精品解析：广东省深圳市深圳大学附属中学2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

深大附中2025—2026学年度第一学期期末考试 初三数学试卷 说明：1．全卷分试卷和答题卡，共6页，考试时间90分钟，满分100分． 2．答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡．不得在答题卡其它区域做任何标记． 3．答题卡上的答案必须写在题目指定位置上．（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分） 4．考试结束，请将答题卡上交． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ） A. B. C. D. 2. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ） A. y＝（x＋3）2＋3 B. y＝（x﹣3）2＋1 C. y＝（x＋2）2＋1 D. y＝（x＋3）2＋1 4. 抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 5. 如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I取值范围是 8. 在锐角中，所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 抛物线的顶点坐标是____________． 10. 在中，，如果，，那么______． 11. 如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为_______________． 12. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 13. 如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为1的相似三角形，那么就称这个四边形为“相似分割四边形”．如图，已知一个四边形是“相似分割四边形”，，，，那么该四边形最小内角的余弦值是______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点C的坐标为． （1）求该反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标； （3）当时，直接写出x取值范围． 16. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 17. 太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】：如图，点 是桥塔顶部一点， 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部 处的俯角 ，底部处的俯角 ，沿水平方向由点 飞行米到达点 处，在 处测得 处的俯角． ，已知图中各点均在同一竖直平面内； 【数据应用】： （1）请根据以上数据求桥塔 高度(结果精确到1米．参考数据： )； 【方案反思】： （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案(，米， ）中至多可以删减的数据为 ． 18. 如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径． 19. 光折射． 物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比（，均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号表示，即 【概念理解】 （1）如图①，若入射角的度数为，折射率，求折射角的度数． （2）如图②，直线是真空与某种介质的分界线，折射率，是入射光线，点是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入思考】 （3）如图③，直线是真空与某种介质的分界线，折射率，直线上有一个位置固定的遮光板，且是的中点；在直线下方有一个圆形区域，且与相切于点．点光源在直线的上方，经过遮光板的遮挡，使得折射光线不能进入的内部，已知的半径为，．（假设入射光线在端点，处能够发生折射），求点光源到直线的距离的最大值． 20. 已知二次函数． 【特例分析】 （1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，观察图象：发现二次函数恒过两个定点分别为______，______，对称轴为______； 【性质运用】 （2）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在轴上，求的值； （3）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点的取值范围为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深大附中2025—2026学年度第一学期期末考试 初三数学试卷 说明：1．全卷分试卷和答题卡，共6页，考试时间90分钟，满分100分． 2．答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡．不得在答题卡其它区域做任何标记． 3．答题卡上的答案必须写在题目指定位置上．（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分） 4．考试结束，请将答题卡上交． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图即可判定． 【详解】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意； B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键． 2. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点在该图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是利用“反比例函数图象上点的横、纵坐标乘积等于比例系数”求解． 先根据已知点求出反比例函数的值，再验证选项中点的横、纵坐标乘积是否等于． 【详解】解：反比例函数的解析式为，图象上的点满足， 已知点在该图象上，则． 依次验证各选项： A、，不在图象上； B、，不在图象上； C、，不在图象上； D、，在图象上． 故选：D． 3. 将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ） A. y＝（x＋3）2＋3 B. y＝（x﹣3）2＋1 C. y＝（x＋2）2＋1 D. y＝（x＋3）2＋1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后为 ，即可求解． 【详解】解：∵抛物线y＝x2的顶点坐标为 ， ∴向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后为 ， ∴将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线y＝（x＋3）2＋3 故选：A 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线平移的规律是解题的关键． 4. 抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键．利用对称轴公式运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：A． 5. 如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质.先求出，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D 6. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴（米）， 故选：A． 7. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流．与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A. 当时， B. I与R的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，I的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，根据题意设I与R的函数关系式是，将代入关系式，求出反比例函数关系式再根据各选项的条件求出结论，即可判断是否正确，进而得到答案． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意， 当时，， ∵， ∴I随R增大而减小， ∴当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故A、C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 8. 在锐角中，所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是作出正确的图象． 通过作高将边c分解为两段，利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：设从C点作高于D，如图， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 抛物线的顶点坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据顶点式 可直接得出顶点坐标． 【详解】解：抛物线 是顶点式的形式，其中，，因此顶点坐标为 ． 故答案： 10. 在中，，如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求余弦值，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股定理求出，再根据余弦定义求解． 【详解】解：在中，，，， 则． ． 故答案为． 11. 如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为_______________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．利用垂径定理求出是解题的关键． 连接，根据，，得到，，设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， ∴ 故答案为：5． 12. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 根据正三角形有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵是正三角形， ∴， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长=． 故答案为：． 13. 如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为1的相似三角形，那么就称这个四边形为“相似分割四边形”．如图，已知一个四边形是“相似分割四边形”，，，，那么该四边形最小内角的余弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角函数，解题的关键是掌握相关知识． 设，，证明，推出，，得到，过点作于点，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， 设，， ∴， ，即，， ， 过点作于点，则， 该梯形最小内角的余弦值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算绝对值，负指数幂，乘方运算，三角函数，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点C的坐标为． （1）求该反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标； （3）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）y （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系． （1）将代入一次函数解析式中，再将所求坐标代入反比例函数解析式求解． （2）联立一次函数与反比例函数方程求解； （3）根据一次函数与反比例函数交点坐标，结合一次函数和反比例函数图象，得出时，x的取值范围即可． 【小问1详解】 ∵点在一次函数的图象上， ∴，解得． ∴点C的坐标为． 把代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 令， 解得． 当时，， ∴点D的坐标是． 【小问3详解】 解：由图可知：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上面，所以当时，x的取值范围是或． 16. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． （1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 【小问1详解】 解：设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：设降价y元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250元， 答：要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元． 17. 太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案： 【数据采集】：如图，点 是桥塔顶部一点， 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部 处的俯角 ，底部处的俯角 ，沿水平方向由点 飞行米到达点 处，在 处测得 处的俯角． ，已知图中各点均在同一竖直平面内； 【数据应用】： （1）请根据以上数据求桥塔 高度(结果精确到1米．参考数据： )； 【方案反思】： （2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案(，米， ）中至多可以删减的数据为 ． 【答案】（1）；（2）56米和 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键； （1）延长交于点，则，分别解，，求得，进而根据，，即可求解； （2）依题意由（1）可得只需要求得的长度，则只需要数据，即可求解． 【详解】解：（1）如图，延长交于点，则， 在中，， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵沿水平方向由点  飞行米到达点 处， ∴， 解得；， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：桥塔 的高度约为米； （2）考虑到现代无人机能实时显示点到水平地面的距离，则可减少需要采集的数据， 由（1）可得只需要求得的长度， ∴只需数据，则原数据采集方案( ，米， ）中至多可以删减的数据为56米和， 故答案为：56米和． 18. 如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线． （1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由； （2）在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径． 【答案】（1）①和②，③，真命题，证明见解析；（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】（1）选择①和②为条件，③为结论，连接OD，由等边对等角可得出∠A＝∠C，∠A＝∠ODA，即可推出∠C＝∠ODA，从而可证明，再根据平行线的性质和∠DEC=90°，可证明∠ODE=∠DEC=90°，即，说明DE是⊙O的切线； （2）连接BD，由直径所对圆周角为直角得出．再结合等腰三角形三线合一的性质可得出AD=CD=5．又易证，即得出，代入数据即可求出AB的长． 【小问1详解】 解：选择①和②为条件，③为结论，且该命题为真命题． 证明：如图，连接OD， ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C． ∵OA=OD， ∴∠A＝∠ODA， ∴∠C＝∠ODA， ∴． ∵∠DEC=90°， ∴∠ODE=∠DEC=90°，即， ∴DE是⊙O的切线． 故答案为：①和②，③；（答案不唯一） 【小问2详解】 解：如图，连接BD， ∵AB为直径， ∴，即． ∵AB=BC， ∴AD=CD=5． 在和中， ∴， ∴，即， ∴． 故圆O的直径为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理以及三角形相似的判定和性质．解题的关键是连接常用的辅助线． 19. 光的折射． 物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比（，均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号表示，即 【概念理解】 （1）如图①，若入射角的度数为，折射率，求折射角的度数． （2）如图②，直线是真空与某种介质的分界线，折射率，是入射光线，点是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入思考】 （3）如图③，直线是真空与某种介质的分界线，折射率，直线上有一个位置固定的遮光板，且是的中点；在直线下方有一个圆形区域，且与相切于点．点光源在直线的上方，经过遮光板的遮挡，使得折射光线不能进入的内部，已知的半径为，．（假设入射光线在端点，处能够发生折射），求点光源到直线的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、三角函数的应用以及直线与圆的位置关系，关键是理解光的折射定律，并结合三角函数、圆的切线性质、对称性分析求解． （1）直接应用折射定律公式，将已知的入射角、折射率代入公式，通过计算得到；再结合“为锐角”的条件，利用特殊角三角函数值确定折射角． （2）由折射率可知，即折射角的正弦值为入射角正弦值的．作图时，以入射点为圆心画弧确定入射光线与法线的交点，通过作垂直平分线等操作，截取符合比例的线段，从而确定折射光线的方向，最终作出满足折射定律的折射光线． （3）要使点光源到直线的距离最大，光源需位于遮光板正上方，此时折射光线为圆的切线．先由，结合圆的切线性质，通过推出折射角，再代入折射定律，结合，求入射角的正弦值得．最后在中计算得，即点光源到直线的最大距离． 【详解】（1）解：根据光的折射定律， 已知，，代入得． ∵为锐角， ∴， 即折射角的度数为； （2）解：作图步骤如下： ①在上任取一点，作法线于，则； ②以为圆心，长为半径画； ③作的垂直平分线，交于，则点到法线的距离为； ④作射线，交于，则 根据对称性，点到法线的距离与点到法线的距离相等，为， 所以，则， 则就是求作的图形，如图所示： （3）要求光源到直线的距离的最大值，则光源应位于遮光板的正上方． 如图，分别过点和点作的切线，交于点，过点作的平行线，则，根据题意，点应该在线段上，设入射角为，折射角为，此时的值是点光源到直线的距离的最大值． ∵，是的中点， ∴． ∵⊙与相切于，⊙的半径为，即， ∴， ∴． ∵是⊙的切线，是⊙的切线， ∴， ∵． ∴折射角． 根据折射定律，代入，得． ∵， ∴，解得． 在中，由勾股定理得， 即点光源到直线的距离的最大值为． 20. 已知二次函数． 【特例分析】 （1）当，，2时，其图象对应为图中的，，，观察图象：发现二次函数恒过两个定点分别为______，______，对称轴为______； 【性质运用】 （2）将函数图象向下平移个单位，若所得图象的顶点落在轴上，求的值； （3）已知点，，线段与此函数图象有且只有一个公共点的取值范围为______． 【答案】（1）和，直线；（2）的值为或；（3）或或 【解析】 【分析】（1）因为，令，则或2，此时，从而可求得定点坐标，继而由对称性可得对称轴； （2）由可知抛物线的顶点为，由平移可知，再根据和时，分别解方程即可； （3）当时，只要当时，且当，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；或者当时，且当，，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，可列不等式组解得；当时，可得线段与此函数图象恒有且只有一个公共点，即可求解． 【详解】解：（1），令， 则或2，此时， 故二次函数恒过定点和， 由对称性可知对称轴为直线， 故答案为：和，直线； （2）由可知抛物线的顶点为， 由平移可知， 当时，解得； 当时，解得， 综上，的值为或； （3）当时，只要当，且当，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点，即，解得； 或者当，且当，即可满足线段与此函数图象有且只有一个公共点， 即，解得， 当时，， 线段与此函数图象恒有且只有一个公共点， 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，图象过定点问题，图象和平移规律，二次函数的函数值大小，二次函数与线段的交点问题（动线段），熟练掌握以上知识点并学会分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $