4.1 认识三角形-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（北师大版·新教材）

班次信息，所以某人到达车站时，显示屏上正好显示火 车班次信息的概率是 5.8 【解析】因为播放正片与广告的时间之比为8：1， 88 所以他开机就能看到正片的概率为8十一g, 6.B【解析】设16个相同的小正方形的边长为a,则4 个相同的大正方形的边长为1.5a,所以点P落在阴影 部分的概率为2a+2×(1.5a)13 16a2+4×(1.5a)-50 7.解：(1)不可以 51 21 (②)P(获得打折待遇)=204，P(九折)=2010： 1 P(八折)=20P(比折)=20P(五折)=20： 章未对点导练 1.D 2.④②③①【解析】由题意可知，向上一面的点数为正 数的有6个，向上一面的点数是3的倍数的有2个，向 上一面的点数是偶数的有3个，向上一面的点数是两 位数的有0个，所以按发生的可能性从小到大的顺序 排列为④②③①. 3.0.974.C5.D 6.C【解析】因为一个不透明的袋中装有8个黄球、m个 红球、个白球，所以任意摸出1个球，是黄球的概率 8 m十n 为8十m十”，不是黄球的概率为8十m十因为是黄球 的概率与不是黄球的概率相同，所以8+m十n 8 8十m十m,所以m十n=8,故选项C符合题意。 m十n 1.4 【解析】由图可知，黑色区域在整块方砖中所占面 积的比值是手，所以小球停留在黑色区域的概率是， 8.解：(1)设袋中有白球x个 1 根据题意，得50×5十(2x一5)十x=50, 解得x=15, 即袋中有白球15个. (2)由(1)可知黄球有2×15-5=25（个）， 所以从袋中摸出1个球是黄球的概率为需号 1 (3)因为袋中有红球50× 5 =10(个)， 共有球50一2一3=45（个）， 所以从剩余的球中摸出1个球是红球的概率为4行 10 16 七年级数学BS版 2 9 9.解：(1)因为D,F分别为BC,AD的中点， 1 所以S三角5AD=2S三角形Ac,S三角5Ag=2S三角形A0D, 所以S三角能AC=S三角形AC' 1 所以掷中三角形ACF区域的概率为 -S三角形A_1 4 S三角形ABC 41 (2)公平.理由如下： 因为掷中阴影区域的概率为S三角形e十S三角心 1 1 S三角影十 1 S三角形CD S三角形A十4S三角形AD S三角形AB0 S三角形ABC 1 1 S三角形ABC S三角形A一4' 所以掷中三角形ACF区域的概率与掷中阴影区域的 概率相等， 所以这个规则公平 10.B 11.A【解析】正方体共6个面，向上一面出现数字1的 概率为2，出现数字2的概率为3，所以数字1有3 个，数字2有2个，则数字3只有1个，选项A中数字 3有2个，符合题意. 12.2【解析】因为小杰一共有四张卡牌，其中有两张卡 牌上的数字与小明手中卡牌的数字相同，所以小明抽 出的这张卡牌中，和自己手中某一张卡牌的数字一样 的版率为导-日 第四章三角形 1认识三角形 第1课时三角形的概念及内角和 1.C 2.解：(1)5 (2)△CDE的边为CD,CE,DE,角为∠C, ∠CDE,∠DEC (3)AD是△ADB,△ADE,△ADC的边，∠C是 △ABC,△ADC,△DEC的内角. 3.A4.C5.A6.D 7.(1)92°钝角(2)直角(3)30°锐角 8.B【解析】因为∠BAC=90°，所以∠B+∠C=90. 因为AD⊥BC,所以∠BDA=90°， 所以∠B+∠BAD=90°. 故图中与∠B互余的角有2个 9.18° 10.解：因为∠EDF=90°，∠F=45°， 所以∠DEF=45°. 因为EF∥BC, 所以∠CEF=∠ACB=60°， 所以∠CED=∠CEF一∠DEF=60°-45°=15° 11.B12.90°或509 13.80°【解析】如图.由题意可知∠3=90°-∠1=60°， ∠4=90°-∠2=40°，所以∠APB=180°-∠3-∠4 =80° B 14.解：(1)因为在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60° 因为∠BAD=∠CAD,所以∠BAD=2∠BAC =30°. (2)因为∠BAD=∠CAD,∠FGC=∠AGE,∠FGC +∠BAD=180°， 所以∠AGE+∠CAD=180°， 所以EF∥AD. 15.解：(1)因为∠A=40°， 所以∠ACB+∠ABC=180°-40°=140° 又因为∠ACB=∠ABC,∠ACP=∠PBC, 所以∠PBA=∠PCB, 所以∠ACB+∠ABC=2(∠PBC+∠PCB), 所以∠PBC+∠PCB=140×2=70, 所以∠BPC=180°-70°=110°. (2)如图，连接BC 若零件合格，则∠ACB十∠ABC=90° D 因为∠ABD=32°，∠ACD=21°， 所以∠1+∠2=90°-(21°+32) =37°， 此时∠BDC=180°-（∠1+∠2）=143°≠148°， 故此零件不合格. 第2课时三角形的三边关系 1.D2.△ABC,△ABD,△BCD3.C 4.B5.106.117.D 8.17【解析】因为a-71+(b-2)2=0,所以a=7,b= 2.因为a-b<c<a+b,所以7-2<c<7+2,即5< <9.因为c为偶数，所以c=6或8.当c=8时，△ABC 的周长最大，最大值为7+2十8=17. 9.2a-2c【解析】因为△ABC的三边长分别为a,b,c, 所以a十b-c>0,a-b-c<0, 所以|a+b-cl-|a-b-cl=a+b-c+a-b-c= 2a-2c. 10.解：(1)由三角形的三边关系，得4一2<c<4十2， 所以2<c<6. 因为c是偶数，所以c=4. (2)因为a-b=5, 所以a,b中，一个是奇数，一个是偶数。 又因为△ABC的周长为奇数，所以c为偶数. 因为c>a-b=5,所以c的最小值为6. 因为△ABC的三边长为整数，a一b=5, 所以a的最小值为6，此时b=1, 所以△ABC的周长的最小值为13. 第3课时三角形的高、中线和角平分线 1.D 2.12【解析】因为BD,CE是△ABC的高， 所以S△ABC= AC·BD=名AB.CE. 1 即2×15×8=2×10CE. 1 所以CE=12. 3.解：(1)ACBC (2)如图所示. A (3)因为Sax=2AC·BC- 1 2AB·CD, 所以cD=ACBC_4X3=2.4 AB 5 4.A 5.14【解析】设AC=x,则AB=2x.因为BD是AC边 上的中线，所以AD=DC= 2AC= 2x.由题意，得 1 2x+2x=30,解得x=12,所以AC=12,所以BC= 20-号×12=14 6.B【解析】因为∠BAD=∠DAE=∠EAF=∠FAC, 所以∠BAD+∠DAE=∠EAF+∠FAC, 即∠BAE=∠EAC, 所以AE是△ABC的角平分线. 7.∠ABC,∠BDC 8.110°【解析】因为∠BDC=95°，所以∠BDA=180° 95°=85°. 因为∠A=60°， 所以∠ABD=180°-（∠A+∠BDA)=35° 下册参考答案 17 因为BD是△ABC的角平分线 所以∠ABC=2∠ABD=70°. 又因为DE∥BC, 所以∠BED=180°-∠ABC=110°. 9.1.5【解析】因为SaAr=12cm2,D为BC的中点，所 1 以S△Ac=2S△A=6cm.因为E为AD的中点，所 1 以SaA=2SaAe=3cm.因为F为EC的中点，所 1 以Sar=2S△r=1.5cm,即阴影部分的面积为 1.5cm2. 变式题4【解析】因为E是AD的中点，所以S△AE =S△BDE 1 同理S△Ar=SACDE,所以S△E=2SaAc· 因为SAAc=16cm, 所以S△E=8cm. 1 因为F是BE的中点，所以EF=2BE, 1 所以S△c=2S△E=4cm 10.45°【解析】如图，延长CH交AB 于点F. 在△ABC中，因为AD⊥BC,BE⊥ AC,AD与BE交于点H, 所以CF⊥AB,即∠AFC=90° 因为∠BAC=75°，所以∠ACF=15° 因为∠ACB=60°，所以∠BCF=45°， 所以∠CHD=90°-∠BCF=45. 11.解：(1)设∠A=x°，则∠ABC=2x° 因为∠ACB一∠ABC=5°，所以∠ACB=(2x+5)° 因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 所以x+2x+(2x+5)=180, 解得x=35 所以∠A=35°，∠ABC=70°，∠ACB=75°. (2)1259 【解析】(2)因为BD是∠ABC的平分线， 所以∠EBF=2∠ABC=35 因为CE⊥AB,所以∠CEB=90°， 所以∠BFE=90°-35°=55°， 所以∠BFC=180°-∠BFE=125 12.解：(1)如图①，BG即为所求. (2)BG=DE+DE 2AC·DFBG-DE+DF (3)S△AD (4)不成立.理由如下： 418 七年级数学BS版 如图②，过点B作BG⊥AC于点G. 因为S△ABD=S△ABc十S△ACD' 所以AB·DE=号AC,BG+号AC·DF. 因为AB=AC,所以DE=BG+DF, 所以BG=DE一DF C 图① 图② 方法技巧专题三角形中的角度的计算 1.D2.25 3.解：因为∠B=30°，CD⊥AB于点D, 所以∠DCB=90°-∠B=60°. 因为CE平分∠ACB,∠ACB=90°， 1 所以∠ECB=2∠ACB=45, 所以∠DCE=∠DCB-∠ECB=65°-45°=15. 4.55 5.解：因为∠B=40°，∠C=70°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70 =70°. 因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=2∠BAC=2× 70°=35°. 因为EF∥AD,所以∠F=∠CAD=35° 6.解：(1)DP∥AB.理由如下： 因为BD是AC边上的高， 所以∠ADB=90°， 所以∠ABD+∠A=90°. 又因为∠BDP十∠A=90°， 所以∠ABD=∠BDP, 所以DP∥AB. (2)因为∠A=67°，∠ADB=90°， 所以∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-67°-90° =23°. 因为BD平分∠ABC, 所以∠ABC=2∠ABD=2×23°=46°. 因为DP∥AB, 所以∠BPD=180°-∠ABC=180°-46°=134°. 7.D 8.解：(1)909 (2)因为∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， 所以∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC =180°.第四章 三角形 1认识三角形 第1课时 三角形的概念及内角和 色课内基础闯关 知识点③ 三角形按角分类 知识点①三角形的有关概念 6.(教材变式)如图，一只手握住了 1.下面是小李用三根火柴组成的图形，其中符 一个三角形的一部分，则这个三 合三角形概念的是 角形是 ( 第6题图 A.钝角三角形 B.直角三角形 X..△i C.锐角三角形 D.以上都有可能 7.(1)在△ABC中，若∠A+∠B=88°，则∠C .这个三角形是 2.如右图所示. 三角形 (1)图中有 个三角形 (2)若一个三角形三个内角的比为12：3， (2)写出△CDE的边和角， B D 则这个三角形是 三角形 (3)AD是哪些三角形的边？∠C是哪些三 (3)在△ABC中，若∠A=85°，∠B比∠A 角形的内角？ 小20°，则∠C= 这个三角形是 三角形 知识点④ 直角三角形的两锐角互余 8.如图，已知∠BAC=90°，AD 知识点②三角形内角和 ⊥BC,垂足是D,则图中与 3.在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C,则∠C ∠B互余的角有 () 第8题图 等于 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.32° B.36° C.40° D.128 9.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角 4.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B 的4倍，那么这个直角三角形中，较小的锐 50°.若AD∥BC,则∠1的度数为 ( 角的度数是 A.50 B.60 C.70 D.80 10.如下图，点D在BC的延长线上，EF∥BC, ∠B=∠EDF=90°，∠ACB=60°，∠F= 45°.求∠CED的度数. 第4题图 第5题图 5.(2025赣州于都一模)如图，AD∥BC,BD平 分∠ABC,∠D=50°，∠C=34°，则∠CAB 的度数为 ( A.46 B.50° C.56 D.68 48 七年级数学BS版 已课外拓展提高 综合能力提升 11.我们将有一条公共边的两个三角形称为 15.应用意识(1)【问题背景】如图①，在 对“共边三角形”.如图，以BC为公共边的 △ABC中，∠ABC=∠ACB,∠A=40°，P “共边三角形”有 是△ABC内一点，且∠ACP=∠PBC.求 A.2对B.3对 C.4对 D.6对 ∠BPC的度数， (2)【实际应用】一个零件的形状如图②所 示，按规定∠A=90°，∠ABD和∠ACD应 分别是32°和21°.检验工人量得∠BDC= 第11题图 第12题图 148°，就断定这个零件不合格.请你运用三角 12.如图，已知P是射线ON上一动点，∠O 形的有关知识说明此零件不合格的理由。 40°.当∠A的度数为 时， △AOP为直角三角形， 13.跨物理学科在物 图① 理学中，过入射点 图② 且垂直于镜面的直 第13题图 线叫作法线，光线在镜面上反射时，反射光 线与法线的夹角和人射光线与法线的夹角 相等.如图，两束光线11,12分别从不同方向 射向镜面m,入射点分别为点A和点B,n1, n2为法线，l1,l2的反射光线相交于点P.若 ∠1=30°，∠2=50°，则∠APB的度数是 14.如下图，在Rt△ABC中，∠B=90°， ∠BAD=∠CAD,E为BC上一点，过点 E作射线EF,交AC于点G. 知识要点归纳 (1)若∠C=30°，求∠BAD的度数 (2)若∠FGC+∠BAD=180°，试说明：EF 1.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫作三角形.三角形有三条边、三 ∥AD. 个内角和三个顶点.“三角形”可以用符号“△” 表示 2.三角形三个内角的和等于180° 3.直角三角形的两个锐角互余 4.三角形按角分类： 「锐角三角形：三个内角都是锐角 三角形直角三角形：有一个内角是直角 钝角三角形：有一个内角是钝角 下册第四章 49△ 第2课时 三角形的三边关系 课内基础闯关 知识点①三角形按边分类 1.三角形按边分类可以用集合来表示.如图所 示，图中小椭圆里的A表示 第7题图 A.直角三角形 B.锐角三角形 A.70 cm B.55 cm C.40 cm D.25 cm C.钝角三角形 D.等边三角形 8.已知a,b,c是△ABC的三边长，满足|a一7|十 (b一2)2=0，c为偶数，则△ABC的最大周长为 三角形 不等边 三角形 9.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,则|a+ 第1题图 第2题图 b-c-a-b-c= 2.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC 10.【课本再现】(1)在△ABC中，a=4,b=2. 上，且AD=BD=BC.写出图中的等腰三角 已知第三边c的长是偶数，求c的长. 形： 【变式拓展】(2)已知△ABC的三边长a,b, 知识点② 三角形的三边关系 c都是整数，a一b=5,且三角形的周长是奇 3.(2025抚州金溪期中)下列各组线段中，能构 数，求△ABC的周长的最小值. 成三角形的是 ( A.2,5,8 B.3,3,6 C.3,4,5 D.4,5,9 4.王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长 度分别为6cm和8cm的细木条，需要将其 中一根木条分为两段.如果不考虑损耗和接 头部分，那么可被分为两段的细木条是 A.6cm的细木条 B.8cm的细木条 C.两根都可以 D.两根都不行 5.在等腰三角形ABC中，如果两边长分别为 知识要点归纳 5,10,那么第三边的长为 1.等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三 6.(教材变式)已知一个三角形的两边长分别 角形 为9和4.若要使周长最大且是偶数，则第三 2.等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三 边的长为 角形， 已课外拓展提高 3.不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫作 不等边三角形 7.如图所示的是折叠凳及其侧面示意图.若 4.三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的 AC=BC=18cm,则折叠凳的宽AB可能为 任意两边之差小于第三边. 50 七年级数学BS版 第3课时三角形的高、中线和角平分线 课内基础闯关 知识点①三角形的高 1.(教材变式)数学课上，同学们在作△ABC 的高时，共画出下列四种图形，其中正确的 第4题图 第5题图 是 5.如图，在△ABC中，AB>BC,AB=2AC, AC边上的中线BD把△ABC的周长分成 30和20两部分，则BC的长为 知识点③三角形的角平分线 6.如图，在△ABC中，∠BAD= ∠DAE=∠EAF=∠FAC, EA 则下列线段是△ABC的角平B D E FC 分线的是 () 第6题图 2.如图，在△ABC中，AB=10, A.AD B.AE C.AF D.AC AC=15,BD,CE是△ABC 7.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,∠A 的高.若BD=8,则CE= 36°，∠C=72°，则图中度数为72°的角除∠C 第2题图 外还有 3.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°. (1)图中边BC上的高为 ,边AC 上的高为 (2)画出边AB上的高CD. (3)若BC=3,AC=4,AB=5,求边AB上 第7题图 第8题图 的高CD的长。 8.（教材变式)如图，在△ABC中，BD是 △ABC的角平分线，DE∥BC,且交AB于 点E.若∠A=60°，∠BDC=95°，则∠BED 的度数为 课外拓展提高 9.如图，在△ABC中，D,E,F分别为BC, AD,CE的中点，且S△ABc=12cm2,则阴影 部分的面积为 cm2. 知识点②三角形的中线及重心 4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组 成，点A,B,C,D,E,F,G均在小正方形的 顶点上，则△ABC的重心是 ( A点DB.点EC.点FD.点G 第9题图 下册第四章 51△ 因为S△ABC= 十S△ACD: 变式题如图，在△ABC中，D为BC边上 的一点，E,F分别为AD,BE的中点，且 所以2AC·BG3 2AB·DE+ S△Ac=16cm,则图中涂色部分的面积是 cm2」 因为AB=AC, 所以 拓展：(4)当点D在图②的位置时，试判断 (2)中DE,DF,BG之间的数量关系是否 变式题图 第10题图 仍然成立，并说明理由. 10.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC =75°，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E, AD与BE交于点H,连接CH,则∠CHD 的度数为 D 11.如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠A, 图① 图② ∠ACB一∠ABC=5°，CE⊥AB,垂足为 E,BD是∠ABC的平分线，且交CE于点 F,交AC于点D (1)求∠A,∠ABC,∠ACB的度数. (2)∠BFC的度数为 知识要点归纳 已综合能力提升 1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作 12.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC边 垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高 上任意一点，连接AD.已知DE,DF分别 线，简称三角形的高，三角形的三条高所在的直 是△ABD,△ACD的高. 线交于一点 作图：(1)请在图①上作出△ABC中AC边 2.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线 段，叫作三角形的中线.三角形的三条中线交于 上的高BG 一点，这点称为三角形的重心 探究：(2)通过观察、测量，发现DE,DF,BG 3.在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边 之间的数量关系为 相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角 填空：(3)为了说明DE,DF,BG之间的数 形的角平分线.三角形的三条角平分线交于一点 量关系，小明是这样做的： 452 七年级数学BS版