【冲刺2026年】中考数学一轮复习江苏2025年中考真题及模拟试题分类提优测试卷26 概率能力提升测试卷

卷26 概率能力提升测试卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B B C D 一．选择题（共6小题） 1．（2025•徐州）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【分析】分析可能出现的情况，得出必然事件． 【解答】解：摸出3个球，可能为3个红球，或2个红球1个黑球，或1个红球2个黑球， ∴至少有1个球是红球， 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件，掌握必然事件的定义是解题的关键． 2．（2025•扬州）下列说法不正确的是（　　） A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定 【分析】根据随机事件，全面调查与抽样调查的定义，折线统计图及方差的意义进行判断即可． 【解答】解：明天下雨是随机事件，则A不符合题意， 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用抽样调查的方式，则B符合题意， 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图，则C不符合题意， 若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，因0.13＞0.04，那么乙组数据更稳定，则D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查随机事件，全面调查与抽样调查，折线统计图及方差，熟练掌握相关定义及实际意义是解题的关键． 3．（2025•苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】设红球的个数为x个，根据概率公式列出方程，解方程即可． 【解答】解：设红球的个数为x个， 由题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， 即红球的个数为2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 4．（2025•昆山市模拟）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（　　） A．16 B．20 C．24 D．28 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：根据题意知20%， 解得a＝20， 经检验：a＝20是原分式方程的解， 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 5．（2025•沛县校级一模）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．手可摘星辰 D．林深见鹿踪 【分析】不可能事件是不可能发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【解答】解：A、黄河入海流是必然事件，符合题意； B、锄禾日当午是随机事件，不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，符合题意； D、林深见鹿踪是随机事件，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件，掌握随机事件的定义是关键． 6．（2025•海陵区校级三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，可得掷出1和6的概率之和，即可求解． 【解答】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是， ∴这个骰子掷出1和6的概率之和为14＝1， ∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍， ∴他掷出6的概率是． 故选：D． 【点睛】本题考查了概率公式以及无理数，概率＝所求情况数与总情况数之比． 二．填空题（共6小题） 7．（2025•镇江）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是　　 ． 【分析】先求出任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得． 【解答】解：∵转盘中5个扇形的面积都相等，涂红色的有3个， ∴当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题关键． 8．（2025•盐城二模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 　　 ． 【分析】根据几何概率的求法：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【解答】解：∵由题意可得：总面积为3×3＝9， 阴影部分面积为， ∴在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查几何概率，正确记忆概率的定义是解题关键． 9．（2025•江都区二模）一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在3号板上的概率是　　 ． 【分析】分别计算其面积，最后相比计算出概率． 【解答】解：设正方形边长为1，则其面积为1， 根据题意分析可知：3号板是平行四边形，面积为， 故它最终停留在3号板上的概率是． 故答案为：． 【点睛】考查了几何概率的知识，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 10．（2025•连云港一模）十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的：下列四幅十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张后并放回，再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是 　　 ． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两张图片恰好是“牛”“兔”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 鼠 牛 虎 兔 鼠 （鼠，鼠） （鼠，牛） （鼠，虎） （鼠，兔） 牛 （牛，鼠） （牛，牛） （牛，虎） （牛，兔） 虎 （虎，鼠） （虎，牛） （虎，虎） （虎，兔） 兔 （兔，鼠） （兔，牛） （兔，虎） （兔，兔） 共有16种等可能的结果，其中两张图片恰好是“牛”“兔”的结果有：（牛，兔），（兔，牛），共2种， ∴两张图片恰好是“牛”“兔”的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 11．（2025•南京模拟）如图，在一个正方形的网格上有A、B、C、D、E五个点，任意连接其中3个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为　　 ． 【分析】计算所有可能的三角形数量，再找出其中直角三角形的数量，最后求概率． 【解答】解：从在格点上的点A、B、C、D、E中任取三个点构成的三角形有△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE、△BCD、△BCE、△BDE、△CDE共9个， 根据网格的特点可得△ACD、△BCD、△ADE、△ABE、△ACE、△BDE、△CDE是直角三角形， 即在构成的三角形中，是直角三角形的个数是7个， ∴在构成的三角形中，是直角三角形的概率为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，以及三角形中的勾股定理的逆定理运用，属于中考常考题型，注意不要漏数． 12．（2025•邗江区一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为5cm的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的总面积为　10　 cm2． 【分析】正方形的面积乘以落入黑色部分的频率即可得出答案． 【解答】解：由题意知，估计黑色部分的总面积为5×5×0.4＝10（cm2）， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 三．解答题（共12小题） 13．（2025•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 　　 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，即①⑤、③④， ∴抽到的数与文字描述相符合的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．（2025•无锡）一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是 　　 ； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球， ∴从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为． 【点睛】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．（2025•扬州）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是　　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以得到小明在这4种体育活动中随机选择，选中“乒乓球”的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； （2）树状图如下所示： 由上可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 16．（2025•镇江）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 【分析】先画出树状图，则可得从袋子中随机摸出2个球的所有等可能的结果，再找出摸出标有数字2和3的两个球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【解答】解：画出树状图如下： 由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种， 则概率为， 答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 17．（2025•苏州）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为 　　 ； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵现有A，B，C共3部电影， ∴甲同学选择A电影的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， ∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 18．（2025•南京）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3，乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4．先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． （1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是　　 ； （2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 【分析】（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， ∴取出的3个小球上所写数字没有4的概率为． 故答案为：． （2）由树状图可知，取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， ∴取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19．（2025•盐城）在学习频率与概率的相关知识时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表． 抛掷次数n 80 160 240 320 400 480 560 2枚正面都朝上的频数m 18 37 61 78 103 118 141 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） 0.225 0.231 0.254 0.244 0.258 0.246 0.252 （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是　0.25　 .（精确到0.01） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是0.25， 故答案为：0.25； （2）画树状图如下： 由图知，共有4种等可能结果，其中2枚硬币正面都朝上的有1种结果， 所以2枚硬币正面都朝上的概率为． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率及列表法与树状图法求概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 20．（2025•连云港）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 　　 ； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到红球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及2次都摸到白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到红球的结果有1种， ∴摸到红球的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 红 白 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） （白，白） 共有16种等可能的结果，其中2次都摸到白球的结果有9种， ∴2次都摸到白球的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21．（2025•宿迁）某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有两个项目供学生选择：A文明交通劝导志愿行，B乡村教育关爱行，每名学生只能任意选择其中一个项目． （1）甲同学选择A项目的概率为 　　 ； （2）请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）甲同学选择A项目的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的有2种结果， 所以甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（2025•淮安）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是　　 ； （2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字， ∴从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为． 【点睛】本题考查的是列表法与树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 23．（2025•南通）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： （1）小明到南通博物苑参加社会实践活动； （2）小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． 【分析】（1）直接利用概率公式即可得出小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率； （2）利用列表展示16种等可能的结果数，从中找到小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数，根据概率公式计算可得． 【解答】解：（1）图中社会实践活动分别用①，②，③，④，表示， 则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为； （2）列表如下： 小丽 小华 ① ② ③ ④ ① ①① ①② ①③ ①④ ② ②① ②② ②③ ②④ ③ ③① ③② ③③ ③④ ④ ④① ④② ④③ ④④ 共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种， 所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．（2025•徐州）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母，转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． （1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 　　 ； （2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的结果有2种， ∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为． 【点睛】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷26 概率能力提升测试卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1．（2025•徐州）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 2．（2025•扬州）下列说法不正确的是（　　） A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定 3．（2025•苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025•昆山市模拟）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（　　） A．16 B．20 C．24 D．28 5．（2025•沛县一模）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．手可摘星辰 D．林深见鹿踪 6．（2025•海陵区三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7．（2025•镇江）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是　 　 ． 8．（2025•盐城二模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 　 　 ． 9．（2025•江都区二模）一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在3号板上的概率是　 　 ． 10．（2025•连云港一模）十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的：下列四幅十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张后并放回，再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是 　 　 ． 11．（2025•南京模拟）如图，在一个正方形的网格上有A、B、C、D、E五个点，任意连接其中3个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为　 　 ． 12．（2025•邗江区一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为5cm的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的总面积为　 　 cm2． 三．解答题（共12小题，共64分） 13．（5分）（2025•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 　 　 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 14．（5分）（2025•无锡）一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是 　 　 ； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 15．（5分）（2025•扬州）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是　 　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 16．（5分）（2025•镇江）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 17．（5分）（2025•苏州）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为 　 　 ； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 18．（5分）（2025•南京）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3，乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4．先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． （1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是　 　 ； （2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 19．（5分）（2025•盐城）在学习频率与概率的相关知识时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表． 抛掷次数n 80 160 240 320 400 480 560 2枚正面都朝上的频数m 18 37 61 78 103 118 141 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） 0.225 0.231 0.254 0.244 0.258 0.246 0.252 （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是　 　 .（精确到0.01） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 20．（5分）（2025•连云港）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 　 　 ； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 21．（6分）（2025•宿迁）某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有两个项目供学生选择：A文明交通劝导志愿行，B乡村教育关爱行，每名学生只能任意选择其中一个项目． （1）甲同学选择A项目的概率为 　 　 ； （2）请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率． 22．（6分）（2025•淮安）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是　 　 ； （2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 23．（6分）（2025•南通）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： （1）小明到南通博物苑参加社会实践活动； （2）小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． 24．（6分）（2025•徐州）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母，转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． （1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 　 　 ； （2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 卷26 概率能力提升测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B B C D 一．选择题（共6小题） 1．（2025•徐州）一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（　　） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【分析】分析可能出现的情况，得出必然事件． 【解答】解：摸出3个球，可能为3个红球，或2个红球1个黑球，或1个红球2个黑球， ∴至少有1个球是红球， 故选：C． 【点评】本题考查了随机事件，掌握必然事件的定义是解题的关键． 2．（2025•扬州）下列说法不正确的是（　　） A．明天下雨是随机事件 B．调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式 C．描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图 D．若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，则乙组数据更稳定 【分析】根据随机事件，全面调查与抽样调查的定义，折线统计图及方差的意义进行判断即可． 【解答】解：明天下雨是随机事件，则A不符合题意， 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用抽样调查的方式，则B符合题意， 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图，则C不符合题意， 若甲组数据的方差S甲2＝0.13，乙组数据的方差S乙2＝0.04，因0.13＞0.04，那么乙组数据更稳定，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查随机事件，全面调查与抽样调查，折线统计图及方差，熟练掌握相关定义及实际意义是解题的关键． 3．（2025•苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】设红球的个数为x个，根据概率公式列出方程，解方程即可． 【解答】解：设红球的个数为x个， 由题意得：， 解得：x＝2， 经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意， 即红球的个数为2个， 故选：B． 【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 4．（2025•昆山市模拟）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（　　） A．16 B．20 C．24 D．28 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【解答】解：根据题意知20%， 解得a＝20， 经检验：a＝20是原分式方程的解， 故选：B． 【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 5．（2025•沛县一模）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　） A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．手可摘星辰 D．林深见鹿踪 【分析】不可能事件是不可能发生的事件，必然事件是一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【解答】解：A、黄河入海流是必然事件，符合题意； B、锄禾日当午是随机事件，不符合题意； C、手可摘星辰是不可能事件，符合题意； D、林深见鹿踪是随机事件，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了随机事件，掌握随机事件的定义是关键． 6．（2025•海陵区三模）有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，可得掷出1和6的概率之和，即可求解． 【解答】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是， ∴这个骰子掷出1和6的概率之和为14＝1， ∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍， ∴他掷出6的概率是． 故选：D． 【点评】本题考查了概率公式以及无理数，概率＝所求情况数与总情况数之比． 二．填空题（共6小题） 7．（2025•镇江）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是　　 ． 【分析】先求出任意转动转盘1次共有5种等可能的结果，其中，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的结果有3种，再利用概率公式计算即可得． 【解答】解：∵转盘中5个扇形的面积都相等，涂红色的有3个， ∴当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题关键． 8．（2025•盐城二模）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 　　 ． 【分析】根据几何概率的求法：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【解答】解：∵由题意可得：总面积为3×3＝9， 阴影部分面积为， ∴在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点评】此题考查几何概率，正确记忆概率的定义是解题关键． 9．（2025•江都区二模）一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在3号板上的概率是　　 ． 【分析】分别计算其面积，最后相比计算出概率． 【解答】解：设正方形边长为1，则其面积为1， 根据题意分析可知：3号板是平行四边形，面积为， 故它最终停留在3号板上的概率是． 故答案为：． 【点评】考查了几何概率的知识，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比． 10．（2025•连云港一模）十二生肖是我国历史悠久的民俗文化符号，是十二地支的形象化代表；根据文献资料记载，最早并广为流传的完整十二生肖循环，是由东汉王充在公元1世纪期间所著《论衡》中提出的：下列四幅十二生肖图片，大小、形状、质地完全相同，小乐从中随机抽取一张后并放回，再从中随机抽取一张，两张图片恰好是“牛”“兔”的概率是 　　 ． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两张图片恰好是“牛”“兔”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 鼠 牛 虎 兔 鼠 （鼠，鼠） （鼠，牛） （鼠，虎） （鼠，兔） 牛 （牛，鼠） （牛，牛） （牛，虎） （牛，兔） 虎 （虎，鼠） （虎，牛） （虎，虎） （虎，兔） 兔 （兔，鼠） （兔，牛） （兔，虎） （兔，兔） 共有16种等可能的结果，其中两张图片恰好是“牛”“兔”的结果有：（牛，兔），（兔，牛），共2种， ∴两张图片恰好是“牛”“兔”的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 11．（2025•南京模拟）如图，在一个正方形的网格上有A、B、C、D、E五个点，任意连接其中3个点，在构成的三角形中，是直角三角形的概率为　　 ． 【分析】计算所有可能的三角形数量，再找出其中直角三角形的数量，最后求概率． 【解答】解：从在格点上的点A、B、C、D、E中任取三个点构成的三角形有△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE、△BCD、△BCE、△BDE、△CDE共9个， 根据网格的特点可得△ACD、△BCD、△ADE、△ABE、△ACE、△BDE、△CDE是直角三角形， 即在构成的三角形中，是直角三角形的个数是7个， ∴在构成的三角形中，是直角三角形的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式，以及三角形中的勾股定理的逆定理运用，属于中考常考题型，注意不要漏数． 12．（2025•邗江区一模）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从某个二维码中开展数学实验活动．如图，在边长为5cm的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的总面积为　10　 cm2． 【分析】正方形的面积乘以落入黑色部分的频率即可得出答案． 【解答】解：由题意知，估计黑色部分的总面积为5×5×0.4＝10（cm2）， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 三．解答题（共12小题） 13．（2025•常州）在5张相同的小纸条上，分别写有：①﹣1；②0；③1；④正数；⑤负数．将这5张小纸条做成5支签，①、②、③放在不透明的盒子A中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子B中搅匀． （1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是 　　 ； （2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的数与文字描述相符合的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到0的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的数与文字描述相符合的结果有2种，即①⑤、③④， ∴抽到的数与文字描述相符合的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．（2025•无锡）一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． （1）将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是 　　 ； （2）将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球， ∴从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴两次摸到的球标号均小于3的概率为． 【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．（2025•扬州）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动． （1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是　　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率． 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以得到小明在这4种体育活动中随机选择，选中“乒乓球”的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是， 故答案为：； （2）树状图如下所示： 由上可得，一共有16种等可能性，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的可能性有4种， ∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 16．（2025•镇江）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率． 【分析】先画出树状图，则可得从袋子中随机摸出2个球的所有等可能的结果，再找出摸出标有数字2和3的两个球的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【解答】解：画出树状图如下： 由图可知，从袋子中随机摸出2个球共有12种等可能的结果，其中，摸出标有数字2和3的两个球有2种， 则概率为， 答：摸出标有数字2和3的两个球的概率为． 【点评】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． 17．（2025•苏州）为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为 　　 ； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵现有A，B，C共3部电影， ∴甲同学选择A电影的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， ∴甲、乙2位同学选择不同电影的概率为． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 18．（2025•南京）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3，乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4．先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球． （1）取出的3个小球上所写数字没有4的概率是　　 ； （2）取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？ 【分析】（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种， ∴取出的3个小球上所写数字没有4的概率为． 故答案为：． （2）由树状图可知，取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种， ∴取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 19．（2025•盐城）在学习频率与概率的相关知识时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表． 抛掷次数n 80 160 240 320 400 480 560 2枚正面都朝上的频数m 18 37 61 78 103 118 141 2枚正面都朝上的频率（精确到0.001） 0.225 0.231 0.254 0.244 0.258 0.246 0.252 （1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是　0.25　 .（精确到0.01） （2）请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论． 【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是0.25， 故答案为：0.25； （2）画树状图如下： 由图知，共有4种等可能结果，其中2枚硬币正面都朝上的有1种结果， 所以2枚硬币正面都朝上的概率为． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率及列表法与树状图法求概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 20．（2025•连云港）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 　　 ； （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到红球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及2次都摸到白球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中摸到红球的结果有1种， ∴摸到红球的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 红 白 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） （白，白） 共有16种等可能的结果，其中2次都摸到白球的结果有9种， ∴2次都摸到白球的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21．（2025•宿迁）某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动．某一周末有两个项目供学生选择：A文明交通劝导志愿行，B乡村教育关爱行，每名学生只能任意选择其中一个项目． （1）甲同学选择A项目的概率为 　　 ； （2）请用画树状图的方法，求甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）甲同学选择A项目的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的有2种结果， 所以甲、乙、丙三位同学恰好选择同一项目的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．（2025•淮安）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． （1）从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是　　 ； （2）一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字， ∴从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为． 【点评】本题考查的是列表法与树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 23．（2025•南通）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： （1）小明到南通博物苑参加社会实践活动； （2）小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． 【分析】（1）直接利用概率公式即可得出小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率； （2）利用列表展示16种等可能的结果数，从中找到小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数，根据概率公式计算可得． 【解答】解：（1）图中社会实践活动分别用①，②，③，④，表示， 则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为； （2）列表如下： 小丽 小华 ① ② ③ ④ ① ①① ①② ①③ ①④ ② ②① ②② ②③ ②④ ③ ③① ③② ③③ ③④ ④ ④① ④② ④③ ④④ 共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种， 所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 24．（2025•徐州）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母，转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． （1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为 　　 ； （2）转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的结果有2种， ∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为． 【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/22 10:08:23；用户：初中数学13；邮箱：haydt13@xyh.com；学号：39048644 1 学科网（北京）股份有限公司 $