精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉州2025-2026学年第一学期高二期末质量监测数学试题

昌吉州2025~2026学年第一学期期末质量监测 高二数学测试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的指定位置上. 2．选择题在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率的概念，求出两点之间的斜率，根据正切函数，求出倾斜角大小即可. 【详解】由，得， 设直线倾斜角为，则，可得. 故选：D. 2. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【详解】设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C 3. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由双曲线，可得， 所以，所以， 因为点P在双曲线C上，，又因为， 所以，解得或， ①当在下支时，， ②当在上支时，， 综上所述：， 所以. 故选：B. 4. 已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先判断圆与圆外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可. 【详解】依题意，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径为， 则，故两圆外切， 因圆C覆盖圆，，所以圆半径的最小值为. 故选：A. 5. 如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】连接，， 则 . 故选：A 6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由可得，求出，结合抛物线的定义，即可得解． 【详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为， 过点作轴的垂线，垂足为， 因为，所以， 所以， 所以点到准线的距离为． 故选：C． 7. 在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点建系，由向量法求两直线所成角的余弦值，再由平方关系求正弦值. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 设直线与直线所成角为，则. 所以， 故选：B. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过作直线l与双曲线的右支交于两点（M在第一象限），，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线定义结合及求得，再由整理可求. 【详解】设，由可得， 由双曲线定义可得， 因为，所以， 即，整理得，因为，所以， 又，即，即， 所以，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（　　） A. B. C. D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出公比，根据函数单调性得到，利用条件求出，进而得到首项，结合等比数列的定义，通项公式，求和公式对选项一一判断，得到答案. 【详解】设的公比为，则由递增，得， 因为，所以， 解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 又， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确． 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. 的坐标为 B. 抛物线的准线方程为 C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程即可判断AB，然后再由抛物线的焦半径公式求解判断CD. 【详解】由抛物线，则，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，由于点在上，则， 而，则，即，所以，故C正确； 对于D，，当且仅当，即在原点时，等号成立，故D错误. 故选：BC 11. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为 D. 若动点M在三棱锥外接球的表面上，则点M的轨迹长度为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，由平面判断；对B，三棱锥的体积即三棱锥的体积，进而根据面积和高为定值可判断；对C，由向量法计算时的夹角判断；对D，轨迹为平面与外接球面的交圆. 【详解】对于A：由可知，点在平面内， 若，则在上. 在正方体中，平面，因为平面， 所以，A正确； 对于B：若，则在直线上， 三棱锥的体积即三棱锥的体积， 中为到平面的距离， 由于在上，且，的面积为定值，为定值， 故体积为定值，B正确； 对于C：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 若，，则的坐标为， ，设直线与直线所成角为， 则， 当时，，所以，故最小角不是，C错误； 对于D：三棱锥的顶点， 其外接球的球心，半径，在平面内且在球面上， 轨迹为平面与球的交圆， 因为球心到平面的距离为，交圆的半径， 轨迹长度为，D错误； 故选：AB. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若等差数列中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本量代换求出首项和公差，套公式求出. 【详解】设等差数列的公差为，由，可得： ，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，判断点在圆内，当直线时直线与圆相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得. 【详解】直线，则， 令，解得，所以动直线恒过点， 又圆的圆心为，半径， 所以， 所以点在圆内， 所以当直线时直线与圆相交的弦长最短， 最短弦长为. 故答案为： 14. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆（圆心记为C）面积为两点的坐标分别为，则的面积______，的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对①，根据椭圆的定义，由（其中为周长，为内切圆半径）求解；对②，由求解. 【详解】由椭圆方程可得， 对于①：的周长为 ， 设内切圆半径为，由内切圆面积为，得，解得， 所以； 对于②：由图，， 因为，所以， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，将和代入求解即可;（2）讨论直线斜率存在与否，当直线斜率存在时，设：，根据圆的弦长公式求得直线方程. 【小问1详解】 ∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为， 代入点，，得, 解得,即圆的标准方程为. 【小问2详解】 ∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4， ∴圆心到直线的距离为. ①当直线斜率不存在，即直线为时，满足； ②当直线斜率存在时，设：， 则由，解得，即直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 16. 如图，长方体中，，点P为的中点． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（1）先得到，，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式直接计算即可. 【小问1详解】 长方体中，，平面， 因为平面,所以， 因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由题意可知两两垂直，所以以为原点所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意可得 则， 设平面的法向量为， 则，令，得到； 因为,所以点D到平面的距离. 17. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为3． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义将点到焦点距离转化为到准线距离求出，得到抛物线方程； （2）可判断为焦点弦，由焦点弦公式求出，由点到直线距离公式求出到距离，根据面积公式求解. 【小问1详解】 因为抛物线上一点到焦点的距离为， 抛物线的准线方程为，所以根据抛物线定义得， 解得，所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 由（1）知抛物线的焦点满足直线方程， 由得，整理得， 设，则 由焦点弦公式. 又点到直线的距离， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点M，连接，证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）在四棱锥中，取中点N，连接， 由为 的中点，且，， 得，， 则四边形为平行四边形，所以， 而平面，不在平面内， 所以平面. （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量夹角公式即可求解； （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 的中点O，连接， 由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 令，， ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）由求解； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得 解得，所以的方程为. 【小问2详解】 设，由题意知， 所以， 因为，所以当时，， 所以. 【小问3详解】 由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以. 所以. 联立直线与抛物线的方程， 得消去并整理， 得， 所以， 所以， 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州2025~2026学年第一学期期末质量监测 高二数学测试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的指定位置上. 2．选择题在答题卡上用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔在答题卡相应区域内直接作答，写在试卷、草稿纸上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 经过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知实数成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 15 4. 已知圆与圆，若圆C完全覆盖圆，，则圆C的半径的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 在直三棱柱中，分别是的中点，则与直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过作直线l与双曲线的右支交于两点（M在第一象限），，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（　　） A. B. C. D. 是等比数列 10. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ） A. 的坐标为 B. 抛物线的准线方程为 C. 若，则 D. 11. 如图，棱长为2的正方体中，分别是棱，棱的中点，动点M满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则直线与直线所成角的最小值为 D. 若动点M在三棱锥外接球的表面上，则点M的轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若等差数列中，，则________． 13. 若动直线，圆，则直线与圆相交的最短弦长为__________． 14. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆（圆心记为C）面积为两点的坐标分别为，则的面积______，的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 16. 如图，长方体中，，点P为的中点． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离． 17. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为3． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于两点，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点M，连接，证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知右焦点为的椭圆过点. （1）求的方程； （2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值； （3）过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $