第3章 数据分析初步（复习讲义）数学新教材浙教版八年级下册

第3章 数据分析初步（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述数据收集的常用方法，包括全面调查（普查）和抽样调查，并能举例说明各自的适用场景。 2. 能复述总体、个体、样本、样本容量的概念，并能在具体问题中准确识别。 3. 会读取简单的统计图表（如条形统计图、折线统计图、扇形统计图）所包含的信息，并能根据图表数据回答简单问题。 4. 能复述平均数的定义，会利用平均数公式（包括加权平均数公式）计算一组已知数据的算术平均数和加权平均数。 5. 能复述中位数、众数的定义，会确定一组已知数据（数据个数为奇数或偶数）的中位数，会找出一组数据中的众数（包括一组数据中没有众数或有多个众数的情况）。 6. 能复述方差的定义，会利用方差公式计算一组简单已知数据的方差，并能根据方差值的大小判断数据的波动情况（方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小）。 二、进阶目标 1. 理解并应用平均数、中位数、众数的区别与联系，能根据具体问题的需要选择合适的统计量（平均数、中位数或众数）来代表一组数据的集中趋势，并能解释选择的理由。 2. 理解并应用方差的统计意义，能根据两组数据的方差比较它们的稳定性，判断哪组数据的波动更小。 3. 会推导加权平均数中“权”的不同表现形式（如百分比、频数、比例等）之间的转换，并能灵活运用加权平均数解决实际问题中的平均水平计算，如计算平均成绩、平均价格等。 4. 会根据实际问题的需求，设计简单的调查问卷收集数据，并能对收集到的数据进行整理，绘制适当的统计图表（如条形图、扇形图）来清晰展示数据特征。 5. 能结合具体实例，解释平均数、中位数、众数、方差在不同情境下的实际含义，例如解释考试成绩的中位数代表的意义，或解释产品尺寸方差大小对产品质量稳定性的影响。 三、拓展目标 1. 理解并应用样本估计总体的思想，能通过对样本数据的分析（计算样本的平均数、方差等）来估计总体的相应特征，并能解释估计的合理性与局限性。 2. 会推导并应用方差的简化计算公式（如根据原数据方差计算新数据组（如原数据加减一个常数、原数据乘以一个常数）的方差），能快速比较或计算相关数据组的方差。 3. 能综合运用平均数、中位数、众数、方差等统计量分析实际问题，例如根据若干组数据的统计量对比分析不同群体的某项指标（如不同班级的学习成绩、不同品牌产品的性能参数等），并能撰写简要的分析报告，提出合理的建议或结论。 4. 能识别实际问题中数据呈现的误导性，例如统计图坐标轴刻度设置不当、选择不恰当的统计量代表数据集中趋势等，并能指出其问题所在。 5. 会根据阶段考、中高考常见题型（如结合图表的数据分析题、利用统计量进行决策的应用题）的特点，运用数据分析方法解决综合性问题，能清晰表述分析过程和结果。 类别 具体内容 完整分析 常见结论 算术平均数：对于n个数，算术平均数，它反映了数据的集中趋势，是数据平均水平的代表。 算术平均数是最基本、最常用的平均指标。它的计算简单直观，通过将所有数据相加再除以数据个数得到。其核心意义在于它能综合反映一组数据的总体水平，例如班级学生的平均成绩、一组零件的平均长度等。但它易受极端值（极大或极小值）的影响，当数据中存在极端值时，算术平均数可能不能很好地代表数据的“一般水平”。 加权平均数：若n个数的权分别是，则加权平均数，权反映了对应数据的重要程度。 加权平均数是算术平均数的推广和深化。当不同数据在总体中所占的“比重”不同时，就需要考虑权。这里的“权”可以是数据出现的次数、百分比、重要性系数等。例如，在计算学科总评成绩时，平时成绩、期中成绩、期末成绩可能赋予不同的权重。加权平均数能更客观地反映数据的实际影响，使得重要的数据对结果的贡献更大。 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的算术平均数就是这组数据的中位数。中位数不受极端值影响，也是反映数据集中趋势的量。 中位数的确定依赖于数据的排序。它的优点是不像算术平均数那样容易受极端值的干扰，因此在数据分布偏斜程度较大时，中位数比算术平均数更能代表数据的集中趋势。例如，在描述一个国家或地区居民收入水平时，由于少数高收入者会拉高算术平均数，中位数往往更能反映普通民众的收入状况。 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。众数可能不止一个，也可能没有（当所有数据出现次数都相同时），它反映了数据中出现最频繁的数值。 众数关注的是数据的“流行”程度或“多数水平”。在某些场景下，众数非常有用，例如服装销售商关注哪种尺码的衣服销量最大（众数），以便决定进货量。众数的缺点是它只考虑了出现次数最多的数据，忽略了其他数据的信息，且可能不唯一。 方差：设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 方差是衡量数据离散程度（波动大小）的重要指标。它通过计算每个数据与平均数的离差平方的平均数来实现。方差越大，表示数据偏离平均数的程度越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越集中，越稳定。例如，两组学生成绩的平均分相同，但方差不同，方差小的组成绩更整齐。方差的单位是原数据单位的平方。 标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即。标准差同样反映数据的波动大小，其单位与原数据单位一致。 标准差是方差的平方根，它具有与原数据相同的单位，这使得它在实际应用中比方差更容易解释。例如，身高的标准差单位是厘米，体重的标准差单位是千克，这比说方差是平方厘米或千克平方更直观。标准差越大，数据的离散程度越大。 易错点 混淆算术平均数与加权平均数的适用场景 在计算平均数时，如果所有数据的重要性相同或没有明确给出不同权重，则使用算术平均数；如果数据有不同的权重（如不同的频数、百分比），则必须使用加权平均数。学生容易在该用加权平均数的情况（如成绩按不同比例计算总分）误用算术平均数，导致结果错误。 中位数计算时未先排序或排序错误 求中位数的前提是必须将数据按大小顺序排列。若未排序或排序过程中出现错误（如从小到大与从大到小混淆，或数据位置放错），会直接导致中位数计算错误。尤其是当数据个数较多或数据值较接近时，排序容易出错。 对众数概念理解不透彻，认为“众”就是“多”，忽略“出现次数最多” 众数是“出现次数最多”的数据，而不是“最大的数”或“出现次数较多的数”。可能存在一组数据中有多个众数（多个数据出现次数并列最多），或者没有众数（所有数据出现次数相同）的情况。学生容易错误地认为众数只有一个，或者把数值最大的数当作众数。 方差计算步骤繁琐，易出现计算错误 方差的计算公式涉及多个步骤：先求平均数，再求每个数据与平均数的差，然后平方，再求这些平方的平均数。每一步都可能产生计算错误，特别是在数据较多或数值较大时，计算量增大，更容易出错。此外，方差的单位是原数据单位的平方，这一点也容易被忽略或误解。 错误理解方差（标准差）的意义，认为方差越大越好 方差（标准差）反映的是数据的波动情况。方差越大，数据波动越大，数据越不稳定；方差越小，数据越集中，越稳定。不能简单地说方差越大越好或越小越好，这取决于具体问题。例如，在质量控制中，希望产品尺寸的方差越小越好；而在选拔有潜力的运动员时，可能希望成绩的方差大一些，以便发现有突出能力的个体。但学生容易机械地认为方差越小越好。 在分析数据集中趋势时，不能根据数据特点选择合适的统计量 算术平均数、中位数、众数都是描述数据集中趋势的统计量，但它们各有特点和适用场景。当数据分布比较均匀且无极端值时，算术平均数能较好反映集中趋势；当数据存在极端值或分布偏斜时，中位数更合适；当需要知道哪个数据出现最频繁时，用众数。学生容易无论什么情况都只选择算术平均数，而不考虑数据的实际特点。 对“权”的含义理解不清 在加权平均数中，“权”代表了该数据在总体中的相对重要程度或出现的频数。学生可能不理解“权”的实际意义，只是机械地代入公式计算，导致在实际问题（如不同科目成绩按不同比例计入总分，不同批次产品的合格率计算）中无法正确确定权重。 题型一 算术平均数 【例1】样本数据3，4，3，6的平均数是（  ） A．3 B． C．4 D．6 【变式1-1】某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表，被遮盖的数据是（    ） 日期 24日 25日 26日 27日 28日 五天的平均气温 最低气温 ■ A． B． C． D． 【变式1-2】张先生计划元旦假期与家人一同前往南召县景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对南召的五朵山、宝天曼、石头村、百尺潭四个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民俗三个方面进行评分（10分制），四个景区的评分如下表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 五朵山 10 7 7 宝天曼 9 7 8 石头村 6 8 9 百尺潭 8 6 6 张先生按照自己认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是 ． 题型二 加权平均数 【例2】某校规定学生的体育成绩由三部分组成：体育技能测试占，体育理论测试占，体育课外活动表现占．小亮的上述三项成绩依次为90分、80分、95分，则小亮的体育成绩为（    ） A．88分 B．89.5分 C．90分 D．91分 【变式2-1】学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如下表：若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2-2】某学校随机抽查了学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图和不完整的扇形统计图（如图），其中条形图被墨迹遮盖了一部分，则被调查的学生读课外书册数的中位数为 册． 题型三 中位数 【例3】一组数据1，3，，3，4，下列说法错误的是（　　） A．众数是3 B．平均数是2 C．极差是5 D．中位数是 【变式3-1】某班七个兴趣小组人数分别为4，7，5，4，6，4，5，则这组数据的中位数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．7 【变式3-2】为了考察某品种的黄瓜的生长情况，种菜能手张大哥随机抽查了部分黄瓜藤上长出的黄瓜，对黄瓜的长度（单位：）进行了测量．根据抽查的结果，绘制了如图所示的统计图，则黄瓜长度的众数是 ． 题型四 众数 【例4】为建设“书香校园”，某班开展了捐书活动，学生捐书情况统计如下： 关于捐书数量的统计量中的众数，中位数分别是（ 　　 ）． 捐书数量（本） 1 2 3 4 5 人数（人） 3 12 16 6 3 A．3，2 B．3，3 C．3，4 D．2， 2 【变式4-1】已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【变式4-2】已知一组数据，，…，的方差是3，则这组数据的离差平方和是 ． 题型五 离差平方和 【例5】组内离差平方和的计算依据是（   ） A．数据与最大值的差的平方和 B．数据与最小值的差的平方和 C．数据与平均数的差的平方和 D．数据与中位数的差的平方和 【变式5-1】某组数据分为两组后，第一组离差平方和为5，第二组离差平方和为7，则组内离差平方和为（   ） A．2 B．12 C．35 D．无法确定 【变式5-2】已知一组数据，，，，的方差是，则另一组数据，，，，的方差是 ． 题型六 方差 【例6】吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【变式6-1】某校准备从甲、乙、丙、丁名同学中选派一人去参加本市数学竞赛的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式6-2】数据组2，4，6，8，10，12的中位数是 ，下四分位数是 ，上四分位数是 ． 题型七 四分位数 【例7】2022年北京成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，北京由此成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的“双奥之城”，在比赛前，某体育社团为积极响应号召，开展了“冰雪运动，健康生活”的体育活动．该社团模拟冬奥会的短道速滑比赛，某小组8名选手的完赛时间（单位：秒）如下：46，47，48，49，50，51，52，53，规定“成绩优于上四分位数的选手可直接晋级决赛”，则晋级决赛的人数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式7-1】一组数据共有12个数值，按从小到大排列后，下四分位数的位置是（   ） A．第3个 B．第3.25个 C．第3.5个 D．第4个 【变式7-2】某校举办了一次“我爱家乡”知识竞赛，已知一班和二班人数相等，此次竞赛中两班成绩的箱线图如图所示，则成绩比较集中的班级是 班． 题型八 箱线图 【例8】已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分），则下列说法错误的是（    ） A．这次考试中两班均没有满分的 B．A班成绩的下四分位数与B班成绩的中位数相同 C．A班的成绩比B班的成绩波动更大 D．B班的平均分比A班的平均分更高 【变式8-1】已知一组数据，，，的平均数是2018，则另一组数据，，，的平均数是 ． 【变式8-2】年月日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号、、星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：； 八年级：． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 (1)上述表中， ， ，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩； (3)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过分的人数； (4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明． 题型九 利用平均数作决策 【例9】甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适． 【变式9-1】近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分为10分，且均为整数），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩． 将两个人工智能产品的语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图，将两个人工智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理（分别取10次测试得分的平均数）成如表： 【数据收集与整理】 语言交互能力10得分的折线统计图 语言交互能力10次得分统计表 人工智能产品 平均数 中位数 众数 方差 A 7 7 B 图2 人工智能产品 分析能力 学习能力 8 9 图3 【数据分析与运用】 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值：___________，___________，___________； (2)两个产品语言交互能力测试成绩的方差分别为，则___________（填“”，“”或“”）； (3)如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 【变式9-2】为推选一名同学参加学校的演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别从演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分，评委打分的结果如下表： 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的平均数确定优胜者，__________是优胜者（填“甲”“乙”或“丙”）． (2)如果三项得分分别按25%，35%，40%的比例计算总成绩，谁是优胜者？ (3)哪一种计算方法比较合理？你认为要选哪一名学生去参加比赛？ 题型十 利用中位数、众数作决策 【例10】某校为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机抽取了名学生进行调查，并将获得的数据整理成如下统计图表． 学生每周参加家务劳动时间统计表 劳动时间时 组中值 人数 （组中值：一组数据中最大值与最小值的平均数） 学生每周参加家务劳动时间扇形统计图                      根据以上信息，回答下列问题： (1)在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角度数为____________． (2)请估计该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均数； (3)请根据调查结果为该校制定一个学生每周参加家务劳动的合格标准（在组中值中选一个值），并简要说明理由． 【变式10-1】为弘扬中华优秀传统文化，某校举行了“中华传统文化知识”竞赛，七、八年级各有100名学生参赛，对成绩（百分制）进行整理，部分信息如下： a．八年级成绩频数分布直方图： 年级 平均数 中位数 众数 七 78 81 79 八 80 m 82 b．将八年级在这一组的成绩按照从小到大的顺序排列后，最后10个数据为． c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表： 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的____________； (2)这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； (3)小东同学只看了八年级成绩频数分布直方图后，就说：“八年级成绩的平均数一定小于82分．”请你写出小东作出此判断的理由． 【变式10-2】晨光文具店为中考推出了一款“金榜题名”套装．为了解其在中学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个中学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现将从甲、乙两个中学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A，B，C，D四个等级：A．，B．， C．， D．）．下面给出了部分信息： 甲中学10名学生满意度得分数据：99，96，92，98，88，88，88，78，74，69； 乙中学10名学生B等级有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙中学抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 甲 88 a 乙 b 89 请根据以上信息解答： (1)求a，b，m的值； (2)你认为这款文具套装在哪个中学更受学生欢迎？请说明理由（写出一条即可）； (3)若甲、乙两校共有1800人参加此次满意度调查，请你估计喜爱这款文具套装（）的学生有多少人？ 题型十一利用方差作决策 【例11】某校“校园文化节”演讲比赛分初赛和决赛两个阶段： (1)初赛评分分析 初赛由12名教师评委和50名学生评委为选手打分（百分制），以下是某选手的评分信息： a．教师评委打分： b．学生评委打分的频数分布直方图（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组），各组频数依次为： 4，7，12，15，8，4． c．评委打分的统计量如下表： 平均数 中位数 众数 教师评委 p q 学生评委 r 92 根据以上信息，回答下列问题： ①求和的值； ②的值位于学生评委打分分组的第__________组； ③若去掉教师评委打分的最高分和最低分，其余10名教师评委打分的平均数为，则__________（填“”“ ”或“”）； (2)决赛排序规则 决赛由5名专业评委打分（百分制），按“平均数高者靠前，平均数相同则方差小者靠前”排序．甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 91 93 92 92 乙 90 92 93 93 93 丙 89 94 89 94 k 若丙在三位选手中排序居中，则排序最靠前的是__________，表中（为整数）的值为__________． 【变式11-1】【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数环，___________环，可以看出___________（填A或B）的平均成绩略高，通过计算方差，___________，可以看出___________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； (2)小颖分别计算了两名选手的四分位数如下表，并绘制了箱线图如图2： 选手 最小值 最大值 A 6 ① 9 10 B 8 8 9 ② 10 请你补全表格信息，①处的数据为___________，②处的数据为___________； (3)请你结合以上数据分析，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【变式11-2】现在人们越来越习惯借助各种人工智能软件来辅助工作、学习和生活，市场上也涌现出了如等各类人工智能软件，经过市场调研，嘉嘉决定从，两个人工智能软件中选择一个进行使用．以下是嘉嘉通过调查问卷的方式收集的位用户对，两个人工智能软件的相关评价，并整理、描述、分析如下（单位：分）： ．语言交互能力得分（满分10分） ：                                   ：              7                      ．数据分析能力得分（如图，满分分） ．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______，______（填“”或“”）． (2)请计算，两种软件语言交互能力得分的四分位数，，； (3)通过以上数据分析，你认为嘉嘉应该选择哪个人工智能软件？至少从两个角度说明理由． 基础巩固通关测 1．八年级某小组同学每分钟跳绳的个数的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数是（    ） A．120 B．140 C．150 D．163 2．绘制箱线图时，不需要的数据是（   ） A．四分位数 B．中位数 C．平均值 D．极值 3．已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．在一次演讲比赛中，参赛的10名学生成绩统计如图所示，下列说法中错误的是（   ） A．众数是90 B．中位数是87.5分 C．平均数是89 D．极差是15分 5．小军参加少儿体操选拔赛，8位评委给出的分数分别为13，14，a，18，18，20，22，23（从低到高排列），这组数据的下四分位数为15，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分。现去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列会发生变化的是（   ） A．平均数 B．最大值与最小值的差 C．中位数 D．众数 6．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某学校课外活动小组随机采访了该小区的10位居民，将采访数据绘制成如下箱线图，则这组数据的上四分位数为 ． 7．某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了至月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图．其中阅读课外书本数的最大值比最小值多 ． 8．某校对班级考核打分方案为卫生分数占，课间纪律分数占，课堂纪律分数占．八年级（1）班本学期这三部分的成绩依次为92分、90分、96分，则八年级（1）班本学期的考核成绩为 分． 9．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为 ． 10．六年级某班学生中有的学生年龄为岁，有的学生年龄为岁，其余学生年龄为岁，这个班学生的平均年龄是 岁． 11．某校要举行科技创新比赛，参赛选手均需完成创意设计、动手实践、答辩展示三项考核，且分别按，，的占比计入最终成绩．已知甲的上述三项成绩（百分制）依次是85分，80分，93分，求甲的最终成绩． 12．空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了年每月空气质量达到良好以上的天数，如下表． 月份 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 良好以上天数 8 9 (1)该市年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是__________天， 众数是__________天． (2)设每月空气质量达到良好以上天数x(天)，的月份记为A级；的月份记为B级；的月份记为C级．这样，制成扇形统计图时，求A级的圆心角的度数． 13．年月4日是第十二个国家宪法日．为进一步增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，维护宪法权威，某校开展了一次宪法知识竞赛（百分制）．七、八年级各有名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（均为整数，单位：分）分为5组：①；②；③；④；⑤．部分信息如下： a．七年级②组的学生人数占七年级参赛人数的； 八年级③组中最低的个成绩分别为． b．七、八年级成绩统计图如下： c．七、八年级成绩的平均数，中位数，众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 根据以上情况回答下列问题： (1)____________，____________； (2)请补全条形统计图； (3)这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； (4)综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对宪法知识掌握得更好？