第7章 一元一次不等式（复习讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

第7章 一元一次不等式（复习讲义） 1.复习巩固不等式的概念及不等式的基本概念。 2.复习巩固一元一次不等式及不等式的解法，能够准确求解并正确表示解集。 3.能够正确分析实际问题中的不等关系，建立相应的不等式模型，能够准确列出不等式并求解。 知识点1 ：不等式的概念 1.不等式的定义：像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 2.常见的不等式基本语言及符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点2：不等式的基本性质 1.不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； 2.不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 3.不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 知识点3：不等式的解与解集 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 3.解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点4 ：一元一次不等式的定义 1.定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 2.一元一次不等式的一般形式：或. 3.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集. 知识点5：解一元一次不等式 去分母→去括号→移项→化成ax>b（或ax<b等）的形式（其中a≠0）→两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集（化成x>或x<的形式） 步骤 具体做法 注意事项 去分母 把不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后分子整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外的因数是负数时，去括号后括号内的各项都要变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，常数项都移到不等式右边 1）移项时不等号的方向不改变； 2）所移的项改符号，不移的项不变号. 合并同类项 根据合并同类项法则，把不等式整理成或 的形式 只把系数（含符号）相加，字母及字母的指数不变 系数化为1 两边都除以a将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数； 2)根据a的符号决定不等号的方向是否发生改变. 知识点6：一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解。可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易地解决问题。 知识点7 ：一元一次不等式组的定义 关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 知识点8：解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 知识点9 ：列一元一次不等式解决实际问题的方法 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 知识点10：列一元一次不等式解决实际问题的步骤 一元一次不等式的应用 题型一 不等式的定义 【例1】下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，正确理解不等式的定义是解题的关键．用不等号连接表示大小关系的式子，叫做不等式．根据不等式的定义判断即可． 【详解】解：A、是代数式，不是不等式，所以选项A不符合题意； B、是方程，不是不等式，所以选项B不符合题意； C、是不等式，所以选项C符合题意； D、是等式，不是不等式，所以选项D不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 【变式1-2】用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． （1）“x的2倍”表示为，“与3的和”表示再加上3，即，“小于15”意味着该表达式的值比15小，用不等号“”连接，即可列出不等式； （2）“y的一半”表示为，“与1的差”表示减去1，即，“是负数”表示该表达式小于0，即可列出不等式； （3）“与1的和”表示为，“不小于6”意味着该不等式大于或等于6，用不等号“”连接，即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得． （3）解：由题意，得． 题型二 不等式的基本性质 【例2】如果，那么下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式错误，不符合题意； B、由可得，原式错误，不符合题意； C、由可得，则，原式正确，符合题意； D、由可得，原式错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】将不等式“”化为“”的结果是 ． 【答案】 【分析】将不等式两边同时减去6，利用不等式的基本性质，使左边变为，右边变为常数． 本题考查不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 故答案为： 【变式2-2】下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，重点关注不等号方向是否正确． 【详解】解：A、由，根据不等式的对称性，不等号方向应相反，得，而不是，不符合题意； B、由，，根据不等式的传递性，得，而不是，不符合题意； C、由，根据不等式的对称性，应得到，不符合题意； D、根据不等式的对称性，由可得，故该变形正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的传递性、以及在乘除正数时不等号方向不变的性质，同时注意恒为正数这一隐含条件． 题型三 一元一次不等式定义 【例3】下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．选项A是方程，选项B是代数式，选项C中未知数的次数为2，只有选项D满足条件． 【详解】解：∵ 一元一次不等式需满足：含一个未知数、未知数次数为1、且为不等式． 选项A：，是方程，不是不等式； 选项B：，是代数式，没有不等号； 选项C：，未知数x的次数为2，不是一次； 选项D：，含一个未知数x，x的次数为1，且为不等式． 故选：D． 【变式3-1】已知是关于x的一元一次不等式，求b的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式是一元一次不等式是解题的关键．根据一元一次不等式的定义，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故答案为：1． 【变式3-2】关于x的不等式是一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式定义，解题的关键在于正确理解一元一次不等式定义． 根据一元一次不等式定义，推出且，解之，即可解题． 【详解】解：关于x的不等式是一元一次不等式， 且， 解得且， 综上，； 故答案为：． 题型四 解一元一次不等式 【例4】解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 去分母得： 移项得：， 合并同类项得： 系数化为得：． 【变式4-1】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】（1）按照解一元一次不等式的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为，注意系数为负时不等号方向改变； （2）先去分母，再按上述步骤求解，同样注意不等号方向的变化． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． 该不等式的解集在数轴上表示如图所示． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握解一元一次不等式的基本步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． 【变式4-2】不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握移项、合并同类项是解题的关键． 通过移项和合并同类项求解一元一次不等式． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 合并同类项得 ． 故答案为：． 题型五 一元一次不等式整数解 【例5】已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的负整数解，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先解不等式得到解集，再找出负整数解，代入方程求解a． 【详解】解：解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴负整数解为， 将代入方程， 得，即， 解得． 故答案为：． 【变式5-1】满足不等式的所有正整数解是 ． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握一元一次不等式的整数解是解题的关键． 不等式的所有正整数解即为从1开始到4的所有正整数． 【详解】解：不等式表示小于或等于4，由于是正整数，因此的取值从1开始，依次为2，3，4， 故答案为 1，2，3，4． 【变式5-2】求不等式的负整数解． 【答案】 ，， 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，先通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求出不等式的解集，再找出解集中的所有负整数即可． 【详解】解： ， 两边同乘6，得， 去括号，得， 合并同类项，得 ， 移项，得， 两边同除以，不等号方向改变，得，即 ， ∴该不等式的负整数解为，，． 题型六 一元一次不等式的应用 【例6】甲、乙两人分别从相距的，两地沿着同一条公路相向而行，甲、乙同时出发，且甲的速度是乙速度的3倍，如果要保证二人在以内相遇，那么甲的速度满足的条件是（   ） A．小于等于 B．小于等于 C．大于等于 D．大于等于 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式在相遇问题中的应用，掌握相向而行时相对速度为速度之和，以及根据时间约束建立不等式的方法是解题的关键． 设乙的速度为，则甲的速度为，相对速度为，相遇时间，要求，解不等式得，故甲的速度． 【详解】解：∵甲、乙相向而行，相对速度为甲速+乙速， 设乙的速度为，则甲的速度为， ∴相对速度 相遇所需时间. 要求，即， ∴，解得 故甲的速度 ∴甲的速度大于等于． 故选：C． 【变式6-1】某高速公路施工路段总长为90千米，若甲、乙两工程队合作，6个月可以完成．若甲工程队先做4个月，则剩下的部分乙工程队需要9个月可以完成． (1)求甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是多少千米； (2)按要求该工程需要在11个月内竣工．由甲工程队先做个月，剩下的部分由乙工程队来完成．为了保证该工程在要求工期内完成，则甲工程队至少做多少个月？ 【答案】(1)9千米和6千米 (2)8个月 【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式在工程问题中的应用，掌握根据工作量关系建立方程组，以及根据工期约束建立不等式的方法是解题的关键． （1）根据两队合作个月完成千米和甲先做个月、乙再做个月完成千米两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）设甲做个月，计算剩余工程量由乙完成所需时间，根据总工期不超过个月的约束列不等式，求解的最小值． 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是千米和千米， 由题意，得， 解得 答：甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是9千米和6千米． （2）解：由题意，得，解得， 的最小值为． 答：甲工程队至少做个月． 【变式6-2】第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．在第十五届全国运动会到来之际，学校计划购买一批体育用品，经调查发现，同一款式的跳绳和足球在甲、乙两家商店标价均相同，其中跳绳每根标价10元，足球每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：跳绳和足球都按九折出售． 乙商店：买两个足球送一根跳绳 学校计划订购足球40个，跳绳若干（多于20根），单独在甲商店或者乙商店购买 (1)若订购跳绳的数量是30根，如果在乙商店订购，购买跳绳和足球的总费用是多少？ (2)当订购跳绳的数量是多少根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同？ (3)根据跳绳的购买数量，设计一种省钱的订购方案 【答案】(1)总费用是1700元； (2)当订购跳绳40根时，甲、乙总费用相同． (3)当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算． 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程及不等式的实际应用，解题的关键是掌握甲商店和乙商店的优惠方式． （1）根据乙商店的优惠方式列式求解即可； （2）设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，根据题意列出一元一次方程求解即可； （3）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：元， ∴购买跳绳和足球的总费用是1700元； （2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， ∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同． （3）解：设订购跳绳的数量是x根， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算． 题型七 一元一次不等式组定义 【例7】下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的识别，掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键． 由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组，据此逐项分析即可求解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，可知， A、第二个不等式为分式不等式，不是一元一次不等式组，故选项A不符合题目要求； B、不等式组中含有两个未知数x和y，不是一元一次不等式组，故选项B不符合题目要求； C、第一个不等式没有未知数，不是一元一次不等式组，故选项C不符合题目要求； D、两个不等式都是关于x的一次不等式，是一元一次不等式组，故选项D符合题目要求． 故选：D． 