专题07 （坐标法，基底法，投影向量法，极化恒等式）四大解法在平面向量中的应用 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

专题07 （坐标法，基底法，投影向量法，极化恒等式）四大解法在平面向量中的应用 题型一 坐标法解决平面向量数量积问题 5 题型二 利用基底法求向量数量积 14 题型三 投影向量与数量投影相关题型 22 题型四 利用极化恒等式求值或者范围 33 题型五 平面向量的综合应用 38 思维导图 一、坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的. 1.平面向量数量积的坐标运算 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 二、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 1．平面向量基本定理 1.平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2.基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3.对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 2.向量共线定理的应用 1.向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2.三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 三、投影向量法：求投影向量时，根据定义由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为利用该向量的数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积；特别注意：投影向量与数量投影的本质区别与联系； 1.投影向量的定义 如图：如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和， 那么向量叫做向量在直线上的投影向量（简称为：投影）； 理解：一个向量在一个非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的； 特殊地，如图，若两个向量共起点； 即：，过点作直线的垂线，垂足为， 则就是向量在向量上的投影向量； 2、数量投影的定义与求法 据图：如果令为向量的单位向量，那么 向量在向量方向上的向量投影为：； 其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影； 理解：（1）当时；实数（*）大于0； （2）当时；实数（*）等于0； （3）当时；实数（*）小于0； 特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此，这个数量投影等于0； 四、极化恒等式法：是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 1.极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 题型一 坐标法解决平面向量数量积问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·全国·模拟预测）已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据向量垂直的坐标表示和模长的坐标表示即可得到方程组，解出即可. 【详解】设，且，①， ，②， 又，③， 由①②③解得，则点的坐标为. 故选：A. 2．（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】作垂直于于点，作垂直于于点，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标计算出的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案. 【详解】 如图，作垂直于于点，作垂直于于点， 又，，， 则，，，， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点， 则设，，则点P的坐标为， 所以，， 又关于的二次函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以当，即点P和点D重合时，取得最小值． 故的最小值是． 故选：C． 3．（25-26高三上·湖南·开学考试）如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）   A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减法运算法则，将要求的式子拆分成已知向量求解；或者直接建立平面直角坐标系，用向量的坐标表示，根据已知条件列方程求解 【详解】方法一： 因为为等边三角形，是边的中点.所以.故. 所以. 因为是边上的中点，所以有. 因此. 故选：D 方法二：    以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设，，，. 则，，，. 所以. 又因为，，所以有 两式作差得.故. 故选：D 二、多选题 4．（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线与C相交于A，B两点，P为AB的中点，为坐标原点，且，则（   ） A．当时， B．点F到的距离的最大值为 C． D．点P的轨迹是一条抛物线 【答案】ABD 【分析】设直线的方程为，，与抛物线方程联立，可求得，A选项，根据得，所以，所以直线垂直于轴，求出A正确；B选项，直线的过定点，从而得到点F到的距离小于等于；C选项，由向量数量积运算法则和基本不等式得到，又，故C错；D选项，消元得到，所以点P的轨迹是一条抛物线. 【详解】设直线的方程为，， 把直线的方程与抛物线方程联立，可得， 因为有两个不同的交点，， 所以，又因为，，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，解得或， 当时，直线的过坐标原点，此时不符合，故舍去， 当时，满足，所以直线的过定点， 对于A，由抛物线方程，可得焦点，又， 即，解得， 又，所以，所以直线垂直于轴， 中，令得，不妨设， 所以，故A正确； 对于B，点F到的距离小于等于，所以点F到的距离的最大值为，故B正确； 对于C，其中，， ， 当且仅当时取等号， 所以，又，故和的大小不确定，故C错误； 对于D，由题意可得，， 所以，即，所以点P的轨迹是一条抛物线，故D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高三上·湖北·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．点的坐标为 【答案】ACD 【分析】根据几何图形，即可确定A，结合三角函数的定义，以及向量数量积的定义和坐标表示，即可判断BC，根据三角函数的定义，结合三角恒等变换，即可判断D. 【详解】A.因为点是的中点，且，所以，故A正确； B.有条件可知，，，， ， 所以，故B错误； C.，故C正确； D. 所以点的坐标为，故D正确. 故选：ACD 6．（2025·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】对A，设，根据可得，从而可得的范围；对B，化简，根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C，化简，再结合满足圆的方程求范围即可；对D，根据满足圆的方程进行三角换元求解最值即可. 【详解】对A，设，根据有， 即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误； 对B， ，则转化为求圆上的点到的距离最大值， 为，故B正确； 对C，，因为，故，故C正确； 对D，因为，故， 又因为，故， ， 故当时，取最小值取最小值，故D正确. 故选：BCD 三、解答题 7．（24-25高三下·北京平谷·期末）已知等腰梯形ABCD，，，，且，动点Q满足． (1)设，求的值； (2)求的值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，建立方程求出，即可得解. （2）利用数量积的坐标运算求解即可. （3）设，结合辅助角公式利用向量的坐标运算求得，根据正弦函数的性质求解最大值即可. 