【冲刺2026年】中考数学一轮复习江苏2025年中考真题及模拟试题分类提优测试卷24 锐角三角函数能力提升测试卷

卷24 锐角三角函数能力提升测试卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C C B B B C 一．选择题（共8小题） 1．（2025•镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【解答】解：由题意可知：在Rt△ABC中，AB＝120米，∠A＝10°， ∵sinA， ∴BC＝AB•sinA＝120sin10°（米）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（2025•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求得BC的长度，再根据正弦的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∴sinB， 故选：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2025•南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D．5 【分析】依题意画出示意图，根据正切函数的定义得tanA，再根据AC即可得出BC的长． 【解答】解：如图所示： 在△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴tanA， ∵AC， ∴BCAC． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握正切函数的定义是解决问题的关键． 4．（2025•苏州校级二模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】如图连接格点BD、CD．在Rt△ABD中求出∠A的正切值． 【解答】解：如图，连接格点BD、CD． 在Rt△ABD中， tanA． 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，连接BD构造直角三角形是解决本题的关键． 5．（2025•淮安区模拟）在5×10的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则cos∠BAC＝（　　） A． B． C．2 D． 【分析】连接BC，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：连接BC， 由题意得：BC2＝12+32＝10， AC2＝22+62＝40， AB2＝72+12＝50， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AC2，AB5， ∴cos∠BAC， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6．（2025•无锡一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF，则BC的长为（　　） A．6 B． C． D．10 【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE＝AE＝BEAB，进而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，从而有∠CEF＝∠CBF，再根据锐角三角函数的定义表示出CF，又设BF＝AF＝x，根据三角形的面积公式表示BC，最后由由勾股定理，求出x后即可判断得解． 【解答】解：如图，连接BF， ∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴S△AFE＝S△BFE＝25，∠FBA＝∠A， ∴S△AFB＝50AF•BC． ∵CE＝AE＝BEAB， ∴∠A＝∠FBA＝∠ACE， 又∵∠BCA＝90°＝∠BEF， ∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A， ∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A， ∴∠CEF＝∠FBC， ∴sin∠CEF＝sin∠FBC． 设BF＝AF＝x， ∴CFx． 又∵BC•AF＝50， ∴BC． 又∵BC2+CF2＝BF2， ∴（）2+（x）2＝x2． ∴x＝5． ∴BC4． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 7．（2025•锡山区校级二模）某人沿着坡度为的山坡前进了500m，则这个人所在的位置升高了（　　） A．500m B．250m C． D． 【分析】根据坡度比可求出坡角，然后利用坡角的正弦值＝垂直高度：坡面距离进行解答． 【解答】解：某人沿着坡度为的山坡前进了500m， 则AE＝500m． ∵坡度为， ∴， ∴∠A＝30°． ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确进行计算是解题关键． 8．（2025•东海县二模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则tan∠BAC＝（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】如图，过C作CE⊥AB于E，延长AF交BC于D，依题意得到BC＝3，AD＝BD＝2，CD＝1，然后利用勾股定理求出AC、AB，接着利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出AE，最后利用三角函数的定义即可求解． 【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，延长AF交BC于D， 依题意BC＝3，AD＝BD＝2，CD＝1， 在Rt△ADC中，AC， 在Rt△ADB中，AB2， ∵S△ABCAD×BCCE×AB， ∴CE， ∴AE， ∴tan∠BAC3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，同时也利用了勾股定理，有一定的综合性． 二．填空题（共10小题,每小题3分，共30分） 9．（2025•启东市一模）在Rt△ABC中，AC＝3，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则cosA的值为 　　 ． 【分析】根据题意，画出图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB长，结合解直角三角形的余弦函数，得到结果． 【解答】解：如图， ∵CD为斜边AB上的中线，CD＝2， ∴AB＝2CD＝4， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3， ∴cosA， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 10．（2025•南通）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　　 ． 【分析】设NC＝x，证明△ANC∽△MAD，可求得，根据△BMN的面积为3，得到S△AMD+S△ANC＝2，求得x4，解方程得到x＝2，根据勾股定理求得AN，最后得到sin∠MNB的值． 【解答】解：如图，在图中标注C，D， 设NC＝x， ∵AD∥NB， ∴∠MAD＝∠ANC， ∵∠MDA＝∠ACN， ∴△ANC∽△MAD， ∵AC＝AD＝1， ∴， ∵△BMN的面积为3，网格图中每个小正方形的面积都为1， ∴S△AMD+S△ANC＝3﹣1＝2， ∴MD×ADNC×AC＝2， 即2， ∴x4， 解得x1＝2，x2＝2（舍去）， ∵AN2＝AC2+NC2 ＝1+4+43 ＝8+4， ∴AN， ∴sin∠MNB＝sin∠ANC． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，掌握以上性质是解题的关键． 11．（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　　 ． 【分析】延长AN，交直线BC于点E，设DN＝xcm，则 CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得∠DAN＝∠AEF＝α，然后根据正切的定义计算即可得． 【解答】解：如图，延长AN，交直线BC于点E， 由题意得：AD＝BC＝CD＝9cm，∠D＝90°，AD∥BC，AN∥FG， 设DN＝xcm，则CN＝CD﹣DN＝（9﹣x）cm， ∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 （9﹣x）cm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为xcm的长方体的体积的一半之和， ∴， 解得x＝4， 即DN＝4cm， ∵AN∥FG， ∴∠AEF＝∠F＝α， ∵AD∥BC， ∴∠DAN＝∠AEF＝α， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键． 12．（2025•赣榆区模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　　 ． 【分析】借助于格点，连接BM，AM，得出BM∥DC，进而得出∠ABM＝∠APC，最后在Rt△ABM中根据正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：连接BM，AM， 则BM∥DC，∠AMB＝90°， ∴∠ABM＝∠APC． 令正方形网格的边长为a， 则AM， AB． 在Rt△ABM中， sin∠ABM， ∴sin∠APC＝sin∠ABM． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，能通过辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 13．（2025•淮安区一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝10，CD＝5，，那么边AD的长为　　 ． 【分析】过点A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．解直角三角形求出AE，DE即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC． 在Rt△ABH中，tanB， 设AH＝3k，则BH＝4k， ∴AB5k， ∵AB＝10， ∴k＝2， ∴AH＝6，BH＝8， ∵BC＝10， ∴CH＝BC﹣BH＝10﹣8＝2， ∴AC2， 在Rt△CED中，∠D+∠ECD＝90°， ∵∠B+∠D＝90°， ∴∠ECD＝∠B， ∴tan∠ECD， 在Rt△CED中，tan∠ECD， ∵CD＝5， ∴DE＝3，CE＝4， ∴AE2， ∴AD＝AE+DE＝23． 故答案为：23． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．（2025•南通模拟）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC、BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为60cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从120°周节到150°时，人的头部支撑点E向后水平推移了　（3030）　 cm． 【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图，过点E，点E′分别作AB的垂线，分别与BA的延长线相交于点M、点N， 在Rt△AEM 中，AE＝60cm，∠EAM＝180°﹣120°＝60°， ∴AMAE＝30（cm）， 在Rt△AE′E 中，AE′＝60cm，∠E′AN＝180°﹣150°＝30°， ∴ANAE＝30（cm）， ∴MN＝AN﹣AM＝（3030）cm， 即人的头部支撑点E向后水平推移了（3030）cm． 故答案为：（3030）． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键，作垂线构造直角三角形是解决问题的前提． 15．（2025•启东市二模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于　　 ． 【分析】连接AB，先根据题意判断出△AOB的形状，再得出∠AOB的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结论． 【解答】解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A， ∴OA＝OB， ∵以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴sin∠AOB＝sin60°； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值及等边三角形的判定与性质，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键． 16．（2025•连云港二模）如图，一束光线从点A出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（p，q），入射光线与y轴正方向的夹角为α，且tanα＝2，则p+2q的值是 　2　 ． 【分析】设BC与x轴交于点D，易得∠OBC＝α，根据tanα的值可得OD的长，进而可得点D的坐标，则可以求得射线BC的解析式，把点C的坐标代入后整理可得p+2q的值． 【解答】解：设BC与x轴交于点D， 由题意得：∠OBC＝α，OB＝1，∠BOC＝90°， ∵tanα＝2， ∴OD＝2， ∴点D的坐标为（2，0）， 设射线BC的解析式为：y＝kx+1， ∴0＝2k+1， 解得：k， ∴yx+1， ∵射线BC经过点C（p，q）， ∴p+1＝q， ∴﹣p+2＝2q， ∴p+2q＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．求得射线BC所在直线的解析式是解决本题的关键． 17．（2025•灌南县校级模拟）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，则tan∠EDF＝　　 ． 【分析】根据矩形的性质，图形折叠的性质可证明△BEF∽△CFD，可得，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC， 由折叠的性质得：AD＝DF＝BC，∠DFE＝∠A＝90°， ∴∠BEF+∠BFE＝∠DFC+∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝∠DFC， ∴△BEF∽△CFD， ∴， ∵CD＝3BF， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形的折叠问题，掌握其性质定理是解决此题的关键． 18．（2025•扬州校级二模）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是 　　 ． 【分析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KMTB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大． 【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM． ∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA， ∴△OAT是等边三角形， ∵A（4，0）， ∴TO＝TA＝TB＝4， ∵OK＝KT，OM＝MB， ∴KMTB＝2， ∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动， 当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大， ∵△OTA是等边三角形，OK＝KT， ∴AK⊥OT， ∴AK2， ∵AM是切线，KM是半径， ∴AM⊥KM， ∴AM2， 过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P． ∵∠PML＝∠AMK＝90°， ∴∠PMK＝∠LMA， ∵∠P＝∠MLA＝90°， ∴△MPK∽△MLA， ∴， 设PK＝x，PM＝y，则有MLy，ALx， ∴yx①，y＝3x， 解得，x，y， ∴MLy， ∴sin∠OAM． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 三．解答题（共6小题，共46分） 19．（8分）（2025•南京）如图，码头B位于码头A的南偏东30°方向，A，B之间的距离为40km，灯塔P在AB的中点处．轮船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行．当甲航行到C处时，乙航行了相同的距离到达D处，此时，C，P，D三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离AC． （参考数据：） 【分析】延长AC，DB交点为E，过点P作PF⊥AE于点F，过B作BH⊥BD交CD于点H．设AC＝BD＝xkm，根据题意可得20x＝20+x，解方程得出答案． 【解答】解：如图，延长AC，DB交点为E，过点P作PF⊥AE于点F，过B作BH⊥BD交CD于点H． 由题意得，∠E＝90°，∠PFA＝90°，∠HBD＝90°， ∵A，B之间的距离为40km，P在AB的中点处， ∴AP＝PB＝20km， ∵Rt△APF中，∠A＝30°， ∴PF＝10km，AF10（km）， ∵PF∥DE，P为AB中点， ∴F为AE的中点，即AE＝20km，BE＝20km， 设AC＝BD＝xkm， ∵AC∥BH， ∴∠A＝∠PBH， 在△APC和△BHP中， ∴△APC≌△BPH（AAS）， ∴AC＝BH， ∴BD＝BH， ∴∠HDB＝45°， ∴△CED中，CE＝ED， ∴20x＝20+x， 解得x＝1010≈7.3， 答：甲航行的距离AC约为7.3km． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 20．（6分）（2025•徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC，同学们测得BC＝22.2m，∠B＝34.2°，∠C＝9.8°，求AC的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17） 【分析】如图，过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，设BD＝x，可得CD＝（22.2﹣x）m，再进一步利用三角函数求解即可． 【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°， 设BD＝xm，而BC＝22.2m， ∴CD＝（22.2﹣x）m， 在Rt△ABD中，∠B＝34.2°， ∴， ∴AD＝0.68x， 在Rt△ACD中，∠C＝9.8°， ∴， ∴3.774﹣0.17x＝0.68x， 解得：x＝4.44， ∴， ∴， ∴AC的长度约为17.9m． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握其性质是解题的关键． 21．（8分）（2025•宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A、B、C在同一水平面内），小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60米，求此河流的宽度． （参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80） 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，解Rt△ADC表示出CD＝0.9x，再解Rt△CDB求出x，即可求解CD． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， 设AD＝x米，则由题意得 BD＝（60﹣x）米， 在Rt△ADC中，∠BAC＝42°，， ∴CD＝tanA•AD＝0.9x， ∵在Rt△CDB中，∠ABC＝61°，， ∴， 解得：x＝40， ∴CD＝0.9×40＝36（米）， 答：此河流的宽度为36米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 22．（8分）（2025•连云港）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 【分析】（1）过点B作BM⊥AD，垂足为M，证明△BDM∽△CDA，得出，结合，AC＝6km，求出，再在Rt△ABM 中利用三角函数即可求解； （2）在Rt△ABM中，利用三角函数求出AM，利用△BDM∽△CDA，得出，则可求出AD，再在Rt△ADC 中利用三角函数即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M， ∵AC⊥AD， ∴BM∥AC， ∴△BDM∽△CDA， ∴， ∵，AC＝6km， ∴， 得， 在Rt△ABM中，由， 得AB＝4， 答：岛A与港口B之间的距离为4km； （2）在Rt△ABM 中，， ∵△BDM∽△CDA， ∴， ∴， 在Rt△ADC 中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 23．（8分）（2025•淮阴区校级二模）综合与实践： 小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）BC的长为　20cm ； （2）求B，D之间的距离（结果精确到1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可； （2）利用锐角三角函数求出DN的长，然后根据BD＝BN﹣DN计算即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°， ∴∠B＝45°， ∴BC＝AC＝20cm， 故答案为：20cm； （2）由题可知ON＝ECAC＝10cm， ∴NB＝ON＝10cm， 又∵∠DON＝32°， ∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm， ∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8≈4cm． ∴B，D之间的距离为4cm． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．（8分）（2025•无锡校级二模）如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E． （1）求证：∠ABD＝2∠CAB； （2）若，且，求BF的长． 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质和外角的性质得出∠COF＝2∠CAB，根据切线的性质得出OC⊥CF，即可证得OC∥DB，根据平行线的性质得出∠ABD＝∠COF，即可证得∠ABD＝2∠CAB； （2）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥DE，求出AD，AB，OB，OC，利用OC∥BE写出比例，列出方程即可求解． 【解答】解：（1）连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠1， ∴2∠CAB＝∠2＝∠CAB+∠1， ∵OC是⊙O的半径，CF切⊙O于C， ∴OC⊥CF， ∵DB⊥CF， ∴OC∥DB， ∴∠ABD＝∠2， ∴∠ABD＝2∠CAB； （2）∵∠ACD，∠ABD为所对圆周角， ∴∠ACD＝∠ABD， ∴． 连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴OB＝OC＝3， ∵， ∴设EF＝4x，BE＝3x，则BF＝5x， ∵BE⊥CF，OC⊥CF， ∴OC∥BE， ∴△BEF～△OCF， ∴， ∴， 3x（3+5x）＝3×5x， 9x+15x2＝15x， ﹣6x+15x2＝0， ∴， ∴BF＝5x＝2． 【点睛】本题考查了圆切线的性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，正确作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷24 锐角三角函数能力提升测试卷 （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2025•镇江）如图，小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B，则她沿垂直方向升高了（　　） A．米 B．米 C．120tan10°米 D．120sin10°米 2．（2025•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（　　） A．1 B．2 C． D．5 4．（2025•苏州校级二模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（　　） A． B． C． D．2 5．（2025•淮安区模拟）在5×10的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则cos∠BAC＝（　　） A． B． C．2 D． 6．（2025•无锡一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF，则BC的长为（　　） A．6 B． C． D．10 7．（2025•锡山区校级二模）某人沿着坡度为的山坡前进了500m，则这个人所在的位置升高了（　　） A．500m B．250m C． D． 8．（2025•东海县二模）如图，在平面直角坐标系中放置三个长为3，宽为1的矩形，则tan∠BAC＝（　　） A．2 B． C．3 D． 二．填空题（共10小题,每小题3分，共30分） 9．（2025•启东市一模）在Rt△ABC中，AC＝3，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则cosA的值为 　 ． 10．（2025•南通）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1．经过网格点A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为　 　 ． 11．（2025•扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ． 12．（2025•赣榆区模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　 　 ． 13．（2025•淮安区一模）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝10，CD＝5，，那么边AD的长为　 　 ． 14．（2025•南通模拟）座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC、BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为60cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从120°周节到150°时，人的头部支撑点E向后水平推移了　 cm． 15．（2025•启东市二模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则sin∠AOB的值等于　 　 ． 16．（2025•连云港二模）如图，一束光线从点A出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（p，q），入射光线与y轴正方向的夹角为α，且tanα＝2，则p+2q的值是 　 　 ． 17．（2025•灌南县校级模拟）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，则tan∠EDF＝　 　 ． 18．（2025•扬州校级二模）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是 　 　 ． 三．解答题（共6小题,共46分 ） 19．（8分）（2025•南京）如图，码头B位于码头A的南偏东30°方向，A，B之间的距离为40km，灯塔P在AB的中点处．轮船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行．当甲航行到C处时，乙航行了相同的距离到达D处，此时，C，P，D三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离AC． （参考数据：） 20．（6分）（2025•徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC，同学们测得BC＝22.2m，∠B＝34.2°，∠C＝9.8°，求AC的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17） 21．（8分）（2025•宿迁）小明和小军两位同学对某河流的宽度进行测量，如图所示，两人分别站在同侧河岸上的点A、B处，选取河对岸的一块石头C作为测量点（点A、B、C在同一水平面内），小明同学在点A处测得∠BAC为42°，小军同学在点B处测得∠ABC为61°，两人之间的距离AB为60米，求此河流的宽度． （参考数据：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80） 22．（8分）（2025•连云港）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC＝6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，DCBD． （1）求岛A与港口B之间的距离； （2）求tanC． （参考数据：sin37°，cos37°） 23．（8分）（2025•淮阴区校级二模）综合与实践： 小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，OD为折射光线．） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）BC的长为　 　 ； （2）求B，D之间的距离（结果精确到1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 24．（8分）（2025•无锡校级二模）如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E． （1）求证：∠ABD＝2∠CAB； （2）若，且，求BF的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $