舟山市2025-2026学年第一学期期末检测高二数学试题

舟山市2025学年第一学期期未检测 高二数学试题卷 命题人：舟山绿城育华学校戴祟益、沈家门中学沃丰雷、白泉高中张晶 审稿人：舟山教育学院张军朝 注：请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。考试时间：120分钟。 I卷选择题部分（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1.甲在一次考试中六门课程得分分别为：87,60,76,89,90,100.则此数据的极差为（▲) A.13 B.40 C.24 D.10 2.已知直线l:(a-1)x+2y+1=0,l2:x-ay+1=0,a∈R,若l⊥l2,则a的值为（▲） A-1 B.0 c.1 D.2 3.一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸 出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（▲） c 4.函数y=(3x-1)2的导数为y=（▲) ·A.18x-6 B.-18x+6 C.6x-2 D.-6x+2 已知椭圆？+1@>b>0)的左，右焦点分别为，E,且，与抛物线y=2px(p>0)的焦点重 椭圆与抛物线准线的一个交点为A,若∠FE,A=兀，则椭圆的离心率为（△) 6 A.√3 D.3 3 6.已知数列{a,}为等差数列，且满足a2n=2an+1(n∈N),数列色n}满足b=2,且数列anbn}的前n项 和Tn=(3n-4)21+8,则数列b}的通项公式为（▲) A.b =2n B.D =22n-1 C.b =n+l D.bn=2” 舟山市2025学年第一学期高二数学期末检测卷（第1页，共6页) 7.已知P为抛物线y2=4x上的一点，过P作圆C:(x-3)2+y2=1的两条切线，切点分别为A,B,则当 coS∠APB最小时，四边形PACB的面积为（▲） A.V万 B.3 c 3 2 0 2 8双曲线E 。少=a>0的离心率e=5 ，直线I为该双曲线斜率为正的一条渐近线，已知M为该双 2 曲线右支上一动点，点M'为点M关于直线I的对称点，则M'到双曲线另一条渐近线距离的最小值是（▲） 4V30 22√5 A. B. c.4v6 4W30 D 5 25 25 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则下列说法正确的是（▲) A若d>0,则数列{an}一定是递增数列 B.若a1=5,d=-2,则a4=-1 C.Sn一定是关于n的二次函数 D,若a3+45=10,则a4=5 10.已知圆C:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+2x-a=0相交于A,B两个不同的点，则下列说法正确的是（▲） A.实数a的取值范围为[0,8] B当a=2时，两圆的公共弦长|AB=2√5 C当a=4时，SAG,4B=2 ·D若SaG,B=2 SSGAB,则a=6 11.已知动点P到两定点F(-√2,0)，E2(W2,0)的距离乘积为定值2，P的轨迹为曲线C,则下列说法正确 的是（▲) A.动点P的轨迹方程为：(x2+y2)2=4(x2-y) B.曲线C上存在点Q(x,y),使得√x号+y乃>2 C曲线C上点的纵坐标的最大值为 2 D若直线y=c与曲线C恰有一个公共点，则k的取值范围为(-oo,-1U[L,+o) 舟山市2025学年第一学期高二数学期末检测卷（第2页，共6页） Ⅱ卷非选择题部分（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若事件1与事件B相互独立，且P（A)=0.7,P(B)-0.8,则P（AB)= 1a已知数列a.}的通项公式a,=（引 （u∈N'),则此数列前n项和S,n的取值范围为▲ 已起满圆C号+发-0>6>0的离0*。=，左，布茶点分纷为F.5,有P在精题上 且PF⊥x轴，1为△PFF的内心，若P.FE=25,则b=△ 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题满分13分) 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线1：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (1)求证：不论m为何值时直线/恒过定点，并求出定点坐标： (2)(1)求证：直线1与圆C相交： (ii)求出截得弦长最短时直线l的方程. 舟山市2025半年第一学期高二数学期末检测卷（第3页，共6页） 16.(本题满分15分) 为了完成学校布置的暑期社会实践任务，小戴同学对其所住小区不同层次的人进行了一次“海洋文化知识 掌握程度”的民意调查，调查卷满分100分(95分及以上为掌握程度高)，结果掌握程度高的有m人，按 年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第 五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第四组有40人. 个频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 2025 30354045年龄/岁 (1)根据颜率分布直方图，求m的值并估计这m人年龄的第80百分位数； (2)为了提高小区百姓对海洋文化的掌握程度，小戴从以上各组中用分层抽样的方法抽取20人，邀请他们 担任小区的“海洋文化”宜传员， (1)若有甲(38岁)，乙(40岁)两人已确定入选宜传员，现计划从第四组和第五组被抽到的宜传员中随 机抽取2名作为负责人，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (1)若第四组宜传员的年龄的平均数与方差分别为37和子，第五组宜传员的年龄的平均数与方差分别为 43和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差 舟山市2025学年第一学期高二数学期末检测卷（第4页，共6页） 17、(本题满分15分) 已知函数f)=ar-1nr-a 4 (1)若a=2,求(x)在(1f(I)处的切线方程： (2)讨论∫(x)的单调性： (3)若f()在区间()上存在极值，且此极值小于Ina,求a的取值范围. 18.(本题满分17分) 已知数列a,}中，4=1，a1=02n∈N). a,+3 1 (1)证明数列{二+}是等比数列，并求{a,}的通项公式a: a. 2 2嫩列{包，}满足6，=（仔-）只0，设工为数列么，}的前n项和，求使<了，恒成立的最大的整数 舟山市2025学年第一学期高二数学期末检测卷（第5页，共6页） 19.（本题满分17分） 已知抛物线C:=2px(p>0),点P(1,-2)在C上，k为常数，k>0,按照如下方式依次得到不同的点 P,(n=23.…及2(n=12…):过点Pn=2,3.…)作斜率为k的直线与C交于点2(n=2,3.), 过点Qn(n=23.…)作斜率为-k的直线与C交于点Pn(1=2,3.).设直线Pn2n(n=1.2,…）交x轴于 点Am1,直线Pn1Qn(（1=1.2.)交x轴于点A2n,记点An的横坐标为an· (a)若=求aa: (2)求证：数列{am+1一an}为等差数列： (3)记△P2Pn1的面积为Sm,令dn= SS2-S2m-SS2+SS 求证：当k=4时，d,+d,++d,<128 舟山市2025学年第一学期高二数学期末检测卷（第6页，共6页）舟山市2025学年第一学期期末检测 高二数学（参考答案） 一、选择题1（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1 2 3 4 6 7 b A D A D A 8.【解析】： 由e=c= √a2+1V ,解得a=2,故双曲线方程为 -y2=1, a a 4 则渐近线为-±号斜率为正的浙近线y另一条湖渐近线为= x,即x+2y=0. 设M,在双曲线右支上，即-，2=1(，>0)其关于的对称点设为M(,, 4 则=3+4少，y=4。-3% 5 5 M到直线x+2y=0的距离为：d=+2y￥+2y 5 5 则+2y-11.2%,故d=162%,因为女-2=10x>0,所以x。=21+ 5w5 4 则11x,-2y。=22/1+y2-2%,;令fy)=22V1+,2-2y,则f'(y)= 22y0-2, V1+,2 最小显然>0，令w)E0呵得20在%∈00】 因此当，=，时d。=4 2√30 5 2,(法二：本题也可以令t=11x。-2y,转化为直线与双曲线右支 相切时来求出t的最小值) 故选C 二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9 10 11 ABD BC ACD 11.【解析】 设P(x,),因为PFPF=2,所以[x+V②)2+y2]·[(x-√2)2+y2]=4 化简可得：(x2+y2)2=4(x2-y2),故A正确： 第1页 由轨迹方程可得：当r+y广≠0时有0<r+y=4户2≤4则十下≤2，即曲 x2+y2 线C上不存在点(x,),使得√x6+>2,故B不正确： 由轨迹方程可得： y广=2x-4+4W2r0≤≤4令f=V2x中1∈3则w=f+41-3 2 故当1-2号故ys-号 2 故曲线C上点的纵坐标的最大值为Y ,故C正确： 直线y=与曲线C均经过原点(0，O),则直线y=x与曲线C除原点外无其他公共点， 将y=x代入曲线得：(x2+K2x2)2=4(x2-k2x2),则x4(1+k2)2=4x2(1-k2) 则-0或0号.超我可如1-”≤0，则k61政e,黄D网 故选ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.0.56 46+2 14.【解析】 ，可得a=26c=5b,令WPRR,内切圆的半径为r,则7=25-3b, 由es3 2 故x,=C-r= ,不F第发限则小：而分.即P身则 亚-5-号n出时-0e0. 则币.5=2c(5-b=253-82=25,故6=1，=45+2 533 2 第2页 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分13分) (1)证明：直线1：(2m+1)x+(1+1)y-7-4=0 可化为(2x+y-7)+(x+y-4)=0 +40解得x3 「2x+y-7=0 令 y=1 故不论m为何值直线1恒过定点A(3,1) ----5分 (2)(1)证明：因为(3-1)2+(1-2)2=5<25， 所以A(3,1)在圆C内，因此直线1与圆C相交. -.---9分 (i1)要使得直线I被圆C截得弦长最短，只需CA⊥1， 因为直线CA的斜率为 2-11 ,所以1的斜率为2， 1-32 即、 2m+1=2得m=-4 3 +1 4 此时1：2x-y-5=0. ------13分 16.(本题满分15分) (1)由题意，40=5×0.04所以m=200. 12 设第80百分位数为a, 因为0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7<0.8,0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5=0.9>0.8， 故第80百分位数位于第四组：[35,40)内， 由0.05+0.35+0.3+(a-35)×0.04=0.8,解得：a=37.5, 所以第80百分位数为37.5； 2-----5分 (2)()由题意得，第四组应抽取4人，记为A,B,C,甲，第五组抽取2人，记为D,乙， 对应的样本空间为：2={(A,B),(A,C),(A,甲)，(A,乙)，(A,D),(B,C),(B,甲)，(B,乙)， (B,D),(C,甲)(C,乙)，(C,D),(甲，乙)，（甲，D),(乙，D)},共15个样本点. 设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”， 第3页 则M=A,甲)，(A,乙)，(B,甲)，(B,乙)，(C,甲)，(C,乙)，（甲，乙），（甲，D),(乙， D》,共有9个样本点所以PM)=n_3 n(2)5 --10分 (i)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x,x,方差分别为s,S, 则元识1 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为三，方差为s2 则=4+2元=39， 6 =4[+(区-到门+2×[时+（医-到}=10， 因此，第四组和第五组所有宜传使者的年龄方差为10， 据此，可估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10. --15分 17.(本题满分15分) I)当a=2时，f(x)=2x-nx-1,则f)=1 f(田)=2-】，则f①)=1，所以切线方程为y=x ----3分 (2②)定义域为0，+w）,f()=a-1_x-1 当a≤0时，f()<0,f()在(0，+o)上单调递减； 当a>0时，令f()>0→x>上，即f)在(，+o)上单调递增： a f)0x<a即f在0，分上单调递减 综上所述，当a≤0时，fx)在(0，+o)上单调递减： 当a>0时，f)在(0，上单调递减，2，to)止单调递增 ---9分 (3)由(2)可知当a≤0时，f(x)在(0，+o)单调递减，不存在极值，不成立 当a>0时，在0,2单调递减，(+o）)弹调递增，则/的极小值为f白=1-n】a a 4 [11 <1 故只需满足 3 ,解得2<a<3. 12 1-1n- <Ina -----15分 第4页 18.(本题满分17分) (1)在数列0}中，由a1= 0+3,得 -83=31,则d+方 1+13+ Gu+1 a an 所以数列日+宁是以为公比，以好十 1,13 =。为首项的等比数列， 422 ”-专，解利4子所以红的通项公式=写弓 113 则+ 2 a.22 2 -7分 T22, 两式相减得号7，-1+1++ 2++n1- 2 21-2z三2 11 22、42 2， 2 因此z-4子a=N面m-X-23-0,放7>Z, 2n-12n 2n 则数列红}为单增数列，所以(I)mm=I=l,故由k<Tn恒成立可得k<1, 所以使得k<T恒成立的最大整数k=0.…17分 19.(本题满分17分) (1)将点(1，-2)代入曲线C,得到p=2,即曲线C:y2=4x. 直线Qy-:)-2.文x指于点4(50)，符到4-5，文自线C于另一点 0,直线9A:y)-25)+10交x轴于点440，得到a二45 B设2坐标为（店4Xa,<D日4=2Q丝标为手6Xc:>0 4 k=kpe.= c2-6,c+6得到c.+6,= 4 -k=kn2. nb 4 46,2-636+6 ,得到c,+bn=4 构造一个新数列{x},令xm1=-b。,七m=Cn； 则无。=6+6一是且--6君微藏列)为首项为2公 发为专容发数列即飞-2-0-小君 第5页 分折度形可ana-AA=na-e+ 4n、4,8 k +京n(>0且为常数) 8 则(a2-a）-a1-a,)= 故数列{a1-an}为等差数列. -9分 2k B)直线P.Q.斜率为k,O.卫斜率为-k,则in∠P,PnF+ 只2-小1小 1+k2 g=sa-wmo.x.WoFL.o1=号头长，9 1 4, 4 k (2+ 32 64 2七 64 故S:-Sn=2X23 皮小图cm及程 故数列{Sn1-Sn}为等差数列. 则dn= 1 1 SS2-S-SS2+SS (S-S)(S2-S 61 1) 512 S1-S S+2-S 而到k=4时，S1-Sn=8n+1),Sn+2-S1=8(n+2). 则之 故以+以=吋*写*六 ---17分 第6页