【详解】（1）如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，因为，所以， 所以，则， 因为，所以，解得，故； （2）因为，所以； （3）因为，所以点Q在单位圆上，设， 则， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 题型二 利用基底法求向量数量积 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 2．（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得，解得，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题，设， 因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C. 二、多选题 3．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，在中，，，，，是线段的中点，连接并延长，交线段于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平面向量的线性定理、向量的数量积公式、向量模的公式逐项计算即可. 【详解】因为是线段的中点，所以. 因为，，三点共线，所以，. 因为，，三点共线，所以，解得，所以，A正确. 因为，所以，B错误. 在中，由余弦定理可得，所以. 因为，则，C正确. 因为，，，所以， 所以，D错误. 故选：AC. 4．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知点为所在平面内一点，则（    ） A．若，则 B．若，且，则为等边三角形 C．若，，则 D．若，且，则的面积是面积的 【答案】BCD 【分析】对于A，利用向量的线性质运算，可得，即可求解；对于B，利用数量积的定义及数量积的运算，可得，从而得到，再利用可得，即可求解；对于C，根据条件可得，，进而有M为的垂心，即可求解；对于D，根据条件，可得，令，从而可得Q点在直线BC上，再利用比值，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以， 所以，故选项A错误， 对于选项B，因为， 所以，又，在区间上单调递减，则， 又，则，所以为等边三角形，故选项B正确， 对于选项C，若，，则，， 故点M为的垂心，所以，则，故选项C正确， 对选项D，由于 ，而 ，所以 ，其中 ， 不妨设 ，则Q点在直线BC上， 由于 与 同底，而高线之比等于 MQ 与 AQ 的比，即比值为， 所以 的面积是 面积的 ，故选项D正确， 故选：BCD. 三、填空题 5．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 6．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    7．（25-26高三上·天津·阶段练习）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则正切的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】利用向量的加法、数乘向量的运算即可化简得出；利用，表示，根据得出，再利用公式以及基本不等式求出其最小值，最后利用求出最大值. 【详解】由题意可得， ； ， 因，则， 即， 则， 等号成立时， 则为锐角， 则， 则正切的最大值为.    故答案为：； 8．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则 ；的最小值为 ． 【答案】 3 【详解】    连接AO，并延长交BC于点D，易知点D为BC的中点， 所以，. 又因为是的中心，所以是的重心，即， 所以. 因为，，所以，， 所以. 因为M，O，N三点共线，所以， 所以，. 因为，， 所以， ， 又，所以，. 由，得，， 令，当和重合时，为上中线，此时, 所以，则， 得. 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以， 所以，. 因为， 所以，根据二次函数的性质可知， 所以的最小值为. 故答案为：3，. 题型三 投影向量与数量投影相关题型 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用三点共线，三点共线，得，解得，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题，设， 因为三点共线，三点共线，所以，解得， 所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C. 二、多选题 2．（23-24高一下·山东威海·期末）已知正六边形的边长为，中心为，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．若为正六边形边上的一个动点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】利用向量的数量积计算可判断AD；易得判断B；利用投影向量的定义求得投影向量判断C. 【详解】由题意可得，故A错误； ，故B正确； 在的投影向量为，故C正确； 对于D：设与的夹角为，， 当在方向上的投影向量的模最大时，的数量积最大， 故点与点重合时，的数量积最大， 所以. 故选：BCD. 3．（2025·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. 4．（24-25高三下·宁夏吴忠·期末）如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（      ）    A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断AB选项；利用平面向量数量积的几何意义可判断CD选项. 【详解】对于A选项，正八边形的内角为，易知， ，A对； 对于B选项，连接、，则为正八边形外接圆的一条直径，则，    所以，，B对； 对于C选项，如下图所示：    设在方向上的投影向量为，由图形可知， 当、分别在线段、上时，取最大值， 且的最大值为，C错； 对于D选项，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、，如下图所示：    当点在线段上时，取最小值， 此时，， 当点在线段上时，取最大值， 此时，， 综上所述，，D对. 故选：ABD. 5．（24-25高三下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．若函数，则函数的最小值为 B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D． 【答案】AB 【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算向量坐标，求出函数解析式，利用二次函数求出最值，A正确；取的中点，得到，求出的最大值，从而得到的最大值，B正确；利用数量积的几何意义求解投影向量，C错误；计算向量坐标即可判断D错误，得到答案. 【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系， 设， 在中，根据余弦定理可得，，整理得到， ， ，，设， 对选项A：，， 所以， 所以 ， 所以当时，函数有最小值为，A正确； 对选项B：取的中点，则，， 则，， 两式相减得：， 由正八边形的对称性知，当点与点或重合时，最大， 又，所以， 所以， 所以的最大值为，B正确； 对选项C：，， 所以，即投影向量为，C错误； 对选项D：因为，，所以， 又 ，所以，D错误. 故选：AB 三、填空题 6．（25-26高三上·河南三门峡·期中）已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求出，再利用数量积的运算律求解. 【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量为， 因此，又，所以. 故答案为： 7．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知⊙C的半径为1，是⊙C的一条弦，且，点是上一动点，则的最大值为 . 【答案】/1.5 【分析】设在直线上的投影为点，则，确定取得最大值时情况，求出BQ即可求解. 【详解】设在直线上的投影为点，则， 所以当且在射线上时，最大， 又的半径为1，是的一条弦，且， 此时四边形为菱形且， 所以，则. 