请说明理由． 14．某区从参加数学质量检测的名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得到表一： 表一 甲组 乙组 人数 100 80 平均分 94 90 随后汇总整个样本数据，得到部分结果，如表二 分数 频数 3 6 36 50 13 频率 等第 请根据表一、表二所示信息回答下列问题： (1)求样本中学生数学成绩的平均分（结果精确到）； (2)样本中，数学成绩在分数段的频数为__________，等级的人数占抽样学生总人数的百分比为__________，中位数所在的分数段为__________； (3)估计这名学生中数学成绩等级为的人数． 15．某中学举办“校园好声音”朗诵大赛，根据初赛成绩，七年级和八年级各选出10名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的10名选手的决赛成绩如图所示．下面是七年级、八年级两组的测试成绩的统计表： 七年级 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98 八年级 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95 (1)求七年级数据的四分位数． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中八年级成绩的箱线图，绘制七年级成绩的箱线图．    (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对七年级和八年级成绩的看法． 能力提升进阶练 1．如图是甲、乙两地某时段的气温箱线图，对于方差的描述正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 2． 甲、乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差，乙组数据的方差，则（    ） A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大 C．甲、乙两组数据波动一样大 D．无法比较 3．若样本的平均数为18，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（   ） A．平均数为56，方差为18 B．平均数为54，方差为20 C．平均数为54，方差为18 D．平均数为56，方差为20 4．甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况如图所示，以下对各队队员的身高特点分析正确的是（    ） A．最高的队员在甲队，最矮的队员在乙队 B．丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小 C．丁队队员的身高差距最小，身高较为集中 D．丙队队员的身高差距最大，身高较为分散 5．春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从分钟延长到分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光．某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮个，投中球数如表． 投中球数 在投中球数的这组数据中，下四分位数为（    ） A． B． C． D． 6．某校共五个小组参加植树活动，其中四个小组在植树活动中植树棵数的统计图如图．若平均每组植树5棵，则第五个小组植树 棵． 7．在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据的方差为 ． 8．若一组数据的离差平方和为10，平均数为2，数据个数为5，则这组数据中所有数据的平方和是 ． 9．某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约 个． 10．某单位设有6个部门，共153人，如下表：该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为，尚未参与答题的部门是 ． 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 11．【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 a b 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 1.95 c 0.0669 【问题解决】 (1)求a，b，c的值； (2)A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是 同学． 12．为激发青少年爱国热情，某校开展了“铭记历史，勿忘国耻！”为主题的历史知识百题竞赛活动，活动非常成功，全体参赛同学成绩均不低于60分及格线．随机抽取部分学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，下面给出了部分信息：其中组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了多少名学生的竞赛成绩； (2)补全频数分布直方图： (3)学生成绩的中位数是多少分； (4)学校决定从竞赛成绩优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图方法求出所选的两位同学，恰为甲和丙的概率． 13．联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七、八年级两个年级的竞赛情况，随机抽取了部分学生成绩进行分析，并将测试成绩绘制成两幅统计图． 请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： (1)此次调查的样本容量是________，并补全条形统计图； (2)抽取的样本中，测试成绩的众数是_______分，中位数是_____分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角的度数为________； (3)已知该校七、八年级共有学生640人，若竞赛成绩在（含85分和95分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 14．某校要从八年级甲班或乙班中选取10名女生组成礼仪队，选取的两个班的女生身高如下（单位：）： 甲班：168，x，y，165，168，166，171，168，167，170 乙班：165，167，169，170，165，168，170，171，168，167 (1)补充完成下面的统计分析表： 班级 平均数 方差 中位数 甲班 168 ① 168 乙班 168 3.8 ② (2)题目中 ， ． (3)根据图表，请选择一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取． 15．为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 数据分析初步（复习讲义） 一、基础目标 1. 能复述数据收集的常用方法，包括全面调查（普查）和抽样调查，并能举例说明各自的适用场景。 2. 能复述总体、个体、样本、样本容量的概念，并能在具体问题中准确识别。 3. 会读取简单的统计图表（如条形统计图、折线统计图、扇形统计图）所包含的信息，并能根据图表数据回答简单问题。 4. 能复述平均数的定义，会利用平均数公式（包括加权平均数公式）计算一组已知数据的算术平均数和加权平均数。 5. 能复述中位数、众数的定义，会确定一组已知数据（数据个数为奇数或偶数）的中位数，会找出一组数据中的众数（包括一组数据中没有众数或有多个众数的情况）。 6. 能复述方差的定义，会利用方差公式计算一组简单已知数据的方差，并能根据方差值的大小判断数据的波动情况（方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小）。 二、进阶目标 1. 理解并应用平均数、中位数、众数的区别与联系，能根据具体问题的需要选择合适的统计量（平均数、中位数或众数）来代表一组数据的集中趋势，并能解释选择的理由。 2. 理解并应用方差的统计意义，能根据两组数据的方差比较它们的稳定性，判断哪组数据的波动更小。 3. 会推导加权平均数中“权”的不同表现形式（如百分比、频数、比例等）之间的转换，并能灵活运用加权平均数解决实际问题中的平均水平计算，如计算平均成绩、平均价格等。 4. 会根据实际问题的需求，设计简单的调查问卷收集数据，并能对收集到的数据进行整理，绘制适当的统计图表（如条形图、扇形图）来清晰展示数据特征。 5. 能结合具体实例，解释平均数、中位数、众数、方差在不同情境下的实际含义，例如解释考试成绩的中位数代表的意义，或解释产品尺寸方差大小对产品质量稳定性的影响。 三、拓展目标 1. 理解并应用样本估计总体的思想，能通过对样本数据的分析（计算样本的平均数、方差等）来估计总体的相应特征，并能解释估计的合理性与局限性。 2. 会推导并应用方差的简化计算公式（如根据原数据方差计算新数据组（如原数据加减一个常数、原数据乘以一个常数）的方差），能快速比较或计算相关数据组的方差。 3. 能综合运用平均数、中位数、众数、方差等统计量分析实际问题，例如根据若干组数据的统计量对比分析不同群体的某项指标（如不同班级的学习成绩、不同品牌产品的性能参数等），并能撰写简要的分析报告，提出合理的建议或结论。 4. 能识别实际问题中数据呈现的误导性，例如统计图坐标轴刻度设置不当、选择不恰当的统计量代表数据集中趋势等，并能指出其问题所在。 5. 会根据阶段考、中高考常见题型（如结合图表的数据分析题、利用统计量进行决策的应用题）的特点，运用数据分析方法解决综合性问题，能清晰表述分析过程和结果。 类别 具体内容 完整分析 常见结论 算术平均数：对于n个数，算术平均数，它反映了数据的集中趋势，是数据平均水平的代表。 算术平均数是最基本、最常用的平均指标。它的计算简单直观，通过将所有数据相加再除以数据个数得到。其核心意义在于它能综合反映一组数据的总体水平，例如班级学生的平均成绩、一组零件的平均长度等。但它易受极端值（极大或极小值）的影响，当数据中存在极端值时，算术平均数可能不能很好地代表数据的“一般水平”。 加权平均数：若n个数的权分别是，则加权平均数，权反映了对应数据的重要程度。 加权平均数是算术平均数的推广和深化。当不同数据在总体中所占的“比重”不同时，就需要考虑权。这里的“权”可以是数据出现的次数、百分比、重要性系数等。例如，在计算学科总评成绩时，平时成绩、期中成绩、期末成绩可能赋予不同的权重。加权平均数能更客观地反映数据的实际影响，使得重要的数据对结果的贡献更大。 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的算术平均数就是这组数据的中位数。中位数不受极端值影响，也是反映数据集中趋势的量。 中位数的确定依赖于数据的排序。它的优点是不像算术平均数那样容易受极端值的干扰，因此在数据分布偏斜程度较大时，中位数比算术平均数更能代表数据的集中趋势。例如，在描述一个国家或地区居民收入水平时，由于少数高收入者会拉高算术平均数，中位数往往更能反映普通民众的收入状况。 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。众数可能不止一个，也可能没有（当所有数据出现次数都相同时），它反映了数据中出现最频繁的数值。 众数关注的是数据的“流行”程度或“多数水平”。在某些场景下，众数非常有用，例如服装销售商关注哪种尺码的衣服销量最大（众数），以便决定进货量。众数的缺点是它只考虑了出现次数最多的数据，忽略了其他数据的信息，且可能不唯一。 方差：设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 方差是衡量数据离散程度（波动大小）的重要指标。它通过计算每个数据与平均数的离差平方的平均数来实现。方差越大，表示数据偏离平均数的程度越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越集中，越稳定。例如，两组学生成绩的平均分相同，但方差不同，方差小的组成绩更整齐。方差的单位是原数据单位的平方。 标准差：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，即。标准差同样反映数据的波动大小，其单位与原数据单位一致。 标准差是方差的平方根，它具有与原数据相同的单位，这使得它在实际应用中比方差更容易解释。例如，身高的标准差单位是厘米，体重的标准差单位是千克，这比说方差是平方厘米或千克平方更直观。标准差越大，数据的离散程度越大。 易错点 混淆算术平均数与加权平均数的适用场景 在计算平均数时，如果所有数据的重要性相同或没有明确给出不同权重，则使用算术平均数；如果数据有不同的权重（如不同的频数、百分比），则必须使用加权平均数。学生容易在该用加权平均数的情况（如成绩按不同比例计算总分）误用算术平均数，导致结果错误。 中位数计算时未先排序或排序错误 求中位数的前提是必须将数据按大小顺序排列。若未排序或排序过程中出现错误（如从小到大与从大到小混淆，或数据位置放错），会直接导致中位数计算错误。尤其是当数据个数较多或数据值较接近时，排序容易出错。 对众数概念理解不透彻，认为“众”就是“多”，忽略“出现次数最多” 众数是“出现次数最多”的数据，而不是“最大的数”或“出现次数较多的数”。可能存在一组数据中有多个众数（多个数据出现次数并列最多），或者没有众数（所有数据出现次数相同）的情况。学生容易错误地认为众数只有一个，或者把数值最大的数当作众数。 方差计算步骤繁琐，易出现计算错误 方差的计算公式涉及多个步骤：先求平均数，再求每个数据与平均数的差，然后平方，再求这些平方的平均数。每一步都可能产生计算错误，特别是在数据较多或数值较大时，计算量增大，更容易出错。此外，方差的单位是原数据单位的平方，这一点也容易被忽略或误解。 错误理解方差（标准差）的意义，认为方差越大越好 方差（标准差）反映的是数据的波动情况。方差越大，数据波动越大，数据越不稳定；方差越小，数据越集中，越稳定。不能简单地说方差越大越好或越小越好，这取决于具体问题。例如，在质量控制中，希望产品尺寸的方差越小越好；而在选拔有潜力的运动员时，可能希望成绩的方差大一些，以便发现有突出能力的个体。但学生容易机械地认为方差越小越好。 在分析数据集中趋势时，不能根据数据特点选择合适的统计量 算术平均数、中位数、众数都是描述数据集中趋势的统计量，但它们各有特点和适用场景。当数据分布比较均匀且无极端值时，算术平均数能较好反映集中趋势；当数据存在极端值或分布偏斜时，中位数更合适；当需要知道哪个数据出现最频繁时，用众数。学生容易无论什么情况都只选择算术平均数，而不考虑数据的实际特点。 对“权”的含义理解不清 在加权平均数中，“权”代表了该数据在总体中的相对重要程度或出现的频数。学生可能不理解“权”的实际意义，只是机械地代入公式计算，导致在实际问题（如不同科目成绩按不同比例计入总分，不同批次产品的合格率计算）中无法正确确定权重。 题型一 算术平均数 【例1】样本数据3，4，3，6的平均数是（  ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了求平均数．根据平均数的公式计算即可． 【详解】解：样本数据3，4，3，6的平均数是． 故选：C 【变式1-1】某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表，被遮盖的数据是（    ） 日期 24日 25日 26日 27日 28日 五天的平均气温 最低气温 ■ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平均值的实际应用，设28日气温为，再根据平均值的计算列出方程求解即可． 【详解】设28日气温为， ∵ 五天的平均气温为， ∴ ，解得， 所以被遮盖的数据为． 故选：D． 【变式1-2】张先生计划元旦假期与家人一同前往南召县景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对南召的五朵山、宝天曼、石头村、百尺潭四个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民俗三个方面进行评分（10分制），四个景区的评分如下表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 五朵山 10 7 7 宝天曼 9 7 8 石头村 6 8 9 百尺潭 8 6 6 张先生按照自己认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是 ． 【答案】五朵山 【分析】本题考查加权平均数的计算，分别求出每个景区的加权平均数，比较即可． 【详解】解：五朵山总评分为：， 宝天曼总评分为：， 石头村总评分为：， 百尺潭总评分为：， ∵， ∴他最终选择的景区是五朵山， 故答案为：五朵山． 题型二 加权平均数 【例2】某校规定学生的体育成绩由三部分组成：体育技能测试占，体育理论测试占，体育课外活动表现占．小亮的上述三项成绩依次为90分、80分、95分，则小亮的体育成绩为（    ） A．88分 B．89.5分 C．90分 D．91分 【答案】B 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：（分）； 故选B． 【变式2-1】学校拟推荐一名同学参加市级演讲比赛，现对甲、乙、丙、丁四位候选人进行量化评分，具体成绩如下表：若总成绩的计算方法是：语言表达能力舞台仪态表现，根据总成绩择优推荐，那么应推荐的同学是（   ） 甲 乙 丙 丁 语言表达能力 96 80 92 91 舞台仪态表现 80 96 84 84 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，根据四人在语言表达能力和舞台仪态表现的得分，以及对应的权重求出四人的总成绩，比较即可得到答案． 【详解】解：甲的总成绩：， 乙的总成绩：， 丙的总成绩：， 丁的总成绩：， ∵， ∴ 甲的总成绩最高， 应推荐甲， 故选：A． 【变式2-2】某学校随机抽查了学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图和不完整的扇形统计图（如图），其中条形图被墨迹遮盖了一部分，则被调查的学生读课外书册数的中位数为 册． 【答案】5 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求中位数，用读6册的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，进而可求出读5册的人数，再根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：人， ∴一共调查了24人， ∴被调查的学生读课外书册数为5册的人数为人， 把学生读课外书册数的数量按照从低到高排列，中位数为第12名和第13名读的册数的中位数， ∴被调查的学生读课外书册数的中位数为册， 故答案为：5． 题型三 中位数 【例3】一组数据1，3，，3，4，下列说法错误的是（　　） A．众数是3 B．平均数是2 C．极差是5 D．中位数是 【答案】D 【分析】本题考查了众数、平均数、极差和中位数．通过计算数据的众数、平均数、极差和中位数，发现中位数应为3，而非选项D所述的，因此D错误，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、3出现2次，出现次数最多，即众数是3，故该选项不符合题意； B、，即平均数是2，故该选项不符合题意； C、最大的数是，最小的数是，则，即极差是5，故该选项不符合题意； D、把数据从小到大排序为，排在中间位置的数为，即中位数是3，故该选项符合题意；, 故选：D． 【变式3-1】某班七个兴趣小组人数分别为4，7，5，4，6，4，5，则这组数据的中位数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了中位数的概念，掌握中位数的概念是解题的关键．中位数是将数据按从小到大排序后，位于中间位置的数；由于数据个数为7（奇数），中位数是排序后的第4个数． 【详解】解：∵数据为4，7，5，4，6，4，5， ∴排序后为4，4，4，5，5，6，7， ∵数据个数为7，是奇数， ∴中位数是第4个数，即5． 故选：B． 【变式3-2】为了考察某品种的黄瓜的生长情况，种菜能手张大哥随机抽查了部分黄瓜藤上长出的黄瓜，对黄瓜的长度（单位：）进行了测量．根据抽查的结果，绘制了如图所示的统计图，则黄瓜长度的众数是 ． 【答案】 【分析】本题考查众数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，熟练掌握众数的定义是解决此题的关键． 根据众数的定义求解即可． 【详解】解：如图，在这组数据中，出现次，出现次数最多， ∴在这组数据中，众数是， 故答案为：． 题型四 众数 【例4】为建设“书香校园”，某班开展了捐书活动，学生捐书情况统计如下： 关于捐书数量的统计量中的众数，中位数分别是（ 　　 ）． 捐书数量（本） 1 2 3 4 5 人数（人） 3 12 16 6 3 A．3，2 B．3，3 C．3，4 D．2， 2 【答案】B 【分析】本题考查众数和中位数的定义，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键． 根据众数是一组数据中出现次数最多的数值，中位数是按顺序排列后中间位置的数值或中间两个数值的平均值，计算统计量中的众数，中位数即可． 【详解】解：∵捐书3本的人数最多（16人）， ∴众数为3； ∵总人数为人， ∴中位数是第20和21个数的平均数，将数据排序后，第20和21个数据均为3， ∴中位数为， 故选：B． 【变式4-1】已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查众数的概念和数据的排列顺序，注意唯一众数的条件，理解题意是解题的关键． 数据从大到小排列，为正整数且；再根据众数是且唯一，排除的情况，得到． 【详解】解：∵数据从大到小排列为5，4，4，3，，且为正整数， ∴，即可能为1，2，3. ∵唯一的众数是，且出现两次， ∴若，则出现两次，众数为和，不唯一； 若，则其他数均出现一次，是唯一众数． ∴． 故选：D． 【变式4-2】已知一组数据，，…，的方差是3，则这组数据的离差平方和是 ． 【答案】 15 【分析】利用方差乘以数据个数即可求出离差平方和．本题主要考查离差平方和的计算，熟练掌握方差是离差平方和的算术平均数是解题的关键． 【详解】解：∵数据个数，方差， 则离差平方和为． 故答案为： 15． 题型五 离差平方和 【例5】组内离差平方和的计算依据是（   ） A．数据与最大值的差的平方和 B．数据与最小值的差的平方和 C．数据与平均数的差的平方和 D．数据与中位数的差的平方和 【答案】C 【分析】根据组内离差平方和是方差计算的基础，其依据是数据点与平均数的偏差平方和即可选出正确答案； 本题考查了组内离差平方和的计算依据，熟练掌握其依据是解题的关键． 【详解】解：∵离差平方和的定义为各数据与平均数之差的平方和，用于度量数据离散度． ∴组内离差平方和的计算依据是数据与平均数的差的平方和． 故选：C． 【变式5-1】某组数据分为两组后，第一组离差平方和为5，第二组离差平方和为7，则组内离差平方和为（   ） A．2 B．12 C．35 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了方差，正确理解离差的定义是解决问题的关键． 组内离差平方和即为各组离差平方和之和，直接相加即可． 【详解】解：∵ 第一组离差平方和为，第二组离差平方和为， ∴ 组内离差平方和 ． 故选：B． 【变式5-2】已知一组数据，，，，的方差是，则另一组数据，，，，的方差是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是方差，掌握当数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，当数据都乘上一个数（或除一个数）时，方差乘（或除）这个数的平方倍是关键． 根据在原来数据前乘以同一个数，方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数（或减去一个数）时，方差不变，即可直接得出答案． 【详解】解：设原数据的方差为， 根据方差的性质：数据乘以常数，方差变为原方差的；数据加上常数，方差不变， 因此数据，，，，的方差是， 故答案为：． 题型六 方差 【例6】吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，平均数，众数，根据方差算式可得这组数据为9，7，9，7，8，这组数据的平均数为8，则可求出这组数据的众数，再求出添加一个数8后的平均数和方差即可得到答案． 【详解】解：∵方差算式为， ∴这组数据为9，7，9，7，8，共5个数据，即，故A结论正确，不符合题意； 由方差算式可知平均数为8，故B结论正确，不符合题意； 这组数据中7和9均出现了2次，次数最多， 所以这组数据的众数为7和9，C结论错误，符合题意； 添加一个8后，数据为9，7，9，7，8，8，平均数仍为8， 原始方差， 新方差， ∴方差变小，故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【变式6-1】某校准备从甲、乙、丙、丁名同学中选派一人去参加本市数学竞赛的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（  ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了方差和平均数，平均数反映了一组数据的集中趋势，但是平均分容易受到极端数据的影响；方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，这组数据越稳定．本题中乙和丁的平均成绩较好，但是乙的方差大、丁的方差小，说明丁的成绩更稳定，所以应让丁去参加比赛． 【详解】解： 乙和丁的平均分均为，高于甲和丙的平均分，且丁的方差为，小于乙的方差， 在平均分最高的 乙和丁中，丁的方差最小，因此成绩最好且最稳定，应选择丁， 故选：D． 【变式6-2】数据组2，4，6，8，10，12的中位数是 ，下四分位数是 ，上四分位数是 ． 【答案】 7 4 10 【分析】本题考查中位数和四分位数的计算．对于有序数据集，中位数是中间位置的数；下四分位数是数据下半部分的中位数，上四分位数是数据上半部分的中位数． 根据中位数、四分位数的计算方法解答即可． 【详解】解：数据已排序：．数据个数． 中位数：由于为偶数，中位数为第个数据和第个数据的平均值，即． 下四分位数：数据下半部分包括前个数据，其中位数为． 上四分位数：数据上半部分包括后个数据，其中位数为． 故答案为：；；． 题型七 四分位数 【例7】2022年北京成功举办了第24届冬季奥林匹克运动会，北京由此成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的“双奥之城”，在比赛前，某体育社团为积极响应号召，开展了“冰雪运动，健康生活”的体育活动．该社团模拟冬奥会的短道速滑比赛，某小组8名选手的完赛时间（单位：秒）如下：46，47，48，49，50，51，52，53，规定“成绩优于上四分位数的选手可直接晋级决赛”，则晋级决赛的人数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了四分位数，首先计算出上四分位数，然后找出成绩优于上四分位数的选手人数即可求解． 【详解】解：∵数据为：46，47，48，49，50，51，52，53，共8个数据． ∵个数是偶数，上四分位数为上半部分数据（50，51，52，53）的中位数， ∴上四分位数为， ∵规定“成绩优于上四分位数的选手可直接晋级决赛”， ∴时间小于51.5的数据有：46，47，48，49，50，51，共6个． ∴晋级决赛的人数为6． 故选：D． 【变式7-1】一组数据共有12个数值，按从小到大排列后，下四分位数的位置是（   ） A．第3个 B．第3.25个 C．第3.5个 D．第4个 【答案】C 【分析】本题考查了下四分位数位置的计算，掌握下四分位数位置的计算公式是解题的关键． 先确定下四分位数位置的计算公式，再将数据个数代入该公式，计算得出下四分位数的位置． 【详解】解：这组数据共有个数值，即， 将数据从小到大排列，其中位数为第个和第个数据的平均数， 前半部分数据为，共个， 下四分位数为这个数据的中位数，其位置在第个和第个数据之间，即， 因此下四分位数的位置是第个， 故选：C． 【变式7-2】某校举办了一次“我爱家乡”知识竞赛，已知一班和二班人数相等，此次竞赛中两班成绩的箱线图如图所示，则成绩比较集中的班级是 班． 【答案】二 【分析】本题考查箱线图的相关知识，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键． 根据箱线图的信息解答即可． 【详解】解：由箱线图可知，一班在50和140之间波动，二班在70和130之间波动， 所以成绩比较集中的班级是二班． 故答案为：二． 题型八 箱线图 【例8】已知A，B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分120分），则下列说法错误的是（    ） A．这次考试中两班均没有满分的 B．A班成绩的下四分位数与B班成绩的中位数相同 C．A班的成绩比B班的成绩波动更大 D．B班的平均分比A班的平均分更高 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：对于A，由图可知A、B班的最高分都未达到120分，所以两班均没有满分，故此选项不符合题意； 对于B，A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，都是90，故此选项符合题意； 对于C，A班的成绩的箱体比B班的成绩的箱体更高，所以A班的成绩比B班的成绩波动更大，故此选项不符合题意； 对于D，由图可知A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同，并且B班成绩的下四分位数比A班成绩的中位数略高，说明B班的平均分比A班的平均分更高，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式8-1】已知一组数据，，，的平均数是2018，则另一组数据，，，的平均数是 ． 【答案】2019 【分析】本题考查了平均数的定义，利用平均数的定义，计算新数据总和与原数据总和的关系，再求新平均数． 【详解】解：设原数据，，，的总和为S，则，即， 新数据，，，的总和为， ∴新平均数为． 故答案为：2019． 【变式8-2】年月日，我国在酒泉卫星发射中心成功将实践三十号、、星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：； 八年级：． 七、八年级抽取的学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 (1)上述表中， ， ，并补全七年级的箱线图； (2)求八年级所抽取学生的平均成绩； (3)若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中八年级学生成绩超过分的人数； (4)你认为本次活动，哪个年级的学生成绩更好？请结合统计图进行说明． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3) (4)八年级的学生成绩更好，理由见解析 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，箱线图，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． (1)根据众数和中位数的定义求出，，然后求出，然后补全箱线图即可； (2)根据平均数得概念求解即可； (3)用乘以成绩超过分的人数所占的比例即可得解； (4)根据平均数、中位数以及众数的意义分析即可． 【详解】（1）解：共有个数据， 中位数为第个数据和第个数据的平均数， 八年级所抽取学生的中位数； 出现的次数最多， 八年级所抽取学生的众数； 七年级所抽取学生的中位数； 补全七年级的箱线图如下： 故答案为：，； （2）解：（分）， 八年级所抽取学生的平均成绩为分； （3）解：八年级随机抽取的名学生中分以上的有人， （人）， 估计该校此次活动中八年级学生成绩超过分的人数为人； （4）解：八年级的学生成绩更好， 理由如下：因为两个年级成绩的中位数相同，而八年级的平均数和众数高于七年级， 所以八年级的学生成绩更好． 题型九 利用平均数作决策 【例9】甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适． 【答案】(1)，见解析 (2)甲，见解析 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可． 【详解】（1）解：， 即． 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （2）解：由已知得，获奖分数线的平均数为 ， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． 【变式9-1】近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分为10分，且均为整数），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩． 将两个人工智能产品的语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图，将两个人工智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理（分别取10次测试得分的平均数）成如表： 【数据收集与整理】 语言交互能力10得分的折线统计图 语言交互能力10次得分统计表 人工智能产品 平均数 中位数 众数 方差 A 7 7 B 图2 人工智能产品 分析能力 学习能力 8 9 图3 【数据分析与运用】 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值：___________，___________，___________； (2)两个产品语言交互能力测试成绩的方差分别为，则___________（填“”，“”或“”）； (3)如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 【答案】(1)，， (2) (3)该公司应该选择使用人工智能产品 【分析】本题考查了折线统计图，加权平均数，中位数，众数，方差，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键； （1）根据平均数，中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的计算公式计算即可； （3）根据加权平均数公式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 产品得分出现次数最多的是6，故， 故答案为：，，； （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：产品的最终成绩为：（分）， 产品的最终成绩为：（分） ， 该公司应该选择使用人工智能产品． 【变式9-2】为推选一名同学参加学校的演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别从演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分，评委打分的结果如下表： 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的平均数确定优胜者，__________是优胜者（填“甲”“乙”或“丙”）． (2)如果三项得分分别按25%，35%，40%的比例计算总成绩，谁是优胜者？ (3)哪一种计算方法比较合理？你认为要选哪一名学生去参加比赛？ 【答案】(1)丙 (2)乙 (3)第（2）问的计算方法比较合理；乙 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，算术平均数的求法，根据某方面的需要选拔时往往利用加权平均数更合适是解题的关键． （1）先根据三项得分计算各人的平均分，再比较即可； （2）按照权重为，，的比例计算各人的测试成绩，再进行比较； （3）根据某方面的需要选拔时往往利用加权平均数更合适进行解答即可． 【详解】（1）解：丙． （分）， （分）， （分）． ， 丙为优胜者． （2）解：甲的平均成绩为（分）， 乙的平均成绩为（分）， 丙的平均成绩为（分）． 丙的平均成绩＜甲的平均成绩＜乙的平均成绩， 乙为优胜者． （3）解：加权平均数能够体现权重的重要性，有利于人才的选拔， 所以第（2）问的计算方法比较合理，我认为要选乙去参加比赛． 题型十 利用中位数、众数作决策 【例10】某校为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机抽取了名学生进行调查，并将获得的数据整理成如下统计图表． 学生每周参加家务劳动时间统计表 劳动时间时 组中值 人数 （组中值：一组数据中最大值与最小值的平均数） 学生每周参加家务劳动时间扇形统计图                      根据以上信息，回答下列问题： (1)在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角度数为____________． (2)请估计该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均数； (3)请根据调查结果为该校制定一个学生每周参加家务劳动的合格标准（在组中值中选一个值），并简要说明理由． 【答案】(1) (2)小时 (3)小时，理由见解析（答案不唯一，理由充分即可） 【分析】（）用乘以“”所在扇形的百分比即可求解； （）根据算术平均数的定义解答即可； （）根据中位数的定义解答即可； 本题考查了扇形统计图和统计表，平均数和中位数，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴“”所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：； （2）解：， 答：估计该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均数为小时； （3）解：合格标准可以定为每周参加家务劳动小时，理由如下： 由（）可知，该校学生目前每周参加家务劳动时间的平均水平为小时，把标准定为每周参加家务劳动小时，至少有的学生能达标，同时至少有的学生未达标，这样使多数学生有更高的努力目标．（答案不唯一，理由充分即可．制定合格标准的原则：既要让学生有努力的方向，又要有利于学生建立达标的信心） 【变式10-1】为弘扬中华优秀传统文化，某校举行了“中华传统文化知识”竞赛，七、八年级各有100名学生参赛，对成绩（百分制）进行整理，部分信息如下： a．八年级成绩频数分布直方图： 年级 平均数 中位数 众数 七 78 81 79 八 80 m 82 b．将八年级在这一组的成绩按照从小到大的顺序排列后，最后10个数据为． c．七、八年级成绩的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表： 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的____________； (2)这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； (3)小东同学只看了八年级成绩频数分布直方图后，就说：“八年级成绩的平均数一定小于82分．”请你写出小东作出此判断的理由． 【答案】(1)78.5 (2)八 (3)见解析 【分析】本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数等知识． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据加权平均数的计算方法求出八年级成绩的平均数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴中位数在这一组， ∵， ∴第50和第51个数分别是78和79， ∴中位数是：． 故答案为：78.5； （2）解：∵七年级的中位数是81，八年级的中位数是78.5，甲、乙两名同学的成绩均为80分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前， ∴甲是八年级的学生． 故答案为：八； （3）解：由八年级成绩频数分布直方图可知，八年级成绩的平均数的最大值为 （分） 故八年级成绩的平均数一定小于82分． 【变式10-2】晨光文具店为中考推出了一款“金榜题名”套装．为了解其在中学生群体中的受欢迎程度，在甲、乙两个中学中进行了满意度调查（单位：分，满分100分，分数越高越受欢迎）．现将从甲、乙两个中学中各随机抽取10名学生的满意度得分数据进行整理、描述和分析（满意度得分用x表示，共分为A，B，C，D四个等级：A．，B．， C．， D．）．下面给出了部分信息： 甲中学10名学生满意度得分数据：99，96，92，98，88，88，88，78，74，69； 乙中学10名学生B等级有满意度得分数据：89，89，88，86，82． 甲、乙中学抽取的学生满意度得分统计表 学校 平均数 中位数 众数 甲 88 a 乙 b 89 请根据以上信息解答： (1)求a，b，m的值； (2)你认为这款文具套装在哪个中学更受学生欢迎？请说明理由（写出一条即可）； (3)若甲、乙两校共有1800人参加此次满意度调查，请你估计喜爱这款文具套装（）的学生有多少人？ 【答案】(1)；； (2)这款文具套装在乙中学更受学生欢迎，理由见解析 (3)估计喜爱这款文具套装的学生有630人 【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图，正确读懂统计图和熟知中位数、众数的定义是解题的关键． （1）根据众数的定义可得a的值；求出乙中学A等级，D等级的人数，进而求出C等级的人数，再求出C等级的人数占比即可求出m的值，最后根据中位数的定义可求出b的值； （2）甲、乙两个中学的满意度得分的平均数相同，但乙中学的满意度得分的中位数和众数都高于甲中学的满意度得分的中位数和众数，据此可得答案； （3）用1800乘以样本中甲、乙两所中学满意度得分不低于90的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：甲中学10名学生满意度得分中，得分为88的人数最多， ∴甲中学的众数为88，即； 由扇形统计图可知，乙中学得分在A等级的人数为名， 乙中学得分在D等级的人数为名， ∴乙中学得分在C等级的人数为名， ∴， ∴； 把乙中学10名学生满意度得分按照从低到高的顺序排列，则乙中学的中位数为第5名的得分和第6名的得分的平均数， ∵， ∴乙中学10名学生满意度得分的中位数为，即； （2）解：这款文具套装在乙中学更受学生欢迎，理由如下： 甲、乙两个中学的满意度得分的平均数相同，但乙中学的满意度得分的中位数和众数都高于甲中学的满意度得分的中位数和众数，故这款文具套装在乙中学更受学生欢迎， （3）解：（人）． 答：估计喜爱这款文具套装的学生有630人． 题型十一利用方差作决策 【例11】某校“校园文化节”演讲比赛分初赛和决赛两个阶段： (1)初赛评分分析 初赛由12名教师评委和50名学生评委为选手打分（百分制），以下是某选手的评分信息： a．教师评委打分： b．学生评委打分的频数分布直方图（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组），各组频数依次为： 4，7，12，15，8，4． c．评委打分的统计量如下表： 平均数 中位数 众数 教师评委 p q 学生评委 r 92 根据以上信息，回答下列问题： ①求和的值； ②的值位于学生评委打分分组的第__________组； ③若去掉教师评委打分的最高分和最低分，其余10名教师评委打分的平均数为，则__________（填“”“ ”或“”）； (2)决赛排序规则 决赛由5名专业评委打分（百分制），按“平均数高者靠前，平均数相同则方差小者靠前”排序．甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 91 93 92 92 乙 90 92 93 93 93 丙 89 94 89 94 k 若丙在三位选手中排序居中，则排序最靠前的是__________，表中（为整数）的值为__________． 【答案】(1)①，92；②4；③ (2)乙，95 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）①根据众数、中位数的定义解答即可；②根据中位数的定义解答即可；③根据算术平均数的定义解答即可； （2）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：把教师评委打分从小到大排列后位于正中间的两个数分别为91，92；且92出现的次数最多， ∴；； ②根据题意得：第1组，第2组，第3组的频数之和为， 第1组，第2组，第3组，第4组的频数之和， ∴中位数的值位于学生评委打分分组的第4组； 故答案为：4 ③； 故答案为：； （2）解：， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当， ∴ 解得：， 当时，， 此时， ∵，则甲在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时，， 此时， ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是乙 故答案为：乙，95． 【变式11-1】【数据收集】某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 (1)小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数环，___________环，可以看出___________（填A或B）的平均成绩略高，通过计算方差，___________，可以看出___________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； (2)小颖分别计算了两名选手的四分位数如下表，并绘制了箱线图如图2： 选手 最小值 最大值 A 6 ① 9 10 B 8 8 9 ② 10 请你补全表格信息，①处的数据为___________，②处的数据为___________； (3)请你结合以上数据分析，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】(1)9；B；B (2)； (3)选择B选手参加青少年射击比赛，理由见解析 【分析】本题主要考查了方差，平均数和四分位数，熟知方差，平均数，四分位数的定义是解题的关键． （1）根据方差和平均数的定义求出B的平均数和方差即可得到答案； （2）根据四分位数的定义求解即可； （3）从平均数和方差的角度判断说理即可． 【详解】（1）解：由题意得，环， ∴， ∴B的平均成绩略高； ， ∴， ∴B的射击水平发挥更稳定； （2）解：把A的成绩按照从低到高排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， 把B的成绩按照从低到高排列为：8，8，8，9，9，10，10，10， ∴A的为，B的为； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 从平均数来看，B选手的平均数大于A选手的平均数，B选手的成绩更好， 从方差来看，B选手的方差小于A选手的方差，B选手的成绩更加稳定， ∴选择B选手参加青少年射击比赛． 【变式11-2】现在人们越来越习惯借助各种人工智能软件来辅助工作、学习和生活，市场上也涌现出了如等各类人工智能软件，经过市场调研，嘉嘉决定从，两个人工智能软件中选择一个进行使用．以下是嘉嘉通过调查问卷的方式收集的位用户对，两个人工智能软件的相关评价，并整理、描述、分析如下（单位：分）： ．语言交互能力得分（满分10分） ：                                   ：              7                      ．数据分析能力得分（如图，满分分） ．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______，______（填“”或“”）． (2)请计算，两种软件语言交互能力得分的四分位数，，； (3)通过以上数据分析，你认为嘉嘉应该选择哪个人工智能软件？至少从两个角度说明理由． 【答案】(1)，，， (2)软件：分，分， 分；软件：，， (3)选择人工智能软件，理由见解析 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义可求出、、的值；根据方差越小，波动越小，方差越大，波动越大，结合折线统计图即可得到方差的大小关系； （2）根据表示第百分位数，表示中位数，表示数第百分位数，即可求解； （3）分别从语言交互能力得分、从数据分析能力得分的平均数、中位数与众数进行比较即可进行选择． 【详解】（1）解：， 人工智能软件的语言交互能力得分出现次数最多的是分， ， 人工智能软件的数据分析能力得分从小到大排列为，，，，，，，，，， 其中位数， 由图可知，， 故答案为：，，，； （2）对于软件语言交互能力得分， （第百分位数）：，取第个数，即（分）， （中位数）：，取第、个数的平均数，即（分）， （第百分位数）：，取第个数，即（分）； 对于软件语言交互能力得分， （第百分位数）：，取第个数，即（分）， （中位数）：，取第、个数的平均数，即（分）， （第百分位数）：，取第个数，即（分）； （3）我认为嘉嘉应该选择人工智能软件 理由如下：从语言交互能力得分来看，的平均数、中位数和众数均高于； 从数据分析能力得分来看，的平均数、中位数和的一样，但的方差比小，的数据分析能力得分更稳定，所以嘉嘉应该选择．（理由合理即可） 【点睛】本题考查了折线统计图，统计表，平均数，众数，中位数与方差，根据相关统计量作判断；掌握基本统计量的概念，并能灵活运用于实际中是解题的关键． 基础巩固通关测 1．八年级某小组同学每分钟跳绳的个数的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数是（    ） A．120 B．140 C．150 D．163 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，下四分位数，根据下四分位数定义即可求解，掌握箱线图和下四分位数有关知识是解题的关键． 【详解】解：由箱线图和下四分位数的定义可得，这组数据的下四分位数是140， 故选：B． 2．绘制箱线图时，不需要的数据是（   ） A．四分位数 B．中位数 C．平均值 D．极值 【答案】C 【分析】本题考查了箱线图的绘制要素，解题关键是明确箱线图的核心组成仅涉及四分位数、中位数、极值，与平均值无关． 需明确箱线图的核心组成元素对应的统计量． 【详解】解：箱线图的绘制依赖以下数据：四分位数（下四分位数​、上四分位数）、中位数、极值（最小值、最大值）． A、四分位数：是箱线图箱体边界的依据，需要该数据，不符合题意； B、中位数：是箱线图箱体中间竖线的依据，需要该数据，不符合题意； C、平均值：箱线图的结构中不包含平均值，绘制时不需要该数据，符合题意； D、极值：是箱线图须线两端的依据，需要该数据，不符合题意． 故选：C． 3．已知甲、乙两人10次标枪的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， ∴， 故选：B． 4．在一次演讲比赛中，参赛的10名学生成绩统计如图所示，下列说法中错误的是（   ） A．众数是90 B．中位数是87.5分 C．平均数是89 D．极差是15分 【答案】B 【分析】此题考查了众数，中位数，平均数，极差，折线统计图，根据众数，中位数，平均数，极差的概念逐项求解判断即可． 【详解】解：A、90出现5次，出现的次数最多， 则众数是90，本选项说法正确，不符合题意； B、中位数是90分，故本选项说法错误，符合题意； C、平均数为：，本选项说法正确，不符合题意； D、极差为：（分），本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 5．小军参加少儿体操选拔赛，8位评委给出的分数分别为13，14，a，18，18，20，22，23（从低到高排列），这组数据的下四分位数为15，按比赛规则，计算选手最后得分时，要去掉一个最高分和一个最低分。现去掉这组得分中的一个最高分和一个最低分后，下列会发生变化的是（   ） A．平均数 B．最大值与最小值的差 C．中位数 D．众数 【答案】B 【分析】先根据下四分位数求出的值，然后根据题意分别计算比较去掉最高分和最低分前后各统计量的变化情况即可；本题主要考查了平均数、中位数、众数、极差的意义，正确理解各意义并用于计算是解题的关键． 【详解】解：∵数据从低到高排列：，且下四分位数为15， 又∵下四分位数是第2个与第3个数据的平均数， ∴， ∴， ∴原始数据为， 去掉一个最高分和一个最低分后，数据为， 选项A：原始平均数， 去掉后平均数， ∴平均数不变，不符合题意； 选项B：最大值与最小值的差是极差， 原始极差， 去掉后极差， ∴极差发生变化，符合题意； 选项C：原始数据中位数， 去掉后数据中位数， ∴中位数不变，不符合题意； 选项D：原始数据众数为18（出现2次）， 去掉后数据众数为18（出现2次）， ∴众数不变，不符合题意； 综上所述，会发生变化的是最大值与最小值的差； 故选：B． 6．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某学校课外活动小组随机采访了该小区的10位居民，将采访数据绘制成如下箱线图，则这组数据的上四分位数为 ． 【答案】 【分析】本题考查箱线图的认识和四分位数的定义，箱线图中，中间的线表示中位数，上面的线表示上四分位数，下面的线表示下四分位数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，这组数据的上四分位数为， 故答案为：． 7．某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了至月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图．其中阅读课外书本数的最大值比最小值多 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折线统计图，利用数形结合的方法从折线统计图获取相关信息是解本题的关键．从折线图中获取信息，可得从到月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值相差多少． 【详解】解：由折线图可知：月份阅读课外书本数最大，最大值为， 月份阅读课外书本数最小，最小值为， ∴， 从到月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多， 故答案为： 8．某校对班级考核打分方案为卫生分数占，课间纪律分数占，课堂纪律分数占．八年级（1）班本学期这三部分的成绩依次为92分、90分、96分，则八年级（1）班本学期的考核成绩为 分． 【答案】93 【分析】本题主要考查了求加权平均数，将各部分的成绩乘以其对应的权重得到各部分的加权成绩，再求和即可得到答案． 【详解】解： 分， ∴八年级（1）班本学期的考核成绩为93分， 故答案为：93． 9．把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，分别计算两组数据的均值，再求每组数据与其均值之差的平方和，则可得到两组数据的离差平方和，再求和即可得到答案． 【详解】解：组的平均数为， 则组的离差平方和为， 组的平均数为， 则组的离差平方和为， ∴这种分组情况的组内离差平方和为， 故答案为：4． 10．六年级某班学生中有的学生年龄为岁，有的学生年龄为岁，其余学生年龄为岁，这个班学生的平均年龄是 岁． 【答案】 【分析】本题属于基础题，主要考查与“平均数”相联系的实际问题的解法.以及乘除法的运算.解答本题可以先设出全班人数，再写出各年龄层所占的比例，乘以各年龄，最后计算平均年龄即可．设总人数为人，计算各年龄学生人数，再求总年龄和平均年龄． 【详解】解：设总人数为人，则年龄岁的学生有人，年龄岁的学生有人，年龄岁的学生有人． 总年龄为岁， 平均年龄为岁． 故答案为：． 11．某校要举行科技创新比赛，参赛选手均需完成创意设计、动手实践、答辩展示三项考核，且分别按，，的占比计入最终成绩．已知甲的上述三项成绩（百分制）依次是85分，80分，93分，求甲的最终成绩． 【答案】 83.3分 【分析】本题主要考查了加权平均数的实际应用，用对应活动的得分乘以其比重求出每个活动的得分，再相加求出总分，即可得到结论． 【详解】解：甲的最终成绩（分）． 甲的最终成绩83.3分． 12．空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了年每月空气质量达到良好以上的天数，如下表． 月份 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 良好以上天数 8 9 (1)该市年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是__________天， 众数是__________天． (2)设每月空气质量达到良好以上天数x(天)，的月份记为A级；的月份记为B级；的月份记为C级．这样，制成扇形统计图时，求A级的圆心角的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了扇形统计图，掌握中位数，众数的定义及扇形统计图的概念是解题的关键． （1）将原数据重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可； （2）用乘A级月份占全年月份的比例即可． 【详解】（1）解：将这组数据重新排列为8、9、、、、、、、、、、，所以这组数据的中位数为（天），众数是天， 故答案为；． （2）A级的圆心角的度数为． 13．年月4日是第十二个国家宪法日．为进一步增强学生的宪法意识，弘扬宪法精神，维护宪法权威，某校开展了一次宪法知识竞赛（百分制）．七、八年级各有名学生参赛，对他们的成绩进行整理、描述和分析．将成绩（均为整数，单位：分）分为5组：①；②；③；④；⑤．部分信息如下： a．七年级②组的学生人数占七年级参赛人数的； 八年级③组中最低的个成绩分别为． b．七、八年级成绩统计图如下： c．七、八年级成绩的平均数，中位数，众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 八 根据以上情况回答下列问题： (1)____________，____________； (2)请补全条形统计图； (3)这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在年级中排名更靠前，可知甲是____________（填“七”或“八”）年级的学生； (4)综合上表中的统计量，在此次竞赛中，哪个年级的学生对宪法知识掌握得更好？请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)七 (4)八年级的学生对宪法知识掌握得更好，理由见解析 【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图、中位数、数据统计应用等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键． （1）根据扇形统计图中信息求解即可；将八年级人成绩从小到大排列，根据中位数的定义求解即可； （2）分别求得七年级组、组的学生人数，即可补画条形统计图； （3）根据八年级和七年级成绩的中位数分析判断即可； （4）根据两个年级学生成绩的平均数、众数和中位数进行分析即可． 【详解】（1）解： ， 八年级组的人数之和是（人）， 结合题意可知，将八年级参赛的名学生成绩按从小到大的顺序排列后， 第，个数据分别为， ， 所以中位数为 (分)，即． 故答案为：，． （2）解：七年级组的学生人数为 (人)， 组的学生人数为 (人)， 补全条形统计图如答图所示． （3）解：这次竞赛中，甲、乙两名同学的成绩均为分，但甲的成绩在其所在的年级中排名更靠前，根据八年级成绩的中位数为，故分在年级中排名在第名之后，而七年级成绩的中位数为，故分在年级中排名在第名之前，可知甲是七年级的学生． 故答案为∶七； （4）解：八年级的学生对宪法知识掌握得更好． 理由：在所抽取的样本中，七、八年级成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数、众数均比七年级高， 因此八年级学生对宪法知识掌握得更好． 14．某区从参加数学质量检测的名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得到表一： 表一 甲组 乙组 人数 100 80 平均分 94 90 随后汇总整个样本数据，得到部分结果，如表二 分数 频数 3 6 36 50 13 频率 等第 请根据表一、表二所示信息回答下列问题： (1)求样本中学生数学成绩的平均分（结果精确到）； (2)样本中，数学成绩在分数段的频数为__________，等级的人数占抽样学生总人数的百分比为__________，中位数所在的分数段为__________； (3)估计这名学生中数学成绩等级为的人数． 【答案】(1)（分） (2)，，； (3)名学生数学成绩在等级的大约有人 【分析】本题考查了平均数，频数，中位数，用样本所占百分比估算总数等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用加权平均数公式可以求得； （2）用总人数乘对应的百分比即可求得数学成绩在分数段的频数，利用级的人数除以总人数即可得到等级的人数占抽样学生总人数的百分比，利用中位数的定义即可求得； （3）用样本估计整体即可求得． 【详解】（1）解：样本中，学生数学成绩的平均分是：（分） （2）解：数学成绩在分数段的频数为：； 等级的人数占抽样学生总人数的百分比为：； 总人数人，中位数位于第、的位置，则中位数所在的分数段为：； 故填：，，． （3）解：（人）， 答：名学生数学成绩在等级的大约有4800人． 15．某中学举办“校园好声音”朗诵大赛，根据初赛成绩，七年级和八年级各选出10名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的10名选手的决赛成绩如图所示．下面是七年级、八年级两组的测试成绩的统计表： 七年级 91 96 70 89 60 70 100 80 92 98 八年级 92 93 70 88 82 75 96 80 92 95 (1)求七年级数据的四分位数． (2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中八年级成绩的箱线图，绘制七年级成绩的箱线图．    (3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对七年级和八年级成绩的看法． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将七年级数据从小到大排序，再计算出四分位数即可； （2）根据七年级的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【详解】（1）解：将七年级的成绩从小到大排列为 60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 所以，，； （2）解：由题意，画图如下：    （3）根据箱线图和四分位数可知七年级成绩的中位数和八年级相同，但七年级成绩明显比八年级的波动大． 能力提升进阶练 1．如图是甲、乙两地某时段的气温箱线图，对于方差的描述正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系．方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙地的气温比甲地的气温更加的集中， 【点睛】∴， 故选：C． 2． 甲、乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差，乙组数据的方差，则（    ） A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大 C．甲、乙两组数据波动一样大 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了方差的意义，熟练掌握“方差越大，数据波动程度越大”是解题的关键． 根据方差的意义，比较两组数据的方差大小，判断数据波动程度． 【详解】解：∵ 方差是衡量数据波动程度的量，方差越大，数据波动越大， 又 ∵，，且 ， ∴ 乙组数据比甲组数据波动大， 故选：B． 3．若样本的平均数为18，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（   ） A．平均数为56，方差为18 B．平均数为54，方差为20 C．平均数为54，方差为18 D．平均数为56，方差为20 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差和平均数，根据方差和平均数的定义可得，，据此可求出样本的平均数，再求出对应的方差即可得到答案． 【详解】解：∵样本的平均数为18，方差为2， ∴， ， ∴ ， ∴样本的平均数为56， ∴样本的方差为 ， 故选：A． 4．甲、乙、丙、丁四支排球队队员身高情况如图所示，以下对各队队员的身高特点分析正确的是（    ） A．最高的队员在甲队，最矮的队员在乙队 B．丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小 C．丁队队员的身高差距最小，身高较为集中 D．丙队队员的身高差距最大，身高较为分散 【答案】B 【分析】本题考查了箱线图，关键是读懂箱线图进行解答．根据箱线图、中位数分析即可得到答案． 【详解】解：A.最高的队员在甲队，最矮的队员在丁队，故原说法错误，本选项不符合题意； B.丙队队员身高的中位数最大，丁队队员身高的中位数最小，原说法正确，符合题意； C.乙队队员的身高差距最小，身高较为集中，故原说法错误，本选项不符合题意； D.丁队队员的身高差距最大，身高较为分散，故原说法错误，本选项不符合题意． 故选：B． 5．春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从分钟延长到分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光．某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮个，投中球数如表． 投中球数 在投中球数的这组数据中，下四分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了下四分位数，关键是熟练应用下四分位数的求法解题； 下四分位数是数据从小到大排列后，前一半数据的中位数． 【详解】解：∵ 投中球数数据为：， 将其从小到大排列：， ∵ 数据个数，下四分位数为前个数据（）的中位数， 中位数为第和第个数据的平均值，即， ∴ 下四分位数为， 故选：C． 6．某校共五个小组参加植树活动，其中四个小组在植树活动中植树棵数的统计图如图．若平均每组植树5棵，则第五个小组植树 棵． 【答案】7 【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的相关知识是解题的关键； 根据平均数的计算公式先求出五个小组植树的总棵数，再用总棵树减去已知四个小组的棵数，即可得到第五小组的棵数． 【详解】解：植树总数：（棵） 第五组植树棵数：（棵） 故答案为：． 7．在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据的方差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求平均数与方差． 先求去掉最高分和最低分后平均值，再计算去掉最高分和最低分后的数据的方差． 【详解】解：去掉最高分10和最低分6后，剩余数据为：8，9，8，7， 平均值， 方差． 故答案为：． 8．若一组数据的离差平方和为10，平均数为2，数据个数为5，则这组数据中所有数据的平方和是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了离差平方和，平均数． 根据离差平方和公式得到，即，根据“平均数为2，数据个数为5”得到，即可求出． 【详解】解：设这组数据为， ∵离差平方和为10，平均数为2，数据个数为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平均数为2，数据个数为5， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 9．某校在八年级450名学生中随机抽取了50名学生进行一分钟打字测试．将这50名学生一分钟打字的数量整理后，画出了频数分布直方图如图所示（不完整）．已知图中从左到右分为5个小组，则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约 个． 【答案】80775 【分析】此题考查的是加权平均数的求法，用样本平均数估计总体，关键是根据加权平均数的计算公式列出算式． 先求出第二组的学生数，再根据加权平均数的计算公式代入计算，然后求出总数即可． 【详解】解：∵第二组的学生数是， ∴该名学生一分钟打字的平均成绩是 （个）， 则在这次测试中，这450名学生一分钟总共打字约（个）， 故答案为：． 10．某单位设有6个部门，共153人，如下表：该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为，尚未参与答题的部门是 ． 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 【答案】 部门5 【分析】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识． 分别求出得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数占完成人数的比例，可得完成人数的总和的个位数为0，再由 6个部门有153人，可得未参与部门人数个位一定为3，即可求解． 【详解】解：得分为100分的人数占完成人数的， 得分为90分的人数占完成人数的， 得分为80分的人数占完成人数的， 得分为70分的人数占完成人数的， 得分为60分的人数占完成人数的， ∵各分数人数为正整数，即总参与人数正整数， ∴总参与人数是10的倍数，即完成人数的总和的个位数为0， ∵ 6个部门有153人，即人， ∴未参与部门人数个位一定为3， ∴未参与答题的部门是部门5． 故答案为：部门5． 11．【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 a b 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 1.95 c 0.0669 【问题解决】 (1)求a，b，c的值； (2)A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是 同学． 【答案】(1)3.74，3.75，2.0 (2)B 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． （1）根据平均数，中位数，众数定义即可得到答案； （2）根据题目给出的数据判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为， ∴， 观察10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是， ∴； （2）解：∵， ∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理， ∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， ∴B同学说法合理； 故答案为：B． 12．为激发青少年爱国热情，某校开展了“铭记历史，勿忘国耻！”为主题的历史知识百题竞赛活动，活动非常成功，全体参赛同学成绩均不低于60分及格线．随机抽取部分学生的成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组：，下面给出了部分信息：其中组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了多少名学生的竞赛成绩； (2)补全频数分布直方图： (3)学生成绩的中位数是多少分； (4)学校决定从竞赛成绩优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图方法求出所选的两位同学，恰为甲和丙的概率． 【答案】(1)50名 (2)见解析 (3)分 (4) 【分析】本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． （1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数； （2）进而可求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （3）根据中位数的定义解答即可； （4）画出树状图，根据树状图解答即可． 【详解】（1）解：， ∴本次共抽取了50名学生的竞赛成绩， （2）解：B组学生人数为人， 补全频数分布直方图如下： （3）解：∵成绩由低到高排列，中位数为第25和第26个数据的平均数， ∴中位数分； （4）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 13．联合国《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）在中国云南昆明召开，为了广泛宣传生物多样性工作，某中学组织学生结合所学知识，进行了生物知识竞赛活动．校方想了解该校七、八年级两个年级的竞赛情况，随机抽取了部分学生成绩进行分析，并将测试成绩绘制成两幅统计图． 请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： (1)此次调查的样本容量是________，并补全条形统计图； (2)抽取的样本中，测试成绩的众数是_______分，中位数是_____分，表示测试成绩为85分的扇形圆心角的度数为________； (3)已知该校七、八年级共有学生640人，若竞赛成绩在（含85分和95分）分视为“成绩良好”，请你估计该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生共有多少人？ 【答案】(1)，补全条形统计图见解析 (2)，， (3)该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生大约共有人． 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量关系是正确解答的关键． （1）根据“分”的频数为，占调查人数的，可求出调查总人数，进而求出“分”的人数，并补全条形统计图； （2）根据中位数、众数的定义，扇形圆心角计算方法计算即可； （3）用该校七、八年级共有学生人乘以样本中“竞赛成绩在”所占的百分比即可． 【详解】（1）解：（人），（人）， 故答案为：， 补全条形统计图如图所示： （2）解：这名学生成绩出现次数最多的是，因此众数是分， 将这名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数分别是分和分，因此中位数是分，， 故答案为：，，； （3）解：（人） 答：该校七、八年级生物知识竞赛“成绩良好”的学生大约共有人． 14．某校要从八年级甲班或乙班中选取10名女生组成礼仪队，选取的两个班的女生身高如下（单位：）： 甲班：168，x，y，165，168，166，171，168，167，170 乙班：165，167，169，170，165，168，170，171，168，167 (1)补充完成下面的统计分析表： 班级 平均数 方差 中位数 甲班 168 ① 168 乙班 168 3.8 ② (2)题目中 ， ． (3)根据图表，请选择一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取． 【答案】(1)见解析 (2)169；168 (3)选择方差做标准，甲班可能被选取． 【分析】本题考查了方差及中位数的知识，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． （1）先求出，，再根据方差、中位数的定义进行计算，得出结果后补全表格即可； （2）由（1）可得结论； （3）应选择方差为标准，哪班方差小，选择哪班． 【详解】（1）解：已知甲班平均数为168，数据总和为， 已有的8个数据和， 所以，， 结合箱线图和，以及数据分布特征，可得，； 甲班的方差； 乙班中位数：将乙班身高排序为165，165，167，167，168，168，169，170，170，171．中间两个数为168和168，中位数为， 补全表格如下： 班级 平均数 方差 中位数 甲班 168 2.8 168 乙班 168 3.8 168 （2）解：由（1）知，，， 故答案为：169；168； （3）解：选择方差做标准， ∵两班的平均身高相同，甲班方差乙班方差， ∴甲班被选取． 15．为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 【答案】（1）；； （2）； （3）人； （4）见解析． 【分析】从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为，从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的百分比为，利用人数除以对应的分率可以求出抽查的总人数，用总人数乘以扇形统计图中第组人数所占的百分比求出第组的人数，根据第组的人数补全统计图即可；是第组人数占总人数的百分比，根据第组的人数和总人数计算即可；根据第的人数和总人数求出第组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第组的圆心角即可； 共抽查了学生，根据中位数的定义可知：中位数是第、名成绩的平均数，从条形统计图中可知：第、名位于第组，所以抽取的这些学生的中位数位于第组； 利用样本估计总体，根据抽查的名学生中体育成绩不低于分的人数所占的百分比代表全校所有学生成绩不低于分人数的百分比，计算即可； 从表格中可知、两项所占的权重较大，所以为了提高学生的体育成绩，应重点从、两项中提高成绩． 【详解】解：从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为， 从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的， 抽取的总人数为：（人） 第组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 第组有人，占比为：， ∴， 第组有人， 第组占抽查总人数的， 扇形统计图中第组对应的圆心角的度数为：， 故答案为，； 总共抽查了人， 中位数是第、名成绩的平均数， 第1组和第2组总人数是24人， 从条形统计图中可知：第、名位于第组， 抽取的这些学生的中位数位于第组； 从条形统计图中可知：抽查的学生中体育总分不低于分的学生， 利用样本估计总体可得：全校体育成绩不低于分的学生总人数为人； 、两项权重较大，是影响体育总分的主要因素． 建议：保持合理饮食习惯，保证体重指表在健康范围内； 加强锻炼增强肺活量； 加强跑步上定跳远、引体向上、仰卧起坐等项目的训练．（合理即可） 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本代替总体、求扇形统计图的圆心角度数、中位数，解决本题的关键是综合运用扇形统计图与条形统计图，根据已知的信息求出未知的信息． 2 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $