2.解题技巧专题 与相交线、平行线相关的四类角的计算与证明&方法技巧专题 平行线中作辅助线的方法-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（北师大版·新教材）

因为∠APD=75°， 所以∠BAP=∠APD-∠PDC=75°-30°=45°. (3)将三角形PCD向右平移的过程中，由“垂线段最 短”，得当AP⊥n时，AP最小，即∠APC=90° 由(2)得∠ADP=30 因为直线m∥n,所以∠ADP=∠CPD=30°， 所以∠APD=∠APC-∠DPC=90°-30°=60°. 解题技巧专题与相交线、平行线相关的四类 角的计算与证明 1.解：(1)因为∠BOC与∠BOD互为余角 所以∠BOC+∠BOD=90°. 因为∠BOC=4∠BOD, 所以∠B00=×90=7g. (2)因为∠AOC与∠BOC互为补角， 所以∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠AOC=180°-∠B0C=180°-72°=108°. 因为OE平分∠AOC, 所以∠C0E=号∠A0c=号×108=54， 1 所以∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°. 2.A【解析】因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°.因为 ∠AOC=18°，所以∠BOD=∠AOC=18°，所以 ∠BOE=∠DOE+∠BOD=108°.因为OF平分 ∠BOE.所以∠B0F-号∠B0E=A,所以∠D0F= 90°-54°=36°」 3.解：因为OA⊥OB,所以∠AOB=90° 因为∠AOE=106°，所以∠BOE=∠AOE-∠AOB=16. 因为OC⊥OE,所以∠COE=90°， 所以/BOC=90°+16°=106°. 因为OD为∠BOC的平分线， 所以∠BOD=2∠BOC=53', 所以∠DOE=∠BOD-∠BOE=53°-16°=37°. 4.解：如图，设AE与CD相交于点G. 因为AB∥CD,所以∠DGE=∠A=75°. 因为AE∥CF,所以∠C=∠DGE=75°. 一题多解法《 如图，设AE与CD相交于点G. 因为AB∥CD,所以∠AGC=∠A=75°. 因为AE∥CF,所以∠C=∠AGC=75°. 七年级数学BS版 5.60°【解析】因为∠B+∠BCD=180°，所以AB∥CD, 所以∠BAD+∠D=180°. 因为∠D=80°，所以∠BAD=180°-∠D=180°-80 =100°. 因为∠CAD:∠BAC=3:2, 3 所以∠CAD=100×3十2=60， 6.解：(1)因为∠CED=∠GHD,所以CE∥GF. (2)∠AED+∠D=180°.理由如下： 因为CE∥GF,所以∠C=∠FGD. 因为∠C=∠EFG,所以∠FGD=∠EFG, 所以AB∥CD,所以∠AED+∠D=180°. (3)因为∠DHG=∠EHF=100°，∠D=30°， 所以∠FGD=180°-100°一30°=50°. 因为CE∥GF,所以∠C=∠FGD=50° 因为AB∥CD,所以∠AEC=∠C=50°， 所以∠AEM=180°-50°=130° 方法技巧专题平行线中作辅助线的方法 1.解：AB∥CD.理由如下： 如图，连接BD. A 3 B 在三角形BDE中，∠1+∠2+∠E 2 =180°. SD 因为∠E=∠3+∠4， 所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°， 即∠ABD+∠CDB=180°， 所以AB∥CD. 2.A【解析】如图，延长DC交AE于点F. 因为AB∥CD,∠A=80°， E 所以∠EFC=∠A=80°. YC 因为∠ECD=110°，所以∠ECF= 180°-∠ECD=70°， /B 所以∠E=180°-∠ECF-∠EFC=180°-70°-80 =30° 3.B【解析】如图，延长DC交AB于A 点G,延长CD交EF于点H. 因为∠BCD=90°， B△D Y22 所以∠BCG=90°， 所以∠1=90°-a. 因为∠2=180°-∠EDH-Y,∠EDH=180°-3， 所以∠2=B-Y. 因为AB∥EF,所以∠1=∠2， 所以90°-a=B-Y,即a十B-y=90: 4.B【解析】如图，过点B作BD∥AE. 因为∠A=100°， 所以∠ABD=100°. 因为∠ABC=120°， 所以∠CBD=20. 由题意，得CF∥AE 所以CF∥BD, 所以∠CBD+∠C=180°， 所以∠C=180°-∠CBD=160. 5.A【解析】如图，过点O作OE∥AB. 由题意，得AB∥CD, B∠.-+ 所以AB∥OE∥CD, E -0 …*D 所以∠BOE=∠ABO=a, ∠COE=∠DCO=B, 所以∠BOC=∠BOE+∠COE=a&+B. 6.D【解析】如图，过点E作EFA ∥CD. --0 因为∠C=20°，EF∥CD, 所以∠FEC=∠C=20°. 因为AB∥CD, 所以EF∥AB, 所以∠B+∠BEF=180°， 即125°+∠BEF=180°， 所以∠BEF=55°， 所以∠a=∠BEF+∠FEC=75. 7.合格【解析】如图所示，过点C作 A CF∥AB,则∠ABC+∠1=180°， F…C 所以∠1=180°-146°=34°， 所以∠2=∠BCD-∠1=60°-34° =26°. 因为∠2+∠EDC=26°+154°=180°， 所以CF∥ED, 所以AB∥ED.故此工件合格. 8.134°【解析】如图，过点E作EF ∥AB. 因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EF, 所以∠C=∠FEC=44°，∠BAEC44° =∠FEA. 因为∠AEC为直角， 所以∠BAE=∠AEF=90°-44°=46°， 所以∠1=180°-∠BAE=180°-46°=134°. 9.100°【解析】因为EF⊥MN, 所以∠MFE=90°. 如图，过点D作DG∥AC,过点E作EH∥AC 因为AB∥MN, 所以AB∥DG∥EH∥MN, 所以∠ACD+∠CDG=180°， ∠GDE=∠DEH,∠HEF=MC ∠MFE=90. 因为∠DEF=120°，∠BCD=110°， 所以∠GDE=∠DEH=30°，∠CDG=180°-110°=70， 所以∠CDE=∠CDG+∠GDE=100°. 章末对点导练 1.A 2.∠7与∠4，∠1与∠6，∠6与∠9，∠1与∠914【解 析】同位角有∠4与∠9，∠5与∠1，∠2与∠6，∠7与 ∠9，∠8与∠4，∠3与∠7，所以a=6;内错角有∠7与 ∠1，∠4与∠6，∠5与∠9，∠2与∠9，所以b=4;同旁 内角有∠7与∠4，∠1与∠6，∠6与∠9，∠1与∠9，所 以c=4,所以a+b十c=6十4+4=14. 3.B4.B 5.D【解析】设∠DOF=x,则∠AOD=2x, 所以∠AOF=3.x, 所以∠BOF=180°-3x. 因为OE平分∠BOF, 所以∠ROE-号∠B0F=90-2 因为∠DOE=78°， 所以∠D0F+∠F0E=78,即x+90-2=78 解得x=24°，则∠AOD=2x=48°， 所以∠BOC=∠AOD=48°. 6.50°或110°【解析】如图，分两种情况讨论： ①当射线OC,OD在直线AB的同C D 一侧时. 因为∠COD=100°，∠AOC=30°， 0 所以∠BOD=180°-100°-30 D =50°； ②当射线OC,OD1分别在直线AB的两侧时. 因为∠COD,=100°，∠AOC=30°， 所以∠A0D,=100°-∠A0C=100°-30°=70°， 所以∠BOD1=180°-∠AOD1=180°-70°=110. 综上所述，∠BOD的度数为50°或110 7.67.5或135°【解析】因为OA⊥O℃，所以∠AOC=90°. 由题意可设∠AOB=x,则∠BOC=3x. 由题意可分以下两种情况讨论： ①当OB在∠AOC的内部时，如图①， ∠AOB+∠BOC=∠AOC=90°， 即x十3x=90°，解得x=22.5°. 图① 所以∠BOC=3x=67.5°； ②当OB在∠AOC的外部时，如图②， ∠BOC-∠AOB=∠AOC=90°， 即3x-x=90°， 解得x=45°， 所以∠BOC=3x=135°. 图② 综上所述，∠BOC的度数为67.5°或135. 下册参考答案 13解题技巧专题 与相交线、平行线相关的四类角的计算与证明 题型① 利用补角、余角、对顶角转换求角 题型③ 直接利用平行线的性质求角 1.如下图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC 4.一题多解法如下图，AB∥CD,AE∥CF, 与∠BOD互为余角，且∠BOC=4∠BOD ∠A=75°.求∠C的度数. (1)求∠BOC的度数. (2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度数. 题型④综合运用平行线的性质与判定求角 5.如图，∠B+∠BCD=180°. 若∠D=80°，∠CAD· ∠BAC=3:2,则∠CAD= 第5题图 6.如下图，已知点E,F在直线AB上，点G在 题型②利用垂线、角平分线求角 线段CD上，ED与FG相交于点H,∠C= 2.如图，已知直线AB和CD ∠EFG,∠CED=∠GHD. 相交于点O,OE⊥CD,OF (1)试说明：CE∥GF. 平分∠BOE,∠AOC=C 0 (2)试判断∠AED与∠D之间的数量关系， 第2题图 18°，则∠DOF的度数为 并说明理由 A.36° B.45° C.52° D.54 (3)若∠EHF=100°，∠D=30°，求∠AEM 3.如下图，OA⊥OB,OC⊥OE,OD为∠BOC 的度数 的平分线，∠AOE=106°.求∠DOE的 度数. 下册第二章 35△ 方法技巧专题 平行线中作辅助线的方法 题型① 连接两点，构造截线 _...----A 1.如下图，∠E=∠B+∠D.试猜想AB与 0 …+D CD的位置关系，并说明理由.A E 第4题图 第5题图 5.如图所示的是一汽车探照灯的纵剖面，从位 于点O的灯泡发出的两束光线OB,OC经 过灯碗反射以后平行射出.若∠ABO=a, ∠DCO=3,则∠BOC的度数是 () A.a+B B.180°-a-3 题型②延长线段，构造截线 ca+》 D.90°+(a+3) 2.为增强学生体质，感受中国传统文化，学校 6.如图，已知AB∥CD,∠ABE=125°，∠C= 将国家级非物质文化遗产之一的“抖空竹” 20°，则∠a的度数为 ( 引入阳光特色大课间.图①是某同学“抖空 A.60 B.80 C.85°D.759 竹”时的一个瞬间场景，小聪从中抽象出 A B 个数学问题：如图②，AB∥CD,∠A=80°， ∠C=110°，则∠E的度数是 ( -D A.30° B.40 C.60 D.70° 第6题图 第7题图 7.如图，某工件要求AB∥ED,质检员小李量 B 得∠ABC=146°，∠BCD=60°，∠EDC= 154°，则此工件 (填“合格”或 R B&D 图① 图② “不合格”) 第2题图 第3题图 8.如图，直线AB∥CD,∠C=44°，∠E为直 3.如图，AB∥EF,∠C=90°，则a,B,Y的关系 角，则∠1等于 为 A.B=a+y B.a+B-y=90 AB C.a+3+y=180° D.3+y-a=90 题型③平行线间拐点问题，过拐点作平行线 C144 -D MC 第8题图 第9题图 4.真实情境如图，一条公路修到湖边时需拐 9.如图所示的是一款长臂折叠LED护眼灯示 弯绕道而过，第一次拐弯时，∠A的度数为 意图，EF与桌面MN垂直.当发光的灯管 100°；第二次拐弯时，∠B的度数为120°.到 AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF= 了点C后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐 120°，∠BCD=110°，则∠CDE的度数为 弯之前的道路平行，则∠C的度数为( A.100° B.160°C.140°D.120° 436 七年级数学BS版