精品解析：湖北武汉市2025-2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学试卷

九年级数学试卷 （2026.01） 满分：120分 时间：120分钟 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动，以下交通标识图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，一个图形绕某点旋转后能与原来的图形重合，则称此图形是中心对称图形，理解定义是关键；根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的交通标识找不到一点，图形绕此点旋转后不能与原来的图形重合，它们都不是中心对称图形，而选项D中的交通标识能够找到一点，图形绕此点旋转后能与原来的图形重合，它是中心对称图形； 故选：D． 2. 掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 向上两面的点数和为5 B. 向上两面的点数和大于1 C. 向上两面的点数和大于12 D. 向上两面的点数和为奇数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类；两枚骰子的点数之和最小为2，最大为12，因此点数和不可能大于12． 【详解】解：∵两枚骰子的点数均为1到6， ∴点数之和最小为，最大为； 选项A：点数和为5可能发生，如或，是随机事件； 选项B：点数和最小为2，总是大于1，是必然事件； 选项C：点数和最大为12，不可能大于12，是不可能事件； 选项D：点数和可能为奇数，如，是随机事件． ∴不可能事件是C， 故选：C． 3. 已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：∵点A为⊙O内的一点，且⊙O的半径为5cm， ∴线段OA的长度＜5cm． 故选：A． 【点睛】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到，则的值是（ ） A. 31 B. 41 C. 14 D. 37 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 配方得：， 即， ∴ ． 故选：B． 5. 关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 都有最低点 C. 随增大而增大 D. 对称轴是轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 6. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之和与两根之积的公式是解题关键.根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可. 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为,, ∴ ,, ∴ . 故选：A 7. 如图，在等边中，边在轴上，，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标规律的探索，等边三角形的性质及勾股定理，找到规律是关键；规律是每6次一个循环，由此即可求解． 【详解】解：由题意知，边经过6次旋转后回到起始位置，即每6次一个循环， 而， 则边经过337次旋转后回到起始位置，再旋转3次则到了x轴的负半轴上，此时在第三象限，且与x轴负半轴的夹角为， 如图，旋转前，过点B作于C， ∵是等边三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴点的坐标为； ∵边经过337次旋转后回到起始位置，再经过3次旋转后与点关于原点对称； ∴第2025次旋转结束时，点的坐标为； 故选：B． 8. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雌鸟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率计算，根据题意列举出所有情况，看三只雏鸟中恰有2只雌鸟的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 共8种情况，3只雏鸟中恰有2只雌鸟有3种情况，所以概率为． 故选：C． 9. 如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 12． D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点O，连接，由三角形全等易得，即是半圆O的切线，则；设，在中利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，取的中点O，连接， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是半圆O的切线， ∵， ∴是半圆O切线， ∴； 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍去）， 即的长为12； 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题的关键． 10. 如图1，王明用总长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，中间的一条篱笆隔离栏将这个矩形菜园分割成两个较小的矩形，设大矩形垂直于墙的一边长为，菜园的总面积为，关于的函数图象如图2，则的值是（ ） A. 10 B. 20 C. 50 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得到大矩形的另一边长，进而由面积得二次函数，结合函数图象当时函数值为25，即可求得a的值． 【详解】解：由题意得，大矩形的另一边为， 则， 由函数图象知，当时，函数值为25， 即， 解得：， 故选：B． 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. 请写出一个顶点是原点的抛物线的解析式_______________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，顶点是原点的二次函数解析式为（a为常数，且），据此可得答案． 【详解】解：由题意得，满足题意的函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，根据概率计算公式求得所有可能的结果即所有正方形格子的面积，击中黑色区域的结果即黑色区域的面积，即可求解． 【详解】解：设一个小格子的面积为1，则所有格子的面积和为16，其中黑色区域的面积为5， 故击中黑色区域的概率是； 故答案为：． 13. 小明参加“做文明市民”宣讲小分队，利用周末时间发放宣传材料．第一周发放300份，第三周发放363份．若周平均增长率相同，设为，依题意可列方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据平均增长率模型，第三周发放量等于第一周发放量乘以增长率)的平方． 【详解】解：设周平均增长率为x，则第二周发放量为， 第三周发放量为， 由题意第三周发放363份，故列方程为， 故答案为：． 14. 已知圆锥形底面半径为3，母线长为9，则这个圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角是____． 【答案】120° 【解析】 【分析】求得圆锥的底面周长即为侧面扇形的弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆心角． 【详解】解：圆锥的底面周长为：2π×3=6π， ∴， 解得：n=120°． 故答案为：120°． 【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 15. 如图，四边形是正方形，对角线与相交于点，是由绕点逆时针旋转得到的．若，当三点共线时，的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，注意分类讨论．分两种情况考虑：点Q在线段上；点Q在线段的延长线上；利用正方形的性质、旋转的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，；， 由勾股定理得：， ∴； 由旋转性质得：，； 当点Q在线段上，如图1所示； 则， ∴； 点Q在线段的延长线上，如图2所示； ∵， ∴； 综上，的长为或； 故答案为：或． 16. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： …… 1 2 3 …… …… 11 11 3 …… 下列四个结论： ①点在该函数图象上； ②若没有实数根，则； ③当时，随的增大而增大 ④方程的解为或 其中一定正确的是_______．（填写正确序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质，能从表格获取信息是解题的关键． 把代入，求出值，可判断①正确；令，则，求出的最小值为，可得没有实数根时，直线与函数没有交点，可得，可判断②正确；根据表格数据，函数在时先减小后增大，不单调递增，可判断③错误；根据表格数据，当或时，，分别令或，求出或，可判断④正确；综上所述即可得答案． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点在该函数图象上，故①正确； 令，则， ∴的最小值为， ∵没有实数根， ∴直线与函数没有交点， ∴，故②正确； 根据表格数据可知，函数在时先减小后增大，不单调递增，故③错误； 由表格数据可知，当或时，， ∴令或， 解得：或，故④正确； 综上所述：正确的是①②④． 故答案为：①②④ 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】m的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，设方程的另一个根为，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴m的值为，方程的另一个根为． 18. 如图，在等腰中，，将绕点顺时针旋转，得到，点的对应点恰好落在边上． （1）则__________； （2）连接，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及旋转的性质，掌握这些知识并灵活运用是关键． （1）由等腰直角三角形的性质及旋转的性质即可求解； （2）由勾股定理及旋转的性质求得，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵在等腰中，， ∴， ∵点的对应点恰好落在边上， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵在等腰中，， ∴，， 由勾股定理得：， 由旋转得，， ∴， 在中，由勾股定理得：． 19. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，现有四张卡片．它们正面分别印有“杨辉三角”、 “割圆术”、“赵爽弦图”、“洛书”的图案，它们除正面图案不同外，其它完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． （1）从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是“赵爽弦图”的概率是______________； （2）从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求这两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可； （2）列表，利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：所有等可能结果数为4，抽到“赵爽弦图”只有1种结果，则抽到“赵爽弦图”卡片概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由表知，所有等可能的结果数有12种，其中两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的结果有2种，两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的概率为， 答：两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的概率． 20. 如图，为的外接圆，为的直径，且，四边形为平行四边形，． （1）求证：是的切线； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，则，再由即可证明； （2）用梯形的面积减去扇形的面积即得阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ； 答：阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，切线的判定与性质，求不规则图形的面积，证明切线是关键． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点的圆与格线交于点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先画直径，再在上画点，使得； （2）在图2中，先画弦的中点，再在上画点，使得线段． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取圆与格线的交点D，连接，取格点E，连接并延长交圆于点M，连接，由网格的特点可得，则是圆的直径；可证明是等腰直角三角形，则，则； （2）取与格线的交点E，连接交格线于点H，连接交格线于点T，连接并延长交格线于点G，连接交圆于点F，连接，可证明（点Q、S为格点），则，则点E为的中点；同理可证明点T为的中点，则可证明得到，则可证明四边形是平行四边形，则，则，则． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，90度的圆周角所对的弦是直径，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． 22. 如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥． （1）求中间大拱抛物线的解析式； （2）双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点离水平地面的高为4米，求铁丝的长（两边接头忽略不计）； （3）如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为．请直接写出的长． 【答案】（1）中间大拱抛物线的解析式为 （2）铁丝的长为米 （3）的长为24米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，求出二次函数解析式是关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，由题意得点F的坐标为，代入抛物线解析式求得a的值，即可求得解析式； （2）求出当中间大拱抛物线的解析式的值为4时对应的自变量值，即可求得的长； （3）求出大拱在函数值为12时的两点坐标，可得一个小拱的底部宽，即可求得结果． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， ∵米， ∴点F的坐标为， 此点代入抛物线解析式中得：， 解得：， ∴中间大拱抛物线的解析式为； 小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴（米）， 即铁丝的长为米； 【小问3详解】 解：在大拱上找对称的两点G、H，且其纵坐标为12， ， 解得：， ∴， ∴， ∵大拱顶点到的距离为4，且大拱、小拱的形状相同， ∴每个小拱底部宽为3米， ∴（米）； 答：的长为24米． 23. 已知四边形是菱形，对角线相交于点为对角线上一动点，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图1，直接写出所有与相等的角； （2）延长相交于点，； ①如图2，求证：； ②如图3，为的中点，若菱形的边长为，则的最小值为___________．（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由及、得，再由旋转的性质得，即可求解； （2）①由角平分线的性质定理得，则由勾股定理得，进而得，由即可证明； ②连接，交直线于点，则，由菱形的性质得，则四点共圆，则，易得是等边三角形，则，得重合，得点M的运动路径为线段，利用垂线段最短即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 由菱形的性质知，， ∴， ∴， ∴， 由旋转知， 故与相等的角有； 【小问2详解】 ①证明：∵， 由旋转知， ∴， 即平分， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图，连接，交直线于点， 由旋转知， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即， ∴重合， ∴点M的运动路径为线段， ∵， ∴垂直平分线段， ∴的最小值为线段的长， ∵菱形的边长为n， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 即的最小值为． 【点睛】本题是菱形的综合，考查了菱形的性质，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及勾股定理，圆内接四边形性质等知识，有一定的综合性，确定点M的运动路径是解题的关键． 24. 已知抛物线与轴交于，两点（点在的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为直线上方的抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，若，求点的横坐标； （3）如图2，点为抛物线对称轴上一点，作直线分别交抛物线于点（点在轴的左侧），连接．若的面积比的面积大，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的横坐标1或2 （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式中即可求解； （2）求出直线的解析式，设点P的坐标为，则可得点D的坐标，从而由得到关于t的方程，解方程即可求解； （3）设直线交y轴于点N，过点B作轴交直线于点M，设，分别求出直线的解析式，则可求得点M、N的坐标及点E、F的横坐标，利用的面积比的面积大建立关于m的方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：令， 解得：， ∴； 令，， ∴； 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∵，点为直线上方的抛物线上， ∴， 解得：， ∴点的横坐标1或2； 【小问3详解】 解：如图，设直线交y轴于点N，过点B作轴交直线于点M， ∵， ∴抛物线对称轴为直线； 设， 设直线的解析式为， 得，解得：， ∴直线的解析式为； 同理可得直线的解析式为， 当时，， 则， ∴； 当时，， 则； 当时，即， 解得：， 即点E的横坐标为， ∴； 当时，即， 解得：， 即点F的横坐标为； ∵的面积比的面积大， ∴， 即， ∴， 整理得：， 解得：， 由于，与点在轴的左侧不相符， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，面积问题等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （2026.01） 满分：120分 时间：120分钟 第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动，以下交通标识图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 向上两面的点数和为5 B. 向上两面的点数和大于1 C. 向上两面的点数和大于12 D. 向上两面的点数和为奇数 3. 已知的半径为，点A在内，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到，则的值是（ ） A. 31 B. 41 C. 14 D. 37 5. 关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 都有最低点 C. 随增大而增大 D. 对称轴是轴 6. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值是（ ） A 8 B. C. 2 D. 7. 如图，在等边中，边在轴上，，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雌鸟的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是正方形，以点为圆心，为半径画弧，交以为直径的半圆于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 12． D. 10. 如图1，王明用总长为的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，中间的一条篱笆隔离栏将这个矩形菜园分割成两个较小的矩形，设大矩形垂直于墙的一边长为，菜园的总面积为，关于的函数图象如图2，则的值是（ ） A. 10 B. 20 C. 50 D. 不能确定 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. 请写出一个顶点是原点的抛物线的解析式_______________． 12. 如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是________________． 13. 小明参加“做文明市民”宣讲小分队，利用周末时间发放宣传材料．第一周发放300份，第三周发放363份．若周平均增长率相同，设为，依题意可列方程为______________． 14. 已知圆锥形底面半径为3，母线长为9，则这个圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角是____． 15. 如图，四边形是正方形，对角线与相交于点，是由绕点逆时针旋转得到的．若，当三点共线时，的长为_________． 16. 在学习了“利用函数图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： …… 1 2 3 …… …… 11 11 3 …… 下列四个结论： ①点在该函数图象上； ②若没有实数根，则； ③当时，随的增大而增大 ④方程的解为或 其中一定正确是_______．（填写正确序号） 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，在等腰中，，将绕点顺时针旋转，得到，点的对应点恰好落在边上． （1）则__________； （2）连接，求的长． 19. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，现有四张卡片．它们正面分别印有“杨辉三角”、 “割圆术”、“赵爽弦图”、“洛书”的图案，它们除正面图案不同外，其它完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀． （1）从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是“赵爽弦图”概率是______________； （2）从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求这两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的概率． 20. 如图，为的外接圆，为的直径，且，四边形为平行四边形，． （1）求证：是切线； （2）求阴影部分的面积． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，过格点的圆与格线交于点．仅用无刻度直尺在给定的网格中按步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先画直径，再在上画点，使得； （2）在图2中，先画弦的中点，再在上画点，使得线段． 22. 如图1为某宴会服务中心，其中间及两边的拱形建筑的轮廓可近似看成抛物线．若这些抛物线形状相同，中间大拱高16米，底部宽6米，两边小拱高4米，以大拱拱顶正下方地面为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，为屋顶，大拱两侧的六个小拱从左向右标号依次为①至⑥． （1）求中间大拱抛物线的解析式； （2）双节期间该中心承接了某大型活动．需在中间大拱抛物线上找一对对称点拉上一根水平的铁丝，以便挂上写有欢迎词的横幅，若点离水平地面的高为4米，求铁丝的长（两边接头忽略不计）； （3）如图2，小拱①和小拱⑥与地面的一个交点分别为．请直接写出的长． 23. 已知四边形是菱形，对角线相交于点为对角线上一动点，连接．将绕点顺时针旋转得到，连接． （1）如图1，直接写出所有与相等的角； （2）延长相交于点，； ①如图2，求证：； ②如图3，为的中点，若菱形的边长为，则的最小值为___________．（用含的代数式表示）． 24. 已知抛物线与轴交于，两点（点在的左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为直线上方的抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，若，求点的横坐标； （3）如图2，点为抛物线对称轴上一点，作直线分别交抛物线于点（点在轴的左侧），连接．若的面积比的面积大，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $