云南省昆明市第一中学2026届高三第六次月考数学试题

昆明市第一中学2026届高三第6次月考 数学学科 本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3,非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题 卡上的非答题区域均无效 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.校园A虹编程创意赛有17位同学参赛，他们的作品评分互不相同，只有评分在前9名的同学能晋级决 赛.若某同学知道自己的作品评分后，想判断自己能否晋级，则他只需要知道这17位同学评分的 A.众数 B.中位数 C.平均数 D.极差 2.x1+3x)3的展开式中x3的系数为 A.3 B.9 C.18 D.27 3.已知命题p:x∈R,ax2+2ax-3≤0为真命题，则实数a的取值范围是 A.(（-3,+∞) B.(0,3) [o D.[-3,0] 4.已知a,B为两个平面，m,n是两条直线，mca,ncB,则下列命题正确的是 A.若m∥B,则a∥B B.若a∥B,则∥n C.若m⊥B,则a⊥B D.若&⊥B,则m⊥B 5.知双陆线C芳-a>060的右能点为，0为华标原点，以Or为古径的顺与双由线的 其中一条渐近线交于点A(除原点外)，若OA=b,则双曲线C的离心率为 A.5 B.3 C.2 D.3 6.昆明马拉松活动中，将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每 个服务点至少安排1人，则不同的安排方法种类数为 A.12 B.36 C.48 D.72 数学试卷·第1页（共4页） 7.化简tan50°cos20°tan40°-√3) A.-1 B.-3 c.3 D.1 8.已知PALPB,PA>PB,以A,B为焦点的椭圆经过点P,且该椭圆的离心率大于5 则 3 tan∠ABP的取值范围为 A.1,2) B.(2,3) C.(2,+0) D.(3,+0) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知z1,22是两个虚数，则下列结论中正确的是 A.若31=2，则z22均为实数 B.若31+22为实数，则21= C.若，均为纯虚数，则三为实数 D.若为实数，则，2均为纯虚数 10.已知函敛/倒=25s血cos+2usm-1(@>0,若)在区间（受内不存在对称轴，则 ω的值可以为 7 C. D.1 12 11.己知直线1：x-y-2m+4=0(m∈R)及圆C:(x-3)2+(y-5)2=5,则下列选项中正确的是 A.直线1过定点(2,4) B.直线1截圆C所得弦长最小值为2√3 C.存在m,使得直线1与圆C相切 D.存在u,使得圆C关于直线1对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知事件A和B互斥，且P(AUB)=0.9,P(B)=0.4,则P(A)为 B 13.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知bsinC=csim气则角B= 14.已知函数f(x)=ae-lnx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 数学试卷·第2页（共4页） 15.(13分) 北京冬奥会的成功举办，不仅让世界进一步了解新时代的中国，而且极大促进了全国群众参与冰雪运 动，此后每年冬季，全国多地群众都会积极参与冰雪运动.某城市为调查居民对冰雪运动的了解情况， 随机抽取了该市男女市民各60人进行统计，统计结果如下表：（单位：人） 性别 冰雪运动 合计 了解 不了解 男 60 女 p q 60 合计 80 40 120 已知从参与调查的男性市民中随机抽取一名，他了解冰雪运动的概率为？ 4 (1)求表中m,n,P,9的值： (2)根据小概率值=0.05的独立性检验，分析并判断该市居民对冰雪运动的了解是否与性别有关联. n(ad-be)2 附：Xa+bc+0a+9o+0,n=a+b+c+d P(x2≥) 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 16.(15分) 已知数列{a}中，4=1，a+1=a.+21, (1)求a4; (2)若b=a+21-1, 1 b 的前n项和为Sn,证明：Sn<1. 数学试卷·第3页（共4页） 17.(15分) 如图，几何体是由两个共底面ABCD的四棱锥拼接而成，P,D,S共线，且PSL平面ABCD,正方形 ABCD的边长为2，PD=DS=2. (1)求证：PC⊥SB: (2)求平面PAB与平面SBC的夹角的大小， 18.(17分) 已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,过点A(0,)的直线l与E相交于B(:,y),C(x2,y2)两点，且 。>0, (1)若F为线段AC的中点， (i)求直线l的斜率： (i)求AC: (2)若点P(x,2y)在抛物线E上，满足BP⊥BC,求y,取值范围. 19.(17分) 己知函数f(x)=x-1-lnx (1)证明：nx≤x-1: (2)证明：】 }n(a+0aeN: (3)若f(x)≥x-xe(∈R)恒成立，求实数m的取值范围. 数学试卷·第4页（共4页）昆明市第一中学2026届高三年级第六次联考 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D A B A 1.解析：因为17位同学的评分，中位数是第9名，所以知道中位数即可判断是否在前9，选B. 2.解析：x3的系数为C.32=27,选D. 3.解析：因为命题p:x∈R,ax2+2-3≤0为真命题，所以不等式m2+2r-3≤0的解集为R, 若a=0,则不等式可化为-3≤0，成立；若a≠0，则根据一元二次不等式解集的形式可知： a<0 4=4+12as0'解得-3≤a<0,综上所述，选D 4.解析：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，选C. 5.解折：因为0=c,且为直径，所以∠0AF-5结合渐近线斜率，则O4=b=a,M=b,所以e=5, 选A 6.解析：将4名志愿者分配到3个不同的服务点参加志愿工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少 安排1人，则不同的安排方法种类数为CA=36,选B. 7.解析：tan50°cos20°(tan40-√5)=sin50 0s20 sin40°-√3cos40° c0s20°.2sim(40°-60) c0s50° c0s40° C0S50° --2cos20sim20-s血40=-1，选A cos 50 c0s50° 8.解析：设pA=m,Ps=n,因为PA⊥PB,所以AB=m2+r,令tam∠ABP=A==>D, PB n 该椭圆离心率为e=C-2c=AB √m2+n2 +1P+1,5 n a 2a PA+PB n+n +1 t+1>3,解得t<1或t>2,结今 n t>1,所以t>2,则tan∠ABP的取值范围为(2，+o),选C. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AC ABC ABD 9.解析：设z1=a+bi,2=c+di(a,b,c,deR,b≠0，d≠0). 若z=z2,则a=C,b+d=0,所以2=a2+b2∈R,A正确： 若二+z2为实数，则b+d=0,但a与c不一定相等，B错误： 若5，，均为纯虚数，则a=c=0,所以三=eR,C正确： 32d 取2=2+2i,,=1+i,则三为实数，但2，，不是纯虚数，D错误，选AC Z 10.解析：f)=2√3 sin an co0sm+2cos2am-1=59im2am+cos2m=2sin(2m+), 6 由2m+亚=m+汇，k∈Z,得f)的对称轴为x=- 3，(k∈Z), 6 2 20 阢+ 3s亚且 由题意知，20 k+)π+π 3≥元，即k+≤0s3+4,(依eD,又因为0>0，所以k=0或k=-1 20 6 符合影意，从而o∈0，U}.引 (63'3 选ABC 11.解析：对于A,直线1：x-y-2m+4=0(m∈R),可得，(x-2)-(y-4)=0,可得直线经过定点(2,4)， A正确：对于B,圆C:(x-3)2+(y-5)2=5,圆的圆心(3,5)，半径为√5，圆的圆心到定点(2,4)的距离为 V3-2)2+(5-4)2=√2，所以直线1截圆C所得弦长最小值为2√(5)2-(2)2=2√5，B正确：对于C, 因为圆的圆心到定点(2,4)的距离为√2<√5（半径），所以直线与圆的位置关系是相交，不存在m,使得 直线l与圆C相切，C错误；对于D,当直线：x-y-2m+4=0(m∈R)经过圆的圆心时，存在m,使得 圆C关于直线l对称，D正确，选ABD. 三、填空题 12.解析：由P(B)=0.4得P(B)=1-P(B)=1-0.4=0.6,又P(AUB)=P(A)+P(B)=0.9,所以 P(A)=P(AUB)-P(B)=0.9-0.6=0.3 13.解析：由bsinC=csim号得sin Bsin C=sin Csin ,因为sinC≠0，所以sinB=sinB,即 、) 2 2an号号=m号因为动号40.则因为co经于所以智子从面B=号 2 2 2 23 3 14.解析：依题可知，f(x)=a心-≥0在，2)上恒成立，显然a>0,所以c≥ 设8(x)=xe,x∈(1,2)，所以g'(x)=(x+1)e>0,所以8(x)在(1,2)上单调递增， g(x)>g(=e,故e≥1，即a≥1=e,即a的最小值为e 2 四、解答题 15.解：1)依题意，m=60×3=45,所以nm=15,p=35,g=25. …4分 4 (2)零假设H。：该市市民对冰雪运动的了解与性别无关联. x=120x45X25-35×1y-15-3.75<3.841. 60×60×80×404 因此根据小概率值=0.05的独立性检验，不能判断该市居民对冰雪运动的了解与性别有关联. …13分 16.解：(1)由题意，4-a-1=2(-1),a-1-a-2=2(0n-2),…,4-4=2, 累加得，a,-a=21+2+…+n-1)=1-1),则a,=n2-n+1,经检验n=1时也成立. …7分 (2)由题意6，=a,+2m-1=㎡+n,1=1-1-1 b n(n+1)nn+1 ++=1-+++是1=1-1 S=6+6++b223nn+17 因为aeN,0,所以8<1. …15分 n+1 17.解：(1)证明：因为PS⊥平面ABCD,所以BC⊥PD, 又因为BC⊥CD,PD∩CD=D,所以BC⊥平面PDC,所以BC⊥PC; 又因为正方形ABCD边长为2，且PD=DS=2,所以PC=CS=2W2,且PS=4, 所以PC2+CS2=PS2,所以PC⊥CS,又因为BC∩SC=C,所以PC⊥平面SCB, 所以PC⊥SB. …7分 (2)以D为原点，DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。 P(0,0,2),C(0,2,0),A(2,0,0),B(2,20), 由(1)可知，P℃=(0,2，-2)为平面SCB的法向量， 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z) D n-AB=0、「2y=0 2-AP=0-2x+2z=0' Di 取x=1有y=0,z=1, 于是平面PAB的法向量为n=1,0,1), PC.n -21 cos<PC,n> PC×M2W2x5=-2 所以平面PAB与平面SBC的夹角的大小为60， …15分 3 18.解：(1)(i1)由题意知，焦点刀4,0)，因为F为线段4C的中点，所以1=0+5，即5，=2， 2 所以，=-2万，即c2,-2V,所以直线1的斜率为k-0+25.-2N5 …4分 1-2 (i)AC=2FC=2V1+(2W2)2=6. …7分 (2)由题意知，直线BC的斜率为k。=么当=上出=4，同理直线BP的斜率为kp三= 4 -竖马，+男 y1+2y 44 因为BPLBC,所以k=-1,所以2X=-16-片-业， +y2 又因为直线BC的方程为y-y=4c-X）,所以点A0,w)在直线BC上， y,+y2 所以%-y=4（)=,一片，所以2%，=24，所以2业=16业， 乃+y2 yi+y2 y+y 为+y2y+2 背因为天>0，拟为识骨358当议当音 所以y2=一3y3 3y3 3y3 即y=4满足，所以y,取值范围为 8 -00,- 3 …17分 19.证明：（1)因为函数f(x)=x-1-nx(x>0), 所以f(x)=1-1，f"(x)s00<x≤1，f()≥0台x21, 1 所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1，+∞)单调递增， 所以f(x)≥f(1)=0,所以f(x)=x-1-lnx≥0恒成立，所以血x≤x-1. …5分 (2)由(1)知f(x)=x-1-lnx≥0(aeR)恒成立，所以x-1≥nx,当且仅当x=1时等号成立， 所以x≥n(x+1),当且仅当x=0时等号成立，所以}>lm1+(其中i=12,3n,neN,). I>Zhi-h =ln(n+1), i 所以nGr-Da=N) …11分 (3)f(x)≥x-xe*(∈R)恒成立， 即x-nx+xe-1≥x在x∈(0，+o)恒成立， 即m≤+e-血x-1-1+e-血_1在(0，+m）恒成立，令h()=1+e-血x-号(>0， 4 所以a)ghe· x2 令()>0，即c+>0,整理得：c+x>0 令9()=e+lnx(x>0),所以p(x)=(+2x)e+>0在(0，+m）恒成立 所以p(x)在(0，+∞)上单调递增，因为p1)=e+0=e>0, 日得c-w 所以e习 使得p(x)=0,即x2e+lnx。=0 当xe(0,xo)时，p(x)<0,当x∈(xo,+n)时，p(x)>0, 所以当x∈(0，x)时，H(x)<0,当x∈(x,+0)时，(x)>0, 所以h(x)在x∈(0，x)上单调递减，在x∈(x。,+o)上单调递增， 所以h()h)=1+e-血-，因为xc+n,=0,所以飞，c心=血 ,1h .e% 令函数y=xe,因为y=xe在(0，+o)上单调递增， 所以x=n上，即e心=1 所以h()M)=1+e-血。-1-1+nx=2 x。x。lnx。 所以≤2，所以实数m的取值范围是(-∞，2]。 …17分