5.应用技巧专题 轴对称的性质及其应用&问题解决策略：转化-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（北师大版·新教材）

应用技巧专题 轴对称的性质及其应用 题型① 轴对称的性质 (2)若∠B=37°，求∠CDE的度数. 1.如图，AD是△ABC的高，线段AE与线段 AB关于AD对称.若∠B=35°，∠CAE= 40°，则∠BAC的度数为 ( ) A.70° B.75 C.80° D.85 A B∠ D C B…D 5.(教材变式)如图，长方形纸片ABCD,点E, 第1题图 第2题图 F,G分别在边AD,AB,CD上.将∠AEF 2.如图，将△ABD沿△ABC的角平分线AD 沿折痕EF翻折，点A落在点A'处；将 翻折，点B恰好落在AC边上的点E处.已 ∠DEG沿折痕EG翻折，点D落在点D'处， 知∠C=20°，AB+BD=AC,那么∠B的度 (1)如图①，若∠AEF=40°，∠DEG=35°， 数为 ) 求∠A'ED的度数 A.30° B.40° C.60° D.80 (2)如图①，若∠A'ED'=a,求∠FEG的度 3.如下图，点P在∠AOB内，M,N分别是点 数（用含a的式子表示） P关于OA,OB的对称点，MN分别交OA, (3)如图②，若∠A'ED'=a,求∠FEG的度 OB于点E,F,连接PE,PF.若△PEF的 数（用含a的式子表示）. 周长等于20cm,求MN的长， 图① 图② 4.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB =10,AC=6,BC=8,点D在AB边上.将 △ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边 上的点E处 (1)求△BDE的周长. 482 七年级数学BS版 题型② 轴对称的应用 小孔，则展开后的图形是 6.(2025新疆)下列四种化学仪器的示意图中， 是轴对称图形的是 ( 第10题图 △ B A B D C D 7.在一块长方形的空地上修建一个花坛，要求 11.如图所示的是由9个小等边三角形构成的 图形，其中已有两个被涂黑.若再涂黑一 图案为轴对称图形，则图中的设计符合要求 个，使得整个被涂黑的图案构成轴对称图 的有 形的方法有 种 第7题图 第11题图 第12题图 A.4个 B.3个 12.围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图所示 C.2个 D.1个 的是两名同学的部分对弈图，轮到白方落 8.在下列图形中，不能通过图形中的一部分轴 子，观察棋盘，白方若落子于点 对称得到的是 ( 的位置，则所得的对弈图 是轴对称图形（填写“A”“B”“C”“D”中的 一处即可，A,B,C,D均位于棋盘的格点 上) A B 13.(1)观察分析：在一次数学综合实践活动 9.如图，在由边长均为1的小正 中，老师向同学们展示了图①、图②、图③ 方形组成的网格上有2条线 三幅图形.请你结合自己所学的知识，观察 段.请你再画1条线段，使图中 第9题图 图中阴影部分构成的图案，写出两个它们 的3条线段组成一个轴对称图形，画法共有 都具有的特征： ( A.1种 B.2种 (2)动手操作：请在图④中设计一个新的图 C.3种 D.4种 案，使其满足你在(1)中发现的共同特征， 10.(教材变式)小颖学习了传统剪纸技艺后进 行练习.她先把一张正方形纸片按如图所 示的方式对折两次，再剪去一个三角形的 图① 图② 图③ 图④ 下册第五章 83△ ☆问题解决策略：转化 色课内基础闯关 (1)作△ABC关于直线MN对称的 知识点问题解决策略：转化 △A1B1C1 1.如图，甲、乙是两个边长相等的正方形，甲图 (2)求△ABC的面积. 以边为半径在正方形内画圆弧，连接对角 (3)在直线MN上找一点P,使得PA+PB 线；乙图以各边为直径在正方形内画半圆 最短 若阴影部分的面积分别记为S甲，S乙，则S甲 S乙（填“>”“<”或“=”） 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠A=66°，∠C=44°，D 为边BC上一点.将△ABC沿着过点D的直 线折叠，使点B落在边AC的点E处.当 BD最短时，∠ABE= 3.如下图，小河边有两个村庄A,B,要在河边 已课外拓展提高 EF上建一自来水厂向A村与B村供水.若 5.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,E是 要使水厂到A,B村的水管（同样的料）用料 高AD上任意一点，F是AB上任意一点.若 最省，则水厂应建在什么位置？ AC=5,BD=3,AD=4,那么线段BE+EF (1)请找出水厂应建的位置（保留作图痕迹）. 的最小值是 (2)请根据作法写出每一步的详细作图步骤. C24 7 (3)请根据作法解释你的结论。 A.5 B.3 5 D.2 第5题图 第6题图 6.(2025大庆模拟)如图，已知∠AOB=50°，P 为∠AOB内部一点，M,N分别为射线OA, OB上的两个动点.当△PMN的周长最短 时，∠MPN的度数为 知识要点归纳 4.如下图，在由边长为1的小正方形组成的网 转化是解决数学问题的一种重要策略，通过转 格中有一个△ABC.请仅用无刻度的直尺， 化，可以把一个问题转化为与它等价的问题。 完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法） 484 七年级数学BS版因为∠ADB'+∠ADB+∠BDB'=360°，且∠BDB1 =90°， 所以2∠ADB+90°=360°，所以∠ADB=135. 因为∠B=20°，所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B =180°-135°-20°=25°； B 图① 2 ②如图②，B'D⊥BC,且点B'与点A在直线BC的 同侧. 由折叠得∠ADB'=∠ADB,且∠BDB'=90°， 所以∠ADB'+∠ADB=2∠ADB=∠BDB'=90°， 所以∠ADB=45°， 所以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-45°-20 =115° 综上所述，∠BAD的度数为25°或115° 应用技巧专题轴对称的性质及其应用 1.A【解析】因为线段AE与线段AB关于AD对称，所 以AB=AE, 所以∠B=∠E=35°， 所以∠BAE=180°-∠B-∠E=110, 因为∠CAE=40°， 所以∠BAC=∠BAE-∠CAE=110°-40°=70°. 2.B【解析】由翻折可得AB=AE,BD=DE, ∠B=∠AED. 又因为AB+BD=AC,AC=AE+CE, 所以BD=CE,所以DE=CE, 所以∠C=∠EDC=20°， 所以∠AED=180°-∠DEC=∠C+∠EDC=40°， 所以∠B=40°」 3.解：因为M,N分别是点P关于OA,OB的对称点， 所以ME=PE,NF=PF, 所以MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF= △PEF的周长. 因为△PEF的周长等于20cm, 所以MN=20cm. 4.解：(1)由折叠的性质可知，CE=AC=6,DE=AD. 因为BC=8,所以BE=BC-CE=2, 所以△BDE的周长=DE+BD+BE=AD+BD+ BE=AB+BE=10+2=12. (2)由折叠的性质可知，∠BCD=∠ACD=2∠ACB =45°，∠CDE=∠ADC, 所以∠ADC=180°-∠BDC=∠B+∠BCD=37°+ 45°=82°. 所以∠CDE=82. 5.解：(1)由题意，得∠A'EF=∠AEF=40°，∠D'EG= ∠DEG=35°， 所以∠A'ED=180°-40°-40°-35°-35°=30 (2)由题意，得∠A'EF=∠AEF,∠D'EG=∠DEG. 因为∠A'ED'=a, 所以2（∠AEF+∠DEG)=180°-a, 所以∠ABF+∠DBG=号1s0-a 所以∠FBG=180-2180-a）=90+3 (3)由题意，得∠A'EF=∠AEF,∠D'EG=∠DEG. 因为∠A'ED'=a, 所以2（∠AEF+∠DEG)=180°+a, 1 所以∠AEF+∠DEG= (180°+a), 所以∠FEG=180-2180°+a)=90-1 2a. 6.C7.A8.C9.D10.C11.312.A(或C) 13.解：(1)轴对称图形面积相等 (2)如图（答案不唯一）. ☆问题解决策略：转化 1. 2.47°【解析】如图，因为将△ABC沿 着过点D的直线折叠，使点B落在 边AC上的点E处，所以BD=DE， 所以当DE⊥AC时，DE最小，即B一 D、 BD最短，所以∠CDE=90°-∠C=90°-44°=46°， ∠BDE=134°.