1=1, =4. 所以m-2n一1的平方根为士1. 因为4的算术平方根为2， 【解析】(2)由题意可知，1≤a<4,且a为整数，所以a 所以-（号+-27-）-x的算术平方根为2. =1或a=2或a=3,所以满足题意的所有整数a的 和为6. (3)0【解析】(3)根据计算器的按键，得算式一64 第2课时实数的运算及大小比较 +/16=-4+4=0. 1.C变式题√72.B 解题技巧专题比较实数大小的技巧 B【解析】二√9的倒数是一万二一 1.解：在数轴上表示如图. 4.√2-3【解析】因为a十b=2,则称a与b是关于1的 平衡数，所以5-√2关于1的平衡数是2一(5一√2) -4-3-2-1012345 √2-3. K2<8<1-<s 5.解：(1)原式=-3-√3+5+√3-1=1. 2.解：(1)|-√5-2|=√5+2,1-√7-2|=√7+2， (2原式=V历+-是-1=5+2-是-1=5 因为5<√7，所以√5+2<√7+2. 6.解：(1)原式≈-4×1.414+2×1.732=-2.192 因为-√5-2<0，-√7-2<0， ≈-2.19. 所以-√5-2>-√7-2. (2)原式≈1.260÷2.449×3.142≈1.62， (2)1-3-41=3+4,-92-41=2+4, 7.A 因为3>2，所以3+4>2+4. 8.C【解析】因为5>4>3，所以√5>√4>√3，所以√5> 因为-3-4<0，-2-4<0， 2>3,即a>b>c. 所以-3-4<-2-4. ◆一题多解法 3.解：(1)因为3=9，（√10）2=10,10>9， 因为(5)2=5,22=4，(3)2=3,5>4>3，所以 所以√10>3. √5>2>3，即a>b>c. 2因为w7)=.(3号》-1号7<1 9.B 10.C【解析】因为正方形ABCD的面积为7，所以AB 所以厅<3号， =√7.因为AB=AE,所以AE=√7，因为点A表示 的数为1，所以点E表示的数为√7+1. 所以一疗>-3号 11.1 4.解：(1)因为43=64，(--28)3=28,28<64， 12.士√5变式题士√3 所以-/-28<4. 13.解：如图所示. (2)因为(/25)=25,3=27,25<27，所以9/25<3. 323 32寸0广234 5加，0图为5-日20所u号 5 55 七年级数学HK版 (2)因为1-√2-(1一3)=3-√2>0，所以1-2> 因为-号)=(-y=-2面-分>-2 1-√5 6.解：-√5+1≈-2.236+1=-1.236， -2、_1.414 2、 -0.707. (4)因为(2-√2)-(2-1)=2-√2-2+1=3- 2 因为-1.236<-0.707， 22,而√2≈1.414<1.5，所以2√2<3，所以3-2√2 所以-5+1<- >0,所以2-√2>2-1. 2 15.解：(1)原式=2-3+3=2. (2)原式=-1+√2-1+2=√2. 章未对点导练 1.D2.A (3)原式=-1+(-2)-4×2=-1-2-2=-5 3.A【解析】因为|a+10l+√3b-27=0,所以|a+10 16.解：因为a(2-1)+b(3+√2)=5+3√2， =0,√3b-27=0,所以a=-10,b=9,所以√a+b 所以√2(a+b)+(-a+3b)=5+32. =-1=-1. 因为a,b是有理数， 26-88)-号是号 所以a十b=3且-a十3b=5,解得a=1,b=2, 所以√a+b+√ab-√a-√b=√5+√2-√T-√2= 5.2【解析】因为一个正数a的两个平方根分别是2b 3-1. 1和b+4,所以2b-1+b十4=0，解得b=-1,所以b +4=一1+4=3，所以a=9,所以a+b=9+(-1) 17.解：1)7 8.因为8的立方根是2，所以a十b的立方根是2. 6.±4【解析】因为5x一1的算术平方根是3， 3 所以5x一1=9，解得x=2. 8_1 因为2y十9的立方根是1， 991 所以2y十9=1，解得y=一4， 18.B19.-3 所以4x-2y=4×2-2×(-4)=16, 第7章一元一次不等式与不等式组 所以4x一2y的平方根是士4. 7.解：(1)士1(2)士4 7.1不等式及其基本性质 (3)①因为a十1|=2，b2=25,所以a十1=±2，b= 士5，即a=1或-3，b=士5.②由a,b同号可知，当a 第1课时不等式的概念、列不等式 =1,b=5时，a-b=1一5=-4；当a=一3，b=-5 及不等式的解和解集 时，a-b=一3-(-5)=2，所以a-b的值为-4或2. 1.C 8.B9.B 2.解：(1)4<5是不等式.(2)x2+1>0是不等式.(3)x 10.不一定【解析】因为a十b=1一元，所以a一b=1-π <2x-5是不等式.(4)x=2x十3是等式，也是方程. -2b,所以a-b不一定是无理数. (5)3a2+a是代数式.(6)a2+2a≥4a-2是不等式. 1解正数：58，号是v丽…： 故(1)(2)(3)(6)是不等式. 3.D4.y-2≤05.35℃≤t≤36℃ 有理数：-2508是-0.5丽…： 6.C 7.A【解析】当x=1时，5.x-1=4<6,不等式5x-1< 负数：{-1.565565556…（每两个6之间依次增加一 6成立，符合题意. 个5)，-2.5，-9，-0.05，-10，…； 8.C变式题x≥-2 无理数：一1.565565556…（每两个6之间依次增加 9.A 10.B【解析】因为a一1>0，所以a>1,所以一a<一1， -个559，-而… 所以-a<-1<1<a. 》一题多解法、 12.B 13.(1)13.3(2)183或184 不妨取a=3,满足a-1>0,则一a=一3，所以 14.解：(1)因为√2≈1.414，所以2+1≈2.414，且2.414 -3<-1<1<3,即-a<-1<1<a. <2.42,所以√2+1<2.42. 11.x<一3（答案不唯一） 【解析】由题意可知，x<一3 (2)因为2=8，(5)3=9，而8<9，所以2<. 是x<一2的一个子集， 下册参考答案