专题02 鸡爪定理、极化恒等式、矩形大法、等和线、奔驰定理与三角形的四心等5种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版必修第二册

专题02 鸡爪定理、极化恒等式、矩形大法、等和线、奔驰定理与三角形的四心 目录 类型一、平面向量共线定理的推论（鸡爪定理） 类型二、极化恒等式在数量积问题中的应用 类型三、矩形大法在平面向量中的应用 类型四、等和线在平面向量中的应用 类型五、奔驰定理与三角形的四心问题 压轴专练 类型一、平面向量共线定理的推论（鸡爪定理） 解题技巧： “鸡爪定理”的图示及性质： 已知在线段上，且，则 例1-1．如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据、三点共线，可得、，利用平面向量线性运算的应用将表示，由此可得方程组求得，进而得到的值. 【详解】连接，如图， 因为三点共线，设，则， 所以； 因为三点共线，设，则， 所以， 则，解得，所以， 则，所以. 故选：D 例1-2．（1）已知两个平面向量，不共线，为不和重合的任意一点，求证：三点共线的充要条件为存在实数，使得． （2）如图，中，直线分别交边，于点，，交的延长线于点，若，，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】（1）根据充分必要条件的定义分别从充分性和必要性两方面证明即可； （2）利用题目条件，用做基底表示，根据平面向量基本定理列出方程组，再根据（1）中三点共线的结论即可得证. 【详解】（1）充分性： 已知存在实数，使得， 则，即， 即，所以. 又因为直线，直线有公共点， 所以三点共线； 必要性： 已知三点共线，为不和，重合的任意一点， 则，则存在实数，使得， 则，即， 所以 综上所述，三点共线的充要条件为存在实数， 使得． （2）如图，连接， 因为，由（1）知， 设，由（1）知， 因为，， 所以，， 所以． 因为，不共线， 所以所以 所以． 所以， 所以． 变式1-1．在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】作出图形，由 可推得，利用条件将其化成，再运用平面向量基本定理得，解之即得. 【详解】 如图，因则,即（*）， 又,,代入（*）得，, 即，因三点共线，故，解得，. 故选：B. 变式1-2．已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 . 【答案】 2； 4 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先由题设得到，再由共线定理的推论即可求解，再结合基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题可得， 因为共线，所以， 所以，当且仅当即时等号成立. 故答案为：2；4 变式1-3．在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）设，然后用表示，根据三点共线求出的值； （2）根据，用表示，再将条件与代入，根据三点共线求出的关系，结合基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以 ① 因为E，P，F三点共线，所以设，则， 即② （1）因为，即 设，代入①则有，因为E，P，F三点共线，     所以，解得，所以. （2）由题，，代入①可知，， 由②得：所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为1. 变式1-4．如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论、平面向量基本定理的应用、用基底表示向量 【分析】（1）利用向量的加减法运算法则，结合平面向量基本定理求解； （2）由已知条件可得，再由F，G，H三点共线，得，然后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为E是BD的中点， 所以 ； （2）由，，得，， 因为，， 所以， 因为F，G，H三点共线，所以， 则 当且仅当时， 即时，等号成立， 所以的最小值为. 类型二、极化恒等式在数量积问题中的应用 解题技巧： 极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合 例2-1．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，   ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 例2-2．如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 (1) ； (2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】（1）表达出，利用向量数量积公式得到； （2）设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为. 【详解】（1）由题意可知：，， 则， ， 所以 . （2）因为点为线段（含端点）上的动点，设，， 则， ， 其中， 可得 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 变式2-1．在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【详解】以为原点，，所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 设，， ，， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 变式2-2．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 变式2-3．如图，在平面四边形中，已知，，，若. (1)当时，求的值； (2)求取得最小值时的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、用基底表示向量、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】（1）结合已知根据向量运算得，根据数量积的运算律求解即可； （2）结合已知根据向量运算得，，根据数量积的运算律得，再利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）当时，为线段的中点， 则，， 从而， 又因为，则有， 从而. （2）因为，则有， ，， 从而 ， 当且仅当时，最小. 变式2-4．在矩形中，分别是线段的中点，且． (1)求； (2)若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量的加减运算以及向量相等求出即可； （2）设，以为基底，表示出，将数量积表示为的二次函数，配方求最值即可. 【详解】（1）因为四边形是矩形，是线段的中点， 所以. 因为是线段的中点， 所以. 又，所以. （2）因为为线段上的动点，所以可设， 所以， 在矩形中，，所以. 令，则， 当时，取得最小值，即・的最小值为. 类型三、矩形大法在平面向量中的应用 解题技巧： 矩形大法 ①已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则：. ②矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则： 证明：由极化恒等式得 因为矩形ABCD，所以，则由①、②可得 由可得. 例3-1．已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】如图所示，令，，，易知， 则作矩形，根据矩形大法可知， 即， 根据，， 即， 例3-2．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算和数量积的运算转化可得，由两边平方，可以求得的值，进而得解. 【详解】设矩形的对角线交点为,则 = ， 由两边平方得： , ∵，，， ∴， ∴ . ∴， 故答案为：-4. 变式3-1．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由想到构造矩形，运用极化恒等式推导出结论，求得,最后用三角形三边关系定理得到的范围，转化即得. 【详解】 如图，设，，，点在圆上， 点在圆上，则，，由可得：， 作矩形, 则. 下证： . 设交于点，连接,因则 ， 同理可得：，两式左右分别相加得： ， . 即，故. 又，因， 即，故有． 故选:C． 变式3-2．在平面内，若，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由矩形大法知：，所以，所以，因为，所以，所以，所以，解得 变式3-3．已知向量满足,,则的最大值等于 【答案】8 【详解】设向量起点为,终点分别为A,B,C， 易知点C在以O为圆心半径为1的圆上 则。补成矩形OADB， 则即,所以CD 而即的最大值为8 即的最大值为8 类型四、等和线在平面向量中的应用 解题技巧： 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 例4-1．如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    【答案】2 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量基本定理的应用、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】利用三点共线的判定条件和同向向量转化公式可得，把的最大值转化为的最小值即可． 【详解】设与相交于点，可得． 因为三点共线，所以． 因为的最小值为点到直线的距离，因为半径，, 所以,此时， 所以的最大值为2． 例4-2．在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定， 可得：，则，所以设，则由可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：. 变式4-1．如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为 . 【答案】 【分析】设边长为1，，建立直角坐标系，求得的坐标，根据题设用表示出，再利用函数的性质，即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1，， 则，可得， 由， 可得，解得其中， 所以， 令，则， 当且仅当时，即时取等号， 所以的最大值为． 故答案为：． 变式4-2．如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【答案】. 【详解】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 变式4-3．如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，将由点坐标转化后数形结合求解 【详解】以点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则， ，设，则，解得， 故，即， 数形结合可得当时，取最小值2， 当直线与圆相切时，，取得最大值 . 故选：B 变式4-4．已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【分析】利用可得出P为的重心，取中点再利用三点共线，可得取得最小值1，再当点M与C重合时，取得最大值2，从而可得的范围. 【详解】 因为，所以， 整理得，所以P为的重心， 取AC的中点D，则. 因为，所以， 所以当点M在线段BP上时，取得最小值1， 当点M与C重合时，取得最大值2， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 类型五、奔驰定理与三角形的四心问题 解题技巧： 1、奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 2、奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. 3、奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则；或 ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则，或 例5-1．（多选） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 例5-2．在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【分析】由表示过角平分线所在向量，即可判断，由正弦定理得到，再设的中点为，则，即可判断，推导出，即可判断. 【详解】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心，    因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 变式5-1．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 变式5-2．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可. 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 变式5-3．（多选）在中，角的对边分别为，点为内部一动点，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的中点，则 B．若点为的内心，则 C．若，则点过的外心 D．若为锐角三角形，点为的垂心，则 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的加减运算判断A，利用内心的性质判断B，结合角平分线的性质判断C，利用锐角三角形结合垂心的性质判断D即可. 【详解】对于A，点为的中点，，，， ，， ，故A正确； 对于B，若点为内部一动点，且， 设，，， ∴点为的重心，可得， 分析可得，，， ，可得， ，又∵点为的内心， 的高相等，都为内切圆的半径， ，可得， 可得，故B正确； 对于C，由题意得， 其中表示角的平分线所在直线上的向量，过的内心，故C错误； 对于D，由B可得，，， 而点为的垂心，如图，连接与相交于点，    则，而，， ， 又，， ，， 同理可得，， ， ，故D正确． 故选：ABD 压轴专练 1、如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【详解】因为，， 所以. 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 2、在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算计算即可. 【详解】 如图所示建立平面直角坐标系，设，显然， 所以， 由二次函数的单调性知. 故选：A 3、已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 【答案】A 【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可. 【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心； 取的中点分别为，连接， 则有， 所以三点共线，三点共线，三点共线， 即N为的重心； 由，即，同理， 所以为垂线的交点，故为的垂心. 故选：A 4、已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解即可. 【详解】由，得，且， 而三点共线，则，即， 所以， 所以. 故选：A. 5、在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 6、在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 A.2 B.4 C.5 D.10 【答案】D 【详解】把直角三角形ABC补成矩形 易知，所以 故 本题选D 7、（多选）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积的运算，结合三角形内心，外心，垂心和重心的性质，即可判断选项. 【详解】A.由， 即，同理，，则点是的垂心，故A正确； B. 若，则点是垂直平分线的交点，则，故B正确； C.由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点在的中线上，则动点的轨迹经过的重心，故C错误； D. 设的中点为，， 所以， ， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 8、设点，，，分别为三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A．； B．若且，则； C．若，，则； D．若，则． 【答案】ACD 【分析】利用向量的线性运算结合重心的性质可判断A的正误，对于B，将选项的向量关系式变形后平方求数量积，从而判断其正误，对于C，利用向量的线性运算结合角平分线的性质、平面向量基本定理可求的值，故可判断其正误，对于D，对选项中的向量等式分别乘以向量后结合数量积的定义可求，故可判断其正误. 【详解】对于A，延长，交与，则为的中点， 故，而为三角形重心，故， 故即，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 故，故，故B错误； 对于C，，则为等腰三角形， 延长交于，则为的中点，且， 由角平分线的性质可得，所以， 故， 而不共线，故，故，故C正确； 对于D，因为为垂心，故，故 ， 故，故，同理， 因为，所以， 所以，同理，故， 所以， 故D正确； 故选：ACD. 9、蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是 ．    【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】根据平面向量数量积的几何意义求数量积的取值范围. 【详解】设向量在向量上的投影向量为，则，如图，      过作，垂足为，过作，垂足为． 当在、处时，最小，最小值为； 当在、处时，最大，最大值为． 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 10、如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则 ；若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算可得，，进而结合平面向量的数量积的定义及运算律求解即可；以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，表示出，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意，， ， ； 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，， 由题意得的轨迹为以为圆心，1为半径的半圆，其轨迹方程为， 设，， 则，，， 因为， 所以， 所以， 所以当时，，此时的最大值为. 故答案为：；. 11．如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中. (1)当时，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先求出，再结合平面向量基本定理将和用表示，然后利用向量数量积的运算律计算即可； （2）根据题意结合平面向量基本定理将和用表示，然后化简计算，再结合可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为在平行四边形中，， 所以，， 因为，， 所以 ； （2）因为，， 所以， ， 所以 ， 因为，所以， 得， 所以的取值范围为. 12．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）由极化恒等式即可求解； （3）连接，根据三角形模式可得，即可求解. 【详解】（1）如图，由是的中点，， 由极化恒等式可得. （2）如图，连接，由，， 由极化恒等式可得. （3）如图，连接， 因为，， 所以， 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以， 又，则，所以， 即的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 鸡爪定理、极化恒等式、矩形大法、等和线、奔驰定理与三角形的四心 目录 类型一、平面向量共线定理的推论（鸡爪定理） 类型二、极化恒等式在数量积问题中的应用 类型三、矩形大法在平面向量中的应用 类型四、等和线在平面向量中的应用 类型五、奔驰定理与三角形的四心问题 压轴专练 类型一、平面向量共线定理的推论（鸡爪定理） 解题技巧： “鸡爪定理”的图示及性质： 已知在线段上，且，则 例1-1．如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 例1-2．（1）已知两个平面向量，不共线，为不和重合的任意一点，求证：三点共线的充要条件为存在实数，使得． （2）如图，中，直线分别交边，于点，，交的延长线于点，若，，，，求证：． 变式1-1．在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知D点为三角形的BC边上一点（不含端点），E是AC边中点，若，则 .，的最小值为 . 变式1-3．在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 变式1-4．如图，在中，.    (1)若E是BD的中点，试用和表示； (2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值. 类型二、极化恒等式在数量积问题中的应用 解题技巧： 极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合 例2-1．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 例2-2．如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 (1) ； (2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 变式2-1．在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是 ． 变式2-2．在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 变式2-3．如图，在平面四边形中，已知，，，若. (1)当时，求的值； (2)求取得最小值时的值. 变式2-4．在矩形中，分别是线段的中点，且． (1)求； (2)若为线段上的动点，求的最小值． 类型三、矩形大法在平面向量中的应用 解题技巧： 矩形大法 ①已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则：. ②矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等 已知点P是矩形ABCD所在平面上的任意一点，则： 证明：由极化恒等式得 因为矩形ABCD，所以，则由①、②可得 由可得. 例3-1．已知向量，，满足，，，且，则的取值范围是__________. 例3-2．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 变式3-1．已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-2．在平面内，若，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 变式3-3．已知向量满足,,则的最大值等于 类型四、等和线在平面向量中的应用 解题技巧： 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 例4-1．如图，已知一个扇形，半径，，点在圆弧上运动，若，求的最大值．    例4-2．在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，已知正方形，点E，F分别为线段，上的动点，且，设（x，），则的最大值为 . 变式4-2．如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 变式4-3．如图，在直角梯形中，，∥，，，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-4．已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 类型五、奔驰定理与三角形的四心问题 解题技巧： 1、奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 2、奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. 3、奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则；或 ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则，或 例5-1．（多选） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 例5-2．在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 变式5-1．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 变式5-2．已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A． 外心 B．内心 C．垂心 D．重心 变式5-3．（多选）在中，角的对边分别为，点为内部一动点，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的中点，则 B．若点为的内心，则 C．若，则点过的外心 D．若为锐角三角形，点为的垂心，则 压轴专练 1、如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2、在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3、已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（    ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 4、已知△ABC是边长为1的正三角形，是BN上一点且，则（   ） A． B． C． D．1 5、在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6、在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则 A.2 B.4 C.5 D.10 7、（多选）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 8、设点，，，分别为三角形的重心､垂心､外心和内心，则下列结论正确的是（   ） A．； B．若且，则； C．若，，则； D．若，则． 9、蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1，是其中一个正六边形的顶点，为图中7个正六边形内一点（包含边界），则的取值范围是 ．    10、如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则 ；若，则的最大值为 . 11．如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中. (1)当时，求的值； (2)求的取值范围. 12．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $