第26章 反比例函数 重点强化训练2 -2025-2026学年人教版数学九年级下册

第26章 反比例函数 重点强化 1 反比例函数与几何(一)三角形面积 图形1 一点单垂 类型一 用(构)基本模型 1.如图，点P 在反比例函数 的图象上，点 A,B 在x 轴上,且 PA⊥PB,垂足为 P.若OA=OB=PB,则△ABP 的面积是 . 图形2 等积转化 = 类型二 等积转化 2.如图，点B 在反比例函数 的图象上，过点 B作BD⊥y轴，垂足为D，C 为x轴上一动点，若 5,则k 的值为 . 3.如图，过x轴正半轴上任意一点 P 作y 轴的平行线，分别交反比例函数 和 的图象于点A,B. C 是y 轴上的一点,则△ABC 的面积为 . 图形3 和差转化 S△OAB=S四边形ABDC 类型三 和差转化 4.如图，在平面直角坐标系中，直线 MN 与反比例函数 的图象交于M( ,4),N(n,1)两点.求△OMN 的面积. 重点强化 2 反比例函数与几何(二)四边形面积 图形1 一点双垂 图形 2 等积转化 类型一 用(构)基本模型 1.如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象依次是 点 P 在 上， 轴于点C，交 于点A， 轴于点D，交L₂于点 B，若四边形 PAOB 的面积为9,则 m 的值为 . 类型二 等积转化 2.如图,O 为坐标原点, 的顶点B 在反比例函数 的图象上，顶点 A 在反比例函数 的图象上，顶点 D 在x 轴负半轴上.若 的面积为5，则k 的值为 3.如图, 的边OC 在x轴的正半轴上，D是BC 的中点，反比例函数y= 的图象经过点 B，D.若 的面积为24，则k 的值为 . 重点强化 3 反比例函数与几何(三)对称性 类型一 中心对称性 1.直线y= kx(k>0)与双曲线 交于 两点，则 的值为 2.如图,点 P(3a,a)是反比例函数 的图象与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则k 的值为 . 类型二 轴对称性 3.如图，反比例函数 的图象与半径为10的扇形OCD 交于A，B 两点.若 60°,则k 的值是 . 4.若反比例函数 与一次函数y=x+b的图象交于点A(m，n)，利用图象的对称性可知它们的另一个交点是() A.(n,m) B.(-n,-m) C.(-m,-n) D.(-m,n) 重点强化4 反比例函数与几何(四)等腰三角形 类型一 一般等腰三角形 1.如图，一次函数y=2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数 的图象交于点 C，过点 B 作x轴的平行线，与反比例函数 (k≠0,x>0)的图象交于点 D.连接CD. (1)直接写出A，B两点的坐标； (2)若 是以BD 为底边的等腰三角形，求k 的值. 类型二 等边三角形 2.如图，在平面直角坐标系中，等边 的顶点A 在第一象限，点B(5，0)，双曲线 0,x>0)分别交AO,AB 于点C,D.若(OC=3BD,求k 的值. 类型三 等腰直角三角形 3.如图，A是双曲线 在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰 点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断地变化，但始终在某一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 . 重点强化5 反比例函数与几何(五)圆 类型一 与坐标轴相交 1.如图,半径为5的⊙P 与y轴交于点M(0,-4),N(0,-12),函数 的图象经过点P,则k 的值为 . 类型二 与坐标轴相切 2.如图，点P 在双曲线 上，⊙P 分别与两坐标轴相切于点A，B，E为y轴负半轴上的一点,过点P 作PF⊥PE,交x轴于点F.若OF-OE=6,则k的值是 . 3.如图,经过B(2,0),C(6,0)两点的⊙H 与y轴的负半轴相切于点A,双曲线 经过圆心H，则k 的值为 . 4.如图，半径为2的⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴的正半轴相切于点C，双曲线 经过圆心M，连接BC.若 求直线 BC 的解析式. 重点强化6 反比例函数综合 横平竖直线 类型一 双曲线与直线x=a的交点问题 1.如图,直线x=a分别与直线y=-2x+1,双曲线 交于点 B,A.若AB=3,求a的值. 2.如图，一次函数y=kx+b的图象l与坐标轴分别交于点E，F，与双曲线 交于点P(-1，n)，且F 是PE 的中点.若直线x=a与l 交于点A，与双曲线交于点 B(不同于点A),且PA=PB.求a的值. 类型二 双曲线与直线y=b的交点问题 3.如图，直线y=b分别与直线y=x+2，y轴及双曲线 分别交于点A，B，C.若AB=2BC,求b的值. 4.如图,直线 y=2x+4 与反比例函数 的图象相交于A(-3，a)和B 两点.直线.y=m(m>0)与直线AB 相交于点M，与反比例函数的图象交于点 N.若MN=4,,求m 的值. 重点强化1 反比例函数与几何(一)三角形面积 1.4 解:连接OP,作PD⊥x轴于点 D. ∵OA=OB,∠APB=90°, ∴OP=OB=PB, ∵PD⊥OB, ∴OD=BD, 4OD·PD=2OD·PD=2×2=4.故答案为4. 2.10 解:连接OB. ∴k=10. 3. 解:连接OA,OB,则S△AOP = ∵AB∥y轴, 4.解:过点 M,N 分别作MC⊥x轴于点C,NF⊥x轴于点F. 在反比例函数 的图象上， ∴n=2, ∴N(2,1), 四边形MCFN· 重点强化2 反比例函数与几何(二)四边形面积 1.15 解:由题意知,S矩形PCOD =m, S△OAC=3+9+3=15, ∴m=15. 2.-2 解:连接OA. ∵四边形OBAD 是平行四边形， ∴AB⊥y轴, 设AB 交y轴于点E, 则 ∴|k|=2, ∵k<0, ∴k=-2. 3.-8 解:连接OB,OD,作 BE⊥x轴于点E,DF⊥x轴点F. ∵□OABC 面积为24, ∴S△OBC=12. ∵D 是BC 的中点, ∴S△OCD=6,BE=2FD. ∵点 D，B都在反比例函数图象上， 即 ∴OF=2OE, ∴OE=EF=FC. 设OE=EF=FC=a, 则C(3a,0), ∴k=-8. 重点强化 3 反比例函数与几何(三)对称性 1.12 解:由题意知,直线y= kx(k>0)过原点和第一、三象限，且与双曲线 交于两点，则这两点关于原点对称， ∵点 A，B在双曲线 上， ∴原式 =-20+32 =12. 故答案为12. 2.12 解：∵函数图象关于原点对称， ∴阴影部分面积为 圆的面积， ∴圆的面积为10π×4=40π. ∵P(3a,a)在第一象限, 则a>0,3a>0,根据勾股定理,得 (舍负值)，∴a=2. ∴P(6,2). 将P(6,2)代入 得k=6×2=12. 故答案为12. 3.25 解:连接AB,设点 A(a,b). ∵反比例函数 的图象与半径为10的扇形OCD 交于A，B两点， ∴A,B 两点关于直线y=x对称, ∴B(b,a). ∵∠AOB=60°, ∴△OAB 是等边三角形, ∴ab=25, ∴k= ab=25. 故答案为25. 4. B 解:令y=x+b=-x, ∵反比例函数 与一次函数y=x+b的图象均关于直线y=-x对称， ∴反比例函数 与一次函数y=x+b的图象 交 点 关 于 点 对称， ∴另一交点的坐标为 即(-b-m,b-n). ∵一次函数y=x+b的图象过点A(m,n), ∴n=m+b, ∴-n=-b-m,-m=b-n, ∴另一交点的坐标为(-n,-m).故选 B. 重点强化4 反比例函数与几何(四)等腰三角形 1.解:(1)A(-2,0),B(0,4); (2)过点C作CE⊥BD,垂足为 E. ∵CB=CD,CE⊥BD, ∴BE=DE, ∵点C在一次函数y=2x+4的图象上， ∴k=16, ∴k的值为16. 2.解:作 DH⊥x轴于点 H,CE⊥x轴于点E. 设BD=a, ∴OC=3BD=3a. 在Rt△CEO中,∠COE=60°, 在Rt△DHB中,∠B=60°, ∵OB=5, 解:连接OC,作 CD⊥x轴于点 D,AE⊥x轴于点E. 设点A(a, ), ∵点A，B是正比例函数图象与双曲线 的交点， ∴点A 与点B 关于原点对称， ∴OA=OB, ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴OC=OA,OC⊥OA, ∴∠DOC+∠AOE=90°, ∵∠DOC+∠DCO=90°, ∴∠DCO=∠AOE, ∴△COD≌△OAE, ∴点C 在反比例函数 的图象上. 重点强化5 反比例函数与几何(五)圆 1.24 解:连接 PM,过点 P 作 PR⊥MN 于点R. ∵MN=|-12+4|=8, ∴OR=OM+MR=8, ∴P(-3,-8). ∵函数 的图象经过点P(-3，-8), ∴k=(-3)×(-8)=24. 2.9 解:连接PA,PB. ∵⊙P 与两坐标轴分别相切于点 A，B， ∴PA=PB,四边形OAPB 为正方形, ∴∠APB=∠EPF=90°, ∴∠BPF=∠APE, ∴Rt△BPF≌Rt△APE, ∴BF=AE. ∵OF-OE=6, ∴(OB+BF)-(AE-OA)=6,即2OA=6, 解得OA=3, ∴k=OA·PA=3×3=9. 故答案为9. 解:过点H 作 HE⊥BC于点E,连接BH,AH. ∵B(2,0),C(6,0), ∴BC=4, ∴OE=OB+BE=2+2=4. ∵⊙H 与y轴相切于点A, ∴AH⊥y轴, ∴AH=OE=4, ∴BH=4. 在Rt△BEH 中,BE=2,BH=4, ∵双曲线 经过圆心H， 4.解:过点 M 作MN⊥x轴于点 N, ∴∠MNO=90°, ∵⊙M 切y轴于点C, ∴∠OCM=90°. ∵∠CON=90°, ∴四边形OCMN 是矩形, ∴AM=CM=2,∠CMN=90°, ∵∠AMC=60°, ∴∠AMN=30°, ∴AN=BN=1,MN= ∴B(3,0), ∵C(0, ), ∴直线BC 的解析式为 重点强化6 反比例函数综合 横平竖直线 1.解:由x=a与 联立，得 由x=a与y=-2x+1联立,得yB=-2a+1. ∵AB=3, 解得 ∴a 的值为1. 2.解:过点 P 作 PM⊥AB 于点M, ∵PA=PB, ∴AM=BM, ∴点 P(-1,4), 又∵F 是PE的中点, ∴F(0,2), ∴直线l:y=-2x+2. 设A(a,-2a+2),B(a,- ) ∴AM=-2a+2-4=-2a-2, (舍) ∴a=-2. 3.解:由 y=b与 联立，得 由y=b与y=x+2联立,得 b-2. ∵AB=2BC, 解得b=-2或b=4. ∵b<0, ∴b=-2. ∴b的值为-2. 4.解:将点A(-3,a)代入y=2x+4得a=-2, ∴A(-3,-2), ∴k=-3×(-2)=6. ∵点 M 在直线AB上, ∵点 N 在 的图象上， =4, ∵m>0, ∴m=2或 学科网（北京）股份有限公司 $