精品解析：湖北十堰市2026届高三上学期1月调研考试（一模）数学试题

十堰市2026年高三年级元月调研考试 数学 本试题卷共4页，19题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的卷面整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（ ） A. 6 B. C. 4 D. 3. 印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是（ ） A. 4.02 B. 4.00 C. 3.88 D. 3.84 4. 若向量，，记，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. 7. 已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，若集合满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 10. 若，则（ ） A. （） B. C. 从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D. 从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种 11. 已知定义域与值域均为的函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. ，是奇函数 D. ，满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，用，表示______. 13. 已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. 14. 若函数有零点，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和. （1）证明：是等比数列； （2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 16. 某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 型 62 38 100 型 45 55 100 合计 107 93 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； （2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为： 1 1.5 2 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时的分布列为： 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，几何体为四棱锥和三棱锥的组合体.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，. （1）求证：； （2）若三棱锥的体积是四棱锥的体积的，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆：（）的实轴长为，点在上. （1）求的离心率； （2）若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上； （3）已知，，均在上，为原点，，其中，均不在轴上，，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 19. 已知函数（）. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若，证明：； （3）试讨论过点且与曲线（）相切的直线的条数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰市2026年高三年级元月调研考试 数学 本试题卷共4页，19题，均为必考题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的卷面整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解即得. 【详解】由，得. 故选：C 2. 已知抛物线：的焦点为，点在上，且，为原点，则（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线定义可得，代入方程可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 因为，即， 且，所以. 故选：B. 3. 印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势.某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是（ ） A. 4.02 B. 4.00 C. 3.88 D. 3.84 【答案】A 【解析】 【分析】将给定的5个数据由小到大排列，利用第40%分位数的定义求解即得. 【详解】5个数据由小到大排列为：3.84，3.88，4.16，4.46，4.71， 由，得这5个数据的40%分位数是. 故选：A 4. 若向量，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故选：A 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】整理可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】因为正数，满足，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：D. 6. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. 20 C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 7. 已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令正四面体的棱长为6，根据给定条件，结合正四面体的结构特征确定球心的位置，再利用球面性质求出球半径，进而求出它们表面积之比. 【详解】取正四面体各棱中点，如图， 可得平面平面，且，作平面于点，交平面于， 则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体的棱长为6， ，，， 而，因此球的半径， 所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为. 故选：C. 8. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，得，将函数有极值问题转化为函数有极值问题，再求出导数，并按分类探讨导函数有无变号零点问题求解. 【详解】令，则，原函数化为，依题意，函数有极值， 求导得， 令，，求导得， 而，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 因此存在，使得，即函数，亦即函数存在极值； 当时，，由，得；由，得， 函数在上递减，在上递增，则， 设，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，， 则时，，此时函数，即无极值； 当时，，且时，；时，， 此时函数，即存在极值， 所以的取值范围为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，若集合满足，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意化简集合，结合交集运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若， 满足，符合题意，故A正确； 对于选项B：若， 则，不符合题意，故B错误； 对于选项C：若， 满足，符合题意，故C正确； 对于选项D：因为， 则，不符合题意，故D错误； 故选：AC. 10. 若，则（ ） A. （） B. C. 从，，…，这8个数中任取2个，这两个数的积为正数的取法有12种 D. 从，，，…，这8个数中任取3个，这三个数的和等于，，，…，中某数的取法有28种 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知，，进而列举.对于A：可知的最大值为，即可判断；对于B：结合二项式性质分析判断即可；对于C：分析数的正负性结合组合数分析求解；对于D：分类讨论和项是否为0，结合组合数运算求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为，， 则，， 可得依次为. 对于选项A：因为的最大值为，所以，，故A正确； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：若两个数的积为正数，则从任取两项或从任取两项， 所以不同的取法共有种，故C正确； 对于选项D：因为，共有4组， 若从选择一组，再从剩余的数中选择1个，不同的取法共有种； 检验可知，不同的取法共有种； 综上所述：不同的取法共有种，故D正确； 故选：ACD 11. 已知定义域与值域均为的函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. ，是奇函数 D. ，满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，得到，由于的定义域与值域均为，令，得，则解析式为，逐个选项判断即可. 【详解】令，则， 由于的定义域与值域均为，则令， 有，即； ，A正确； ，，B错误； ，是奇函数，C正确； ，，满足，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，用，表示______. 【答案】 【解析】 【分析】对给定的等式两边取常用对数，再利用对数运算法则，结合方程的思想求解. 【详解】由，得，则； 由，得，则， 因此，所以. 故答案为： 13. 已知双曲线：（，），记，经过点，（），且（为原点），则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得，将代入双曲线方程即可求出离心率. 【详解】依题意，是双曲线：的半焦距，令右焦点为， 由经过点，（），得点关于轴对称，即， 则，于是，而，则， 由点在双曲线上，得，即，整理得， 因此，即，则，而， 所以的离心率. 故答案为： 14. 若函数有零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】换元令，可得在内有零点，分、和三种情况，结合绝对值的性质分析求解即可. 【详解】令，可得在内有零点， （i）若，则， 令，解得，不合题意； （ⅱ）若，则， 令，解得，不合题意； （ⅲ）若，根据绝对值性质可得， 又因为，则， 因为在内有零点，则， ①当时，则，解得； ②当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和. （1）证明：是等比数列； （2）若，分别是等差数列的第1项与第3项，求的公差. 【答案】（1） 数列的前项和，当时，， 即，而，解得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用，结合等比数列定义推理得证. （2）由（1）的结论求出，进而求出并求出公差. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则，， 所以等差数列的公差. 16. 某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（型与型）对果实品质的影响.农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 型 62 38 100 型 45 55 100 合计 107 93 200 （1）根据小概率值的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； （2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（）为，通过测试得到使用无土栽培时的分布列为： 1 1.5 2 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时的分布列为： 0.8 1.2 1.6 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于的概率. 附：，其中. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关联； （2）0.28. 【解析】 【分析】（1）利用给定列联表中数据求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）由给定的分布列，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解. 【小问1详解】 零假设为番茄果实糖度达标与灌溉类型没有关联， 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 令使用无土栽培的单株番茄产量为，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为， 抽到的2株番茄总产量为，则， 则 ， 所以抽到的2株番茄总产量大于的概率为0.28. 17. 如图，几何体为四棱锥和三棱锥的组合体.在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，. （1）求证：； （2）若三棱锥的体积是四棱锥的体积的，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）取的中点为，连接， 因为，，则，， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 又因为，，平面，所以平面， 因为底面正方形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可得平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的性质定理可证平面，平面，即可得结果； （2）可证平面，根据体积关系可得，建系并标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是正三角形，则， 且平面平面，平面平面，平面， 可得平面， 由题意可知：，， 又因为，则，解得， 以为坐标原点，分别为轴，过点平行于直线的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆：（）的实轴长为，点在上. （1）求的离心率； （2）若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上； （3）已知，，均在上，为原点，，其中，均不在轴上，，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1） （2）由（1）可知椭圆的方程为，， 因为直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交， 设直线：，， 联立方程，消去x可得， 则，，可得， 由题意可知：直线，直线， 联立方程消去y可得 ， 即，可得， 所以点在定直线上. （3）设，且， 则，且，， 可得，即， 代入椭圆方程可得， 整理可得， 又因为，，， 可得，即， 且，可得，即， 所以（为定值）. 【解析】 【分析】（1）根据长轴长可得，代入点可得，进而可得离心率； （2）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，进而可得，联立直线方程可得，运算求解即可； （3）设，根据题意结合向量运算可得，代入椭圆方程可得，即可得结果. 【小问1详解】 由题意可知：，即，椭圆方程为， 代入点可得，解得， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数（）. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）若，证明：； （3）试讨论过点且与曲线（）相切的直线的条数. 【答案】（1） （2）若，则， 构造，则， 因为，， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在内单调递减， 则，即， 且，可得，即. （3）当时，切线的条数为0；当或时，切线的条数为1；当或或时，切线的条数为2；当时，切线的条数为3. 【解析】 【分析】（1）求导，分析可知在，上单调递增，参变分离结合恒成立问题运算求解； （2）构造函数，利用导数分析其单调性和最值，可得，即可证明结论； （3）求导，根据导数的几何意义分析过一点的切线，构造，可知切线的条数即为与的交点个数，利用导数的单调性和极值，结合图象分析求解即可. 【小问1详解】 因为在上连续不断， 若在上单调递增，可知在，上单调递增， 若，则，且， 可得，即在上恒成立， 且在上的最小值为0，可得； 若，则，且， 可得，即在上恒成立， 且在上的最大值为，可得； 综上所述：实数的取值范围为. 小问2详解】 略 小问3详解】 因为， 若，则，且， 设切点坐标为，，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，整理可得； 若，则，且， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，整理可得； 构造，可知切线的条数即为与的交点个数， 若，则，且， 可知在内单调递减，且当趋近于1时，趋近于， 当趋近于时，趋近于； 若，则，且， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，当趋近于1时，趋近于5，当趋近于时，趋近于； 据此可得函数的图象，如图所示： 由图象可得当，即时，与有0个交点，即切线的条数为0； 当或，即或时，与有1个交点，即切线的条数为1； 当或或，即或或时，与有2个交点，即切线的条数为2； 当，即时，与有3个交点，即切线的条数为3. 综上可得，当时，切线的条数为0；当或时，切线的条数为1；当或或时，切线的条数为2；当时，切线的条数为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $