【冲刺2026年】中考数学一轮复习江苏2025年中考真题及模拟试题分类提优测试卷23 图形的相似

卷23 图形的相似 （时间：90分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分) 1．（2025•连云港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•灌南县校级模拟）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．4 C． D．5 3．（2025•扬州三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度约为（　　） A．6.18 B．3.82 C．6.28 D．4.82 4．（2025•泰州二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3，则的值为（　　） A．1：3 B．1：4 C． D．1：2 5．（2025•天宁区校级一模）如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，点A、B、C都在格点上，AC、BC分别与网格线交于点D、E，则DE的长为（　　） A． B． C．1 D． 6．（2025•宿豫区校级一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于（　　） A． B． C． D． 7．（2025•涟水县一模）如图，在▱ABCD中，E为AD上一点，延长DC至点F，连接AF、EF．若AF＝10，AE＝8，∠AFE＝∠B，则BC的长为（　　） A．10 B． C． D． 8．（2025•南京模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，点F为AC边上的中点，以F为顶点作一个60°的角交AB、BC边于D、E两点，连结DE，则知道下列哪个条件就可以计算△ABC的周长（　　） A．△ADF的周长 B．△BDE的周长 C．△CEF的周长 D．△DEF的周长 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2025•姑苏区校级模拟）若，则　 　 ． 10．（2025•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，，则的值是　 　 ． 11．（2025•盐城）如图，在△ABC中，DE∥BC．若AD：AB＝1：3，DE＝4，则BC＝　 　 ． 12．（2025•大丰区一模）矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x＝　 　 ． 13．（2025•泉山区校级模拟）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，点F在AC边上，DF交AB于E，若AE：BE＝3：2，DE：EF＝5：4，则AF：FC＝　 　 ． 14．（2025•南通三模）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE．连接CF并延长与AB的延长线交于点G，则的值为　 　 ． 15．（2025•如皋市模拟）如图，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt△ACD，使得∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，连接线段BD，则线段BD的最小值为 　 ． 16．（2025•宿迁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，则的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共7小题，共52分） 17．（7分）（2025•淮安校级模拟）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？ 18．（7分）（2025•鼓楼区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，在CA的延长线上取点F，使BA平分∠FBC． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AE＝4，ED＝5，求AB的长． 19．（7分）（2025•姑苏区校级二模）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CGCD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 20．（7分）（2025•南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G． （1）求证：AG＝2GC； （2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I． ①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离； ②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值． 21．（8分）（2025•无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m． （1）求旗杆MN的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E′F′和P′Q′在同一平面内，点B、F、Q、F′、Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m． （2）求妙光塔AB的高度． 22．（8分）（2025•无锡校级模拟）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折．设折痕为MN；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ． （1）求证：△PBE∽△QAB． （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】在图（2）的基础上，将纸片ABCD按图（3）所示翻折，恰好点C落在直线AB上，得到△CDG．若AB＝2，则BC的长为 　 　 ． 23．（8分）（2025•宿迁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，，点M是边BC上一个动点，点N在射线CD上，∠MAN＝60°．线段AM的垂直平分线分别交直线AB、AM、AN、CD于点E、F、G、H． （1）直接写出∠ACB＝ 　 　 °， 　 　 ； （2）当BM＝1时，求EF+GH的值； （3）如图2，连接MG并延长交直线CD于点P． ①求证：MG＝PG； ②如图3，过点P作直线EH的垂线，分别交直线EH、AN于点T、Q，连接DQ，求线段DQ的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷23 图形的相似 （时间：90分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B D B A B B 一．选择题（共8小题） 1．（2025•连云港）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】设BC＝x，根据含30度的直角三角形的性质，得到AB＝2x，，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出CD的长，勾股定理求出AD的长，等角的正弦值相等，得到，求出BE的长，进而求出的长即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， ∴AB＝2BC，， 设BC＝x，则AB＝2x，， ∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°， ∴点D到AC，AB的距离相等均为CD的长，∠CAD＝∠BAD， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵BE⊥AD，∠CAD＝∠BAD， ∴sin∠CAD＝sin∠BAD， ∴，即：， ∴， ∴； 解法二：延长AC与BE相交于点F， 利用相似三角形求出比值； 故选：A． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 2．（2025•灌南县校级模拟）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．4 C． D．5 【分析】“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【解答】解：已知物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，设蜡烛火焰的高度是xcm， 由相似三角形的性质得， 解得， 即蜡烛火焰的高度是， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，解答本题的关键要明确：相似三角形对应高线的比等于相似比． 3．（2025•扬州三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度约为（　　） A．6.18 B．3.82 C．6.28 D．4.82 【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB﹣AP即得到PB的长． 【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴APAB10≈6.18， ∴PB＝AB﹣PA＝10﹣6.18＝3.82（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 4．（2025•泰州二模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3，则的值为（　　） A．1：3 B．1：4 C． D．1：2 【分析】根据平行线的性质得到∠ADE＝∠B，从而得到△ADE∽△ABC，再由相似三角形性质：面积比等于相似比的平方得到，从而得到答案． 【解答】解：∵DE∥BC，∠A＝∠A， ∴∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△ABC， ∵△ADE与四边形DBCE的面积的比为1：3， ∴， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，涉及平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 5．（2025•天宁区校级一模）如图，正方形网格中每个小正方形边长为1，点A、B、C都在格点上，AC、BC分别与网格线交于点D、E，则DE的长为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】先根据平行线分线段成比例定理推导出，再由DE∥AB，证明△DEC∽△ABC，则，求得DEAB，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，取格点H、F，连接CH、BH、EF， ∵正方形网格中每个小正方形边长为1， ∴AB＝1，CF＝2，CH＝3， ∵EF∥BH， ∴， ∵DE∥AB， ∴△DEC∽△ABC， ∴， ∴DEAB， 故选：B． 【点睛】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DEC∽△ABC是解题的关键． 6．（2025•宿豫区校级一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D在小正方形的顶点处，AC与BD相交于点O，则AO的长等于（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理，相似三角形的判定定理解答即可． 【解答】解：连接AB，CD，如图， 由网格图可知：AG＝2，BG＝1，DH＝4，CH＝2， ∴2，AB，CD2， ∵∠AGB＝∠CHD＝90°， ∴△AGB∽△CHD， ∴∠BAG＝∠DCH． ∵AE∥CF， ∴∠GAC＝∠HCA， ∴∠BAO＝∠DCO． ∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴AOOC， ∴AOAC． ∵AC， ∴AO． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，本题是网格题目，利用网格线的特征，熟练应用平行线的性质和勾股定理是解题的关键． 7．（2025•涟水县一模）如图，在▱ABCD中，E为AD上一点，延长DC至点F，连接AF、EF．若AF＝10，AE＝8，∠AFE＝∠B，则BC的长为（　　） A．10 B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质得BC＝AD，∠B＝∠D，再证∠AFE＝∠D，然后证△AEF∽△AFD，得，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，∠B＝∠D， ∵∠AFE＝∠B， ∴∠AFE＝∠D， ∵∠EAF＝∠FAD， ∴△AEF∽△AFD， ∴， 即， 解得：AD， ∴BC， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 8．（2025•南京模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，点F为AC边上的中点，以F为顶点作一个60°的角交AB、BC边于D、E两点，连结DE，则知道下列哪个条件就可以计算△ABC的周长（　　） A．△ADF的周长 B．△BDE的周长 C．△CEF的周长 D．△DEF的周长 【分析】取AB中点G，连结FG，在ED上截取EH＝EC，连结FH，证明△CEF∽△FED∽△AFD，△ECF≌△EHF（SAS），进而证明△FDH≌△FDG（AAS），表示出C△BDE＝BE+DE+BD＝BE+EH+DH+BD＝BC+BGBC，即可解答． 【解答】解：如图，取AB中点G，连结FG，在ED上截取EH＝EC，连结FH， 由∠EFD＝∠ECF＝∠FAD＝60°， ∴∠EFC+∠FEC＝∠EFC+∠AFD＝120°， ∴∠CEF＝∠AFD， ∴△CEF∽△AFD， ∵AF＝CF， ∴， ∵∠EFD＝∠ECF， ∴△CEF∽△FED， 即△CEF∽△FED∽△AFD， ∴∠CEF＝∠FED， ∴△ECF≌△EHF（SAS）， ∴∠FHE＝∠FGA＝60°， ∴∠FHD＝∠FGD＝120°， ∵∠FDH＝∠FDG， ∴△FDH≌△FDG（AAS）， ∴DG＝DH， ∴C△BDE＝BE+DE+BD＝BE+EH+DH+BD＝BC+BGBC， 即为△ABC周长的一半， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，掌握这些性质与判定是解题的关键． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2025•姑苏区校级模拟）若，则　　 ． 【分析】利用设k法进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴设a＝3k，b＝2k， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键． 10．（2025•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，，则的值是　　 ． 【分析】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【解答】解：∵， ∴设AD＝k，CD＝2k， ∴AC， ∴， ∵∠ACD+∠BCD＝∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B， 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴（）2． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 11．（2025•盐城）如图，在△ABC中，DE∥BC．若AD：AB＝1：3，DE＝4，则BC＝　12　 ． 【分析】根据题意，易得△ABC∽△ADE，有，结合已知条件，得到BC的长． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD：AB＝1：3，DE＝4， ∴BC＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．（2025•大丰区一模）矩形的两边长分别为x和6（x＜6），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x＝　2　 ． 【分析】根据相似多边形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵原矩形的长为6，宽为x， ∴小矩形的长为x，宽为， ∵小矩形与原矩形相似， ∴ ∴x＝2 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，注意分清对应边是解决本题的关键． 13．（2025•泉山区校级模拟）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，点F在AC边上，DF交AB于E，若AE：BE＝3：2，DE：EF＝5：4，则AF：FC＝　7：18　 ． 【分析】过点E作EG∥AC交DC于点G，则△DEG∽△DFC，△BEG∽△BAC，从而有EG：FC＝5：9，EG：AC＝2：5，得，即可求得结果． 【解答】解：在△ABC中，点D在CB的延长线上，点F在AC边上，DF交AB于E，过点E作EG∥AC交DC于点G， 则△DEG∽△DFC，△BEG∽△BAC， ∴EG：FC＝DE：DF＝5：9，BE：AB＝EG：AC＝2：5， 即 ∴， ∴． 故答案为：7：18． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，构造平行线得到相似三角形是解题的关键． 14．（2025•南通三模）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE．连接CF并延长与AB的延长线交于点G，则的值为　　 ． 【分析】过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H，证明△ADE和△EHF全等，得到∠FCH＝45°，再根据等腰直角三角形三边关系，求出比值即可． 【解答】解：在正方形ABCD的边CD上有一点E，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE．过点F作FH⊥DC交DC延长线于点H， ∴∠H＝90°，∠D＝90°，AD＝DC，AE＝FE，∠AEF＝90°， ∵∠DAE+∠AED＝90°，∠HEF+∠AED＝90°， ∴∠DAE＝∠HEF， 在△ADE和△EHF中， ， ∴△ADE≌△EHF（AAS）， ∴AD＝EH，DE＝HF， ∴EH＝DC， ∴DE＝CH＝HF， ∴∠HCF＝45°， ∴∠G＝∠BCG＝45°， ∴BC＝BG， 设CH＝HF＝DE＝x，正方形边长为y，则CE＝y﹣x， 在Rt△CHF中，由勾股定理得：， 在Rt△BCG中，由勾股定理得：， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，掌握全等三角形的性质与判定方法是解题的关键． 15．（2025•如皋市校级模拟）如图，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt△ACD，使得∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，连接线段BD，则线段BD的最小值为 　　 ． 【分析】作Rt△AOE，使∠AOE＝30°，∠AEO＝90°，连接DE，可证得△DAE∽△CAO，进而求出点D运动轨迹，进一步求得结果． 【解答】解：如图， 作Rt△AOE，使∠AOE＝30°，∠AEO＝90°，连接DE， ∴∠CAD＝∠OAE＝60°， ∴∠CAD﹣∠OAD＝∠OAE﹣∠OAD， 即：∠CAO＝∠EAD， ∵， ∴△DAE∽△CAO， ∴∠AED＝∠AOC＝90°， ∵∠AEO＝90°， ∴点E、D、O在同一条直线， 作BH⊥OE于H， ∵OB＝1，∠AOE＝30°， ∴EH， ∴当D和H重合时，BD最小，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 16．（2025•宿迁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在边AB上，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，则的最小值是 　1　 ． 【分析】作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K，利用计算出CF，证△EDK∽△CDF，推出，可得EK取最大值时，取最小值；点D运动过程中，始终保持AE⊥CD，所以点E在以AC中点O为圆心，长为半径的圆上，当点E，K，O共线时，EK取最大值；分两种情况讨论：当点E在弧AF上时，当点E在弧CF上时，进一步解答即可． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，如图，作CF⊥AB于点F，作EK⊥AB于点K， 由勾股定理得：， ∵， ∴． ∵CF⊥AB，EK⊥AB， ∴∠EKD＝∠CFD＝90°， 又∵∠EDK＝∠CDF， ∴△EDK∽△CDF， ∴， ∵，是定值， ∴EK取最大值时，取最小值； ∵点D运动过程中，始终保持AE⊥CD， ∴点E在以AC中点O为圆心，长为半径的圆上， 当点E在弧AF上时，当点E，K，O共线时，即点E在E′位置时，EK取最大值， ∵∠AK′O＝∠ACB＝90°，∠K′AO＝∠CAB， ∴△K′AO∽△CAB， ∴，即， 解得：， ∴，即EK的最大值为， ∴， ∴的最小值是3； 当点E在弧CF上时， 同理可知，E与点C重合时，D与B重合，EK最大， ∴的最小值是1， 综上所述，的最小值是1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，找出点E的运动轨迹是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．（2025•淮安校级模拟）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？ 【分析】设出BP＝xcm，由BD﹣BP＝PD表示出PD的长，若△ABP∽△PDC，根据相似三角形的对应边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长． 【解答】解：由AB＝6cm，CD＝4cm，BD＝14cm， 设BP＝xcm，则PD＝（14﹣x）cm， 若△ABP∽△PDC， 则 ， ， 变形得：14x﹣x2＝24，即x2﹣14x+24＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣12）＝0， 解得：x1＝2，x2＝12， 所以BP＝2cm或12cm时，△ABP∽△PDC； 若△ABP∽△CDP， 则 ， 即 ，解得：x＝8.4， ∴BP＝8.4cm， 综上，BP＝2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定的应用，注意有两种情况，用的知识点是：当两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 18．（2025•鼓楼区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，在CA的延长线上取点F，使BA平分∠FBC． （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）若AE＝4，ED＝5，求AB的长． 【分析】（1）由圆周角定理可得∠ABD+∠D＝90°，进而可得∠ABD+∠ABF＝90°，即得∠DBF＝90°，即可求证； （2）由已知得AD＝9，再由△ABE∽△ADB得代入计算即可求解． 【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD+∠D＝90°， ∵∠C＝∠D， ∴∠ABD+∠C＝90°， ∵BA平分∠FBC， ∴∠ABF＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠ABF＝∠C， ∴∠ABD+∠ABF＝90°， ∴∠DBF＝90°， 即DB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：∵AE＝4，ED＝5， ∴AD＝4+5＝9， 由（1）知，∠C＝∠D，∠ABC＝∠C， ∴∠ABC＝∠D， 即∠ABE＝∠D， 又∵∠BAE＝∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， ∴， 即， 解得AB＝6． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 19．（2025•姑苏区校级二模）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CGCD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 【分析】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CGCD，可得AB＝CG，即可证明； （2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解． 【解答】（1）证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD， 即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CGCD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： BE， 即BE， ∵△AEB∽△DEC， ∴， ∴CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质． 20．（2025•南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．M是BC的中点，DM交AC于点G． （1）求证：AG＝2GC； （2）设∠BCD，∠BDC的角平分线交于点I． ①当AB＝6，BC＝8时，求点I到BC的距离； ②若AB+AC＝2BC，作直线GI分别交BD，CD于E，F两点，求的值． 【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，根据相似三角形的性质得到，得到BC＝2CM，求得AD＝2CM，得到，于是得到AG＝2GC； （2）①根据勾股定理得到，求得BD＝AC＝10，如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H，设IH＝r，则（BC+CD+BD）•rBC•CD，得到r＝2，于是得到结论； ②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q，设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b，由AB+AC＝2BC得，在△BCD中，，解方程得到，根据相似三角形的性质得到，求得，得到GQ＝IH，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△ADG∽△CMG， ∴， ∵M是BC的中点， ∴BC＝2CM， ∴AD＝2CM， ∴， ∴AG＝2GC； （2）解：①在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8， ∴， ∴BD＝AC＝10， 如图，过点I作IH⊥BC，垂足为H， 设IH＝r，则（BC+CD+BD）•rBC•CD， ∴r＝2， 即IH＝2， ∴点I到BC的距离为2； ②如图，作IH⊥BC，垂足为H，作GQ⊥BC，垂足为Q， 设IH＝r，AB＝CD＝c，AC＝BD＝b， 由AB+AC＝2BC得， 在△BCD中，， ∴， ∵GQ∥AB， ∴△CGQ∽△CAB， ∴， ∵AG＝2GC， ∴AC＝3GC， ∴， ∴， ∴GQ＝IH， ∵IH⊥BC，GQ⊥BC， ∴GQ∥IH， ∴四边形GQHI是平行四边形， ∴GI∥BC， 即EF∥BC， ∴， ∴△DEF∽△DBC， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 21．（2025•无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m． （1）求旗杆MN的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E′F′和P′Q′在同一平面内，点B、F、Q、F′、Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8m，PQ＝P′Q′＝1.4m，FQ＝1.2m，F′Q′＝2.2m，QQ′＝30m． （2）求妙光塔AB的高度． 【分析】（1）过点P作PH⊥MN于点H，交EF于点K，利用矩形的判定与性质得到PQ＝KF＝HN＝1.4m，HK＝FN＝16m，PK＝QF＝2m，则EK＝EF﹣KF＝1.4m，PH＝PK+HK＝18m，利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； （2）连接EE′并延长交AB于点M，连接PP′并延长交AB于点N，交EF于点H，交E′F′于点K，利用矩形的判定与性质得到BM＝EF＝E′F′＝2.8m，HF＝KF′＝BN＝PQ＝P′Q＝1.4m，HP＝FQ＝1.2m，QQ′＝PP′＝30m，P′K＝F′Q′＝2.2m，则MN＝HE＝KE′＝EF﹣HF＝1.4m，设HN＝xm，AM＝ym，则PN＝HN+HP＝（1.2+x）m，AN＝AM+MN＝（1.4+y）m，P′N＝PP′+PN＝（31.2+x）m，利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【解答】解：（1）过点P作PH⊥MN于点H，交EF于点K，如图， 则四边形HKFN，四边形PQNH，四边形PQFK为矩形， ∴PQ＝KF＝HN＝1.4m，HK＝FN＝16m，PK＝QF＝2m， ∴EK＝EF﹣KF＝1.4m，PH＝PK+HK＝18m， ∵EF∥MN， ∴△PEK∽△PMH， ∴， ∴， ∴MH＝12.6（m）． ∴MN＝MH+HN＝14（m）． 答：旗杆MN的高度为14m． （2）连接EE′并延长交AB于点M，连接PP′并延长交AB于点N，交EF于点H，交E′F′于点K，如图， 则四边形BMEF，四边形BNPQ，四边形P′Q′BN，四边形BNKF，四边形PQQ′P′为矩形， ∴BM＝EF＝E′F′＝2.8m，HF＝KF′＝BN＝PQ＝P′Q＝1.4m，HP＝FQ＝1.2m，QQ′＝PP′＝30m，P′K＝F′Q′＝2.2m， ∴MN＝HE＝KE′＝EF﹣HF＝1.4m， 设HN＝xm，AM＝ym，则PN＝HN+HP＝（1.2+x）m，AN＝AM+MN＝（1.4+y）m，P′N＝PP′+PN＝（31.2+x）m， ∵EF∥AB， ∴△PEH∽△PAN， ∴， ∴． ∵E′F′∥AB， ∴△PEK∽△P′AN， ∴， ∴， ∴， ∴x＝34.8． ∴， ∴y＝40.6． ∴AB＝AM+BM＝43.4（m）． 答：妙光塔AB的高度43.4m． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 22．（2025•无锡校级模拟）【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第98页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片ABCD上下对折．设折痕为MN；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到△ABE．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ． （1）求证：△PBE∽△QAB． （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】在图（2）的基础上，将纸片ABCD按图（3）所示翻折，恰好点C落在直线AB上，得到△CDG．若AB＝2，则BC的长为 　22　 ． 【分析】【问题解决】： （1）由余角的性质可得∠EBP＝∠BAQ，由两组对角对应相等的两三角形相似可证△PBE∽△QAB； （2）作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，可证△FBQ为等边三角形，可得∠ABQ＝60°，可求∠EBP＝∠EAB＝30°，由两组对角对应相等的两三角形相似可证△PBE∽△BAE； 【结论应用】： 由“ASA”可证△ABE≌△GBE，可得AB＝BG＝2，由折叠的性质和直角三角形的性质可得ACCD＝2，即可求解． 【解答】【问题解决】： （1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠EBA＝90°， ∴∠EBP+∠ABQ＝90°， ∵点D、Q、A共线， ∴∠AQB＝90°， ∴∠ABQ+∠BAQ＝90°， ∴∠EBP＝∠BAQ， ∵∠BPE＝∠AQB＝90°， ∴△PBE∽△QAB； （2）解：作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，如图（2）所示， 则AB＝2QF＝2BF． 由题意得AB＝PQ＝2BQ， ∴QF＝BF＝BQ， ∴△FBQ为等边三角形， ∴∠ABQ＝60°， ∵∠BQA＝90°， ∴∠BAQ＝30°， 由翻折可知．∠EAB（90°﹣∠BAQ）＝30°， ∵∠ABE＝90°，∠ABQ＝60°， ∴∠EBP＝30°， ∴∠EBP＝∠EAB， 又∵∠BPE＝∠ABE＝90°， ∴△PBE∽△BAE； 【结论应用】： 解：∵∠EAB＝∠EBP＝30°， ∴∠AEB＝∠GEB＝60°， 又∵EB＝EB，∠ABE＝∠EBG＝90°， ∴△ABE≌△GBE（ASA）， ∴AB＝BG＝2， ∴AG＝4， 由折叠可得∠ACD＝90°， ∵∠BAQ＝30°， ∴ACCD＝2， ∴BC＝AC﹣AB＝22， 故答案为：22． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 23．（2025•宿迁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，，点M是边BC上一个动点，点N在射线CD上，∠MAN＝60°．线段AM的垂直平分线分别交直线AB、AM、AN、CD于点E、F、G、H． （1）直接写出∠ACB＝ 　30　 °， 　　 ； （2）当BM＝1时，求EF+GH的值； （3）如图2，连接MG并延长交直线CD于点P． ①求证：MG＝PG； ②如图3，过点P作直线EH的垂线，分别交直线EH、AN于点T、Q，连接DQ，求线段DQ的最小值． 【分析】（1）过点E作EK⊥CD于点K，即可得到四边形EBCK是矩形，然后证明△ABM∽△EKH，即可求出的值，然后根据正切的定义求出∠ACB的度数即可； （2）根据勾股定理求出AM长，利用（1）的结论求出EH长，然后证明△AGM是等边三角形，根据正弦的定义求出GF长解答即可； （3）①根据（2）的证明得到EF+GH＝FG，过点M作ML∥AB交EH于点L，则有△AEF≌△MLF，得到EF＝FL，即可得到LG＝GH，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可； ②连接CG，CQ，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到AG＝GM＝CG＝GQ，进而判断∠ACQ＝90°，即可得到点Q在与线段CD夹角为30°的射线上，然后根据垂线段最短解答即可． 【解答】（1）解：过点E作EK⊥CD于点K， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BCD＝∠EKC＝∠EKH＝90°， ∴四边形EBCK是矩形， ∴，∠AEF＝90°， 又∵AM⊥EH， ∴∠EAM+∠AEH＝∠HEK+∠AEH＝90°， ∴∠EAM＝∠HEK， ∴△ABM∽△EKH， ∴， ∵， ∴∠ACB＝30°， 故答案为：30，； （2）解：∵AB＝3，BM＝1， ∴， 根据（1）中结论可得， 又∵EH垂直平分AM， ∴AG＝GM， 又∵∠MAN＝60°， ∴△AGM是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：根据（1）中结论可得， 又∵EH垂直平分AM， ∴AG＝GM， 又∵∠MAN＝60°， ∴△AGM是等边三角形， ∴AG＝AM， ∴， ∴， 过点M作ML∥AB交EH于点L，则∠EAF＝∠LMF，∠AEF＝∠MLF， 又∵EH垂直平分AM， ∴AF＝FM， ∴△AEF≌△MLF， ∴EF＝FL， ∴LG＝GH， 又∵AB∥CD，AB∥ML， ∴ML∥CD， ∴，即MG＝PG； ②解：连接CG，CQ， ∵∠BCD＝90°，MG＝PG， ∴CG＝MG＝PG， 又∵EH垂直平分AM，EH⊥PQ， ∴GA＝GM，AM∥PQ， ∴， ∴AG＝GM＝CG＝GQ， ∴∠GAC＝∠GCA，∠GCQ＝∠GQC， ∴∠ACQ＝90°， 又∵∠ACB＝30°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠DCQ＝30°，即点Q在与线段CD夹角为30°的射线上， ∴过点D作DQ1⊥CQ于点Q1， 当点Q在Q1时，DQ最小， 这时． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质，作辅助线构 造全等三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $