广东省大湾区2025-2026学年高二上学期期末模拟训练数学试卷二

大湾区2025-2026高二上学期期末模拟训练数学试卷二 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．一组数据28，39，12，23，17，43，50，34的上四分位数为（    ） A．17 B．20 C．39 D．41 2．已知，，，若，，共面，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3．已知直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．已知方程表示双曲线，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，三个自动开关，，正常工作的概率都是，且是互相独立的.若将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（    ） A． B． C． D． 7．已知点，点满足，则点到直线 的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知直线：及抛物线上一动点，记到的距离为，则的最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是钝角 C．若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 10．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回的方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出的球的标号小于3”，事件“两次摸出的球的标号均为偶数”，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与相互独立 11．设O为坐标原点，，分别是双曲线C：的左、右焦点，P是C上的一点，且，若的内切圆半径为a，设内切圆圆心，则（    ） A． B．为直角三角形 C．的面积为ac D．C的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知,,,则原点到平面的距离为 ． 13．若椭圆的弦恰好被点平分，则所在的直线方程为 ． 14．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某校举办了校园诗词大赛，学生的比赛成绩均在内（单位：分），随机抽取了100名学生的成绩，整理后按照分成五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)若规定成绩较高的前的学生获奖，请求出的值并估计获奖学生的最低分数线； (2)现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人，求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率； (3)已知样本数据落在的平均数是77，方差是6，落在的平均数是82，方差是3，求这两组数据合并后的平均数和总方差． 16．（15分）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 17．（15分）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆C的标准方程； (2)过点作圆C的切线l，求直线l的方程； (3)求直线被圆C所截得的弦长. 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《大湾区2025-2026高二上学期期末模拟训练数学试卷二》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C C D C B ACD AD 题号 11 答案 BD 1．D 【详解】j将数据从小到大排列为，，，，，，，， 又，所以上四分位数为. 故选：D 2．C 【详解】因为，，共面，又向量不共线， 即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得, 故选：C 3．D 【详解】因为直线的斜率， 设直线的倾斜角为，， 则，所以. 故选：D. 4．C 【详解】若方程表示双曲线， 则，解得或， 所以实数m的取值范围为. 故选：C. 5．C 【详解】由空间向量，，则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 6．D 【详解】记“三个元件，，正常工作”分别为事件，，，则，，. 不发生故障的事件为， ∴不发生故障的概率为. 故选：D 7．C 【详解】设，又，得， 即点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 又 过定点，又，所以在圆外， 设点到直线的距离为，点在圆上，直线恒过点， 点到直线的距离的最大值，等于圆心到直线的距离与半径之和的最大值， 圆心到直线的距离的最大值为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 8．B 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于到准线的距离，即， 所以，因为当时，最小， 所以，故的最小值是. 故选：B.    9．ACD 【详解】A选项，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； B选项，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； C选项，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量， 与向量是不共面的向量矛盾， 所以是不共面的向量，故C正确； D选项，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面， 故D正确. 故选：ACD 10．AD 【详解】根据题意，样本空间为：，共有12个样本点， 事件，共有6个样本点， 事件，共有2个样本点， 对于A，事件的概率为，所以A正确； 对于B，事件的概率为，所以，所以B不正确； 对于C，由事件，共有7个样本点， 所以事件的概率为，所以C错误； 对于D，由，所以，又由， 可得，所以事件与事件相互独立，所以D正确. 故选：AD. 11．BD 【详解】如图，设点P在第一象限，设的内切圆与三边相切于点D，E，F，则，，， 由双曲线的定义得，设，所以，所以，若点P在第二象限，同理可得，A错误； 设的中点为M，由，知． 因为，，所以为直角三角形，B正确； 在中，，C错误； 在中，，， 在中，，，知， 由，得，D正确． 故选：BD. 12．/ 【详解】设原点到平面的距离为，平面的法向量为， 则，，， 即得，令，可得，， 故，则， 故答案为：. 13． 【详解】由题意，直线的斜率存在，设，则， 因为点在椭圆上，所以， 两式相减得，，即， 整理得，即， 所以直线的斜率为，则直线的方程为， 即． 故答案为：. 14． 【详解】设，由可得， 两边平方后，整理得， 因此，点 P 的轨迹是以 为圆心，半径的圆. 故直线上存在点满足等价于圆与直线有交点， 因此圆心到直线的距离，两边平方后， 整理得，解得或. 故答案为：. 15．【详解】（1）由频率分布直方图易知，，解得， 由图知，的频率为．的频率为， 所以获奖学生最低分数线落在内，不妨设为， 则，解得， 所以估计获奖学生的最低分数线为84分． （2）由图可知，与的频率之比是， 根据分层随机抽样的方法可知，在内抽取4人，记为，在内抽取1人，记为， 从这5人中选取2人，则该试验的样本空间为： 则， 记事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”， 则，则， 由古典概型概率公式，可得． （3）样本数据在内的人数为，在内的人数为， 所以， ． 16． 【详解】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 17． 【详解】（1）设圆C的标准方程为， 则由题意得，解得， 故圆C的标准方程为； （2）因为，所以点在圆外， 当直线l的斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离为1，等于半径，故满足题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则点到直线l的距离，解得， 此时，即； 综上，直线l的方程为或； （3）因为圆心到的距离为， 所以弦长． 18． 【详解】（1）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，由点为棱的中点，得． 向量，，故， 所以，即， 向量，，故， 所以，即， 又因为平面， 所以平面； （2）向量，设为平面的法向量，则，即，不妨令，则， 所以平面的一个法向量为． 因为，所以， ∴直线与平面所成角的正弦值为． （3）， 由点在棱上，故设， 由，得，解得， 即． 设为平面的法向量，则，即， 不妨令，则，即平面的一个法向量为． 又取平面的法向量， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19． 【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以 ，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以 ． 因为，， 所以，即为定值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $