2.1 两条直线的位置关系-【学海风暴】2025-2026学年七年级下册数学同步备课（北师大版·新教材）

第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角与余角 色课内基础闯关 知识点①同一平面内两条直线的位置关系 B 1.真实情境有下列生活实例：①交通路口的 7.如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOE= 斑马线：②天上的彩虹；③体操的纵队所在 90°，则图中∠1与∠2的关系是 ( 直线；④100m跑道线；⑤火车的水平铁轨直 线.其中属于平行线的有 A.对顶角 B.一对相等的角 A.1个 B.2个 C.互余的两个角 D.互补的两个角 C.3个 D.4个 2.在同一个平面内，不重合的两条直线的位置 D 关系是 ( ) 0 A.平行 B.平行或相交 2 第7题图 第8题图 C.相交 D.无法确定 知识点② 对顶角的概念及性质 8.如图，如果∠1>∠2，那么∠2与2（∠1 3.下列图形中，∠1与∠2属于对顶角的是 ∠2)之间的关系是 () ( A.互余 B.互补 C.和为45 D.和为22.5 2 9.若一个角等于它的补角，则这个角是 A B C D (填“锐角”“直角”或“钝角”). 4.如图，直线a,b相交于点O,将量角器的中 10.已知∠A=10°，则∠A的余角的补角的度 心与点O重合，发现表示60°的刻度线在直 数为 线a上，表示138°的刻度线在直线b上，则 11.(2025九江柴桑区期中)如下图，直线AB, ∠1的度数为 CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分. (1)图中∠AOC的对顶角为 ∠BOE的补角为 0 (2)若∠AOC=80°，且∠BOE:∠EOD= D 第4题图 第5题图 1:3,求∠AOE的度数. 5.如图，AB与CD相交于点O,OE是∠AOC 的平分线，且OC恰好平分∠EOB,则 ∠AOD的度数为 知识点③ 补角和余角的概念及性质 6.下列图形中，∠1与∠2互为余角的是( 下册第二章 23△ 已课外拓展提高 综合能力提升 12.跨物理学科如图，当光线 15.几何直观(1)观察图中的各个角，寻找对 从空气斜射人水中时，光线 顶角（不含平角）： 的传播方向发生了变化，这 D//EB ①图①中共有 对对顶角； 种现象叫作光的折射.在图 第12题图 ②图②中共有 对对顶角； 中，直线AB与CD相交于水平面上的点 ③图③中共有 对对顶角； F,一束光线沿CD斜射人水面，在点F处 发生折射，沿FE方向射入水中.如果∠1 =42°，∠2=29°，那么光的传播方向改变了 图① 图② 图③ A.42°B.29° C.21 D.13 ④探究①~③各题中直线条数与对顶角对 13.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补.若 数之间的关系，若有n条直线相交于一点， ∠A=50°，则∠C= 则可形成 对对顶角 (2)若条直线两两相交于不同的点时，可 变式题一个角的余角与这个角的补角的 形成 对对顶角. 比为1：4，则这个角的度数是 (3)请你将上述两种情形归纳一下. 14.一题多设问如下图，直线AB,CD相交于 点O,OE,OF分别在∠BOC,∠AOD内 部，且OD平分∠BOF. (1)∠AOF的补角是 (2)若∠BOF=40°，∠COE=100°，则 知识要点归纳 ∠BOE的度数为 1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和 (3)若∠AOE=∠EOF,试说明∠COE 平行两种，若两条直线只有一个公共点，我们称 =∠DOE. 这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的 (4)若OB平分∠EOF,∠AOC：∠AOF 两条直线叫作平行线， 2 =1：3,则∠COE的度数为 2.如果两个角有公共顶点，且这两 3 A 个角的两边互为反向延长线，那么 C 这两个角是对顶角.对项角相等，如上图，∠1和 ∠3，∠2和∠4是对顶角，所以∠1=∠3，∠2 =∠4. 3.如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为 补角，简称互补.如果两个角的和是90°，那么称 这两个角互为余角，简称互余 4.同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余 角相等， 424 七年级数学BS版 第2课时垂线 课内基础闯关 5.在直线MN上取一点P,过点P作射线 PA,PB,使PA⊥PB.若∠MPA=40°，则 知识点① 垂线的定义及画法 ∠NPB的度数是 ( 1.如图，直线AB,CD相交于点 A.50° B.60° O,给出下列条件：①∠AOD= 0 C.40°或140 D.50°或130 90°；②∠AOC=∠BOC; D 6.如图，直线AB,CD相交于点O,∠AOC= ③∠AOC=∠BOD;④∠AOC 第1题图 25°，EO⊥CD,垂足为O,OF平分∠BOE, +∠BOD=180°.其中能说明AB⊥CD的 则∠DOF= 有 知识点③ 垂线的性质 A.1个 B.2个 7.(2025九江修水期中)下列图形中，线段PQ C.3个 D.4个 的长表示点P到直线MN的距离的是 2.同学们在练习过点B画线段AC所在直线 的垂线段时，有一部分同学画出了4种图 形，如图.其中画法错误的有 E 图① 图② 图③ 图④ 第2题图 A.1种 B.2种 C D C.3种 D.4种 8.(教材变式)如图，某村庄旁有一条铁路，现要 3.如图，O为直线AB上一点， 建一火车站.为了使居民乘车最方便，火车站 OD,OE分别平分∠BOC和 应建在 () ∠AOC,则OE和OD的位A 0 A.点A处 B.点B处 第3题图 置关系是 C.点C处 D.点D处 知识点②与垂直有关的角度计算 4.(2025鹰潭余江区期中)如图，直线AB与 村庄 CD相交于点O,∠AOD=140°，OE⊥AB, 第8题图 第9题图 则∠COE的度数为 ) 9.如图，AC⊥BC,AD⊥CD,垂足分别为C,D. A.409 B.50° 若AD=4,AB=7,则AC的长可能是( ) C.60° D.70 A.4 B.6 C.7 D.8 E 10.如图，已知ON⊥l,OM⊥l,所以 M 直线OM与直线ON重合，其理 B D 由是 第10题图 第4题图 第6题图 下册第二章 25 已课外拓展提高 (2)若∠BOD:∠EOD=1:2,求∠COF 11.如图，将一张长方形纸片按如图所示的方 的度数. 式折叠，BC,BD为折痕，则BC与BD的 位置关系是 D 第11题图 第12题图 色综合能力提升 12.如图，在三角形ABC中，AC⊥BC,BC= 15.几何直观(1)在图①中，以P为顶点作 12,AC=16,AB=20,D是AB边上的动 ∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂 点，则线段CD的最小值是 直.量一量∠P和∠1的度数，它们之间的 13.如下图，P是∠AOB的边OB上的一点. 数量关系是 (1)过点P画OB的垂线，交OA于点C;过 (2)同样在图②和图③中以P为顶点作 点P画OA的垂线段，垂足为H ∠P,使∠P的两边分别和∠1的两边垂 (2)请判断线段PC,PH,OC这三条线段 直.分别写出图②和图③中∠P和∠1之间 长度的大小关系，并说明理由. 的数量关系：图②中， 图③中， (3)由上述三种情形可以得到一个结论：如 果一个角的两边分别和另一个角的两边垂 直，那么这两个角 P. 14.如下图，直线AB,CD相交于点O,OE平 图① 图② 图③ 分∠AOD,OF⊥AB. 知识要点归纳 C (1)若∠COF=50°，求∠COE的度数， 1.两条直线相交成四个角，如果 有一个角是直角，那么称这两条 A B 直线互相垂直，其中的一条直线 叫作另一条直线的垂线，它们的 交点叫作垂足.如上图，直线AB与直线CD垂 直，记作AB上CD,其中O是垂足 2.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直 3.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短， 426 七年级数学BS版13.D【解析】根据题意，得[(n十n)2-n]÷n2=(4n 一n2)÷n2=3n2÷n2=3. 14.4x+1【解析】由题意，得(2x①y)÷y=[(2x)2·y +y]÷y=(4x2y+y)÷y=4x2+1. 15.3【解析】(3a)2÷27a“=9a"÷27a= 3a. 因为a2"=9, 所以原式-吉×9=3 16.解：原式=(x2-y2-x+2xy-y)÷2y-4y2十y =(-2y2+2xy)÷2y-4y2+y =-y+x-4y2+y =x-4y2. 因为x-31+(+2)》=0. 所以x-3=0,且y+2=0, 解得x=3,y=一2· 1 所以原式=3-4X×(-)广=3-1=2。 17.解：因为(15.x2y-■-20x3y2)÷(-5.x3y2)=▲+ 2xy2+4, 所以▲=15.x3y5÷(-5.x3y2)=-3y3,-■= 2xy2·(-5.x3y2)=-10xy, 所以■=10.x'y. 18.解：(1)x十x8十x2+x+1 (2)x"-1十x-8+…+x3+x2十x十1 (3)根据(2)，得1+2+22十23+…十22025+22026=(1 +2+22十23十…+22025+2226)X(2-1)=22027-1. 章末对点导练 1.C2.83.64.6×109 5.解：(1)因为10°=20,100=5-1， 所以10÷10=10-=20÷51=20÷号-100=10 所以a一b=2. 所以9°÷320=9“÷90=90-6=92=81. (2)因为32m=5,3"=10, 所以3m÷3”=3m-=5÷10=2 所以9=30=(3…)°=（分）》=子 6.B7.0.0000004238.D 9.D【解析】S大正方脂=S小E方形十4S小长方形，即(a十b)2= (a-b)2+4ab. 10.8【解析】(x-y)2=(x+y)2-4xy.当x十y=2, xy=一1时，原式=22一4×（一1）=4十4=8. 11.±6【解析】因为(x士3y)2=x2士6xy十9y2,所以k 的值为士6. 12.解：(1)5074 (2)(n+2)2-n2=4(n+1). 理由：左边=(n十2)2-n2=(n十2十n)(n十2-n)= 2(2n+2)=4(n+1), 所以左边=右边，(n十2)2-n2=4(n+1)成立. 【解析】(1)62一4=4×5,5是介于4和6之间的正整 数；11-92=4×10,10是介于11和9之间的正整 数；17-15=4×16,16是介于17和15之间的正整 数；…；所以512-492=4×50,752-732=4×74. 13.解：(1)原式=-a°bc2÷a2c‘=-a'bc8. (2)原式=m2·(-m12)十（一m9)÷m =一m14一m14 =-2m1". 14.解：原式=(a2-4b2-a2+ab)÷2b =(ab-4b2)÷2b =号-26. 当0-26-时原式=1-号日 15.解：(1)①和③ 正确的解答过程如下： A=(x+2)2+x(x-2)-(x+3)(x-3) =x2十4.x十4十x2一2x-x2十9 =x2+2x+13. (2)因为x2十2x十1=4，所以x2十2x=3, 所以A=x2+2.x+13=3+13=16. (3)B=(2x2y+5.xy2+12.xy)÷xy+(x+1)2 =2x+5y+12+x2+2.x+1 =x2+4x+5y+13. 因为B一A=3,所以x2+4.x+5y+13一(x2+2x+ 13)=2.x+5y=3, 所以4·32”=(22)·(2)=22·2y=22+5v=23 =8. 16.D17.D18.D19.B20.C 第二章相交线与平行线 1两条直线的位置关系 第1课时对顶角、补角与余角 1.D2.B3.C4.78 5.60°【解析】因为OE是∠AOC的平分线，OC恰好平 分∠EOB,所以∠AOE=∠COE,∠COE=∠BOC,所 以∠AOE=∠COE=∠BOC.因为∠AOE+∠COE+ ∠BOC=180°，所以∠BOC=60°，所以∠AOD= ∠BOC=60°. 下册参考答案 6.C7.C 8.A【解析】因为∠1与∠2互补，所以∠1=180°-∠2， 所以2（∠1-∠2）=7×(180°-∠2-∠2)=90 1 -∠2， 所以∠2与（∠1-∠2）之间的关系是互余。 9.直角 10.100°【解析】因为∠A=10°，所以∠A的余角的度数 为90°一10°=80°，所以∠A的余角的补角的度数为 180°-80°=100° 11.解：(1)∠BOD∠AOE (2)因为∠AOC=∠BOD,且∠AOC=80°， 所以∠BOD=80°. 因为∠BOE:∠EOD=1：3, 1 所以∠B0E=车∠BOD=4×80=20°. 因为∠AOE与∠BOE互为补角， 所以∠AOE=180°一∠BOE=180°-20°=160°. 12.D【解析】因为∠1=42°，∠1与∠BFD是对顶角 所以∠BFD=∠1=42°.因为∠2=29°，所以∠DFE =42°-29°=13°，所以光的传播方向改变了13. 13.140°【解析】因为∠A=50°，∠A与∠B互余， 所以∠B=90°一∠A=40°. 因为∠B与∠C互补，所以∠C=180°-∠B=140. 变式题60°【解析】设这个角的度数为x,则这个角 的余角为90°-x,补角为180°-x. 根据题意，得4(90°-x)=180°-x,解得x=60. 故这个角的度数为60°. 14.解：(1)∠BOF (2)60° (3)因为OD平分∠BOF,所以∠DOF=∠BOD 因为∠AOC=∠BOD,所以∠AOC=∠DOF. 因为∠AOE=∠EOF,所以∠AOE-∠AOC= ∠EOF-∠DOF,即∠COE=∠DOE. (4)72 【解析】(2)因为OD平分∠BOF,∠BOF=40°，所以 ∠B0D=专∠0F=20.所以∠B0E=180 ∠BOD-∠COE=60°. (4)因为∠AOC=∠BOD, 所以∠BOD:∠AOF=∠AOC:∠AOF=1:3, 即∠AOF=3∠BOD: 因为OD平分∠BOF,所以∠DOF=∠BOD, 所以∠AOF+∠BOD+∠DOF=3∠BOD+∠BOD +∠BOD=180°， 解得∠BOD=36°，所以∠BOF=72. 8 七年级数学BS版 又因为OB平分∠EOF, 所以∠BOE=∠BOF=72°， 所以∠COE=180°-∠BOD-∠BOE=72. 15.解：(1)①2②6③12④n(n-1) (2)n(n-1) (3)归纳结论：条直线相交于一点或两两相交于不 同的点时，共形成n(n一1)对对顶角. 【解析】(1)①图①中对顶角是∠AOC与∠BOD, ∠AOD与∠BOC,共有2对对顶角. ②图②中对顶角是∠AOC与∠DOB,∠COF与 ∠DOE,∠BOF与∠AOE,∠AOF与∠BOE, ∠BOC与∠AOD,∠DOF与∠COE,共有6对对 顶角. ③图③中有4条直线相交于O点，共有12对对顶角， ④根据以上总结，2条直线相交于一点，对顶角有2× (2-1)=2(对)；3条直线相交于一点，对顶角有2+2 ×2=6(对)：4条直线相交于一点，对顶角有6十3×2 =12(对) 以此类推，条直线相交于一点，可形成的对顶角对 数为2×0十2×(2一1)+…+2×(n一1)=2×(0+1 +2+3+…+n-1)=2×nn-1 -=n(n-1). 2 (2)若3条直线两两相交于不同的点，则有1十2=3 (个)交点，有6对对顶角：4条直线两两相交于不同 的点，有1十2十3=6（个）交点，有12对对顶角；…： n条直线两两相交于不同的点，有1十2十3十·十 1=n(n-1) 2 (个)交点，共有n(n-1)对对顶角. 第2课时垂线 1.C 2.D【解析】图①中，BE不是垂线段，所以画法错误：图 ②中，BE不垂直AC,所以画法错误；图③中，是过点 A画的AC的垂线段，所以画法错误；图④中，是过点 B画的BC的垂线段，所以画法错误.故画法错误的有 4种. 3.OE⊥OD4.B5.D 6.57.5°【解析】因为EO⊥CD,所以∠COE=90°，所以 ∠AOC+∠BOE=90°.因为∠AOC=25°，所以∠BOE =65.因为OF平分∠BOE,所以∠BOF=2∠B0E =号×65=32.5.因为∠B0D=∠A0C,所以 ∠BOD=25°，所以∠DOF=∠BOD+∠BOF=25°+ 32.5°=57.5°. 7.A8.A 9.B【解析】因为AC⊥BC,AD⊥CD,所以AD<AC, AC<AB,所以AD<AC<AB. 又因为AD=4,AB=7,所以4<AC<7,所以AC的 长可能是6. 10.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直 11.BC⊥BD【解析】由折叠的性质，得∠CBA= ∠CBA',∠DBE=∠DBE'. 因为∠CBA+∠CBA'+∠DBE+∠DBE'=180°， 所以∠CBA'+∠DBE'=90°， 所以BC⊥BD. 12.9.6【解析】由垂线段最短可知，当 CD⊥AB时，CD的长度最小，如图」 因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°， 所以S=2AC·BC= 1 2AB·CD, 所以2×16X12=7×20CD. 1 所以CD=9.6. 13.解：(1)如图，直线PC、线段PH即为 所求. (2)PH<PC<OC.理由如下： :H: 线段PH的长度是点P到直线OA的 距离，所以PH<PC:线段CP的长度是点C到直线 OB的距离，所以PC<OC.故PH<PC<OC. 14.解：(1)因为OF⊥AB,所以∠AOF=90° 因为∠COF=50°，所以∠AOC=∠AOF-∠COF =40°， 所以∠AOD=180°-∠AOC=140°. 因为OE平分∠AOD, 1 所以∠A0E=2∠A0D=70, 所以∠COE=∠AOE+∠AOC=110°. (2)因为OE平分∠AOD, 所以∠EOD=∠AOE. 因为∠BOD:∠EOD=1:2, 所以∠BOD:∠EOD:∠AOE=1:2:2, 所以∠B0D=180×号=36 因为OF⊥AB,所以∠BOF=90°， 所以∠C0F=180°-90°-36°=54°. 15.解：(1)如图①所示.∠1+∠P=180° (2)如图②、图③所示.∠1=∠P∠1=∠APC 或∠1+∠BPC=180° (3)相等或互补 图② 2探索直线平行的条件 第1课时利用同位角判定两条直线平行 1.B2.∠CEF∠C3.A4.C 5.解：因为∠1=35°，∠2=35°， 所以∠1=∠2，所以AC∥BD. 因为AC平分∠EAG,BD平分∠FBG, 所以∠EAG=2∠1，∠FBG=2∠2. 又因为∠1=∠2， 所以∠EAG=∠FBG, 所以AE∥BF, 6.B 变式题过直线外一点有且只有一条直线与这条直线 平行 7.EF∥CD平行于同一条直线的两条直线平行 8.解：(1)如图，直线b即为所求.能画1条. f…c f.b (2)如图，直线c即为所求.它与过点B且与直线a平 行的直线平行. 9.D 10.同位角相等，两直线平行 11.∠2=50°（答案不唯一）【解析】增加的条件可以为 ∠2=50°.因为EF⊥MN,所以∠EFM=90°.因为 ∠2=50°，所以∠BFM=140°，所以∠BFM=∠AFN =∠1=140°，所以AB∥CD. 12,解：因为OD平分∠EOB,所以∠DOE=号∠BOB. 因为OF平分∠AOE,所以∠BOF=号∠A0E, 因为∠AOE+∠EOB=180°， 所以∠FOD=∠EOF+∠DOE=Z（∠AOE+ 1 ∠E0B)=2×180°=90. 因为GH⊥CD,所以∠GHO=90°， 所以∠GHO=∠FOD,所以GH∥FO. 13.解：(1)a1∥a.理由如下： 如图，因为a1⊥a2,a2⊥a3, 所以∠1=∠2=90°，所以a1∥a3. (2)a1⊥a (3)a1∥a2o2r 下册参考答案