4.4 利用三角形全等测距离&问题解决策略：特殊化-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（北师大版·新教材）

4利用三角 已课内基础闯关 知识点利用三角形全等测量实际生活中的 距离 1.数学活动课上，小组探究学习的任务是测量 如图所示的学校后花园里水池的宽度，即 A,B两点之间的距离.小组交流后，设计了 方案：①先在地上取一个可以直接到达点 A,B的点C;②连接AC并延长到点D,使 CD=CA;③连接BC并延长到点E,使CE =CB;④连接DE,并测量出它的长度，则 DE的长度就是A,B两点之间的距离.数学 原理是△ABC和△DEC全等.请思考： △ABC≌△DEC所用的判定定理是() A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 第1题图 第2題图 2.(教材变式)如图，为了测量池塘两岸AB的 距离，小林在池塘外的开阔地选了一点O, 测得∠AOB的度数，在OB的另一侧取一点 C,使∠COB=∠AOB,OC=OA,且测得 BC的长为5m,则A,B之间的距离为 A.2.5m B.5m C.7.5m D.10m 3.如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河 边的点C处，面向河对岸，压低帽檐使视线 通过帽檐正好落在河对岸的点A处，然后保 持姿势不变原地向后转，正好看见了他所在 的岸上的一块石头B,并测得BC=30m,则 河宽为 形全等测距离 B 第3题图 第4题图 4.如图，亮亮想测量某湖A,B两点之间的距 离，他选取了可以直接到达点A,B的一点 C,连接CA,CB,并作BD∥AC,截取BD= AC,连接CD,他说，根据三角形全等的判定 方法，可得△ABC≌△DCB,所以AB= CD,他用到三角形全等的判定方法是 5.如图，AM是一段斜坡，AB是水 平线.欢欢为了测量斜坡上一点 C的竖直高度CN,他在点C处 E N B 立上一根竹竿CF,竹竿CF与斜 第5题图 坡AM垂直，在D处垂下一根绳子DE,与斜 坡AM的交点是E,绳子DE可以在竹竿CF 上自由滑动.当DE=AC时，测得CE=2m, 则CN= m.其中，运用到的判定三 角形全等的依据是 6.如下图，小明站在乙楼BE前方的点C处， 恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A和E重合 为一点.若点B,C相距30m,点C,D相距 60m,乙楼高BE是20m,小明身高忽略不 计，则甲楼的高AD是多少米？ 下册第四章 67△ 已课外拓展提高 -g 7.(2025沈阳皇姑区期末)小丽与爸妈在公园 里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置 A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一 蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用 力一推，爸爸在C处接住她.已知妈妈与爸 爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4m 和1.8m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小 丽时，小丽距离地面的高度是 () A.1m B.1.6mC.1.8mD.1.4m 0 第7题图 第8题图 8.如图，大树AB与大树CD相距13m,小华 从点B沿BC走向点C,行走一段时间后他 到达点E,此时他仰视两棵大树的顶点A和 D,两条视线的夹角正好为90°（忽略小华的 身高)，且AE=ED.已知大树AB的高为 5m,小华行走的速度为1m/s,则小华走到 点E所用的时间是 9.奇思利用一根长3m的竿子来测量电线杆 AB的高度.他的方法如下：如下图，在电线 杆前选一点P,使BP=3m,并测得∠APB =70°，然后把竖直的竿子CD(CD=3m)在 BP的延长线上左右移动，使∠CPD=20°， 此时测得BD=11.2m.已知CD⊥BD,AB ⊥BD,请计算出电线杆AB的高度. 468 七年级数学BS版 已综合能力提升 10.应用意识如下图，小明和小华住在同一个 小区的不同单元楼，他们想要测量小明家 所在单元楼AB的高度.首先他们在两栋 单元楼之间选定一点E,然后小华在自己 家阳台C处观察E处得到的角度为∠1，小 明站在E处观察AB楼顶端A处的角度为 ∠2，发现∠1与∠2互余.已知EF=1m, BE=CD=20m,BD=58m,试求单元楼 AB的高度. 知识要点归纳 利用三角形全等测距离是对全等三角形知识的 迁移和应用，依据的是“全等三角形的对应边相 等”这一性质.当难以直接测量两物体之间的距 离时，通过构造全等三角形，将其变为可直接测 量的距离或容易测量的距离.最常利用的类型有 “SAS”和“AAS”两种. ☆问题解决 已课内基础闯关 知识点问题解决策略：特殊化 1.综合与探究 【问题情境】 数学活动课上，老师以直线AB上一点O为 端点作射线OC,OD,OM,ON,使OM平分 ∠AOC,ON平分∠BOD.若∠COD=a,求 ∠MOC+∠DON的度数. 【特例探究】 (1)从特殊到一般是研究几何的一般思路， 如图②，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶 点放在点O处，即∠COD=90°时，∠MOC +∠DON的度数为 (2)受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三 角尺60°角的顶点放在点O处，如图③，即 ∠COD=60°.请你求出此时∠MOC+ ∠DON的度数. 【数学思考】 (3)请你直接写出图①中∠MOC+∠DON 的度数（用含有α的式子表示）. 图① 图② 图3 策略：特殊化 巴课外拓展提高 2.为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常 常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情 形入手，从中找到解决问题的方法 已知：在四边形ABCD中，AC平分∠BAD, ∠B+∠D=180°. (1)如图①，当∠B=90°时，试说明：CD =CB. (2)如图②，当∠B<90°时，试说明：CD =CB. 图② 知识要点归纳 特殊化策略定义：面对一般性的问题时，可以先 考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方 法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。 下册第四章 69△∠BAE=∠CED, 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C, BE=CD. 所以△ABE≌△ECD(AAS), 所以AE=ED. 9.解：(1)AC⊥CE.理由如下： 因为AB⊥BD,DE⊥BD, 所以∠B=∠D=90°. BC=DE, 在△ABC和△CDE中，∠B=∠D, AB=CD. 所以△ABC≌△CDE(SAS), 所以∠A=∠DCE. 因为∠A+∠ACB=90°， 所以∠DCE十∠ACB=90°， 所以∠ACE=90°， 所以AC⊥CE (2)AC⊥BE.理由如下： 同(1)可证△ABC≌△BDE, 所以∠A=∠DBE. 因为∠A+∠ACB=90°， 所以∠DBE+∠ACB=90°， 所以∠BFC=90°， 所以AC⊥BE. (3)因为S△ABc=12,AF:CF=3:1, 1 所以San=1十3SaA=3. 因为△ABC≌△BDE, 所以S△BDE=SAABC=12, 所以四边形CDEF的面积为12一3=9. 4利用三角形全等测距离 1.C2.B3.30m4.SAS 5.2AAS(或ASA)【解析】由题意可知，∠ANC 90°，DE∥CN,所以∠DEC=∠ACN. 因为CF⊥AM,所以∠DCE=90°=∠ANC (∠ACN=∠DEC, 在△ACN与△DEC中，∠ANC=∠DCE, AC=DE. 所以△ACN≌△DEC(AAS),所以CN=CE=2m. 6.解：如图，过点E作EF⊥AD于 点F,则∠EFA=∠CBE=90°， EF∥DC, 所以∠AEF=∠C,DF=BE. 因为点B,C相距30m,点C,D相距60m, 所以EF=DB=BC=30m, 所以△AEF≌△ECB(ASA), 124 七年级数学BS版 所以AF=EB. 因为DF=BE, 所以AD=2BE=2×20=40(m). 故甲楼的高AD是40m. 7.D【解析】因为∠BOC=90°， 所以∠BOD十∠COE=90°. 因为∠BDO=∠OEC=90°， 所以∠BOD+∠OBD=90°， 所以∠COE=∠OBD 又因为OB=CO, 所以△OBD≌△COE(AAS), 所以OE=BD=1.4m,OD=CE=1.8m 所以AE=OA-OE=OD+DA-OE=1.8+1-1.4 =1.4(m) 8.8s【解析】因为∠AED=90°， 所以∠AEB十∠DEC=90°. 因为∠B=90°， 所以∠A十∠AEB=90°，所以∠A=∠DEC. ∠B=∠C=90°， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠DEC, AE=ED, 所以△ABE≌△ECD(AAS), 所以AB=EC=5m. 因为BC=13m, 所以BE=BC-EC=13-5=8(m), 所以小华走到点E所用的时间是8÷1=8(s). 9.解：因为CD⊥BD,AB⊥BD, 所以∠CDP=∠PBA=90°. 因为∠CPD=20°，∠APB=70°， 所以∠DCP=∠BPA=70° ∠CDP=∠PBA, 在△CPD和△PAB中，〈CD=PB, ∠DCP=∠BPA, 所以△CPD≌△PAB(ASA), 所以PD=AB. 因为BD=11.2m,BP=3m, 所以DP=BD-BP=8.2m, 即AB=8.2m. 故电线杆AB的高度是8.2m. 10.解：如图，过点F作FG⊥AB于点G,所以FG=BE =20 m,BG=EF=1 m. 又因为BE=CD,所以FG=CD 因为∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， 所以∠2=∠3. 在△AFG和△ECD中， ∠AGF=∠EDC=90°， FG=CD. ∠2=∠3， 所以△AFG≌△ECD(ASA), 所以AG=ED=BD-BE=58-20=38(m), 所以AB=AG+BG=38+1=39(m). 故单元楼AB的高度为39m. ☆问题解决策略：特殊化 1.解：(1)45 (2)因为∠COD=60°， 所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=180°-60 =120. 因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD, 1 1 所以∠MOC=Z∠AOC,∠DON=2∠BOD, 所以∠MOC+∠DON=2∠AOC+2∠BOD= 2(ZA0c+∠B0D)-2X120-60 (3)因为∠COD=a,所以∠AOC+∠BOD=180° ∠C0D=180°-a. 因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD, 所以∠M0C=号∠A0C,∠DON=2∠BOD, 所以∠M0C+∠DON-号∠A0C+号∠B0D 3∠A0C+∠B0D)=180-。)=90-÷ 2.解：(1)因为∠B+∠D=180°，∠B=90°， 所以∠D=90°，所以∠B=∠D. 因为AC平分∠BAD, 所以∠DAC=∠BAC. 又因为AC=AC, 所以△ADC≌△ABC(AAS), 所以CD=CB. (2)如图，过点C分别作CE⊥AB 于点E,CF⊥AD的延长线于点F 因为∠B+∠ADC=180°，∠ADC +∠FDC=180°， 所以∠B=∠FDC. 同(1)可知，CF=CE. 又因为∠F=∠CEB=90°， 所以△CDF≌△CBE(AAS), 所以CD=CB. 章末对点导练 1.D2.75 3.100°【解析】如图，设AC与DF交于 点G.由题意得，∠BAC=60°，∠C= 30°，∠D=45°.因为∠EAB=35°，所以E ∠CAD=180°-∠EAB-∠BAC= 85°，所以∠AGD=180°-∠D ∠CAD=50°，所以∠CGF=∠AGD=50°，所以 ∠DFC=180°-∠C-∠CGF=100°. 4.A5.B 6.12【解析】因为b-3|+(c一5)2=0，所以b-3=0,c -5=0,所以b=3,c=5.因为a为方程|a-3|=1的 解，所以a=4或2.又因为2十3=5，所以a=4,所以 △ABC的周长为4十3十5=12. 7.D 8.12cm 【解析】因为AD是△ABC的中线，AE是 △ABD的中线， 所以CD=BD=2BC,DE=2BD, 所以CE=DE+CD=子BC, 因为CE=9cm,所以BC=12cm. 9.解：(1)因为AD是△ABC的中线，BD=5, 所以BC=2BD=2X5=10. 因为AF是△ABC的高，SAABC=40, 所以2BC·AF=2X10AF=40,所以AF=8. (2)因为∠BED=40°，所以∠BEA=180°一40°=140°. 因为∠BAD=25°， 所以∠ABE=180°-∠BEA-∠BAD=180°-140°- 25°=15°. 因为BE是△ABD的角平分线， 所以∠ABC=2∠ABE=2×15°=30°. 因为AF是△ABC的高，所以AF⊥BC,所以∠AFB =90°， 所以∠BAF=90°-∠ABC=90°-30°=60. 10.C11.B 12.A【解析】在△ABC和△EDB中， (BC=DB, ∠C=∠DBE, CA=BE, 所以△ABC≌△EDB(SAS), 所以∠A=∠E=180°-∠DBE-∠BDE=43°. 因为∠BDE=75°，所以∠ADF=105°， 所以∠AFD=180°-∠A-∠ADF=32°， 所以∠AFE=180°-∠AFD=148° 下册参考答案 25