故答案为： 8．（2025·上海·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 【答案】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值. 题型四 利用极化恒等式求值或者范围 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【解题思路】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【解答过程】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得 ． 故选：A． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】ABC 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得，结合，即可求范围. 【详解】如图，则， 设弦的中点为，则， 由圆的性质知，则， 的取值范围是． 故选：ABC    3. （2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】连接，求出的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答. 【解答过程】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，    因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且， 所以. 故选：A. 4.（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示，    所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 故选：B. 二、填空题 5．（22-23高三上·辽宁·期中）正方形的边长为2，以为直径的圆，若点为圆上一动点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设点，根据向量的坐标运算结合正弦值的有界性运算求解. 【详解】如图，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， ∵圆M为标准单位圆，设点，则， ∴， 又∵，则. 故答案为：. 题型五 平面向量的综合应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·河北廊坊·模拟预测）设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】令且，应用向量数量积的坐标表示得，即可得最小值. 【详解】由，则，如下图示，    令且，则，，， ， ， ， 所以 ， 当时，有最小值为. 故选：D 2．（2025·四川巴中·二模）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，且，，再应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，最后应用正弦型函数的性质求范围. 【详解】由题设， 设，则. 利用辅助角公式： 因为，所以. 综上，的取值范围是. 故选：A 3．（2025·黑龙江·一模）已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【分析】若为的中点，利用向量加法的几何意义及数量积的运算律得，数形结合最小时取最小值，即可得答案. 【详解】若为的中点，如下图示，，， 所以 ， 由，即圆心，半径，所以， 到的距离，即直线与圆相离， 结合图知，最小，此时. 故选：C. 4．（2023·全国·模拟预测）在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理求出外接圆半径，建立平面直角坐标系，求出三角形顶点坐标，设，根据向量的坐标运算，求出的表达式，结合三角函数性质，即可求得答案. 【详解】由题意等腰中，，， 故，设外接圆半径为R，则； 以的外接圆圆心为原点，以的垂直平分线为y轴， 过点O作的平行线为x轴，建立平面直角坐标系，    则，设，， 则，， 则， ， 故， 因为，故， 即的取值范围是， 故选：C 二、多选题 5．（2025·河南·模拟预测）在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查平面向量的运算性质，对于，先将表示为，求的坐标，再求出其模长； 对于，先利用向量数量积的坐标表示求出，再求出； 对于，由，得为边上的高，再由等面积法求出； 对于，由，得到平分，即，又，所以，最后利用求出即可. 【详解】对于，，故正确； 对于，因为，所以，故错误； 对于，因为，所以为边上的高，的面积为，所以，故错误； 对于，因为，所以平分，即， 又，所以，所以，故正确． 故选：. 6．（2025·四川成都·三模）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则的取值可以为（   ） A．0 B． C．2 D．6 【答案】BD 【分析】依题意可得，，两两的夹角为或，按照此两种情况讨论，结合数量积的运算律即可求得结果. 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等， 所以平面向量，，两两的夹角为或， 又，，， ①当夹角为时，即向量，，同向，则； ②当夹角为时， 则，则， 综上所述，或. 故选：BD． 三、填空题 7．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 【答案】 【分析】将用来表示，进而利用三点共线求得参数；假设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】设，，则， 若，则， 因为B，M，D三点共线，则，得， 所以； 设，，则， 又B，M，D三点共线，则，得， 因为菱形ABCD的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理，得， 解得，或（舍去）．故． 故答案为：、 8．（2025·北京西城·模拟预测）在中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用向量的运算化简，利用基本不等式求最值. 【详解】在中，，所以, 因为为的中点，所以, 又因为为线段上的一个动点，所以， 所以, 当为线段上的中点时取等号， 所以则的最小值为， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 （坐标法，基底法，投影向量法，极化恒等式）四大解法在平面向量中的应用 题型一 坐标法解决平面向量数量积问题 5 题型二 利用基底法求向量数量积 14 题型三 投影向量与数量投影相关题型 22 题型四 利用极化恒等式求值或者范围 33 题型五 平面向量的综合应用 38 思维导图 一、坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的. 1.平面向量数量积的坐标运算 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 的充要条件 与的关系 二、基底法：①利用基底转化向量；②根据向量运算律化简目标；③运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想，三角函数思想等得出结论； 1．平面向量基本定理 1.平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2.基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3.对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 2.向量共线定理的应用 1.向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2.三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 三、投影向量法：求投影向量时，根据定义由投影向量与投影所在的向量共线，问题转化为利用该向量的数量投影与投影所在向量方向上单位向量的积；特别注意：投影向量与数量投影的本质区别与联系； 1.投影向量的定义 如图：如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和， 那么向量叫做向量在直线上的投影向量（简称为：投影）； 理解：一个向量在一个非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的； 特殊地，如图，若两个向量共起点； 即：，过点作直线的垂线，垂足为， 则就是向量在向量上的投影向量； 2、数量投影的定义与求法 据图：如果令为向量的单位向量，那么 向量在向量方向上的向量投影为：； 其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影； 理解：（1）当时；实数（*）大于0； （2）当时；实数（*）等于0； （3）当时；实数（*）小于0； 特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此，这个数量投影等于0； 四、极化恒等式法：是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 1.极化恒等式的证明过程与几何意义 (1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： . 证明：不妨设，则，， ①， ②， ①②两式相加得： . (2)极化恒等式： 上面两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即(如图). (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M为BC的中点)(如图). 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系. 题型一 坐标法解决平面向量数量积问题 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·全国·模拟预测）已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 3．（25-26高三上·湖南·开学考试）如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）   A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，直线与C相交于A，B两点，P为AB的中点，为坐标原点，且，则（   ） A．当时， B．点F到的距离的最大值为 C． D．点P的轨迹是一条抛物线 5．（24-25高三上·湖北·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．点的坐标为 6．（2025·山东潍坊·二模）已知向量，，为平面向量，，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C． D．若，则的最小值为 三、解答题 7．（24-25高三下·北京平谷·期末）已知等腰梯形ABCD，，，，且，动点Q满足． (1)设，求的值； (2)求的值； (3)求的最大值． 题型二 利用基底法求向量数量积 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 2．（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 3．（25-26高三上·湖北·阶段练习）如图，在中，，，，，是线段的中点，连接并延长，交线段于点，则（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高三下·湖北·开学考试）已知点为所在平面内一点，则（    ） A．若，则 B．若，且，则为等边三角形 C．若，，则 D．若，且，则的面积是面积的 三、填空题 5．（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，设的中点为的中点为的中点为，若，则 ， ． 6．（25-26高三上·天津·阶段练习）在中，，,点为的中点，点为的中点，若，则的最大值为 ． 7．（25-26高三上·天津·阶段练习）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则正切的最大值为 ． 8．（2025·天津河西·模拟预测）已知是边长2为正三角形，是的中心，过点的动直线交于点，交于点，设，，，，则 ；的最小值为 ． 题型三 投影向量与数量投影相关题型 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一下·山东威海·期末）已知正六边形的边长为，中心为，则（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．若为正六边形边上的一个动点，则的最大值为 3．（2025·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（    ） A． B． C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D．的最大值为 4．（24-25高三下·宁夏吴忠·期末）如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，、为正八边形内的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（      ）    A． B． C．的最大值为 D． 5．（24-25高三下·浙江衢州·期末）窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ）    A．若函数，则函数的最小值为 B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D． 三、填空题 6．（25-26高三上·河南三门峡·期中）已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 . 7．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知⊙C的半径为1，是⊙C的一条弦，且，点是上一动点，则的最大值为 . 8．（2025·上海·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 题型四 利用极化恒等式求值或者范围 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 1.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 2．（2025高三·全国·专题练习）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 3. （2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 5．（22-23高三上·辽宁·期中）正方形的边长为2，以为直径的圆，若点为圆上一动点，则的取值范围为 . 题型五 平面向量的综合应用 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ 一、单选题 1．（2025·河北廊坊·模拟预测）设点为圆上一点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C． D． 2．（2025·四川巴中·二模）已知点在圆上，点的坐标为为原点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·一模）已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 4．（2023·全国·模拟预测）在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2025·河南·模拟预测）在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川成都·三模）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则的取值可以为（   ） A．0 B． C．2 D．6 三、填空题 7．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 8．（2025·北京西城·模拟预测）在中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $