精品解析：天津市滨海新区2025-2026学年高一上学期期末数学试题

滨海新区2025-2026学年度第一学期期末检测卷 高一年级数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时100分钟. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，的终边过点，把角的终边绕原点O逆时针方向旋转90°，这时终边对应的角是，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，则下列结论正确的是（ ） A. 小球在开始振动（即）时在平衡位置下方1 cm处 B. 小球的最高点和最低点相距2 cm C. 小球往复运动一次所需时间为s D. 每秒钟小球往复振动的次数为 11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，函数的值域为 B. 若函数的定义域为，则 C. 若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是 D. 对任意的，函数都不存在最小值 12. 已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断： ①. ②函数为偶函数. ③函数在区间上只有一个零点. ④函数在区间上的最大值为. 其中，判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共12小题，共90分. 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 函数 的定义域为_____ 14. 如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 15. 已知，，且，则xy的最大值为______. 16. 已知幂函数的图象经过点，则______________． 17. 已知集合，. （ⅰ）________；（ⅱ）________. 18. 已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的圆心角所对的弧长是________，扇形的面积是________． 19. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，，k是正的常数，且过滤前后废气的体积不变，已知在前6 h消除了80%的污染物.（ⅰ）常数k的值为________；（ⅱ）要消除90%的污染物，所需时间约为________h（精确到0.1 h）.（参考数据：lg2≈0.301，无理数e=2.71828…） 20. 已知函数其中且. （ⅰ）当时，函数的值域为________； （ⅱ）若存在三个互不相等实数，，，使得，且，则实数a的取值范围是________. 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知，. （1）求sinx，tanx的值； （2）求，的值. 22. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴右侧的图象，如图所示. （1）画出函数在y轴左侧的图象，根据图象写出函数在R上的单调递减区间； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）根据图象求不等式的解集. 23. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的单调递增区间； （3）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 24. 已知函数. （1）证明函数是奇函数，并判断函数的单调性（说明理由，不需要证明）； （2）若，使得成立，求实数a的取值范围； （3）是否存在正数使函数在上的最小值为k，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海新区2025-2026学年度第一学期期末检测卷 高一年级数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试用时100分钟. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集运算求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定求解. 【详解】根据特称命题的否定可知， ，的否定是，， 故选：C 3. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】由且，得；反之，由，得且，或者且， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图象平移的性质可得. 【详解】， 所以为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度. 故选：A. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点所在的区间，即可得正确选项. 【详解】因为为单调递增函数， 当时，， 当时，， 当时，， 由于，且的图象在上连续， 根据零点存在性定理，在上必有零点， 故选：B. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小得解. 【详解】因为， 所以， 故选：D 7. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】利用同一函数的定义域和对应法则相同，逐一判断各选项中函数是否表示同一函数． 【详解】的定义域为，的定义域为， 和不是同一函数，故A错误； 的定义域为，的定义域为， 和的定义域与对应法则相同，故表示同一函数，故B正确； 的定义域为，的定义域为， 和定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 和的对应法则不同，不是同一个函数，故D错误． 故选：B． 8. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，的终边过点，把角的终边绕原点O逆时针方向旋转90°，这时终边对应的角是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出角与角的关系，应用诱导公式即可求出. 【详解】因为角的终边过点，所以. 又因为角的终边绕原点O逆时针方向旋转90°，终边对应的角是， 所以，所以. 故选：C. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，排除CD选项；根据奇偶性排除A. 【详解】根据，排除CD选项； 若，则，则为偶函数， 排除A. 故选：B 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，则下列结论正确的是（ ） A. 小球在开始振动（即）时在平衡位置下方1 cm处 B. 小球的最高点和最低点相距2 cm C. 小球往复运动一次所需时间为s D. 每秒钟小球往复振动的次数为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式，求时函数值判断A，根据振幅判断B，由函数周期判断C，根据周期求频率判断D. 【详解】由，当时，，即小球在开始振动（即）时在平衡位置上方1 cm处，故A错误； 由可知，振幅为，所以小球的最高点和最低点相距，故B错误； 由可知周期，故小球往复运动一次所需时间为s，故C错误； 由周期可知，频率为，即每秒钟小球往复振动的次数为，故D正确. 故选：D 11. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 当时，函数的值域为 B. 若函数的定义域为，则 C. 若函数在上单调递增，则实数m的取值范围是 D. 对任意的，函数都不存在最小值 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的值域为可判断 A，由函数定义域求出判断B，由函数的单调性求出的范围判断C，根据函数的值域为可判断D． 【详解】对于A，当时，，此时，， 所以值域为，故A正确； 对于B，由题意知的两根为，所以，解得，故B正确； 对于C，因为单调递增，又函数在上单调递增，所以由复合函数单调性知在上单调递增，且， 所以，解得，故C错误； 对于D，因为对任意的，方程的判别式恒成立， 令 ，则中，，所以函数的值域为，函数不存在最小值，故D正确. 故选：C. 12. 已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断： ①. ②函数为偶函数. ③函数在区间上只有一个零点. ④函数在区间上的最大值为. 其中，判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给条件，结合余弦函数的周期、对称轴、中心、单调性求出可判断①②，再由函数解析式及余弦型函数的性质，判断③④. 【详解】因为为的一条对称轴，是的一个对称中心， 又因为在上单调递减，所以， 所以，故①正确； 所以，因为是的一条对称轴， 所以，所以，又，所以， 所以， 所以，是偶函数，故②正确； 当时，，所以有且只有当时，即时，函数在区间上只有一个零点，故③正确； 当时，，所以由余弦函数的单调性知，当时，，故④正确. 故选：D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共12小题，共90分. 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 函数 的定义域为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可. 【详解】由得， 所以函数 的定义域为. 故答案为：. 14. 如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 【答案】> 【解析】 【分析】根据不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 故答案为： 15. 已知，，且，则xy的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，，且，得， 当且仅当取等号，所以xy的最大值为1. 故答案为：1 16. 已知幂函数的图象经过点，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，由函数过点，求出参数，即可求出函数解析式，再代入计算可得； 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故答案为： 17. 已知集合，. （ⅰ）________；（ⅱ）________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据集合的补集运算求，解不等式求出集合，根据交集运算求即可. 【详解】（ⅰ）因为，所以. （ⅱ）因为， 所以. 故答案为：； 18. 已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的圆心角所对的弧长是________，扇形的面积是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 先求出圆心角的弧度数，再利用弧长公式和面积公式求解即可. 【详解】解：由已知圆心角为60°，其弧度为， 第一空：该扇形的中心角所对的弧长， 第二空：扇形的面积. 故答案为：； 【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式，是基础题. 19. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，，k是正的常数，且过滤前后废气的体积不变，已知在前6 h消除了80%的污染物.（ⅰ）常数k的值为________；（ⅱ）要消除90%的污染物，所需时间约为________h（精确到0.1 h）.（参考数据：lg2≈0.301，无理数e=2.71828…） 【答案】 ①. ②. 8.6 【解析】 【分析】由题意根据，即得的值，令，根据对数运算性质求出的值即可. 【详解】由题意，当时，，即， ， 设要消除90%的污染物需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. （）， 故答案为：； 20. 已知函数其中且. （ⅰ）当时，函数的值域为________； （ⅱ）若存在三个互不相等实数，，，使得，且，则实数a的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（i）分别求出每一段的值域，再取并集即可； （ii）存在三个互不相等实数，，，使得，转化为与有3个不同交点，讨论与的关系，分析图象，由，讨论的范围，进而得出的范围即可. 【详解】（i）当时，， 当时，单调递增，， 当时，， 开口向下，对称轴，， 此时， 综上函数的值域为. （ii）存在三个互不相等实数，，，使得， 即与有3个不同交点，不妨设， 当时，则当时，单调递减，， 令，解得或， 画出的图像如图，由图像可得，，，符合题意， 当时，则当时，单调递增，， 当时，如图，不会有3个交点，当时同理不符合题意， 当时，，， 若要，则，则， 当时，， 令，得或， 则，， 综上. 故答案为：（i）,（ii） 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知，. （1）求sinx，tanx的值； （2）求，的值. 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解； （2）由两角差的正弦公式，二倍角的余弦公式求解. 【小问1详解】 ，， ∴， ∴ . 【小问2详解】 . . 22. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，现已画出函数在y轴右侧的图象，如图所示. （1）画出函数在y轴左侧的图象，根据图象写出函数在R上的单调递减区间； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）根据图象求不等式的解集. 【答案】（1） 单调递减区间为， （2）任取且， 则 ∵，∴，，即， ∴， ∴. ∴函数在上单调递增. （3）或. 【解析】 【分析】（1）求出解析式，画出二次函数图象，再结合图象得出递减区间； （2）利用定义证明单调性； （3）根据图象解不等式. 【小问1详解】 当时，，则， 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 则， 因为， 则画出函数在y轴左侧的图象，如图所示， 结合函数的图象，可得函数在上的单调递减区间为，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 结合图象可得，当时，，或， 故不等式的解集为或. 23. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的单调递增区间； （3）若关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）逆用两角和的正弦公式化简，由正弦型三角函数的周期公式求解； （2）根据正弦型函数的单调性结合函数定义域求单调区间即可； （3）令，可得，转化为方程在上仅有一个实根，由二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 由题意，得 ∴，∴的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）知，设. ∵，∴， ∵，的单调递增区间是， 且由，得， ∴函数在上的单调递增区间是. 【小问3详解】 ∵，∴， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减， ，， 令，则. 如图所示， 关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根， 只需方程在上仅有一个实根，且此根在区间上. 令，因为， 则，或 解得或. 所以实数m的取值范围是或. 24. 已知函数. （1）证明函数是奇函数，并判断函数的单调性（说明理由，不需要证明）； （2）若，使得成立，求实数a的取值范围； （3）是否存在正数使函数在上的最小值为k，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析，增函数 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义证明；根据是增函数，是减函数即可判断单调性； （2）根据（1）的结论，将问题转化为求解； （3）令，结合函数是增函数，得到，转化为在上的最小值为k，即在上最小值或最大值为1，由二次函数的性质，分，，求解. 【小问1详解】 证明：函数的定义域为R. ∵，都有， 且， ∴函数是奇函数. ∵3>1，所以是增函数； ，，所以是减函数，是增函数； ∴函数是增函数. 【小问2详解】 由（1）知函数是奇函数，所以由得： ， 又由（1）知函数是增函数，所以. 整理得. 又，且，， ∴，故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 假设存在满足条件的正数. 令，由（1）知函数是增函数， ∴当时，， ， ∴，， 即在上的最小值为k， 也即在上最小值或最大值为1. 因为二次函数在上的最值只可能在端点或者对称轴处取得， 所以只可能是以下三种情况： ①若时，有最值1，即，解得，此时对称轴为，则为最小值，而时，是增函数，则的最小值为，符合题意. ②若时，有最值1，即，解得，此时对称轴为，为最大值，而，是增函数，的最大值为，不合题意，舍去. ③若时，有最值1，即，解得（舍），或，此时对称轴为，，所以的最值不可能是，不合题意，舍去. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $