精品解析：江苏苏州市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试卷

2025－2026学年八年级上学期1月期末数学试卷 注意事项 1.本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分100分，调研时间120分钟； 2.答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上； 3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其它笔答题； 4、学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知P（﹣1，2），则点P所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 2，3，5 C. 2，3，6 D. 2，3，7 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个正方形边长的和是，它们面积的差为，则这两个正方形中较小正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为三边垂直平分线的交点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点与点重合．窗户拉开时，如图②，，此时，窗户的最低点相对于未开启时的最低点升高了，则该窗户的高为（ ） A B. C. D. 8. 如图，已知直线经过点，且与直线交于点，当时，自变量的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 函数 中，自变量x取值范围是__________． 10. 分解因式： =________________ 11. 方程的解为________． 12. 将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为________． 13. 若，则的值为________． 14. 若点在一次函数的图象上，当时，则的取值范围为________． 15. 如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 16. 如图，中，，，，点在边上，且，则的长等于________． 三、解答题（本大题共11小题、共68分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图．汽车卸货，，，，求的长． 20. 如图．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，． （1）请作出线段关于轴对称的线段； （2）点的坐标为________，点的坐标为________； （3）连接，，，则的面积为________． 21. 已知一个长方形的长，宽． （1）求这个长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 22. 如图，，，．求证：． 23. 刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了元．几天后，遇上这种大米折出售，她用元又买了一些，两次一共购买了kg．这种大米的原价是多少？ 24. 如图，中，，点是边的中点．点在边的延长线上，连接交于点，连接，且． （1）若，求的度数； （2）证明：． 25. 平面直角坐标系中，平面镜放置在如图所示的位置，，两点的坐标分别为，． （1）求直线的函数表达式； （2）从轴上的点发出一束光线照向上的点，光线经过的反射后经过点，求点的坐标． 26. 将两个全等的和按图①方式摆放，所在直线与所在直线相交于点． （1）若，，求值； （2）将图①中的绕点按顺时针方向旋转至图②中的位置，请直接写出线段，，之间的数量关系：________； （3）将图①中的绕点按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 27. 机器人“小智”和“小安”在一条笔直的道路上进行行走测试，“小智”以米／分钟的速度由甲地匀速前往乙地；“小安”由乙地匀速前往甲地，先以米／分钟的速度匀速行走了1分钟，因故障停止行走，经技术人员排除故障后，降低速度继续匀速前往甲地．已知甲、乙两地相距米，两机器人同时出发且同时到达各自的目的地．两个机器人之间的距离（米）关于测试时间（分钟）的函数关系如下图所示，请解答下列问题： （1）“小智”的初始速度为________米／分钟，“小安”的初始速度为________米／分钟； （2）求线段所表示与之间的函数表达式； （3）求当为何值时，两机器人之间的距离恰好为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年八年级上学期1月期末数学试卷 注意事项 1.本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分100分，调研时间120分钟； 2.答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上； 3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其它笔答题； 4、学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知P（﹣1，2），则点P所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第二象限的坐标特点解答即可． 【详解】解：因为点P（﹣1，2）的横坐标是负数，纵坐标是正数， 所以点P在平面直角坐标系的第二象限． 故选：B． 【点睛】解答本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负． 2. 分式有意义的条件是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键． 根据分式的分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：∵分式有意义需分母， ∴， 故选：D． 3. 在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 2，3，5 C. 2，3，6 D. 2，3，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据两条较小线段之和是否大于较长线段进行判断，即可解题． 【详解】解：A．∵，∴能组成三角形． B．∵，∴不能组成三角形． C．∵，∴不能组成三角形． D．∵，∴不能组成三角形． 故选：A． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除和加减运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解： 选项A：与并非同类二次根式，不可合并计算，故A错误，不符合题意； 选项B：与并非同类二次根式，不可合并计算，故B错误，不符合题意； 选项C：根据二次根式的乘法法则，，且为最简二次根式，故C正确，符合题意； 选项D：根据二次根式的除法法则，，故D错误，不符合题意； 故选C． 5. 已知两个正方形边长的和是，它们面积的差为，则这两个正方形中较小正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，解二元一次方程组． 设两个正方形边长分别为和（），根据平方差公式求出，得到，解二元一次方程组即可． 【详解】解：设两个正方形边长分别为和（）， ∵两个正方形边长的和是，它们面积的差为， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故较小正方形边长为． 故选：C． 6. 如图，为三边垂直平分线的交点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角． 利用线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，，然后利用三角形的内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵点P为三边垂直平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴． 故选：A． 7. 某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点与点重合．窗户拉开时，如图②，，此时，窗户的最低点相对于未开启时的最低点升高了，则该窗户的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意以及熟练使用勾股定理是解题的关键． 结合勾股定理，先计算出的长度，令，则，可根据得方程，解出方程即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∴， 令，则， 由勾股定理得， 得方程， 解得， 故选B． 8. 如图，已知直线经过点，且与直线交于点，当时，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能正确根据函数图象得出不等式的解集是解此题的关键． 根据两函数交点坐标和函数的图象与轴的交点即可得出的范围． 【详解】解：观察图像， 当时，满足， 当时，满足， 当时，满足， 综上，可得当时，满足， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案：． 10. 分解因式： =________________ 【答案】 【解析】 【分析】直接运用提取公因式法求解即可. 【详解】=. 故答案为. 【点睛】本题考查了运用提取公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得． 检验，当时，． ∴是原方程的解． 故答案：． 12. 将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的平移规律． 根据平移变换的规则，向右平移使横坐标增加，向下平移使纵坐标减少作答即可． 【详解】解：将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为即． 故答案为：． 13. 若，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的混合运算． 根据算术平方根的非负性，求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：因为，且和， 所以和． 解得， ∴． 故答案为． 14. 若点在一次函数的图象上，当时，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小． 根据点在一次函数图象上的条件，得到n与m的关系式，再结合一次函数的增减性求解． 【详解】解：因为点在一次函数的图象上， 所以． 由于，且一次函数的， 所以函数值随自变量增大而增大， 因此当时，． 故答案为：． 15. 如图，数轴上点所表示的数为，点、、是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，整式的运算，正确数形结合分析是解题关键． 根据图形，由勾股定理得出的长度，再得出、的值，即可求出的值． 【详解】解：观察图像可得， ∴， 故，， ∵， ∵， ， ∴， 故答案为：． 16. 如图，中，，，，点在边上，且，则的长等于________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点和准确添加辅助线是解题的关键． 过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点，等腰三角形三线合一，证得，易证得，可结合角度关系证，得出，由角度关系，得出，故，可证出，根据勾股定理求出的长度，最终可求出的长度． 【详解】解：过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点，如图所示： ∵，， ∴平分，且为中点， ∴，， ∴。 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题、共68分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先提取公因式，再对应用平方差公式分解． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先把分式通分相加，然后约分化为最简分式，再代入x的值解答即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图．汽车卸货，，，，求的长． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 据此直角三角形的边长，结合勾股定理计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， 故的长为． 20. 如图．在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，． （1）请作出线段关于轴对称的线段； （2）点的坐标为________，点的坐标为________； （3）连接，，，则的面积为________． 【答案】（1）图见解析 （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称，掌握直角坐标系中点的轴对称变换是解题的关键． （1）根据题意作线段关于轴对称的线段即可； （2）根据（1）中的变换或观察图象得出结果即可； （3）采用割补法进行计算的面积即可． 【小问1详解】 解：图中线段即为所求： 【小问2详解】 解：观察图象，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：；． 【小问3详解】 解：添加适当辅助线，如下图所示： ∴， 故答案为：． 21. 已知一个长方形的长，宽． （1）求这个长方形的周长； （2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试求这个正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式应用，正确运用二次根式的运算法则进行化简计算是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式即可求出周长； （2）根据长方形的面积公式即可求出面积，从而求出正方形的边长． 【小问1详解】 解：这个长方形的周长； 【小问2详解】 解：这个长方形的面积， 根据面积相等，则正方形的边长． 22. 如图，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等”是解本题的关键． 先证明，再证明，再利用证明，利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中 ， ． 23. 刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了元．几天后，遇上这种大米折出售，她用元又买了一些，两次一共购买了kg．这种大米的原价是多少？ 【答案】这种大米的原价为每千克元． 【解析】 【分析】分析：设这种大米的原价是x元，打8折后是0.8x元，根据两次一共购买了kg，列出算式，求解即可，最后要检验． 【详解】解：设这种大米的原价为每千克元， 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的解． 答：这种大米的原价为每千克元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 24. 如图，中，，点是边的中点．点在边的延长线上，连接交于点，连接，且． （1）若，求的度数； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质和判定，三角形外角的性质，三角形内角和等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）根据，以及，可得出，即可得出结果； （2）根据角度等量关系，证出，又因为点为中点，可得，结合三角形内角和，得出，可证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故的度数为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 平面直角坐标系中，平面镜放置在如图所示的位置，，两点的坐标分别为，． （1）求直线的函数表达式； （2）从轴上的点发出一束光线照向上的点，光线经过的反射后经过点，求点的坐标． 【答案】（1）直线的函数表达式为 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何综合，且含有跨学科知识点，准确理解题意是解题的关键． （1）根据点、利用待定系数法求解即可； （2）令直线与坐标轴交点分别为点、，证明，得出，令点的坐标为，故可列出关于的方程，求出的值，即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：令直线的函数表达式为， 将、代入函数表达式， 得，解得， 故直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：令直线与坐标轴交点分别为点、，如下图所示： 当时，，故， 当时，，故， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， 根据镜面反射的性质，可得， ∴， ∴， 令点的坐标为， ∴， ， ∴可得方程， 解得，则， 故点的坐标为． 26. 将两个全等的和按图①方式摆放，所在直线与所在直线相交于点． （1）若，，求的值； （2）将图①中的绕点按顺时针方向旋转至图②中的位置，请直接写出线段，，之间的数量关系：________； （3）将图①中的绕点按逆时针方向旋转至图③中的位置，请探索线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）的值为 （2） （3）；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，旋转的性质，掌握以上知识以及准确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理先求出的长度，由全等的性质，可得，，易证，得，故，即可求出的结果； （2）连接，易证，结合、，即可证出； （3）连接，易证，结合、，即可证出； 【小问1详解】 解：连接，如下图所示： ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如下图所示： ∵， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 【小问3详解】 解：连接，如下图所示： ∵， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故． 27. 机器人“小智”和“小安”在一条笔直的道路上进行行走测试，“小智”以米／分钟的速度由甲地匀速前往乙地；“小安”由乙地匀速前往甲地，先以米／分钟的速度匀速行走了1分钟，因故障停止行走，经技术人员排除故障后，降低速度继续匀速前往甲地．已知甲、乙两地相距米，两机器人同时出发且同时到达各自的目的地．两个机器人之间的距离（米）关于测试时间（分钟）的函数关系如下图所示，请解答下列问题： （1）“小智”的初始速度为________米／分钟，“小安”的初始速度为________米／分钟； （2）求线段所表示的与之间的函数表达式； （3）求当为何值时，两机器人之间的距离恰好为米． 【答案】（1）； （2）线段所表示的与之间的函数表达式为（） （3）当或时，两机器人之间的距离恰好为米 【解析】 【分析】本题考查一次函数中的行程问题，准确理解题意是解题的关键． （1）由“小智”甲地匀速前往乙地，可求出的值，再结合第一分钟内的路程情况，得出“小安”在这一分钟的路程，即可求出； （2）根据行程图中的几何意义，可得出、段的值，由点、可求出线段、线段的函数表达式，求出点对应的值，可得到线段函数表达式中的自变量取值范围； （3）根据相遇点，得出相距米时的时间差，可得出对应的时间点． 【小问1详解】 解：∵全程“小智”以米／分钟的速度由甲地匀速前往乙地， ∴米／分钟， 分钟时，二者距离减少70米， 故“小安”在这一分钟的路程为米， 故米／分钟， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：令线段所表示的与之间的函数表达式为， 在分钟，可知二者速度和为米／分钟， 故在阶段二者速度和也为米／分钟， 故，将点代入， 得，得， 故线段所表示的与之间的函数表达式为， 令线段所表示的与之间的函数表达式为， 线段阶段，仅有“小智”运动， 故，结合点，代入， 得，解得， 故线段所表示的与之间的函数表达式为， 与， 得， 解出， 故线段所表示的与之间的函数表达式为（）． 【小问3详解】 解：第5分钟时，两机器人相遇，二者速度和为米／分钟， 故相距米时，时间差为分钟， ∴，， 故当或时，两机器人之间的距离恰好为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $