第3章 整式的乘除（复习讲义）数学新教材浙教版七年级下册

该初中数学整式的乘除复习讲义通过基础、进阶、拓展三级目标构建知识体系，用表格系统梳理同底数幂运算、乘法公式等常见结论及易错点，清晰呈现法则推导与应用的内在逻辑，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，如用“等面积法”验证平方差公式培养几何直观，通过新定义、规律问题提升推理意识与创新意识，基础巩固与能力提升练习适配不同学生，助力教师精准教学与学生自主复习。

第3章 整式的乘除 （复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，并会直接运用这些法则进行简单的幂的运算（如：，，，其中(a,b)为具体数字或单个字母，指数为正整数）。 2. 能复述单项式乘以单项式的法则，并会运用法则计算两个简单单项式的乘积（如：）。 3. 能复述单项式乘以多项式的法则（分配律），并会运用法则计算简单单项式与多项式的乘积（如：）。 4. 能复述多项式乘以多项式的法则，并会运用法则计算简单的两个一次二项式的乘积（如：((x + 2)(x - 3))）。 5. 能复述平方差公式和完全平方公式的形式，并会直接运用公式进行简单计算（如：((a + b)(a - b))，，，其中(a,b)为单个字母或具体数字）。 6. 能复述同底数幂的除法法则，并会直接运用法则进行简单的幂的除法运算（，其中(a)为非零具体数字或单个字母，指数为正整数且(m > n)）。 7. 能复述单项式除以单项式的法则，并会运用法则计算简单的单项式除法（如：）。 8. 能复述多项式除以单项式的法则，并会运用法则计算简单的多项式除以单项式（如：）。 二、进阶目标 1. 会推导同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，并能理解法则中指数运算的意义。 2. 能理解并应用幂的运算法则解决含有负号、括号的混合运算问题（如：，，）。 3. 能理解并应用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则解决含有多个字母或项数较多的运算问题，并能准确合并同类项（如：，((2x + y)(x - 2y))）。 4. 会推导平方差公式和完全平方公式，并理解公式的几何背景（如利用图形面积解释公式）。 5. 能理解并应用平方差公式和完全平方公式进行稍复杂的计算，包括公式的顺用、逆用及变形（如：((a + b - c)(a - b + c))，，已知，，求的值）。 6. 能理解并应用同底数幂的除法法则解决底数为多项式或含有负指数幂的简单问题（如：，知道，(a^{-p} = \frac{1}{a^p}为正整数)并进行简单计算）。 7. 能理解并应用整式乘除法则解决混合运算问题，掌握正确的运算顺序（如：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），并能进行较复杂的整式混合运算（如：((x + 1)(x - 1) - x(x - 2))，）。 8. 能理解并应用整式乘除及乘法公式解决简单的实际问题，如根据图形面积、体积关系列出代数式并化简，或解决与数字表示相关的问题。 三、拓展目标 1. 能理解并应用幂的运算法则探究指数为字母（指数为正整数）时的运算规律，并能解决相关问题（如比较与的大小）。 2. 能理解并应用乘法公式进行较复杂的恒等变形和化简求值，包括三个数的和的平方、立方和（差）公式的初步接触与应用（如：的展开，利用进行简单计算）。 3. 能理解并应用整式的乘除解决含有字母系数的整式除法问题，并能根据除法结果判断多项式是否为另一个多项式的因式（如：已知能被((x + 1))整除，求(a)与(b)的关系）。 4. 能理解并应用整式运算解决与代数推理相关的问题，如证明代数等式的正确性，或根据给定条件推导出特定的代数表达式。 5. 能理解并应用整体思想、换元思想等数学思想方法简化整式运算（如：把((x + y))看作一个整体进行幂的运算或乘法公式运算）。 6. 能理解并应用整式乘除知识解决一些综合性问题，如结合方程思想求字母的值，或解决与函数表达式相关的简单整式化简问题，为后续学习函数等知识打下基础。 内容分类 具体内容 完整分析 常见结论 同底数幂相乘：（(m)、(n)都是正整数） 该结论表明，当两个幂的底数相同时，相乘时底数不变，指数相加。例如，这是整式乘法中最基本的运算规则之一，是后续学习其他幂运算的基础。 同底数幂相除：（，(m)、(n)都是正整数，且(m>n)） 此结论要求底数不能为(0)，因为(0)做除数无意义。当底数相同且(m>n)时，相除后底数不变，指数相减。比如，它与同底数幂的乘法互为逆运算。 幂的乘方：（(m)、(n)都是正整数） 幂的乘方是指将一个幂整体进行乘方运算，运算方法是底数不变，指数相乘。例如，这个结论在进行复杂的幂运算化简时经常用到。 积的乘方：（(n)是正整数） 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。例如，该结论可推广到多个因式的积的乘方，如。 零指数幂：（） 任何非零数的(0)次幂都等于(1)。这里要特别注意底数不能为(0)，因为是没有意义的。例如，。 负整数指数幂：（，(p)是正整数） 负整数指数幂表示正整数指数幂的倒数，底数同样不能为(0)。例如，。 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 在进行单项式乘法时，先处理系数，将系数相乘作为积的系数；再处理同底数幂，按照同底数幂相乘的法则进行运算；最后对于不同底数的字母，直接保留在积中。例如。 单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即。这是乘法分配律在整式乘法中的应用，例如。 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 例如。在计算时要注意不要漏乘项，并且要注意各项的符号。如。 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。该公式是多项式乘法的特殊情况，应用它可以简化某些乘法运算。例如。 完全平方公式：， 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的(2)倍。这两个公式在代数运算和变形中非常重要，例如，。 易错点 同底数幂相乘，指数相加与幂的乘方指数相乘混淆 例如容易将错误地计算为（正确结果应为），或者将错误地计算为（正确结果应为）。这是因为对两个运算法则的本质理解不清，需要通过对比练习加强区分。 忽略零指数幂和负整数指数幂中底数不为(0)的条件 在计算时，会错误地认为其等于(1)，实际上无意义；或者在计算时，忽略底数是可以进行运算的，而错误地认为负数不能有负指数幂，正确结果应为。 积的乘方运算时，漏乘某些因式的乘方 例如计算时，容易错误地得到（漏乘系数(2)的立方），正确结果应该是；或者计算时，错误地得到（符号处理错误），正确结果为。 单项式乘以多项式时，漏乘多项式中的常数项或符号错误 比如计算时，容易漏乘(-1)这一项，得到，正确结果应为；或者计算(-3x(2x - 5))时，错误地得到（符号错误），正确结果是。 多项式乘以多项式时，漏乘项或合并同类项错误 例如计算((x + 1)(x + 2))时，容易只计算和，漏乘和，得到，正确结果应为；或者计算((2x + y)(x - 3y))后，合并同类项时出现错误，如将(-6xy + xy)错误地合并为（应为(-5xy)）。 平方差公式和完全平方公式混淆使用 例如将错误地用平方差公式计算为（正确应为）；或者将((a - b)(a + b))用完全平方公式计算为（正确应为）。另外，在使用完全平方公式时，容易漏掉中间项，如错误地计算为（漏写(-12x)）。 运用运算法则时，系数和指数的运算混淆 比如计算时，错误地将系数相乘，指数也相乘得到（正确应为系数相乘，指数相加，结果为）；或者计算时，错误地将系数相除，指数相除得到（正确应为系数相除，指数相减，结果为）。 括号前面是负号时，去括号或添括号忘记变号 例如计算时，错误地得到（正确应为）；或者在多项式相减时，如，错误地计算为（应为）。 题型一 同底数幂的乘（除）法运算 【例1】已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，根据得到，将变形为，再整体代入求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：D． 【变式1-1】若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法法则，将 表示为 ，再代入已知值计算． 【详解】解：由同底数幂的除法法则，．已知 ，，所以 ． 故答案为：． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，整式的加减法运算，掌握相关运算法则并正确计算是解题关键． （1）先用同底数幂乘除法，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （2）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （3）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型二 幂的乘方与积的乘方 【例2】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘及合并同类项，熟知以上知识是解题的关键．分别根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2-1】计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是积的乘方、幂的乘方，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 先计算括号内的平方运算，再处理负号，最后计算立方运算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2-2】已知，求x的值． 【答案】4 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，将等式两边化为同底数的幂的形式，通过比较指数建立方程求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得： 题型三 零、负次幂与科学记数法 【例3】2022年，人类又再一次向摩尔定律的极限发起挑战．这一次，中国人扮演了探索者的角色．为进一步突破1纳米以下栅长晶体管的瓶颈，清华大学团队巧妙利用石墨烯薄膜作为栅极，通过石墨烯侧向电场来控制垂直的二硫化钼沟道的开关，从而实现等效的物理栅长为纳米（1纳米米）．请用单位米表示纳米（用科学记数法表示）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据1纳米米，将纳米转换为米，并表示为科学记数法的形式即可． 【详解】解：∵1纳米米米， ∴纳米米米． 故选：C． 【变式3-1】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．分别计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂和乘方，然后进行有理数的加减运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，零指数，负指数，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算绝对值，零指数，负指数，乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 题型四 单项式乘单（多）项式 【例4】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需先计算系数相乘，再计算同底数幂相乘． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式4-1】如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以单项式的实际应用，解题关键是列出算式． 先列出算式，再计算． 【详解】解：∵长方形的长是，宽是， ∴这个长方形的面积为， 故答案为：． 【变式4-2】化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型五 平方差公式与完全平方公式 【例5】小明用边长为a和b的两个正方形，通过“等面积法”构造了如图所示的一种变化，这种从左到右的变化可以用来验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，用含a、b的式子分别表示出两幅图中的阴影部分面积即可得到答案． 【详解】解：左边那幅图中的阴影部分面积为， 右边那幅图中的阴影部分面积为， ∵两幅图中的阴影部分面积相等， ∴从左到右的变化可用来验证， 故选：C． 【变式5-1】 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过将变形为，利用平方差公式简化计算． 【详解】解： ， 故答案为：1． 【变式5-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项即可； （2）根据完全平方公式、平方差公式化简，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 单（多）项式除以单项式 【例6】计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方运算，单项式除以单项式的运算，掌握积的乘方与单项式除以单项式的运算法则是解题关键． 先计算立方运算，再根据除法将原式转化为分数形式，利用指数运算法则简化． 【详解】解：∵， ∴， 系数化简：， 化简：， 化简：， ∴结果为． 故选：． 【变式6-1】 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握整式除法的有关运算法则． 利用分配律，将多项式除以单项式转化为每一项除以单项式，然后进行有理数运算和指数运算． 【详解】解： ， ， ； 故答案为：． 【变式6-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，6 【分析】先用完全平方公式和平方差公式展开计算括号里的式子，再计算多项式除以单项式化简，然后代入具体数值计算即可；本题主要考查了化简求值，整式的四则混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ，时， 原式 ． 题型七 比较大小 【例7】若，比较a、b、c的大小（　　） A．abc B．bac C．cab D．cba 【答案】B 【分析】本题考查幂的大小比较，将a、b、c转化为同指数，比较底数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴bac， 故选B． 【变式7-1】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，将两数化为同指数的形式，比较底数的大小关系即可． 【详解】解：， ∵， ∴； 故答案为： 【变式7-2】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1)＞ (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、实数的大小比较，解答本题的关键是明确实数的大小比较方法． （1）由，，再比较大小即可； （2）由，，再仿照材料中的例题，比较大小即可； （3）由，，再比较大小即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即， 故答案为：＞． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：， ， ∵， ∴， 即． 题型八 不含某项、与某项无关 【例8】计算的结果不含项，那么m的值为（　　） A． B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算是关键．先合并多项式中的同类项，再求出展开后结果含的项，令项的系数为零，求出m的值即可． 【详解】解：， 展开后结果含的项为和， 根据题意，结果不含项，故， ． 故选：B． 【变式8-1】已知，，，且的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据整式的混合运算法则，求出的值，然后再根据的值与的取值无关，可得的系数是0，据此求出的值即可． 【详解】解： ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确得出的值是解本题的关键． 【变式8-2】已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 【答案】(1)①；② (2)①；②1 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． （1）①根据长方形面积公式列式计算即可；②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长；②列式计算与的差，可知与m无关． 【详解】（1）解：①根据题意得： ； ； 故答案为：； ② ， ∵， ∴， ∴，即； 故答案为： （2）解：①根据题意得：该正方形纸片的边长是 ， 故答案为： ②， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 题型九 杨辉三角 【例9】在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． 根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为（   ） A．55 B．45 C．36 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方公式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”．根据杨辉三角形的排列规律，续写到第10行，即可得到的展开式中第三项的系数． 【详解】解：根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为45． 故选：B． 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 【变式9-1】南宋杰出的数学家杨辉，在他所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称杨辉三角．观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： ； ； ； ； ； ； …… 写出的展开式中含项的系数是 ． 【答案】600 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，能够读懂题意是解题关键． 根据的展开式和杨辉三角的性质分析，首先找到含的项是各项系数的杨辉三角形的第二个数字，再根据杨辉三角的数字规律，经计算，即可得到答案． 【详解】解：的展开式中，第一个式子的次数为300，第二个式子的次数为：， 根据题意得：含的项，是各项系数的杨辉三角形的第二个数字， 结合杨辉三角的规律，得含项是， ∴的展开式中含项的系数是600． 故答案为：600． 【变式9-2】（综合与实践） 杨辉三角是将数字按规律排成的三角形数表，由南宋数学家杨辉记载于《详解九章算法》．其每行两端数字为1，中间数等于上方两数之和，还与二项式展开系数对应，蕴含诸多数学规律与性质． (1)写出杨辉三角第6行的数字：_________． (2)杨辉三角第n行数字之和是：_________，并求出第10行数字之和=_______． (3)求展开式中的系数； (4)若把杨辉三角从第1行开始，每一行的数字依次排列成一个多位数，如第1行为1，第2行为11，第3行为121，第4行为1331，以此类推．求第8个这样的多位数除以11的余数． 【答案】(1)1，5，10，10，5，1 (2) (3)35 (4)2 【分析】本题考查了数字类规律的探索，多项式乘多项式的应用，找到规律是解题的关键． （1）根据规律：两端的两个数为1，中间数等于其上方两数和，由此即可求解； （2）分别求出前面5行中各行数字的和，找到规律即可求解； （3）根据（1）中第6行的数字，可写出第7、8行的数字，从而可得展开式中的系数； （4）把第8个数用10的幂表示出来；在中，取，则当n为偶数时，展开式中最后一项为；当n为奇数时，展开式中最后一项为1；因此每一项除了最后一项外，其展开式中都含有因数11；把所有展开式中最后一项相加，和便是余数． 【详解】（1）解：根据规律得：1，5，10，10，5，1 故答案为：1，5，10，10，5，1； （2）解：第1行数字和为1，第2行数字和为，第3行数字和为， 第4行数字和为，第5行数字和为，……， 一般地，第n行数字和为； 则第10行数字和为：； 故答案为：； （3）解：由（1）得第7行的数字分别为：1，6，15，20，15，6，1； 第8行的数字为：1，7，21，35，35，21，7，1； 则，其展开式中的系数为35； （4）解：由（3）知，第8个数为172135352171，用10的幂表示为； 在中，取，则当n为偶数时，展开式中最后一项为；当n为奇数时，展开式中最后一项为1；因此每一项除了最后一项外，其展开式中都含有因数11； 故当172135352171被11除时，用幂表示的每项中最后一项分别为，其和为2，故余数为2． 题型十 整除问题 【例10】阅读下列材料： 因为，所以这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为． 回答下列问题： (1)根据上面的材料，猜想：多项式的值为，多项式的因式、多项式能被整除，这三者之间存在着一种什么样的联系？ (2)探求规律：一般地，如果关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式之间有何种关系？ (3)应用： ①已知能整除，求的值； ②已知能整除二次三项式，的二次项系数为，并且当时，多项式的值等于，求二次三项式． 【答案】(1)此多项式能被整除；若，则此多项式的值为； (2)能被整除； (3)①；②． 【分析】（1）根据题意可知若，所以能被整除，且当时，多项式的值为，从而求解； （2）由（1）得出的关系，可得到多项式能被整除，至此可求； （3）可根据第（1）问得到的规律列出关于的方程，从而确定的值； 因为能整除二次三项式，说明多项式有一个因式为，因为当时，，说明多项式有一个因式为，据此得到． 此题考查了整式的除法，是一道推理题，要掌握好整式的除法法则是解题的关键． 【详解】（1）由多项式有因式， 所以此多项式能被整除； 若，则此多项式的值为； （2）由（1）可知，满足三个条件中的一个，那么它必定具备另外两个条件， 即当时，多项式的值为，能被整除； （3）因为能整除， 所以当时，， 即当时，， 解得； 因为能整除二次三项式， 所以多项式有一个因式为． 又因为当时，多项式的值等于， 所以多项式有一个因式为， 所以． 【变式10-1】规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“好运式”． 例如：；． (1)验证：是“好运式”； (2)推理：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“好运式”． (3)类比发现：任意两个连续偶数的平方差都能被________整除． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，利用平方差公式解答即可． （1）根据题中例题求解即可； （2）设任意两个连续奇数为和（是整数），利用平方差公式求解即可； （3）设任意两个连续偶数为和（是整数），然后列式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵． ∴能被8整除， ∴是“好运式”； （2）解：设任意两个连续奇数为和（是整数）， 是整数， 是8的倍数． 任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“好运式”． （3）解：设任意两个连续偶数为和（是整数）， 是整数， 是4的倍数． ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除， 故答案为：4． 【变式10-2】观察：；．嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的___________倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）请利用整数说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为”． 【答案】（1）15；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了完全平方公式，列代数式，平方差等，弄清题意是解决本题的关键． （1）直接计算即可； （2）求出比大3的数与的平方差，然后提取公因式，求出比一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除； （3）先求出比任意一个整数大3的数与此整数的平方差，然后求出结果是，即可得出比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3． 【详解】解：（1） ， ， ， 所以的结果是3的15倍； 故答案为：15； （2） ， 因为能被3整除， 所以比大3的数与的平方差能被3整除； （3） ， ． 所以比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为3． 题型十一 规律问题 【例11】阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式： 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为_____①______，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是______②_____． (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：_______①_______：________②__________ (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出：652=___________； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律：___________ (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，．．．的计算结果，请用代数式表示你发现的规律：___________ 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式和完全平方公式的应用，准确计算是解题的关键． （1）根据完全平方公式展开即可得解； （2）根据第一问的过程，，计算即可得解；观察所给式子，得出规律即可； （3）根据观察每一组中得两个数，第一个数末尾是，第二个数末尾是，设十位上的数字为，根据已知数字课表时为，展开即可得解； 【详解】（1），末尾的两个数是． 故答案是：；． （2）由（1）可得：； 故答案是：． ； 故答案是：． （3）根据观察可得： ， ， ， 当十位上的数字为时， ； 故答案是：． 【变式11-1】某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)探索以上算式规律，请计算________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类规律探究，理解规律的运算方法是解答本题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据所给算式总结规律即可； （3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：； （3）解：规律为：， 证明： ， ， ∴． 【变式11-2】【观察思考】 观察下列各式． …… 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得： ①______； ②______（其中n为正整数）； 【规律应用】 （2）根据以上规律分解因式：_______； （3）计算：． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘法的规律问题． （1）①观察所给式子的特点，仿照写出即可求解； ②观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，即可求解； （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 【详解】（1）解：① ②； 故答案为：；； （2）解：； 故答案为：． （3）解：由可得： 原式 ． 题型十二 新定义问题 【例12】【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 【变式12-1】阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了乘方运算的逆运算及同底数幂的乘除法运算，对数与指数之间的关系以及相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系以及相互转化关系． （1）直接根据定义计算即可； （2）设，，根据对数的定义可表示为，，计算，参照所给资料的证明过程进行证明即可； （3）根据公式及（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：5； ②， 故答案为：0； （2）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴（，，，）． （3）解： ． 【变式12-2】定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 题型十三 平方差与完全平方公式的几何应用 【例13】数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． (1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； (2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)如图③，已知C为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，验证见解析 (2)需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张 (3)阴影部分的面积为 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式和多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）图的正方形的边长为，是由1张纸片A，1张纸片B，2张纸片C拼成的，根据面积相等即可求解； （2）计算，即可求解； （3）设，则，，由（1）的结论可求出的值，进而求出三角形的面积． 【详解】（1）解：图②整体上是边长为的正方形，因此面积为，图②中四个部分的面积和为， 所以有， 验证，． （2）解：，而纸片A的面积为，纸片B的面积为，纸片C的面积为， 需要A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张． （3）解：设，则， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积为． 【变式13-1】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将原式变形为，再由平方差公式计算即可； （3）将原式变形为，再连续使用平方差公式计算． 【详解】（1）解：图1中，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形， 则剩余部分面积为：； 将剩余部分拼成一个长方形，则长为，宽为， 所以面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： 【变式13-2】【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 基础巩固通关测 1．计算：（   ） A． B．1 C． D．π 【答案】B 【分析】本题考查了零指数幂． 根据零指数幂的性质，任何非零数的零次幂都等于1． 【详解】解：∵（），且， ∴． 故选：B． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项、单项式的乘法运算，关键是熟练掌握运算法则； 根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A：，符合单项式乘法法则，计算正确； ∵ 选项B：，计算错误； ∵ 选项C：与不是同类项，不能合并，计算错误； ∵ 选项D：，计算错误； ∴ 正确答案是：A， 故选：A． 3．云南省的省花为山茶花，其花朵大而艳丽，常见红色、粉色等，花瓣呈碗状或碟状，云南山茶栽培历史超千年，衍生品种逾160个，享有“云南茶花甲天下”的美誉，已知某种山茶花的花粉直径约为0.0000325米，则数据0.0000325用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：数据0.0000325用科学记数法表示为． 故选：B． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，通过多项式乘法展开，然后合并同类项得到结果． 【详解】解： 故选：A． 5．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用数形结合分析问题是解题的关键． 根据完全平方公式及图形的特点找到长度与面积的关系即可依次判断． 【详解】解：由图可知大正方形图案边长为，面积为， 、阴影部分小正方形的边长为，则面积为，故A正确，不符合题意； 、，故B正确，不符合题意； 、由，， 得：，故C错误，符合题意； D、得：，则，故D正确，不符合题意； 故选：C． 6．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂的运算，利用负指数幂的定义直接计算，即可解题． 【详解】解：根据负整数指数幂的运算法则，（其中 ）， 所以． 故答案为：． 7．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，准确的计算是解决本题的关键． 根据幂的乘方求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 8．     ． 【答案】 / 4 【分析】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，单项式乘以单项式，第一空运用单项式乘法法则计算；第二空运用积的乘方运算的逆运算进行计算． 【详解】解：， ． 故答案为 ， 4． 9．图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片共 张． 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴要拼出一个长为，宽为 的大长方形需要这3种卡片共张， 故答案为：． 10．已知，，则 ．（用含x，y的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法进行变形，进而解决问题．利用指数运算性质，将分解为，再分别用和表示各部分． 【详解】由已知 ，得 ； 由 ，且 ，得 ， 所以 ； 因此 ． 故答案为：． 11．计算：； 【答案】2 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． 先将算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值化简，最后进行加减计算即可求解． 【详解】解： ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式及多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据单项式乘以多项式计算即可； （2）根据多项式除以单项式计算即可． 【详解】（1）解： （2）． 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 14．计算 (1)； (2)： (3)先化简，再求值：，其中， 【答案】(1) (2) (3)11 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值， 对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，再根据整式的加减法计算； 对于（2），根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可； 对于（3），先根据整式的混合运算法则计算，再将数值代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当，时， 原式． 15．探究：把四块如图1所示的小正方形，按图2所示的方式摆放在一个大正方形的四角，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的长方形．根据图2中图形的面积可以说明的公式为_____； 应用：如图3，已知C是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若,，求阴影部分的面积； 拓展：已知，，求的最小值． 【答案】探究：；应用：；拓展： 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用； 探究：图1所示的小正方形的边长为，个图1所示的小正方形的面积为，空白部分的面积为，大正方形的面积为，即可求解； 应用：设，，则有，由已知的面积得，结合探究中的公式即可求解； 拓展：，即可求解． 【详解】解：探究： 图1所示的小正方形的边长：， 个图1所示的小正方形的面积：， 空白部分的面积：， 大正方形的面积：， ， 故答案为． 应用： 设，， ， ， ， ， 、为等腰直角三角形， ， ， ， ， 解得， 阴影部分的面积：； 拓展： ， 的最小值为． 能力提升进阶练 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，掌握合并同类项、单项式乘多项式、同底数幂的乘法、积的乘方等运算法则是解题关键． 根据各类整式运算的法则依次判断各选项即可． 【详解】解：选项：是合并同类项，系数相加，字母及指数不变，结果应为，故错误，不符合题意； 选项：是单项式乘多项式，用分别乘和，结果应为，故正确，符合题意； 选项：是同底数幂乘法，底数不变，指数相加，结果应为，故错误，不符合题意； 选项：是积的乘方，每个因式分别乘方，结果应为，故错误，不符合题意． 故选：． 2．已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，观察已知，等式左右两边同除以，并移项可转化为，再对等式两边平方化简即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴两边除以得，即， ∴． 故选：B． 3．若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义得到，进而计算即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 整理得， 即 解得：或． 故选：C． 4．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 6．已知，，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是幂的运算性质，灵活运用积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．根据积的乘方公式，以及幂的乘方公式，将变形为，再代入已知条件计算． 【详解】由和，得． 故答案为：． 7．已知：，，则的值为 ． 【答案】288 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． 逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：288． 8．已知，则 ． 【答案】2026 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由，得． 则． 所以． 故答案为：2026 9．