第04讲 二次根式（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2026年中考数学一轮复习《知识解读・题型训练》（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦二次根式专题，覆盖概念、性质、运算及估值等中考核心考点，以“概念辨析-性质应用-运算深化”为逻辑主线，通过考点梳理、方法指导（如最简二次根式条件、加减运算步骤）和真题训练（含2024-2025年多地中考典例及变式），帮助学生系统构建知识网络，突破化简、混合运算等难点。 亮点在于“真题导向+分层突破”教学策略，如通过数轴化简二次根式培养几何直观，结合矩形面积估算训练运算能力，落实数学思维与应用意识。设置“基础概念-性质应用-综合运算”三级练习，配合即时反馈机制，确保学生高效掌握考点，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第04讲 二次根式 知识点1：二次根式的相关概念 知识点2：二次根式的性质与化简 知识点3：二次根式运算 知识点1：二次根式的相关概念 1.二次根式 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有意义的条件分两种情况： （1）一般情况（在分子上），被开方数为非负数，即a≥0 （2）特殊情况（在分母上），被开方数为正数（分母不能为 0），即a>0。 知识点2：二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则： 二次根式的乘法法则的推广 2.二次根式的除法 除法法则： 3.最简二次根式 1. 概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 4.二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 5.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 6.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型1 二次根式有意义的条件】 【典例1】（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 【变式1】（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 【变式2】（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 【变式3】（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围． 【详解】解：要使式子有意义， 即， ∴． 故答案为：． 【题型2 利用二次根式的性质化简】 【典例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 【变式1】（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2020·湖北武汉·中考真题）化简二次根式的结果等于 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 【变式3】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 【答案】8 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． 【题型3 利用乘法公式求二次根式的值】 【典例3】（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式在二次根式运算中的应用．即,通过观察算式结构，快速简化运算;题目中的两个括号分别呈现“和”与“差”的形式，直接应用平方差公式展开，避免逐项相乘的繁琐计算，关键在于识别出公式中的和，即 和． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【答案】7 【分析】由已知条件易得，然后将原式利用完全平方公式变形后代入数值计算即可． 本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 【变式3】（24-25八年级上·江苏南通·月考）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，掌握完全平方公式、二次根式的乘除法法则是解题的关键．根据二次根式的加减法、乘除法法则求出、，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为： 【题型4 二次根式的混合运算】 【典例4】（2025·甘肃·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先化简二次根式，进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及加减乘除混合运算，熟练掌握相关性质及运算法则是解决问题的关键． 根据二次根式的性质化简，结合二次根式乘除法运算法则计算后，再利用二次根式加减运算法则计算，即可解题． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（2025·甘肃·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，重点在于掌握二次根式的化简．先利用二次根式的性质化简，利用完全平方公式进行计算，同时把除法变成乘法，最后根据运算顺序计算即可． 【详解】解：原式 【变式3】（2025·江苏苏州·一模）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各式是解题关键． （1）首先计算绝对值、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可； （2）首先计算乘方、开方，再计算乘除，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可； （3）首先计算绝对值、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可； （4）首先计算乘方、开方、去绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【题型4 二次根式的估值】 【典例4】（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积，再利用放缩法估算无理数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 即S在3和4之 间， 故选：C． 【变式1】（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， 故答案为：C 【变式3】（2023·湖北荆州·中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解． 【详解】解： ∵， ∴, ∴与最接近的整数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 1．（2024·云南·模拟预测）能使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式被开方数非负性，熟练掌握这一性质是解决本题的关键． 由二次根式被开方数非负得：，再解不等式即可． 【详解】解：由 得：． 故选：A． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、  ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·江西吉安·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 故选：C 4．（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、合并同类二次根式、二次根式的乘除运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、合并同类二次根式化简，然后再根据二次根式的乘除法计算C、D选项，然后再判断即可． 【详解】解：； A． ，符合题意； B． ，不符合题意； C． ，不符合题意； D． ，不符合题意． 故选A． 5．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简、绝对值等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，，且，则，再根据二次根式的性质、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】解：由数轴得，，且，则， ． 故选B． 6．（2025·湖南株洲·三模）估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘法，无理数的估算，先根据乘法法则进行计算，再利用夹逼法求出范围即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：C． 7．（2025·河北石家庄·三模）已知矩形的周长为，其中一边的长为，则这个矩形的面积为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的几何应用，根据矩形周长公式，结合二次根式的减法运算法则得到另一条边的长，再根据矩形面积公式，结合二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵矩形的周长为，其中一边的长为， ∴矩形另一边的长为：， 则该矩形面积为：． 故选：D． 8．（2025·贵州·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则，直接计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据裁去的两个小正方形的面积可求出这两个小正方形的边长，进而可求出大正方形的面积，再用大正方形的面积减去裁去的两个小正方形的面积即可得到阴影面积． 【详解】解：由题意得，裁去的两个小正方形的边长分别为， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴阴影面积为， 故答案为：． 10．（2025·江苏南京·一模）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ∴． 故答案为：． 11．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，实数的乘方，去绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据二次根式的化简，实数的乘方，去绝对值的运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：原式 ． 13．（2025·甘肃天水·模拟预测）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先计算二次根式的乘法并化简二次根式，再算加减，即可解答． 【详解】解： ． 14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式混合运算计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次根式 知识点1：二次根式的相关概念 知识点2：二次根式的性质与化简 知识点3：二次根式运算 知识点1：二次根式的相关概念 1.二次根式 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式有意义的条件分两种情况： （1）一般情况（在分子上），被开方数为非负数，即a≥0 （2）特殊情况（在分母上），被开方数为正数（分母不能为 0），即a>0。 知识点2：二次根式的运算 1.二次根式的乘法 乘法法则： 二次根式的乘法法则的推广 2.二次根式的除法 除法法则： 3.最简二次根式 1. 概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 4.二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 5.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 6.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型1 二次根式有意义的条件】 【典例1】（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【变式1】（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏镇江·中考真题）使二次根式有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 ． 【题型2 利用二次根式的性质化简】 【典例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【变式1】（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2】（2020·湖北武汉·中考真题）化简二次根式的结果等于 ． 【变式3】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ． 【题型3 利用乘法公式求二次根式的值】 【典例3】（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）计算： ． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏南通·月考）已知，则的值为 ． 【题型4 二次根式的混合运算】 【典例4】（2025·甘肃·中考真题）计算：． 【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）计算：． 【变式2】（2025·甘肃·模拟预测）计算：． 【变式3】（2025·江苏苏州·一模）计算： (1) (2) (3) (4) 【题型4 二次根式的估值】 【典例4】（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为、，设其面积为，则S在哪两个连续整数之间（    ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【变式1】（2024·重庆·中考真题）已知，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·重庆·中考真题）估计的值应在（　　） A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间 【变式3】（2023·湖北荆州·中考真题）已知，则与最接近的整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（2024·云南·模拟预测）能使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江西吉安·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·全国·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．0 D． 6．（2025·湖南株洲·三模）估算的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 7．（2025·河北石家庄·三模）已知矩形的周长为，其中一边的长为，则这个矩形的面积为（   ） A． B． C．4 D．2 8．（2025·贵州·模拟预测）计算的结果是 ． 9．如图，从大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影面积是 ． 10．（2025·江苏南京·一模）幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值 ． 11．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 12．（2025·辽宁·一模）计算：． 13．（2025·甘肃天水·模拟预测）计算：； 14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $