2.3 平行线的性质-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（北师大版·新教材）

3平行线的性质 第1课时 平行线的性质 已课内基础闯关 知识点② 两直线平行，内错角相等 知识点① 两直线平行，同位角相等 4.如图，已知BE平分∠ABC,且BE∥DC.若 1.(2025湖北)数学中的“≠”可以看作是两条 ∠ABC=50°，则∠C的度数是 () 平行的线段被第三条线段所截而成，放大后 A.20 B.25 C.30° D.50 如图所示.若∠1=56°，则∠2的度数是 A.34° B.44° C.46° D.56 第4题图 第5题图 5.如图，直线a∥b∥c,直角三角板的直角顶点 空气 G 落在直线b上.若∠1=40°，则∠2的度数为 2 A.40° B.60 C.50°D.70 第1题图 第2题图 6.如图，已知直线AB∥CD,EG平分∠BEF, 2.跨物理学科(2025九江修水期中)光线在不 ∠1=40°，则∠2= 同介质中的传播速度不同，从一种介质射向 另一种介质时，传播路径会发生改变，这就 是折射现象.如图，水面AB与水杯底部CD 平行，光线EF从水中射向空气时发生折 第6题图 第8题图 射，光线变成FH,点G在射线EF上，已知 知识点③ 两直线平行，同旁内角互补 ∠HFB=20°，∠FED=50°，则∠GFH的度 7.已知∠1与∠2是同旁内角，∠1=60°，则∠2 数为 的度数是 ( A.20° B.70 A.60° B.120 C.30 D.50° C.60°或120° D.不能确定 3.如下图，AC∥DF,AB∥EF,点D,E分别在 8.跨音乐学科如图，在音符中，AB∥CD.若 AB,AC上.若∠2=50°，求∠1的度数. ∠BAC=102°，则∠ACD的度数为 B D∠I 9.如下图，∠A=100°，∠B=130°，AC∥MD, BF∥ME.求∠DME的度数. 下册第二章 31△ 已课外拓展提高 巴综合能力提升 10.一张长方形纸条经过折叠后如图所示.若 13.已知一个角的两边与另一个角的两边分别 ∠2=52°，则∠1的度数是 平行，结合所给图形，探究这两个角之间的 关系 第10题图 变式题图 变式题将一张长方形纸条按图中所示的 D D E 图① 图② 方式折叠.若∠1=130°，则∠2的度数是 (1)如图①，AB∥EF,BC∥DE,则∠1与 ∠2的关系是 11.如下图，在三角形ABC中，CD平分 (2)如图②，AB∥EF,BC∥DE,则∠1与 ∠ACB,过点D作DE∥AC交CB于点E, ∠2的关系是 过点E作EFCD交AB于点F.试说明： (3)由(1)(2)得出的结论是如果一个角的 EF平分∠DEB. 两边与另一个角的两边分别平行，那么这 两个角 (4)若两个角的两边分别平行，一个角比另 一个角的3倍少20°，求这两个角的度数. 12.跨语文学科中华文化博大精深，汉字便是 其中一块瑰宝.汉字中存在很多的“平行 美”，如汉字“互”.将汉字“互”转化为几何 图形，如下图所示，已知AB∥CD∥MH∥ FN,EF∥GH.若∠BEM=100°，求 ∠NGD的度数. 知识要点归纳 1.两条平行直线被第三条直线所截，同位角相 等，简称：两直线平行，同位角相等 2.两条平行直线被第三条直线所截，内错角相 等.简称：两直线平行，内错角相等， 3.两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互 补.简称：两直线平行，同旁内角互补 432 七年级数学B$版 第2课时 平行线性质与判定的综合 课内基础闯关 6.如图，∠1=∠2，AC平分∠DAB,且∠D: 知识点平行线性质与判定的综合 ∠DAB=2：1,则∠D的度数是 1.如图，∠DAE=∠B,∠DAB=∠C,则下列 7.(教材变式)某县要对一段水渠进 结论不一定成立的是 ( 行扩建，如图.已知现有水渠从A 北 209 A.AD∥BC B.∠B=∠C 地沿北偏东50°的方向到B地，又 北 B C.∠DAB+∠B=180°D.AB∥CD 从B地沿北偏西20°的方向到C D 地.现要从C地出发修建一段新第7题图 水渠CD,使CD∥AB,则∠BCD的度数为 E A 8.已知：如下图，∠DAE=∠E,∠B=∠D.直 第1题图 第2题图 线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行 2.(教材变式)如图，∠1=∠2，∠B=108°，则 吗？请说明理由（在横线上填空） ∠BAD的度数为 A.82 B.112° C.108° D.72 3.如图，直线AB,CD被直线EF所截，FG平 分∠EFD.若∠1=∠2，∠EFD=70°，则 解：直线AD与BE平行，直线AB与DC ∠EGF的度数是 ( A.35 B.55° C.70° D.110 理由：因为∠DAE=∠E(已知)， 所以AD BE( A— E ) 2 所以∠D=∠DCE( F 第3题图 第4题图 4.如图，∠C+∠D=180°，∠DAE=3∠EBF, 又因为∠B=∠D(已知)， ∠EBF=27°，G是AB上的一点.若∠AGF= 所以∠B (等量代换)， 102°，∠BAF=34°，则下列结论错误的是（ 所以AB DC( A.∠AFB=81° B.∠BFG=379 C.AD∥BC D.BE∥FG 9.如下图，AF∥BC,∠1=∠2，∠ADE+∠1 5.将含30°角的直角三角尺ABC按图中所示 =180°.试说明：AC平分∠BAF 的方式放置，∠B=90°，E为AC延长线上 的点.若射线CD与直角边BC垂直，则 ∠DCE的度数是 1300 第5题图 第6题图 下册第二章 33△ 已课外拓展提高 综合能力提升 10.模型观念某市为了方便市民绿色出行，推 14.如图所示，直线m∥n,点A,D在直线m 出了共享单车服务.如图所示的是某品牌 上，点B,C在直线n上，且AB∥CD, 共享单车放在水平地面上的部分示意图， ∠ABC=60°，DP平分∠ADC交直线n于 其中AB,CD都与地面l平行.若∠BCD 点P,连接AP. =60°，∠BAC=54°，要使AM与CB平行， (1)求∠ADC的度数. ∠MAC的度数为 ( ) (2)当∠APD=75时，求∠BAP的度数. A.16° B.60° C.66 D.114 (3)将三角形PCD向右平移，当AP最小 时，求此时∠APD的度数： 0 D 07 备用图 第10题图 第11题图 11.如图，∠C=∠3，∠2=80°，∠1+∠3 140°，∠A=∠D,则∠B的度数是( A.80 B.409 C.60° D.无法确定 12.跨物理学科如图，一束 C 平行光线AB与DE射 23人4 向一水平镜面后被反射， 第12题图 此时，∠1=∠2，∠3=∠4，则反射光线BC 与EF的位置关系是 13.(2025景德镇期中)如下图，直线AB,BE 相交于点B,直线CD,BE相交于点E,BE ⊥DF于点P,连接CF,∠1=∠C. (1)若∠2=56°，请求出∠B的度数 (2)若AB/∥CD,试说明：∠2+∠D=90° 知识要点归纳 平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是 两直线平行，然后得出角的相等或互补的关系， 是由“位置关系”到“数量关巢”而平行线的判定 描述的是以角的相等或互补的关系为前提推导 出两直线平行，是由“数量关集”到“位置关集” 434 七年级数学BS版第2课时利用内错角、同旁内角判定 两条直线平行 1.A2.C3.D4.B 5.内错角相等，两直线平行 6.解：因为∠1=∠2，所以a∥b. 因为∠3=∠4，所以b∥c,所以a∥c! 7.C 8.B【解析】①由∠1=∠2，可得a∥b:②由∠3+∠4 180°，可得a∥b:③由∠5+∠6=180°，可得∠5的对顶 角+∠6的对顶角=180°，即可得到a∥b:④由∠2= ∠3，不能得到ab. 故能判断直线a仍的有3个. 9.15°【解析】要使BO∥CD,则∠C+∠BOC=180°， 所以∠C+∠BOA+∠DOC+∠AOD=180°， 所以∠AOD=180°-∠C-∠BOA-∠DOC=180° 90°-45°-30°=15° 10.解：ABCD,BC∥DE.理由如下： 因为∠1=60°，∠ABC=∠1， 所以∠ABC=60°. 又因为∠2=120°， 所以∠ABC+∠2=180°， 所以AB∥CD 因为∠2+∠BCD=180°，所以∠BCD=60°. 因为∠D=60°， 所以∠BCD=∠D, 所以BC∥DE, 11.C12.C13.57° 14.解：因为CD⊥CE, 所以∠DCE=90. 因为∠ACE=140°， 所以∠ACD=360°-∠DCE-∠ACE=360°-90° 140°=130°. 因为∠BAF=50°， 所以∠CAB=180°-∠BAF=180°-50°=130°， 所以∠ACD=∠CAB, 所以DC∥AB 15.解：AD∥BC.理由如下： 因为DE平分∠ADC,CE平分∠BCD, 所以∠ADC=2∠1，∠BCD=2∠2. 因为∠1+∠2=90°， 所以∠ADC+∠BCD=2(∠1+∠2)=180°， 所以AD∥BC 16.解：(1)70° (2)分两种情况： ①如图①，当∠ACE=30°时，ABCE, 理由：因为∠ACE=∠A=30°，所以AB∥CE: 410 七年级数学BS版 图① 图② ②如图②，当∠ACE=150°时，AB∥CE. 理由：因为∠ACE=150°，∠A=30°， 所以∠ACE+∠A=150°+30°=180°， 所以AB∥CE. 故∠ACE等于30°或150时，CE∥AB 3平行线的性质 第1课时平行线的性质 1.D2.C 3.解：因为AC∥DF,所以∠A=∠1. 因为AB∥EF, 所以∠A=∠2，所以∠1=∠2. 因为∠2=50°，所以∠1=50°. 4.B5.C6.70°7.D8.78 9.解：因为AC∥MD,∠A=100°， 所以∠AMD=180°-∠A=80°. 因为BF∥ME,∠B=130°， 所以∠BME=180°-∠B=50°， 所以∠DME=180°-∠AMD-∠BME=180°-80° 50°=50°. 10.104°【解析】如图，由折叠的性 质，得∠4=∠2=52°，所以∠2 +∠4=104°. 由题意，得AB∥CD 所以∠1=∠2+∠4=104°. 变式题115°【解析】如图，由题 意，得AB∥CD, 所以∠1=∠3+∠4=130°，∠2+ ∠3=180° 由折叠的性质，得∠3=∠4， 所以∠3=2×130=65. 所以∠2=180°-∠3=180°-65°=115. 11.解：因为DE∥AC,所以∠ACD=∠CDE. 因为EF∥CD,所以∠CDE=∠DEF,∠DCE =∠BEF, 所以∠ACD=∠DEF. 因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠DCE, 所以∠DEF=∠BEF,即EF平分∠DEB. 12.解：因为AB∥FN, 所以∠BEM+∠F=180°， 所以∠F=180°-∠BEM=80. 因为EF∥GH,所以∠FNG=∠F=80°. 因为CD∥FN, 所以∠NGD=∠FNG=80° 13.解：(1)∠1=∠2(2)∠1+∠2=180 (3)相等或互补 (4)设一个角的度数是x°，则另一个角的度数是3x° -20. 根据题意，得x十3x一20=180或x=3x一20， 解得x=50或x=10. 当x=50时，3x-20=130: 当x=10时，3x-20=10. 故这两个角的度数分别是50°，130°或10°，10°. 【解析】(1)因为AB∥EF,所以∠1=∠3. 因为BC∥DE,所以∠2=∠3， 所以∠1=∠2. (2)因为AB∥EF,所以∠1=∠3. 因为BC∥DE,所以∠2+∠3=180°， 所以∠1+∠2=180°. 第2课时平行线性质与判定的综合 1.B 2.D【解析】因为∠1=∠2，所以AD∥BC,所以∠B+ ∠BAD=180°.因为∠B=108°，所以∠BAD=180° ∠B=72° 3.A【解析】因为∠1=∠2，所以AB∥CD, 因为∠EFD=70°，FG平分∠EFD, 1 所以∠GFD=2∠EFD=35, 因为AB∥CD,所以∠EGF=∠GFD=35° 4.D【解析】因为∠C+∠D=180°，所以AD∥BC,故选 项C结论正确，不符合题意；因为AD∥BC,所以 ∠DAE=∠AFB.因为∠DAE=3∠EBF,∠EBF= 27°，所以∠AFB=∠DAE=81°，故选项A结论正确， 不符合题意；因为∠AGF=102°，∠BAF=34°，所以 ∠AFG=44°，所以∠BFG=∠AFB-∠AFG=37°， 故选项B结论正确，不符合题意；因为∠EBF=27°，所 以∠BFG≠∠EBF,所以BE和FG不平行，故选项D 结论错误，符合题意。 5.30° 6.120°【解析】因为AC平分∠DAB, 所以∠1=∠CAB. 因为∠1=∠2， 所以∠CAB=∠2， 所以DC∥AB, 所以∠D+∠DAB=180° 又因为∠D:∠DAB=2:1, 2 所以∠D=180°×2中1=120， 7.110°【解析】由题意，得∠ABC=180°-50°-20° =110°. 要使CD∥AB,则∠BCD=∠ABC=110 8.解：平行∥内错角相等，两直线平行两直线平 行，内错角相等∠DCE∥同位角相等，两直线 平行 9.解：因为AF∥BC,所以∠1=∠ACB. 又因为∠1=∠2，所以∠2=∠ACB, 所以DE∥AC,所以∠ADE+∠BAC=180. 又因为∠ADE+∠1=180°， 所以∠1=∠BAC, 所以AC平分∠BAF 10.C【解析】因为AB,CD都与地面l平行，所以AB∥ CD,所以∠BAC+∠ACD=180°，所以∠BAC+ ∠ACB+∠BCD=180°.因为∠BCD=60°，∠BAC =54°，所以∠ACB=180°-60°-54°=66°，所以当 ∠MAC=∠ACB=66时，AM∥CB. 11.B【解析】因为∠C=∠3，所以BC∥EF,所以∠2+ ∠1=180°.因为∠2=80°，所以∠1=100°.因为∠1+ ∠3=140°，所以∠3=40°，所以∠C=∠3=40°.因为 ∠A=∠D,所以ABCD,所以∠B=∠C=40°. 12.BC∥EF 13.解：(1)因为∠1=∠C,所以BE∥CF, 所以∠B=∠2=56°. (2)因为BE⊥DF, 所以∠DPE=90°. 因为BE∥CF,所以∠CFD=∠DPE=90°， 所以∠2+∠BFD=180°-∠CFD=90°. 因为AB∥CD,所以∠BFD=∠D, 所以∠2+∠D=90°. 14.解：(1)因为AB∥CD,∠ABC=60°， 所以∠BCD=180°-60°=120°. 又因为m∥n, 所以∠ADC=180°-120°=60. (2)过点P作PE∥AB交直线m 于点E,如图所示 因为AB∥CD,所以AB∥CD ∥PE, 所以∠APE=∠BAP,∠DPE=∠PDC, 所以∠APD=∠APE+∠DPE=∠BAP+∠PDC, 由(1)得∠ADC=60°. 因为DP平分∠ADC, 所以∠PDC=∠ADP=∠ADC=号×60=30 1 下册参考答案 因为∠APD=75°， 所以∠BAP=∠APD-∠PDC=75°-30°=45°. (3)将三角形PCD向右平移的过程中，由“垂线段最 短”，得当AP⊥n时，AP最小，即∠APC=90° 由(2)得∠ADP=30 因为直线m∥n,所以∠ADP=∠CPD=30°， 所以∠APD=∠APC-∠DPC=90°-30°=60°. 解题技巧专题与相交线、平行线相关的四类 角的计算与证明 1.解：(1)因为∠BOC与∠BOD互为余角 所以∠BOC+∠BOD=90°. 因为∠BOC=4∠BOD, 所以∠B00=×90=7g. (2)因为∠AOC与∠BOC互为补角， 所以∠AOC+∠BOC=180°， 所以∠AOC=180°-∠B0C=180°-72°=108°. 因为OE平分∠AOC, 所以∠C0E=号∠A0c=号×108=54， 1 所以∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°. 2.A【解析】因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°.因为 ∠AOC=18°，所以∠BOD=∠AOC=18°，所以 ∠BOE=∠DOE+∠BOD=108°.因为OF平分 ∠BOE.所以∠B0F-号∠B0E=A,所以∠D0F= 90°-54°=36°」 3.解：因为OA⊥OB,所以∠AOB=90° 因为∠AOE=106°，所以∠BOE=∠AOE-∠AOB=16. 因为OC⊥OE,所以∠COE=90°， 所以/BOC=90°+16°=106°. 因为OD为∠BOC的平分线， 所以∠BOD=2∠BOC=53', 所以∠DOE=∠BOD-∠BOE=53°-16°=37°. 4.解：如图，设AE与CD相交于点G. 因为AB∥CD,所以∠DGE=∠A=75°. 因为AE∥CF,所以∠C=∠DGE=75°. 一题多解法《 如图，设AE与CD相交于点G. 因为AB∥CD,所以∠AGC=∠A=75°. 因为AE∥CF,所以∠C=∠AGC=75°. 七年级数学BS版 5.60°【解析】因为∠B+∠BCD=180°，所以AB∥CD, 所以∠BAD+∠D=180°. 因为∠D=80°，所以∠BAD=180°-∠D=180°-80 =100°. 因为∠CAD:∠BAC=3:2, 3 所以∠CAD=100×3十2=60， 6.解：(1)因为∠CED=∠GHD,所以CE∥GF. (2)∠AED+∠D=180°.理由如下： 因为CE∥GF,所以∠C=∠FGD. 因为∠C=∠EFG,所以∠FGD=∠EFG, 所以AB∥CD,所以∠AED+∠D=180°. (3)因为∠DHG=∠EHF=100°，∠D=30°， 所以∠FGD=180°-100°一30°=50°. 因为CE∥GF,所以∠C=∠FGD=50° 因为AB∥CD,所以∠AEC=∠C=50°， 所以∠AEM=180°-50°=130° 方法技巧专题平行线中作辅助线的方法 1.解：AB∥CD.理由如下： 如图，连接BD. A 3 B 在三角形BDE中，∠1+∠2+∠E 2 =180°. SD 因为∠E=∠3+∠4， 所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°， 即∠ABD+∠CDB=180°， 所以AB∥CD. 2.A【解析】如图，延长DC交AE于点F. 因为AB∥CD,∠A=80°， E 所以∠EFC=∠A=80°. YC 因为∠ECD=110°，所以∠ECF= 180°-∠ECD=70°， /B 所以∠E=180°-∠ECF-∠EFC=180°-70°-80 =30° 3.B【解析】如图，延长DC交AB于A 点G,延长CD交EF于点H. 因为∠BCD=90°， B△D Y22 所以∠BCG=90°， 所以∠1=90°-a. 因为∠2=180°-∠EDH-Y,∠EDH=180°-3， 所以∠2=B-Y. 因为AB∥EF,所以∠1=∠2， 所以90°-a=B-Y,即a十B-y=90: 4.B【解析】如图，过点B作BD∥AE. 因为∠A=100°， 所以∠ABD=100°. 因为∠ABC=120°，