已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 10．阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算（包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、幂的乘方、同底数幂的乘除），熟练掌握整式乘除的运算法则是解题的关键． （1）是单项式乘单项式，将系数与同底数幂分别相乘； （2）是单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项再相加； （3）先算乘方，再依次进行乘除运算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． 12．，，求下列各式的值： (1)和； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解； （2）先化简原式，再将（1）所求的和的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 由得：， ∴， 将代入①得：． （2）解：原式， 将，代入原式得，． 13．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)．其中，． 【答案】(1)；4 (2)；4 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式进行化简，再将，代入化简后的式子，计算求解即可； （2）根据完全平方公式和除法分配律进行化简，再将所给值代入化简后的式子，计算求解即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 14．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： (1)①若，，则______， ②若，求的值； (2)如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和． 【答案】(1) ① ② (2)阴影部分的面积和为 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征并运用整体思想和数形结合思想是解题关键． （1）①根据，代入求值即可； ②类比①可得，，代入求值即可； （2）设正方形边长为m，正方形的边长为n，由题意可知，，．两个正方形的面积之和为，空白面积为，求出值后相减即可． 【详解】（1）解：①； ② 类比①可得， ； （2）解：设正方形边长为m，正方形的边长为n， 由题意可知，，，即， 两个正方形的面积之和为， 空白面积为， ∴阴影部分的面积和为． 15．阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 【答案】(1)64， (2)①，②1 【分析】本题考查了数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）由已知式子列出的展开式，再计算出各项系数和即可；根据规律发现可知，（n取正整数）的展开式的各项系数之和为； （2）①根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题即可； ②利用的展开式，将式子转化为，计算得1． 【详解】（1）解：， ∴各项系数和为：， ∵的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， ……， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和为， 故答案为：64，． （2）解：① ； ②观察式子， 将原式与进行比较，可发现当，时，两者形式完全相同， ∴原式． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 整式的乘除 （复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，并会直接运用这些法则进行简单的幂的运算（如：，，，其中(a,b)为具体数字或单个字母，指数为正整数）。 2. 能复述单项式乘以单项式的法则，并会运用法则计算两个简单单项式的乘积（如：）。 3. 能复述单项式乘以多项式的法则（分配律），并会运用法则计算简单单项式与多项式的乘积（如：）。 4. 能复述多项式乘以多项式的法则，并会运用法则计算简单的两个一次二项式的乘积（如：((x + 2)(x - 3))）。 5. 能复述平方差公式和完全平方公式的形式，并会直接运用公式进行简单计算（如：((a + b)(a - b))，，，其中(a,b)为单个字母或具体数字）。 6. 能复述同底数幂的除法法则，并会直接运用法则进行简单的幂的除法运算（，其中(a)为非零具体数字或单个字母，指数为正整数且(m > n)）。 7. 能复述单项式除以单项式的法则，并会运用法则计算简单的单项式除法（如：）。 8. 能复述多项式除以单项式的法则，并会运用法则计算简单的多项式除以单项式（如：）。 二、进阶目标 1. 会推导同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，并能理解法则中指数运算的意义。 2. 能理解并应用幂的运算法则解决含有负号、括号的混合运算问题（如：，，）。 3. 能理解并应用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则解决含有多个字母或项数较多的运算问题，并能准确合并同类项（如：，((2x + y)(x - 2y))）。 4. 会推导平方差公式和完全平方公式，并理解公式的几何背景（如利用图形面积解释公式）。 5. 能理解并应用平方差公式和完全平方公式进行稍复杂的计算，包括公式的顺用、逆用及变形（如：((a + b - c)(a - b + c))，，已知，，求的值）。 6. 能理解并应用同底数幂的除法法则解决底数为多项式或含有负指数幂的简单问题（如：，知道，(a^{-p} = \frac{1}{a^p}为正整数)并进行简单计算）。 7. 能理解并应用整式乘除法则解决混合运算问题，掌握正确的运算顺序（如：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），并能进行较复杂的整式混合运算（如：((x + 1)(x - 1) - x(x - 2))，）。 8. 能理解并应用整式乘除及乘法公式解决简单的实际问题，如根据图形面积、体积关系列出代数式并化简，或解决与数字表示相关的问题。 三、拓展目标 1. 能理解并应用幂的运算法则探究指数为字母（指数为正整数）时的运算规律，并能解决相关问题（如比较与的大小）。 2. 能理解并应用乘法公式进行较复杂的恒等变形和化简求值，包括三个数的和的平方、立方和（差）公式的初步接触与应用（如：的展开，利用进行简单计算）。 3. 能理解并应用整式的乘除解决含有字母系数的整式除法问题，并能根据除法结果判断多项式是否为另一个多项式的因式（如：已知能被((x + 1))整除，求(a)与(b)的关系）。 4. 能理解并应用整式运算解决与代数推理相关的问题，如证明代数等式的正确性，或根据给定条件推导出特定的代数表达式。 5. 能理解并应用整体思想、换元思想等数学思想方法简化整式运算（如：把((x + y))看作一个整体进行幂的运算或乘法公式运算）。 6. 能理解并应用整式乘除知识解决一些综合性问题，如结合方程思想求字母的值，或解决与函数表达式相关的简单整式化简问题，为后续学习函数等知识打下基础。 内容分类 具体内容 完整分析 常见结论 同底数幂相乘：（(m)、(n)都是正整数） 该结论表明，当两个幂的底数相同时，相乘时底数不变，指数相加。例如，这是整式乘法中最基本的运算规则之一，是后续学习其他幂运算的基础。 同底数幂相除：（，(m)、(n)都是正整数，且(m>n)） 此结论要求底数不能为(0)，因为(0)做除数无意义。当底数相同且(m>n)时，相除后底数不变，指数相减。比如，它与同底数幂的乘法互为逆运算。 幂的乘方：（(m)、(n)都是正整数） 幂的乘方是指将一个幂整体进行乘方运算，运算方法是底数不变，指数相乘。例如，这个结论在进行复杂的幂运算化简时经常用到。 积的乘方：（(n)是正整数） 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。例如，该结论可推广到多个因式的积的乘方，如。 零指数幂：（） 任何非零数的(0)次幂都等于(1)。这里要特别注意底数不能为(0)，因为是没有意义的。例如，。 负整数指数幂：（，(p)是正整数） 负整数指数幂表示正整数指数幂的倒数，底数同样不能为(0)。例如，。 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 在进行单项式乘法时，先处理系数，将系数相乘作为积的系数；再处理同底数幂，按照同底数幂相乘的法则进行运算；最后对于不同底数的字母，直接保留在积中。例如。 单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即。这是乘法分配律在整式乘法中的应用，例如。 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 例如。在计算时要注意不要漏乘项，并且要注意各项的符号。如。 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。该公式是多项式乘法的特殊情况，应用它可以简化某些乘法运算。例如。 完全平方公式：， 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的(2)倍。这两个公式在代数运算和变形中非常重要，例如，。 易错点 同底数幂相乘，指数相加与幂的乘方指数相乘混淆 例如容易将错误地计算为（正确结果应为），或者将错误地计算为（正确结果应为）。这是因为对两个运算法则的本质理解不清，需要通过对比练习加强区分。 忽略零指数幂和负整数指数幂中底数不为(0)的条件 在计算时，会错误地认为其等于(1)，实际上无意义；或者在计算时，忽略底数是可以进行运算的，而错误地认为负数不能有负指数幂，正确结果应为。 积的乘方运算时，漏乘某些因式的乘方 例如计算时，容易错误地得到（漏乘系数(2)的立方），正确结果应该是；或者计算时，错误地得到（符号处理错误），正确结果为。 单项式乘以多项式时，漏乘多项式中的常数项或符号错误 比如计算时，容易漏乘(-1)这一项，得到，正确结果应为；或者计算(-3x(2x - 5))时，错误地得到（符号错误），正确结果是。 多项式乘以多项式时，漏乘项或合并同类项错误 例如计算((x + 1)(x + 2))时，容易只计算和，漏乘和，得到，正确结果应为；或者计算((2x + y)(x - 3y))后，合并同类项时出现错误，如将(-6xy + xy)错误地合并为（应为(-5xy)）。 平方差公式和完全平方公式混淆使用 例如将错误地用平方差公式计算为（正确应为）；或者将((a - b)(a + b))用完全平方公式计算为（正确应为）。另外，在使用完全平方公式时，容易漏掉中间项，如错误地计算为（漏写(-12x)）。 运用运算法则时，系数和指数的运算混淆 比如计算时，错误地将系数相乘，指数也相乘得到（正确应为系数相乘，指数相加，结果为）；或者计算时，错误地将系数相除，指数相除得到（正确应为系数相除，指数相减，结果为）。 括号前面是负号时，去括号或添括号忘记变号 例如计算时，错误地得到（正确应为）；或者在多项式相减时，如，错误地计算为（应为）。 题型一 同底数幂的乘（除）法运算 【例1】已知，则的值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【变式1-1】若，，则 ． 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)． 题型二 幂的乘方与积的乘方 【例2】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】计算：= ． 【变式2-2】已知，求x的值． 题型三 零、负次幂与科学记数法 【例3】2022年，人类又再一次向摩尔定律的极限发起挑战．这一次，中国人扮演了探索者的角色．为进一步突破1纳米以下栅长晶体管的瓶颈，清华大学团队巧妙利用石墨烯薄膜作为栅极，通过石墨烯侧向电场来控制垂直的二硫化钼沟道的开关，从而实现等效的物理栅长为纳米（1纳米米）．请用单位米表示纳米（用科学记数法表示）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3-1】计算： ． 【变式3-2】计算：． 题型四 单项式乘单（多）项式 【例4】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如果一个长方形的长是，宽是，则这个长方形的面积为 ． 【变式4-2】化简： (1) (2) (3) 题型五 平方差公式与完全平方公式 【例5】小明用边长为a和b的两个正方形，通过“等面积法”构造了如图所示的一种变化，这种从左到右的变化可以用来验证的公式是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】 ． 【变式5-2】计算： (1)； (2)． 题型六 单（多）项式除以单项式 【例6】计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】 【变式6-2】先化简，再求值：，其中，． 题型七 比较大小 【例7】若，比较a、b、c的大小（　　） A．abc B．bac C．cab D．cba 【变式7-1】比较大小： ． 【变式7-2】阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 (1)比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； (2)已知，，比较a、b的大小； (3)比较与的大小． 题型八 不含某项、与某项无关 【例8】计算的结果不含项，那么m的值为（　　） A． B． C．4 D．12 【变式8-1】已知，，，且的值与的取值无关，则的值为 ． 【变式8-2】已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 题型九 杨辉三角 【例9】在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数． 根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第三项的系数为（   ） A．55 B．45 C．36 D．11 【变式9-1】南宋杰出的数学家杨辉，在他所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称杨辉三角．观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关： ； ； ； ； ； ； …… 写出的展开式中含项的系数是 ． 【变式9-2】（综合与实践） 杨辉三角是将数字按规律排成的三角形数表，由南宋数学家杨辉记载于《详解九章算法》．其每行两端数字为1，中间数等于上方两数之和，还与二项式展开系数对应，蕴含诸多数学规律与性质． (1)写出杨辉三角第6行的数字：_________． (2)杨辉三角第n行数字之和是：_________，并求出第10行数字之和=_______． (3)求展开式中的系数； (4)若把杨辉三角从第1行开始，每一行的数字依次排列成一个多位数，如第1行为1，第2行为11，第3行为121，第4行为1331，以此类推．求第8个这样的多位数除以11的余数． 题型十 整除问题 【例10】阅读下列材料： 因为，所以这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为． 回答下列问题： (1)根据上面的材料，猜想：多项式的值为，多项式的因式、多项式能被整除，这三者之间存在着一种什么样的联系？ (2)探求规律：一般地，如果关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式之间有何种关系？ (3)应用： ①已知能整除，求的值； ②已知能整除二次三项式，的二次项系数为，并且当时，多项式的值等于，求二次三项式． 【变式10-1】规定：若两个数的平方差能被8整除，则称这个算式是“好运式”． 例如：；． (1)验证：是“好运式”； (2)推理：任意两个连续奇数的平方差都能被8整除，这些算式都是“好运式”． (3)类比发现：任意两个连续偶数的平方差都能被________整除． 【变式10-2】观察：；．嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． 验证： （1）的结果是3的___________倍； （2）设偶数为，试说明比大3的数与的平方差能被3整除； 延伸： （3）请利用整数说明“比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数为”． 题型十一 规律问题 【例11】阅读与思考 请你仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习了第一章的知识后，老师布置了一道规律探索题，如下： 观察下列各式： 个位数字是5的两位数平方后，末尾的两个数有什么规律？为什么？ 小丽的思考如下： 假设个位数字是5的两位数的十位数字为，则这个两位数可以表示为，这个两位数的平方为_____①______，由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是______②_____． (1)任务一：补全上面小丽的解答过程：_______①_______：________②__________ (2)任务二：小丽继续探究发现，个位数字是5的两位数平方后，除了末尾两个数有规律外，其它数位上的数也有规律，并且与原两位数的十位数字有关． ①请直接写出：652=___________； ②请用代数式表示小丽发现的这一规律：___________ (3)任务三：类比小丽的探索思路，观察：，，，．．．的计算结果，请用代数式表示你发现的规律：___________ 【变式11-1】某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，那么这两个两位数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：；… (1)探索以上算式规律，请计算________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是，个位上的数字都是5，请用等式表示这两个两位数的积的规律________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是，其中一个数的个位上的数字是，请用等式表示这两个两位数的积的规律，并证明这个规律． 【变式11-2】【观察思考】 观察下列各式． …… 【规律发现】 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得： ①______； ②______（其中n为正整数）； 【规律应用】 （2）根据以上规律分解因式：_______； （3）计算：． 题型十二 新定义问题 【例12】【定义理解】对于两个正数，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；__________ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察三个数，，之间的关系．试着归纳：__________ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，，，求图中阴影部分的面积． 【变式12-1】阅读以下材料： 苏格兰数学家纳皮尔（，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： （，，，），理由如下： 设，，则，， ∴，由对数的定义得． 又∵， ∴． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)填空：①________，②________； (2)求证：（，，，）； (3)拓展运用：计算． 【变式12-2】定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 题型十三 平方差与完全平方公式的几何应用 【例13】数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A纸片、1张边长为b的正方形B纸片和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形纸片．观察图形并解答下列问题． (1)由图①和图②可以得到的等式为 （用含a，b的代数式表示），并验证你得到的等式； (2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张； (3)如图③，已知C为线段上的动点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形．若，且两正方形的面积之和，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积． 【变式13-1】从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． (3)应用所得的公式计算：． 【变式13-2】【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 基础巩固通关测 1．计算：（   ） A． B．1 C． D．π 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．云南省的省花为山茶花，其花朵大而艳丽，常见红色、粉色等，花瓣呈碗状或碟状，云南山茶栽培历史超千年，衍生品种逾160个，享有“云南茶花甲天下”的美誉，已知某种山茶花的花粉直径约为0.0000325米，则数据0.0000325用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 4．计算：（    ） A． B． C． D． 5．如图，由4个全等的小长方形与1个小正方形拼成一个大正方形图案．分别用a，b（）表示小长方形的长和宽，已知，阴影部分小正方形的边长为3，则下列关系式中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．计算 ． 7．计算 ． 8．     ． 9．图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片共 张． 10．已知，，则 ．（用含x，y的代数式表示） 11．计算：； 12．计算： (1)； (2)． 13．先化简，再求值：，其中． 14．计算 (1)； (2)： (3)先化简，再求值：，其中， 15．探究：把四块如图1所示的小正方形，按图2所示的方式摆放在一个大正方形的四角，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的长方形．根据图2中图形的面积可以说明的公式为_____； 应用：如图3，已知C是线段上一点，分别以，为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若,，求阴影部分的面积； 拓展：已知，，求的最小值． 能力提升进阶练 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 3．若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 4．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 5．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 6．已知，，求的值为 ． 7．已知：，，则的值为 ． 8．已知，则 ． 9．已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 10．阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 12．，，求下列各式的值： (1)和； (2)． 13．先化简，再求值： (1)，其中，． (2)．其中，． 14．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： (1)①若，，则______， ②若，求的值； (2)如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和． 15．阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $