专题06 平行线中的拐点模型的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题06 平行线中的拐点模型的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、猪蹄模型（M型）与锯齿模型 类型二、铅笔头模型 类型三、牛角模型 类型四、羊角模型 类型五、蛇形模型（“5”字模型） 压轴专练 类型一、猪蹄模型（M型）与锯齿模型 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例1．（25-26八年级上·全国·单元测试）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点P照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．根据两直线平行，内错角相等可得，，然后相加即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-1】（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 【变式1-2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）【特例探究】如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． （1）若，则的度数为____________； 【总结归纳】（2）探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， 故答案为：； （2）； 理由：如图1，过点P作， ， ； （3）①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②． 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东佛山·期末）平面内和，存在一个常数，使得，则称为的k倍补角，例如，，，则为的2倍补角． (1)是的5倍补角，，则 ； (2)如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的3倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的k倍补角，为的k倍补角，求（用k表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、余角与补角、新定义等问题． （1）根据k倍补角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数； ②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的5倍补角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图1，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴， ∴，即； ②∵，， ∴， 由①得， ∴， ∴， 分以下两种情况讨论： 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， ∵ 是 的外角， ∴， 同理可得， ∴ ； 综上所述，或． 类型二、铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造两组互补的同旁内角．过点作直线，根据平行线的性质可得，，然后再计算即可． 【详解】解，如下图所示，过C点作直线， ， ， ，， ， 即. 故选：B． 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）已知直线，点E为直线，之间的一点． (1)如图①所示，若，，求的度数． (2)如图②所示，若，，求的度数．（用，表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图①所示，过点作. ∵， ∴. ∵， ∴. 又∵， ∴. ∵， ∴. （2）解：如图②所示，过点作. ∵， ∴， ∴. 又∵，， ∴. 【变式2-2】（25-26八年级上·山西晋中·期末）【基础模型】 （1）如图1，若，点为拐点，则的数量关系为___________；若将拐点左移，如图2，此时的数量关系为___________． 【深入探究】 （2）如图3，，平分，平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，若点在点的左侧，，，且，平分平分，请你直接用含的式子表示． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，过拐点构造平行线是解题的关键： （1）过点作，根据平行线的性质，进行推导即可； （2）结合（1）中的结论以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）分点在直线的下方和上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）过点作， 如图1： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2： ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在下方时，如图： 则，， ∵平分平分， ∴， ∴； 当点在上方时，如图： 作，则， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 综上：或． 【变式2-3】（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 类型三、牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例3．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式3-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【知识背景】我们经常过某一点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)如图1，已知，，，求的度数； (2)如图2，已知，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质求角度问题，数形结合，熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）过点作，如图所示，由平行线的性质得到，再由平行线的判定与性质即可得到答案； （2）过点作，如图所示，由平行线的性质得到，再由平行线的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-2】（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 【答案】 或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可； （2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 【详解】解：（1）过点作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 【变式3-3】直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 类型四、羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例4．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式4-1】（24-25七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． (1)如图1，若、，则___________； (2)如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； (3)如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解题的关键是由平行线性质得出角相等从而求出答案； （1）先过作，由平行线的性质得，，所以求得的度数． （2）首先过作，根据平行线的性质可得：，，，从而表示出． （3）由平行线的性质得，再根据三角形的外角性质，表示出与、之间的关系． 【详解】（1）解：过作，，， ， 故答案为：． （2）解：过作，，， ， ， ． 故答案为：． （3）证明： 证明：， 又， ． 类型五、蛇形模型（“5”字模型） 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例5．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子． (1)如图，，，，求的度数； (2)聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则有，又因为，所以，则，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，过点作，所以，所以，，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：如图，过点作，过点作， 因为， 所以， 所以，，， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以． 【变式5-3】（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·广东肇庆·月考）如图，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，作，根据平行线的性质分别得，根据，即可求解． 【详解】如图，过点作 ， ． 故选：C． 2．（25-26七年级上·河南周口·期末）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（25-26七年级上·吉林长春·期末）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，求出，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．（2025·四川达州·二模）如图，两直线，平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，关键是构造平行辅助线，把六个角转化成五组同旁内角．利用两直线平行，同旁内角互补，把这六个角转化成5对同旁内角计算即可． 【详解】解：分别过E点，F点，G点，H点作， 如图所示， ∵， ∴， ∴，，， ∴ ， ． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如图，，若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．过点作，由，得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，即可得到，即有．而，即可得到． 【详解】解：过点作，如图： ，， ， ， ， ， 即． 而， ． 故答案为：． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，点和点在两直线之间，且，则，与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，过点作，过点作，则，由平行线的性质可得出，，，再得出，，用再结合即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，已知，和分别平分和，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义及方程思想，过点E作，过点F作，根据平行公理的推论得出，再利用平行线的性质，推导出内错角相等，结合角平分线定义，设未知数表示角度，表达和，结合已知条件列出方程，最后化简方程求解β，进而求． 【详解】解：如图，过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 则，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点B作，过点C作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点E作，则，因此． 【详解】解：过点B作，过点C作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：142． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 三、解答题 11．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，已知，于点，点在直线上，且位于直线的右侧． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形正确作出平行线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质即可求解； （2）过点作，过点作，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，     ， ， ．     ， ．     ，， ， ． （2）解：如图2，过点作，过点作，     ． ， ． ，， ， ． ， ．     根据（1）知，，， ， ． 12．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可． （2）设，，则，，，根据已知，结合四边形的内角和，列式解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，三角形内角和定理，四边形内角和，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 13．（25-26七年级上·重庆万州·月考）如图1，由线段，，，组成的图形像“∑”形，称为“∑形”． (1)如图2，在“∑形”中，若，，求出的度数． (2)如图3，连接，若，，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图4，在（2）的条件下，当点M在线段的延长线上从上向下移动时，请直接写出与之间所有可能满足的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）过作，利用平行线的性质计算可求求解； （2）过点作交于点，利用平行线的性质可求得，结合（1）的结论可求解； （3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质分别计算求解． 【详解】（1）解：过作， ， ， ，， ； （2）， 理由：过点作交于点，过点作 ， ，， 由（）可得， ， ， ； （3）解：如图，当，位于两侧时，过作，过点作 ，， ， ，，， ， 即； 当，，三点共线时，， ； 当，位于同侧时， ，， ， 同理可得，，， ， 即， 综上，或． 14．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 15．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，在直角三角尺中，，，过点E，F分别作直线，，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在的平分线上取一点Q，连接，若，求证平分； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）设，则，作，利用列式计算即可求解； （2）作，结合（1）的结论，求得，即可证明平分； （3）分两种情况讨论，作，利用平行线性质求解即可． 【详解】（1）解：设，则，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴； （2）证明：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知， ∴，即， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 当点在线段上时，作， ∴，， ∴即， ∴； 当点在射线上时，作， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或． 16．（25-26七年级下·全国·月考）【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了转化思想． 【建立模型】（1）如图①，已知，点在直线，之间，请写出与，之间的关系，并证明； 【解决问题】（2）如图②所示的是一盏可调节台灯，图③为其示意图．固定支撑杆于点，与是分别可绕点，旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，求的度数； 【拓展应用】（3）如图④，已知，和分别平分和．若，求的度数． 【答案】（1）   见解析 （2） （3） 【分析】（1）过点作平行线，将“非基本图形”转化为“两条平行线被第三条直线所截”的基本图形，利用平行线的性质推导角的关系； （2）利用（1）中得到的“铅笔头”模型角的关系，结合题目给出的平行条件与垂直条件，推导的度数； （3）分别过点、作平行线，结合角平分线的定义，利用（1）的模型建立关于、与的关系式，代入已知条件求解． 【详解】解：（1）如图①，过点作直线． ， ， ，， ， 即． （2）如图②，延长，交于点，过点作． ， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． （3）如图③，分别过点，作，，则． ，，． ． 同理可得，． 和分别平分和， ，． ， ， ，即． 故的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、方程思想的应用．解题关键是通过作辅助线，利用模型建立角的关系，并结合代数方法求解． 17．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①55°；②125°； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 18．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究． 已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中的三边与两条平行线分别交于点D，E，F， (1)【特例探究】如图1， ① ； ②若与的平分线相交于点P，则 ； (2)【一般探索】 如图2，， ①若，，求与的关系； ②若，（且n为整数，则与的关系为 ； (3)【拓展应用】 如图3，，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，…，以此类推，则的值是多少？直接写出结果 【答案】(1)①270；②135 (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）解：①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06平行线中的拐点模型的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、猪蹄模型(M型)与锯齿模型 类型二、铅笔头模型 类型三、牛角模型 类型四、羊角模型 类型五、蛇形模型（“5”字模型) 压轴专练 典例详解 类型一、猪蹄模型(M型)与锯齿模型 【模型解读】 M M P P >P2n+1 B 图1 图2 图3 如图1，①已知：AMBN,结论：∠APB=∠A+∠B;②己知：∠APB=∠A+∠B,结论：AMBN 如图2，已知：AMBN,结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2 如图3，已知：AMBN,结论：∠P1十∠P3+.+∠P2n+1F∠A+∠B+∠P2+.+∠P2m 【模型证明】 (1)∠APB=∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM, M ,PQ∥AM,AM∥BN,.PQ∥AM∥BN,∴∠A=∠APQ,∠B=∠BPQ, 1/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠A+∠B=∠APQ+∠BPQ=∠APB,即：∠APB=∠A+∠B. (2)根据(1)中结论可得，∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3, 故答案为：∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3, (3)由(2)的规律得，∠A+∠B+∠P2++P2n=∠P1+∠P3+∠P++∠P2m1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+P2n=∠P1+∠P3+∠Ps++∠P2H1 例1.(25-26八年级上·全国·单元测试)生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关.如图，从 光源点P照射到抛物线上的光线PA,PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若 ∠CAP=u,∠DBP=B,则∠APB的度数为」 【变式1-1】(2026七年级下·全国.专题练习)根据图象完成题月： B 02 3> 2n-1 2n D 图① 图② (I)如图①，AB∥CD,E,F分别是AB,CD上任意一点，EO和FO交于点O,则∠1，∠2，∠3的数量关 系是 (2)如图②，AB∥CD,则图中∠1，∠2，∠3，∠4，，∠2n-1,∠2n之间的数量关系是 【变式1-2】(24-25七年级下·河北沧州期末)【特例探究】如图1，已知AB∥CD,直线AB与CD之间有 一点P(点P在直线AC的右侧)，连接AP,CP (1)若∠A=40°，∠C=29°，则∠APC的度数为 【总结归纳】(2)探究LA,∠APC与∠C之间的数量关系，并说明理由： 【拓展应用】(3)己知AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD上，点P,P均在直线MN的右侧，连接 MP,NP,MP,NP,且MP平分∠BMP. ①如图2，若点P,P均在直线AB和CD之间，NP平分∠DNP,且∠MPN=100°，求∠MPN的度数； ②如图3，若点P在直线AB和CD之间，点P在直线CD的下方，ND平分∠PNP.设∠BMP=a,且 2/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0°<a<90°，请直接写出∠MPV+∠MPN的度数（用含a的代数式表示）. A B 图1 图2 图3 【变式1-3】(24-25八年级上·广东佛山期末)平面内∠A和∠B,存在一个常数k>0,使得 ∠A+k∠B=180°，则称∠B为∠A的k倍补角，例如，∠A=120°，∠B=30°，则∠B为∠A的2倍补角， E E D D 备用图1 备用图2 (1)∠M是∠N的5倍补角，∠N=3LM,则∠M=-; (②)如图1，在平面内，AB∥CD,点E在BD左侧，连接BE、DE, ①若LCDE=20°，∠ABE是∠BED的3倍补角，求∠ABE; ②在①的条件下，点F在直线AB、CD之间，且在折线BED右侧，∠EBF为∠ABE的k倍补角，∠EDF为 ∠CDE的k倍补角，求∠F(用k表示). 类型二、铅笔头模型 Pn-2 B W 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，己知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，己知：AM∥BN,结论：∠1+∠2++∠n=(n-1)180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ, 3/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AM∥BN,.PQ∥BN,∴.∠1+∠APQ=180°，∠3+∠BPQ=180°，.∠1+∠2+∠3=360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C,过点P2作AM的平行线PD, .AM∥BN,∴AM∥P1C∥PD∥BN, ∴.∠1+∠AP1C=180°，∠P2P1C+∠P1PD=180°，∠BP2D+∠4=180°，.∠1+∠2+∠3+∠4=540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3++∠n=(n-1)180°· 例2.(2025七年级下·全国.专题练习)如图，AB‖CD,LB+∠C+∠D=() A B D E A.180° B.360 C.540° D.270° 【变式2-1】(25-26七年级下·全国·单元测试)己知直线AB∥CD,点E为直线AB,CD之间的一点. A B A E C D 1 ② (1)如图①所示，若∠B=15°，∠BED=90°，求∠D的度数 (②)如图②所示，若LB=a,∠D=B,求∠BED的度数.（用O,B表示） 【变式2-2】(25-26八年级上山西晋中期末)【基础模型】 (1)如图1，若AB∥CD,点E为拐点，则∠1、∠2、∠3的数量关系为 若将拐点E左移，如 图2，此时∠1、∠2、∠3的数量关系为 【深入探究】 (2)如图3，AB∥CD,BP平分∠ABE,DP平分∠CDE,猜想∠BPD与∠BED之间的数量关系，并说 明理由， 【拓展探究】 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图4，AB∥CD,若点E在点B的左侧，∠CDE=a,∠ABE=B,且a>B,BP平分∠ABE,DP平 分∠CDE,请你直接用含a、B的式子表示∠BPD. B B D 图1 图2 图3 图4 【变式2-3】(1)如图1，AB∥CD,求∠A+LAEC+∠C的度数 解：过点E作EF∥AB, :EF∥AB(己作)， .∠A+∠AEF=180°(). 又：AB‖CD(已知)， :∥（平行关系的传递性)， .∠CEF+∠=180°（两直线平行，同旁内角互补）， :∠A+LAEF+∠CEF+∠C=360°（等式性质）， 即∠A+LAEC+LC=； (2)根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF,则LB+LC+LD+∠E=一 (3)根据(1)和(2)的规律，图3中AB川GF,猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= (4)如图4，AB∥CD,在B,D两点的同一侧有MM2,M.Mn共n个折点，则 ∠B+∠M,+∠M,+…+∠Mn+∠D的度数为 (用含n的代数式表示). B 6 D M M F E C M 图1 图2 图3 图4 D 5/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型三、牛角模型 E B D 图1 图2 如图1，己知AB∥CD,结论：∠1=∠2+∠3 如图2，己知AB∥CD,结论：∠1+∠3-∠2=180 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF,.∠1+∠FEB=180° ◆D 图1 图2 .AB∥CD,∴.EF∥CD,∴.∠3+∠FED=180°，即：∠3+∠2+∠FEB=180°，.∠1=∠2+∠3 在图2中，过E作AB的平行线EF,.∠1+∠FEB=180 ,AB∥CD,∴.EF∥CD,.∠3=∠FEC,即：∠3-∠2=∠FEB,∴.∠1+∠3-∠2=180° 注意，牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F,或延长EB交CD于点F等。 例3.(25-26八年级上·内蒙古包头期末)如图，己知AB∥DE,点C在AB上方，连接BC,CD ∠ABC=145°. B A B E D E 0 图(1) 图(2) (1)如图(1)，若∠EDC=116°，求∠BCD的度数； (2)如图(2)，CB与DF互相垂直，垂足为F,求∠EDF的度数. 【变式3-1】(24-25七年级下陕西咸阳期末)【知识背景】我们经常过某一点作己知直线的平行线，以便 利用平行线的性质来解决问题. 6/18 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E CG D 图1 图2 (I)如图1，已知AB∥CD,∠BFE=45°，LEGD=32°，求∠FEG的度数； (2)如图2，己知AB∥CD,LB=120°，∠CDE=62°，求∠BED的度数. 【变式3-2】(24-25七年级上河南新乡期末)如图，∠AEC=80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向 同方向作射线AB和CD,且AB∥CD, (1)若∠A=60°，则∠DCE的度数为 (2)若∠EAB和∠ECD的平分线所在的直线交于点P(P与C不重合)，则∠APC的度数为 D B 【变式3-3】直线AB∥CD,P为直线AB上方一点，连接PA、PD. 一B D 图1 图2 (1)如图1，若∠A=100,∠D=130°，求∠APD的度数： (2)如图1，设∠PAB=a,∠CDP=B,求∠APD的度数（用含a、的式子表示）； B如图2，N为∠PAB内部一点，∠BAN=3∠PAN,连接CN,若∠DCN=3∠PCN,求C的值。 7/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、羊角模型 E 图1 图2 如图1，已知：ABDE,结论：=Y-B 如图2，己知：ABDE,结论：0a+B+y=180° 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,.∠B=∠FCB 图1 图2 :ABIDE,.CFDE,.∠Y=∠FCD,∠a=∠FCD-∠FCB,∠a=∠Y-∠B 在图2中，过C作AB的平行线CF,.∠B=∠FCB :ABIDE,CFDE,∠Y+∠FCD=180°，：∠FCD=∠o+∠FCB,.∠o+∠B+∠Y-∠=180 例4.(24-25七年级上黑龙江绥化期中)已知，如图，AB∥EF,∠4BC=75°，∠CDF=135°，则 ∠BCD等于() 750YB A D E -F 135° C A.45° B.40° C.35° D.30° 【变式4-1】(24-25七年级下·云南楚雄期中)已知AB∥CD,P为平面内一点（不在AB、CD上）， 探索∠APC,∠A,∠C之间的数量关系. 8/18 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作PE∥AB, .∠APE=∠A( ) :AB∥CD,PE∥AB .PE∥CD( .∠CPE=∠C :∠APE+∠CPE=∠A+∠C .∠APC=∠A+∠C. (2)如图2，若∠A=150°，∠P=75°，则∠C的度数为_ (3)如图3，求∠APC,∠A,∠C之间的数量关系 【变式4-2】(25-26八年级上·黑龙江绥化开学考试)下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其 中AB∥CD. A A 30° Am° 50 vo no C D D C D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=30°、∠C=50°，则∠AEC= ； (②)如图2，若LA=x°、∠C=y°，则LAEC= (用含x°、y°的式子表示)： (3)如图3，若∠A=m°、∠C=n°，那么∠AEC与m°、n°之间有什么数量关系？请加以证明. 类型五、蛇形模型(“5”字模型》 基本模型：如图，AB∥CD,结论：∠1+∠3-∠2=180°. 9/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C E 图1 图2 如图1，已知：AB‖DE,结论：+y=B+180° 如图2，已知：ABDE,结论：0+阝=Y+180° 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,∴.∠B=∠FCB, E :ABIDE,CFDE,:∠y+∠FCD=180°，：∠o=∠FCD+∠FCB,∴.∠oa+∠Y=∠B+1809 在图2中，过C作AB的平行线CF,.∠B+∠FCB=180°， :ABIDE,CFDE,.∠Y=∠FCD,'∠o=∠FCD+∠FCB,∠+∠B=∠Y+180° 例5.(2026七年级下.全国专题练习)如图，AB∥CD. B A C (1)若∠B=130°，∠C=30°，求∠BEC的度数. (②)探究∠B,∠C,∠BEC三者之间有怎样的数量关系，并说明理由， 【变式5-1】(24-25七年级下全国期末)劳动情境·公路修建一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过， 第一次拐弯∠M的度数为.第二次拐弯∠N的度数为B,到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐 弯之前的道路平行，则∠P= B B 10/18