因为BD=DE,所以∠DBE=∠DEB 2(180°-∠BDE)=23.因为∠ABC=180°-∠A -∠C=180°-66°-44°=70°，所以∠ABE=∠ABC -∠DBE=70°-23°=47. 3.解：(1)水厂应建的位置为点V处，如图所示. B (2)作点A关于直线EF的对称点A',再连接A'B交 EF于点N,点N即为所求. (3)因为点A关于直线EF的对称点是A', 所以A'N=AN, 31 下册参考答案 所以AN+BN=A'N+BN=A'B(两点之间，线段 最短). 4.解：(1)如图所示，△A,B,C即为所求。 1 (2)S4Ac=2X3-2×2X1X2-2×1X3=2 (3)如图所示，点P即为所求 M N 5.C【解析】如图，作点F关于AD的对称点F',连接 EF',过点B作BH⊥AC于点H. 因为AB=AC,AD⊥BC, 所以D为BC的中点， 即BC=2BD=6. 因为点F'在AC上， 所以BE+EF=BE+EF', 根据垂线段最短可知，当B,E,F'三点共线，且BF'与 BH重合时，BE十EF的值最小，最小值就是线段BH 1 的长.在△ABC中，2BC·AD=2AC·BH, 所以BH-器 所以B跳+F的最小值为台 6.80°【解析】如图，分别作点P关于 OB,OA的对称点E,F,连接EP, EO,EM,NF,PF.OP,OF, 所以EM=MP,∠MPO=∠MEO,O ∠EOM=∠POM, PN=FN,∠OPN=∠OFN, ∠PON=∠FON, 所以△PMN的周长=PM+PN+MN=EM+NF+ MN≥EF. 当E,M,N,F四点共线时，△PMN的周长最短！ 又因为∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+ ∠NOF,∠AOB=∠MOP+∠PON, 所以∠EOF=2∠AOB. 又因为∠AOB=50°， 所以∠EOF=100°. 因为在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°， 所以∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°. 因为∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN, 所以∠MPO+∠OPN=80°， 所以∠MPN=∠MPO+∠OPN=80° 32 七年级数学BS版 章末对点导练 1.C2.D 3.40°【解析】因为四边形ABCD为长方形，所以∠D= 90°，所以∠DEA=90°-∠DAE=90°-20°=70°.由折 叠知∠AEF=∠DEA=70°，所以∠FEC=180°- ∠AEF-∠DEA=40° 4.解：如图，连接BA',设AC与BB'的交 点为O. 因为CB关于CA的对称线段是CB', 所以BB'⊥AC,∠ACB'=∠ACB. 因为∠ABB'=56°， 所以∠A=90°-∠OBA=34. 因为边CA关于CB的对称线段是CA', 所以△A'CB≌△ACB, 所以∠A'=∠A=34°，∠A'CB=∠ACB, 所以∠ACB'=∠A'CB=∠ACB, 所以∠ACA'=2∠ACB=2∠ACB' 又因为BB'⊥AC, 所以∠ACA'=90°-∠A'=56°， 所以2∠ACB'=56°， 所以∠ACB'=28 5.40° 6.解：因为△ABC和△CDE均是等边三角形， 所以AC=BC,CD=CE,∠DCE=∠ACB=∠BAC =∠ABC=60°， 所以∠DCE+∠ACE=∠ACB+∠ACE, 即∠ACD=∠BCE. 在△ACD和△BCE中， (AC=BC, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, 所以△ACD≌△BCE(SAS), 所以∠CAD=∠CBE, 所以∠AOB=180°-∠BAO-∠ABO=180°- ∠BAC-∠CAD-∠ABO=180°-∠BAC-∠CBE -∠AB0=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60° =60°. 7.C 8.78°【解析】如图，连接BO,并延长BO到点D. 因为直线L1,l2分别垂直平分线段AB,BC, 所以∠BMO=∠BNO=90°，OA=OB=OC,