微专题20空间中的平行与垂直关系讲义(几何法、向量法)-2026届高三数学二轮专题复习

微专题20　空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法) 高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理,对命题的真假进行判断,属基础题; 2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容,多出现在立体几何解答题中的第(1)问. 1、 高考真题 1.(2025·天津卷)已知m,n为两条直线,α,β为两个平面,则下列结论中正确的是(　　) A.若m∥α,n⊂α,则m∥n B.若m⊥α,m⊥β,则α⊥β C.若m∥α,m⊥β,则α⊥β D.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β 答案　C 解析　若m∥α,n⊂α,则m∥n或m,n异面,A错误; 若m⊥α,m⊥β,则α∥β,B错误; 若m∥α,m⊥β,则α⊥β,C正确; 若m⊂α,α⊥β,则m∥β或m与β相交或m⊂β, D错误. 2.(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则(　　) A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D 答案　BD 解析　在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC, 又AD⊂平面ABC, 则AA1⊥AD, 即·=0, 因为△ABC是正三角形,D为BC中点, 则AD⊥BC,即·=0, 又 =++, 所以·=(++)·=·++·=≠0, 则AD与A1C不垂直,故A错误; 因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱, 所以AA1⊥平面ABC,则AA1⊥BC, 因为△ABC是正三角形,D为BC的中点, 则AD⊥BC,又AD∩AA1=A,AD,AA1⊂平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,B正确; AB∥A1B1,AD与AB相交, 所以AD与A1B1异面,C错误; CC1∥AA1,CC1⊄平面AA1D,AA1⊂平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D,D正确.故选BD. 3.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 答案　A 解析　在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD, 又EF⊂平面ABCD, 所以EF⊥DD1. 因为E,F分别为AB,BC的中点, 所以EF∥AC,所以EF⊥BD. 又BD∩DD1=D,BD,DD1⊂平面BDD1, 所以EF⊥平面BDD1. 又EF⊂平面B1EF, 所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正确; 如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系, 设AB=2, 则D(0,0,0),B1(2,2,2), E(2,1,0),F(1,2,0), B(2,2,0),A1(2,0,2), A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2), 则=(-1,1,0),=(0,1,2), =(2,2,0),=(2,0,2), =(0,0,2),=(-2,2,0), =(-2,2,0). 设平面B1EF的一个法向量为m=(x1,y1,z1), 则有 可取m=(2,2,-1), 同理可得平面A1BD的一个法向量为n1=(1,-1,-1), 平面A1AC的一个法向量为n2=(1,1,0), 平面A1C1D的一个法向量为n3=(1,1,-1), 则m·n1=2-2+1=1≠0, 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直, 故B错误; 因为m与n2不平行, 所以平面B1EF与平面A1AC不平行, 故C错误; 因为m与n3不平行, 所以平面B1EF与平面A1C1D不平行, 故D错误. 4.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点,则满足MN⊥OP的是(　　) 答案　BC 解析　设正方体的棱长为2. 对于A,如图1所示,连接AC,则MN∥AC,故∠POC(或其补角)为异面直线OP,MN所成的角. 在△POC中,显然∠POC≠, 故MN⊥OP不成立,故A错误; 对于B,如图2所示,取MT的中点为Q, 连接PQ,OQ,则OQ⊥MT,PQ⊥MN. 由正方体SBCN-MADT可得SM⊥平面MADT, 而OQ⊂平面MADT,故SM⊥OQ, 又SM∩MT=M,SM,MT⊂平面SNTM, 故OQ⊥平面SNTM, 又MN⊂平面SNTM,所以OQ⊥MN, 又OQ∩PQ=Q,OQ,PQ⊂平面OPQ, 所以MN⊥平面OPQ, 又OP⊂平面OPQ,故MN⊥OP,故B正确; 对于C,如图3,连接BD,则BD∥MN, 由B的判断可得OP⊥BD,故OP⊥MN, 故C正确; 对于D,如图4,取AD的中点Q,AB的中点K,连接OA,AC,PQ,OQ,PK,OK,则AC∥MN. 因为DP=PC,故PQ∥AC,故PQ∥MN, 所以∠QPO(或其补角)为异面直线PO,MN所成的角, 因为正方体的棱长为2, 故PQ=AC=,OQ===, PO===, QO2<PQ2+OP2,故∠QPO不是直角, 故PO,MN不垂直,故D错误.故选BC. 5.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则(　　) A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值 B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值 C.当λ=时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP D.当μ=时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P 答案　BD 解析　=λ+μ(0≤λ≤1,0≤μ≤1). 对于选项A,当λ=1时,点P在棱CC1上运动,如图1所示,此时△AB1P的周长为AB1+AP+PB1=++=++,不是定值,A错误; 图1 对于选项B,当μ=1时,点P在棱B1C1上运动,如图2所示, 图2 则==S△PBC×=S△PBC=××1×1=,为定值,故B正确; 对于选项C,取BC的中点D,B1C1的中点D1,连接DD1,A1B,则当λ=时,点P在线段DD1上运动,如图3所示.假设A1P⊥BP,则A1P2+BP2=A1B2,即+(1-μ)2++μ2=2,解得μ=0或μ=1,所以点P与点D或D1重合时,A1P⊥BP,故C错误; 图3 法一　由多选题特征,排除A,C,故选BD. 法二　对于选项D,易知四边形ABB1A1为正方形,所以A1B⊥AB1.设AB1与A1B交于点K,连接PK,要使A1B⊥平面AB1P,需A1B⊥KP,所以点P只能是棱CC1的中点,故选项D正确.综上,选BD. 法三　对于选项D,分别取BB1,CC1的中点E,F,连接EF,则当μ=时,点P在线段EF上运动.以点C为原点建立如图4所示的空间直角坐标系C-xyz, 图4 则B1(0,1,1),B(0,1,0),A1,P, 所以=, =. 若A1B⊥平面AB1P,则A1B⊥B1P, 所以-+=0,解得λ=1, 所以只存在一个点P,使得A1B⊥平面AB1P,此时点P与F重合,故D正确.综上,选BD. 二．典型例题 1.空间线、面位置关系的判定 例1 (1)(多选)(2025·深圳二模)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列四个命题是真命题的是(　　) A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n C.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n D.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥n (2)(多选)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G分别为棱BC,CC1,CD的中点,则下列结论正确的有(　　) A.AE与D1F共面 B.平面AB1D1∥平面GFE C.AE⊥EF D.BF∥平面AB1D1 答案　(1)BCD　(2)AB 解析　(1)对于A,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α与β相交,故A错误; 对于B,不妨设n⊂β,α∩β=l,则由n∥α, 得l∥n,又l⊂α,m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n,故B正确; 对于C,因为m⊥α,n⊥β, 则m,n的方向向量m,n分别为α,β的法向量. 因为α⊥β, 所以m⊥n,所以m⊥n,故C正确; 对于D,不妨设m⊂γ,α∩γ=l,则由m∥α,得l∥m,又l⊄β,m∥β,所以l∥β,又l⊂α,α∩β=n,所以n∥l,所以m∥n,故D正确. (2)如图所示,对于A,连接BC1,因为点E,F分别为棱BC,CC1的中点,所以EF∥BC1. 因为AB∥D1C1且AB=D1C1, 所以四边形ABC1D1为平行四边形,所以BC1∥AD1,所以EF∥AD1,所以AE与D1F共面,A正确; 对于B,因为BB1∥DD1且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形,则BD∥B1D1,又因为E,G分别为BC,CD的中点,则EG∥BD,所以EG∥B1D1. 因为EG⊄平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1,所以EG∥平面AB1D1. 由A选项分析知EF∥AD1, 又EF⊄平面AB1D1,AD1⊂平面AB1D1, 所以EF∥平面AB1D1, 又因为EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG, 所以平面EFG∥平面AB1D1,B正确; 对于C,因为EF∥AD1且EF≠AD1,AE=D1F, 所以四边形AD1FE为等腰梯形,故AE,EF不垂直,C错误; 对于D,由B选项的分析知平面EFG∥平面AB1D1,而BF∩平面EFG=F,所以BF与平面AB1D1不平行,D错误. 规律方法　判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理进行判断; (2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断; (3)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系,并结合有关定理进行判断. 训练1 (1)(2025·厦门模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,α∩β=n,则下列说法正确的是(　　) A.若m∥α,则m∥n B.若m∥n,则m∥α C.若m⊥n,则m⊥β D.若m⊥β,则m丄n (2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P,Q,M,N,T分别为所在棱的中点,则(　　) A.QN⊥BB1 B.QN∥平面BCC1B1 C.直线QN与PT为异面直线 D.B1D⊥平面PMT 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)若m∥α,则m,n平行或异面,A错误; 若m∥n,则m∥α或m⊂α,B错误; 若m丄n,则m,β不一定垂直,也可能平行或相交,C错误; 若m⊥β,α∩β=n,则m⊥n,D正确. (2)如图,建立空间直角坐标系,设棱长为2, 则Q(2,0,1),N(1,2,0),B(0,0,2),B1(0,0,0),A1(2,0,0),P(1,0,2),T(0,2,1),D(2,2,2),M(2,1,0). 对于A,=(-1,2,-1),=(0,0,-2), ·=2≠0,所以QN与BB1不垂直,故A错误; 对于B,平面BCC1B1的一个法向量为=(2,0,0),·=-2≠0,所以QN与平面BCC1B1的法向量不垂直,则QN与平面BCC1B1不平行,故B错误; 对于C,=(-1,2,-1),=(-1,2,-1), 所以=,则PT∥QN,故C错误; 对于D,=(2,2,2),=(1,1,-2), =(-1,2,-1), 所以·=0,·=0, 即B1D⊥PT,B1D⊥PM, 又PM∩PT=P,PM,PT⊂平面PMT, 所以B1D⊥平面PMT,故D正确. 2.几何法证明平行、垂直 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证: (1)PE⊥BC; (2)平面PAB⊥平面PCD; (3)EF∥平面PCD. 证明　(1)因为PA=PD,E为AD的中点, 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形, 所以BC∥AD,所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形, 所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD. 又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以PD⊥平面PAB. 又PD⊂平面PCD, 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图, 取PC的中点G,连接FG,DG. 因为F,G分别为PB,PC的中点, 所以FG∥BC,FG=BC. 因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点, 所以DE∥BC,DE=BC, 所以DE∥FG,DE=FG, 所以四边形DEFG为平行四边形. 所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD, 所以EF∥平面PCD. 规律方法　平行关系及垂直关系的转化 训练2 如图所示,平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面,点C为底面圆周上异于A,B的任意一点. (1)求证:BC⊥平面A1AC; (2)若D为AC的中点,求证:A1D∥平面O1BC. 证明　(1)∵AB为☉O的直径, 点C为☉O上的异于A,B的任意一点, ∴BC⊥AC. 又在圆柱OO1中,AA1⊥底面☉O,BC⊂底面, ∴AA1⊥BC, 又AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面A1AC, ∴BC⊥平面A1AC. (2)取BC的中点E,连接DE,O1E, ∵D为AC的中点, ∴在△ABC中,DE∥AB,且DE=AB, 又在圆柱OO1中,A1O1∥AB,且A1O1=AB, ∴DE∥A1O1,DE=A1O1, ∴四边形A1DEO1为平行四边形, ∴A1D∥O1E. 而A1D⊄平面O1BC,O1E⊂平面O1BC, ∴A1D∥平面O1BC. 3.向量法证明平行、垂直 例3 如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点(请用空间向量给予证明). (1)求证:EF∥平面A1B1BA; (2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1. 证明　(1)由AB=AC,E为BC的中点,则AE⊥BC,而AA1⊥平面ABC,AA1∥BB1,故以过E且平行于BB1的直线为z轴,EC,EA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AB=3,BE=, 所以AE=2, 所以E(0,0,0),C(,0,0),A(0,2,0),B(-,0,0),B1(-,0,2),A1(0,2,),F. 所以=,=(-,-2,0),=(0,0,). 设平面A1B1BA的法向量为n=(x,y,z), 则 令x=-2, 则可得平面A1B1BA的一个法向量为n=(-2,,0), 而·n=×(-2)+1×+×0=0, 所以⊥n, 又EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA. (2)因为EC⊥平面AEA1, 则=(,0,0)为平面AEA1的一个法向量. 又EA⊥平面BCB1, 则=(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量. 因为·=0,所以⊥, 故平面AEA1⊥平面BCB1. 训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E为PC上一点,且PE=PC(请用空间向量给予证明). (1)求证:AE⊥平面PBC; (2)求证:PA∥平面BDE. 证明　(1)由题意,AB,AD,AP两两垂直,故以A为原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2), 所以=(1,1,-2),=(0,0,2),=(1,-1,0),=(2,0,0). 因为PE=PC, 所以=, 所以=+=, 所以·=+-=0, ·=-+0=0, 所以⊥,⊥, 即AE⊥PC,AE⊥CB, 又因为PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC, 所以AE⊥平面PBC. (2)由(1)可得=-=-(2,0,0)=, =(0,0,-2),=(-2,1,0). 设平面BDE的法向量为n=(x1,y1,z1), 则 即 令x1=1,得y1=2,z1=0, 则n=(1,2,0)是平面BDE的一个法向量. 因为·n=(0,0,-2)·(1,2,0)=0, 所以⊥n, 因为PA⊄平面BDE, 所以PA∥平面BDE. 【精准强化练习】 一、单选题 1.(2025·贵阳适考)已知a,l为直线,α为平面,则“∃a⊂α,l⊥a”是“l⊥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　根据题意易知当l⊂α时,可判断“∃a⊂α,l⊥a”推不出“l⊥α ”,如图. 当l⊥α时,可知l垂直于平面α内的所有直线,因此可以推出∃a⊂α,l⊥a, 因此“∃a⊂α,l⊥a”是“l⊥α”的必要不充分条件. 2.(2025·兰州诊断)设α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,能确定m∥n的一组条件是(　　) A.α⊥β,m⊥α,n∥β B.α∥β,m⊂α,n⊥β C.α⊥β,m⊂α,n∥β D.α∥β,m⊥α,n⊥β 答案　D 解析　对于A,若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m,n可能相交、平行或异面,A选项错误; 对于B,若α∥β,m⊂α,n⊥β,则m⊥n,B选项错误; 对于C,若α⊥β,m⊂α,n∥β,则m,n可能相交、平行或异面,C选项错误; 对于D,若α∥β,m⊥α,n⊥β,则m∥n,D选项正确. 3.(2025·南通模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列关系正确的是(　　) A.AD⊥B1C B.A1D⊥BD C.AC1⊥A1C D.AC1⊥CD1 答案　D 解析　AD与B1C异面且所成角为45°,A错误; A1D与BD所成角为60°,B错误; 易证AC1⊥平面A1BD,而A1C与平面A1BD相交, 所以A1C与AC1不垂直,C错误; 易证AC1⊥平面B1CD1,且CD1在平面B1CD1内,所以AC1⊥CD1,D正确.故选D. 4.(2025·昆明诊断)如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点,则下列说法正确的是(　　) A.直线HE与直线GF是异面直线 B.直线HE与直线BB1是异面直线 C.直线HE与直线CC1共面 D.直线HE与直线BF共面 答案　C 解析　延长AA1,BB1,CC1,DD1, 由正四棱台的性质可得侧棱AA1,BB1,CC1,DD1的延长线交于一点,设该点为P. 延长HE,GF, 则HE,GF的延长线必过点P, 则直线HE与直线GF相交于点P,与直线BB1相交于点P,与直线CC1相交于点P,与直线BF是异面直线.故选C. 5.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 答案　A 解析　由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,AB,BC1⊂平面ABC1,得AC⊥平面ABC1. 因为AC⊂平面ABC, 所以平面ABC1⊥平面ABC, 所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上. 6.(2025·安阳、焦作模拟)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为梯形,AB=BB1=C1D1=6,CD∥AB,=λ(0<λ<1),若DD1∩平面AC1M=N,则DN=(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,CD∥AB, 所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1, 又平面AMC1N∩平面ABB1A1=AM, 平面AMC1N∩平面DCC1D1=C1N, 所以AM∥C1N, 故易知△C1D1N∽△ABM, 故=,则=, 解得D1N=, 则DN=6-=.故选C. 7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面△A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列说法正确的是(　　) A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1A1 C.AE与B1C1为异面垂直 D.A1C1∥平面AB1E 答案　C 解析　对于A,∵CC1⊂平面BCC1B1, B1E⊂平面BCC1B1, ∴CC1与B1E共面,A错误; 对于B,若AC⊥平面ABB1A1, 则由AB⊂平面ABB1A1,得AC⊥AB,即△ABC为直角三角形, ∴△A1B1C1为直角三角形,与已知△A1B1C1是正三角形相矛盾,B错误; 对于C,∵AE∩平面BCC1B1=E,E∉B1C1, ∴AE,B1C1为异面直线. ∵△ABC为正三角形,E为BC的中点, ∴AE⊥BC, ∵BC∥B1C1,∴AE⊥B1C1,C正确; 对于D,直线AC交平面AB1E于点A, 又AC∥A1C1, ∴直线A1C1与平面AB1E相交,故D错误. 8.(2025·武汉模拟)如图,已知在四面体ABCD中,△BCD为等边三角形,AB=,△BCD的面积为,点A在平面BCD上的投影为点B,点M,N分别为AC,CD的中点,则(　　) A.MN与BD相交 B.MN与AD异面 C.BM⊥AN D.DM⊥BN 答案　C 解析　对于A,B,连接MN,则MN∥AD, 又MN⊄平面ABD,AD⊂平面ABD,AD与BD相交, 故MN与BD异面,故A,B错误; 对于C,设△BCD的边长为a, 则a2sin 60°=,解得a=2. 连接BN,因为N为CD的中点, 所以BN⊥CD. 又A在平面BCD上的投影为点B, 故AB⊥平面BCD, 所以以B为坐标原点,BN所在直线为x轴,平行CD的直线为y轴,BA所在直线为z轴, 建立如图所示空间直角坐标系, 又AB=,故B(0,0,0),M, A(0,0,),N(,0,0), 则=,=(,0,-), ·=·(,0,-) =+0-=0,所以BM⊥AN,C正确; 对于D,D(,1,0),=, =(,0,0), 故|cos <,>|===, 故DM,BN所成角的余弦值为,故D错误. 二、多选题 9.(2025·汕头模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1中,=2,=2,=-3,=-3,则下列两个平面的位置关系中,不成立的是(　　) A.平面EFGH∥平面A1AC B.平面EFGH∥平面A1C1D C.平面EFGH⊥平面BDD1 D.平面EFGH⊥平面A1BD 答案　ABD 解析　根据题意,可得E,F分别为AB,BC的中点,H,G分别为A1B1,B1C1靠近B1的三等分点,故AA1与EH相交,A错误; 因为AC∥A1C1,AC⊂平面B1AC,A1C1⊄平面B1AC,则A1C1∥平面B1AC, 同理可得A1D∥平面B1AC, 又A1C1∩A1D=A1,且 A1C1,A1D⊂ 平面DA1C1, 则平面A1C1D∥平面B1AC. 若平面EFGH∥平面A1C1D, 则平面EFGH∥平面B1AC,这与它们相交矛盾,B错误; 因为E,F分别为AB,BC的中点,则EF∥AC. 因为AC⊥BD,AC⊥BB1,且BD∩BB1=B,BD,BB1⊂平面BB1D,AC⊥平面BDD1, 所以EF⊥平面BDD1,C正确; 连接A1D,AD1,则A1D⊥AD1, 又A1D⊥C1D1,且AD1∩C1D1=D1,AD1,C1D1⊂平面AC1D1, 则A1D⊥平面AC1D1,又AC1⊂平面AC1D1,则A1D⊥AC1, 同理可得:BD⊥AC1, 又BD∩A1D=D, BD,A1D⊂平面A1BD, 则AC1⊥平面A1BD. 若平面EFGH⊥平面A1BD, 又AC1⊄平面EFGH, 则AC1∥平面EFGH, 又AC∥平面EFGH,AC∩AC1=A,AC,AC1⊂平面ACC1, 所以平面ACC1∥平面EFGH,这和CC1与GF相交矛盾,D错误. 10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BB1的中点,AA1=AB=BC,AA1⊥平面ABC,∠ABC=90°,则下列结论错误的是(　　) A.平面ABC1⊥平面ACC1A1 B.平面A1BC⊥平面ABC1 C.A1D∥平面ABC1 D.A1D⊥AC1 答案　ABC 解析　由题意得AB,BC,B1B两两垂直, 故以点B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,0,0). 设AA1=2, 则AB=BC=2, 则A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,),A1(2,0,2), B1(0,0,2),C1(0,2,2). 设平面A1BC的法向量为u=(x1,y1,z1). 又=(0,2,0),=(2,0,2), 则 取x1=, 则平面A1BC的一个法向量为u=(,0,-1), 设平面ACC1A1的法向量为m=(x2,y2,z2). 又=(0,0,2),=(-2,2,0), 则 取x2=1, 则平面ACC1A1的一个法向量为m=(1,1,0). 设平面ABC1的法向量为n=(x3,y3,z3), 又=(2,0,0),=(0,2,2), 则 取y3=, 则平面ABC1的一个法向量为n=(0,,-1). 对于A,因为m·n=0++0=≠0, 所以平面ABC1与平面ACC1A1不垂直,A错误; 对于B,因为u·n=1≠0, 所以平面A1BC与平面ABC1不垂直,B错误; 对于C,=(-2,0,-), 因为·n=≠0, 则A1D与平面ABC1不平行,C错误; 对于D,=(-2,2,2), 因为·=4-4=0, 所以AC1⊥A1D,D正确. 11.(2025·南宁三适)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,点P满足=λ+μ,λ∈[0,1],μ∈[0,1],则下列说法正确的是(　　) A.若λ=μ,则DP∥平面AB1D1 B.若λ=2μ,则CE⊥平面ABP C.若μ=,则存在λ,使A1E∥D1P D.若μ=,则存在λ,使A1C⊥平面DPB 答案　ABD 解析　对于A选项,若λ=μ,则=λ+λ=λ,λ∈[0,1], 则点P在线段BC1上,如图. 故有平面AB1D1∥平面BC1D, 又因为DP⊂平面BC1D, 所以DP∥平面AB1D1,故A正确; 对于B选项,若λ=2μ,=2μ+μ=μ(2+)=2μ, N为B1C1的中点,如图, 又因为λ∈[0,1],λ=2μ, 所以2μ∈[0,1], 所以CE⊥BN, 所以CE⊥AB, 又因为BN∩AB=B,BN,AB⊂平面ABP, 所以CE⊥平面ABP,故B正确; 对于C选项,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D1(0,0,a),A1(a,0,a),B1(a,a,a),C1(0,a,a),E. 因为=λ+μ,=(0,0,a), =(-a,0,0), 所以=(-μa,0,λa), 则点P的坐标为(a-μa,a,λa). 若μ=, 则P,=,=. 假设存在λ,使A1E∥D1P, 则存在实数k,使得=k, 即=k, 可得=0,此方程无解, 所以不存在λ,使A1E∥D1P,C错误; 对于D选项,若μ=, 则P,=, =(a,a,0),=(-a,a,-a). 设平面DPB的法向量为m=(x1,y1,z1), 则 即 由ax1+ay1=0得x1=-y1, 代入x1+ay1+λaz1=0, 得-y1+ay1+λaz1=0, 即y1+λz1=0,y1=-3λz1, 令z1=1,则y1=-3λ,x1=3λ, 所以m=(3λ,-3λ,1). 若A1C⊥平面DPB, 则与平面DPB的法向量m平行, 即存在实数k,使得=km, (-a,a,-a)=k(3λ,-3λ,1). 可得 由-a=k代入-a=3kλ得-a=-3aλ, 解得λ=, 所以存在λ,使A1C⊥平面DPB,D正确. 三、填空题 12.已知平面α∥平面β∥平面γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和D,E,F,若AB=6,=,则AC=　　　　.  答案　15 解析　α∥β∥γ,根据面面平行的性质定理可知AD∥BE∥CF, ∴=. 由=,得==, 又AB=6,∴BC=9, ∴AC=AB+BC=15. 13.如图为四棱锥A-DEFG的侧面展开图(点G1,G2重合为G),其中AD=AF,G1D=G2F,E是线段DF的中点,请写出四棱锥A-DEFG中一对一定相互垂直的异面直线:　　　　(填上你认为正确的一个结论即可,不必考虑所有可能的情形).  答案　AE和DF(答案不唯一) 解析　将四棱锥还原如图所示,连接DF和GE,相交于点O,连接AO. 因为DG=FG,DE=EF,GE=GE, 所以△GDE≌△GFE, 所以∠DGO=∠FGO, 又DG=GF,GO=GO, 所以△DGO≌△FGO,所以DO=OF, ∠GOD=∠GOF=,所以DF⊥GE. 因为AD=AF,OD=OF,所以AO⊥DF. 又因为AO∩GE=O,AO,GE⊂平面AGE, 所以DF⊥平面AGE, 又AE⊂平面AGE,所以DF⊥AE. 14.如图,平面ABC⊥平面BCDE,四边形BCDE为矩形,BE=2,BC=4,△ABC的面积为2,点P为线段DE上一点,当三棱锥P-ACE的体积为时,=　　　　.  答案　 解析　如图,过A作AF⊥CB的延长线,垂足为F, ∵平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC, ∴AF⊥平面BCDE. 由BC=4,△ABC的面积为2, 得BC·AF=2,∴AF=. 在DE上取一点P,连接AP,CP, ∵VP-ACE=VA-PCE=×·PE·CD·AF =×PE×2×=. ∴PE=1,∴=. 四、解答题 15.(2025·上海卷)如图,P是圆锥的顶点,O是底面圆心,AB是底面直径,且AB=2. (1)若直线PA与圆锥底面所成角为,求圆锥的侧面积; (2)已知Q是母线PA的中点,点C,D在底面圆周上,且弧的长为,CD∥AB,设点M在线段OC上,证明:直线QM∥平面PBD. (1)解　连接PO(图略), 由题意知PO⊥圆锥底面, 所以∠PAO为直线PA与圆锥底面所成的角, 即∠PAO=, 因为AB=2,所以AO=1,PA=2, 所以圆锥的侧面积S=π×AO×PA=2π. (2)证明　连接AC(图略),因为弧, 所以∠COA=, 则△OAC是等边三角形,连接BD, 可得四边形ACDB为等腰梯形,CD=1, 所以CD=OB,又CD∥OB, 所以四边形CDBO是平行四边形, 所以CO∥DB, 又CO⊄平面PBD,DB⊂平面PBD, 所以CO∥平面PBD. 连接OQ(图略), 因为Q,O分别是PA,AB的中点, 所以OQ∥PB, 又OQ⊄平面PBD,PB⊂平面PBD, 所以OQ∥平面PBD. 因为CO∩OQ=O,CO,OQ⊂平面COQ, 所以平面COQ∥平面PBD, 又QM⊂平面COQ,所以QM∥平面PBD. 16.如图,过四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开,得到截面BDEF. (1)请在木块的上表面作出过点P的锯线EF,并说明理由; (2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,试证明:平面BDEF⊥平面ACC1A1. (1)解　在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1,A1B1于E,F两点,则EF为所作的锯线,如图所示.理由如下: 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱B1B∥D1D,B1B=D1D, 所以四边形BB1D1D是平行四边形, 所以B1D1∥BD. 又EF∥B1D1,所以EF∥BD, 故EF为截面BDEF与平面A1B1C1D1的交线, 故EF为所作锯线. (2)证明　由于四边形BB1D1D是矩形, 所以BD⊥B1B. 又A1A∥B1B,所以BD⊥A1A. 又四棱柱的底面为菱形,所以BD⊥AC. 因为AC∩A1A=A,AC,A1A⊂平面A1C1CA, 所以BD⊥平面A1C1CA. 因为BD⊂平面BDEF, 所以平面BDEF⊥平面A1C1CA. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题20　空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法) 高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理,对命题的真假进行判断,属基础题; 2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容,多出现在立体几何解答题中的第(1)问. 1、 高考真题 1.(2025·天津卷)已知m,n为两条直线,α,β为两个平面,则下列结论中正确的是(　　) A.若m∥α,n⊂α,则m∥n B.若m⊥α,m⊥β,则α⊥β C.若m∥α,m⊥β,则α⊥β D.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β 2.(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则(　　) A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D 3.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　　) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 4.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点,则满足MN⊥OP的是(　　) 5.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则(　　) A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值 B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值 C.当λ=时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP D.当μ=时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P 二．典型例题 1.空间线、面位置关系的判定 例1 (1)(多选)(2025·深圳二模)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列四个命题是真命题的是(　　) A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n C.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n D.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥n (2)(多选)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G分别为棱BC,CC1,CD的中点,则下列结论正确的有(　　) A.AE与D1F共面 B.平面AB1D1∥平面GFE C.AE⊥EF D.BF∥平面AB1D1 规律方法　判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理进行判断; (2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断; (3)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系,并结合有关定理进行判断. 训练1 (1)(2025·厦门模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,α∩β=n,则下列说法正确的是(　　) A.若m∥α,则m∥n B.若m∥n,则m∥α C.若m⊥n,则m⊥β D.若m⊥β,则m丄n (2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P,Q,M,N,T分别为所在棱的中点,则(　　) A.QN⊥BB1 B.QN∥平面BCC1B1 C.直线QN与PT为异面直线 D.B1D⊥平面PMT 2.几何法证明平行、垂直 例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.求证: (1)PE⊥BC; (2)平面PAB⊥平面PCD; (3)EF∥平面PCD. 规律方法　平行关系及垂直关系的转化 训练2 如图所示,平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面,点C为底面圆周上异于A,B的任意一点. (1)求证:BC⊥平面A1AC; (2)若D为AC的中点,求证:A1D∥平面O1BC. 3.向量法证明平行、垂直 例3 如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点(请用空间向量给予证明). (1)求证:EF∥平面A1B1BA; (2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1. 训练3 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E为PC上一点,且PE=PC(请用空间向量给予证明). (1)求证:AE⊥平面PBC; (2)求证:PA∥平面BDE. 【精准强化练习】 一、单选题 1.(2025·贵阳适考)已知a,l为直线,α为平面,则“∃a⊂α,l⊥a”是“l⊥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2025·兰州诊断)设α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,能确定m∥n的一组条件是(　　) A.α⊥β,m⊥α,n∥β B.α∥β,m⊂α,n⊥β C.α⊥β,m⊂α,n∥β D.α∥β,m⊥α,n⊥β 3.(2025·南通模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列关系正确的是(　　) A.AD⊥B1C B.A1D⊥BD C.AC1⊥A1C D.AC1⊥CD1 4.(2025·昆明诊断)如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD的中点,则下列说法正确的是(　　) A.直线HE与直线GF是异面直线 B.直线HE与直线BB1是异面直线 C.直线HE与直线CC1共面 D.直线HE与直线BF共面 5.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 6.(2025·安阳、焦作模拟)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为梯形,AB=BB1=C1D1=6,CD∥AB,=λ(0<λ<1),若DD1∩平面AC1M=N,则DN=(　　) A. B. C. D. 7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面△A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列说法正确的是(　　) A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1A1 C.AE与B1C1为异面垂直 D.A1C1∥平面AB1E 8.(2025·武汉模拟)如图,已知在四面体ABCD中,△BCD为等边三角形,AB=,△BCD的面积为,点A在平面BCD上的投影为点B,点M,N分别为AC,CD的中点,则(　　) A.MN与BD相交 B.MN与AD异面 C.BM⊥AN D.DM⊥BN 二、多选题 9.(2025·汕头模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1中,=2,=2,=-3,=-3,则下列两个平面的位置关系中,不成立的是(　　) A.平面EFGH∥平面A1AC B.平面EFGH∥平面A1C1D C.平面EFGH⊥平面BDD1 D.平面EFGH⊥平面A1BD 10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BB1的中点,AA1=AB=BC,AA1⊥平面ABC,∠ABC=90°,则下列结论错误的是(　　) A.平面ABC1⊥平面ACC1A1 B.平面A1BC⊥平面ABC1 C.A1D∥平面ABC1 D.A1D⊥AC1 11.(2025·南宁三适)在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,点P满足=λ+μ,λ∈[0,1],μ∈[0,1],则下列说法正确的是(　　) A.若λ=μ,则DP∥平面AB1D1 B.若λ=2μ,则CE⊥平面ABP C.若μ=,则存在λ,使A1E∥D1P D.若μ=,则存在λ,使A1C⊥平面DPB 三、填空题 12.已知平面α∥平面β∥平面γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和D,E,F,若AB=6,=,则AC=　　　　.  13.如图为四棱锥A-DEFG的侧面展开图(点G1,G2重合为G),其中AD=AF,G1D=G2F,E是线段DF的中点,请写出四棱锥A-DEFG中一对一定相互垂直的异面直线:　　　　(填上你认为正确的一个结论即可,不必考虑所有可能的情形).  14.如图,平面ABC⊥平面BCDE,四边形BCDE为矩形,BE=2,BC=4,△ABC的面积为2,点P为线段DE上一点,当三棱锥P-ACE的体积为时,=　　　　.  四、解答题 15.(2025·上海卷)如图,P是圆锥的顶点,O是底面圆心,AB是底面直径,且AB=2. (1)若直线PA与圆锥底面所成角为,求圆锥的侧面积; (2)已知Q是母线PA的中点,点C,D在底面圆周上,且弧的长为,CD∥AB,设点M在线段OC上,证明:直线QM∥平面PBD. 16.如图,过四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木块上底面内的一点P和下底面的对角线BD将木块锯开,得到截面BDEF. (1)请在木块的上表面作出过点P的锯线EF,并说明理由; (2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形BB1D1D是矩形,试证明:平面BDEF⊥平面ACC1A1. 学科网（北京）股份有限公司 $