【变式7-1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式7-2】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意； B．该不等式组中有2个未知数，故本选项不符合题意； C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意； D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 题型八 解一元一次不等式组 【例8】解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 【答案】(1)．数轴见解析 (2)．数轴见解析 (3)无解．数轴见解析 【分析】（1）（2）（3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图①所示， ∴这个不等式组的解集为． （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图②所示， ∴这个不等式组的解集为． （3）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 在数轴上表示两个不等式的解集，如图③所示， ∴这个不等式组无解． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【变式8-1】解不等式组： 【答案】 【分析】根据不等式的计算方法求解即可． 本题主要考查了不等式组的求解，准确计算是解题的关键． 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 解不等式③，得． 在数轴上表示出不等式①②③的解集如下： ∴该不等式组的解集为． 【变式8-2】解下列不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）． （1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：． 题型九 一元一次不等式组整数解 【例9】若是不等式组的最大整数解，求的值． 【答案】0 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，从而确定最大整数解；再将的值代入等比数列求和式，利用等比数列求和公式计算最终结果． 【详解】解：①解第一个不等式： ． ②解第二个不等式： ． ③确定不等式组的解集： 两个不等式的解集分别为和， ∴不等式组的解集为． ④ 求最大整数解： 在范围内的整数有，，最大整数解为． ⑤代入求和： ． ∵项数是偶数，且和交替出现，两两相加为，∴总和为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是正确求解不等式组，确定最大整数解，并利用规律简化求和计算． 【变式9-1】求不等式组：的所有整数解． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而可得出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为 ∴原不等式组的所有整数解是． 【变式9-2】解不等式组并写出非负整数解． 【答案】不等式组的解集为，非负整数解为0，1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，先分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集，从而得出非负整数解即可 【详解】解：， 解不等式①：，，得， 解不等式②：，，得， 不等式组的解集为，非负整数解为0，1 题型十 一元一次不等式组应用 【例10】为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 【详解】解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 【变式10-1】海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元． (1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； (2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 【答案】(1)A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确 (2)5种 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，根据两次采购的车辆数和花费列出二元一次方程组，即可解答； （2）设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆，根据采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，列出不等式组，结合a为整数，即可解答． 【详解】（1）解：设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元， 依题意得， 解得， ∵，， ∴采购经理的估计正确， 答：A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确． （2）解：设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆， 依题意得， 解得， ∵a为整数， ∴，4，5，6，7， 答：该企业有5种可行的采购方案． 【变式10-2】某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 基础巩固通关测 一、单选题 1．a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列不等式，掌握知识点是解题的关键． “平方差”指两个数的平方之差，即；“不小于”表示大于或等于，即大于或等于3，即可解答． 【详解】解：a与b的平方差不小于3，用不等式表示为． 故选C． 2．若，下列运用不等式的基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，包括不等式的可加性和传递性，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一分析每个选项的变形是否符合性质；对不符合性质的选项，可代入具体数值验证其错误． 【详解】解：A、，但A为，错误，不符合题意． B、例如，则，此时，不满足小于，错误，不符合题意． C、例如，则不成立，错误，不符合题意． D、， ． 又， ． 根据不等式的传递性，可得． 故D正确，符合题意． 故选：D． 3．今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长年后此树树围超过，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据生长年后此树树围超过（即），即可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：∵ 初始树围为，每年增长， ∴ 年后树围为. 又∵ 树围超过（即）， ∴ ． 故选：A. 4．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集． 先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：D． 5．如果的压力F作用于物体上，产生的压强P要大于，那么下列关于物体受力面积的说法正确的是（   ）． A．S小于 B．S大于 C．S等于 D．S大于 【答案】A 【分析】本题考查了压强，熟练掌握压强的计算公式和公式变形计算，是解题的关键． 根据压强公式，代入数值后变形求解S的取值范围． 【详解】解：∵，且，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，草莓有损耗，实际销售量为，销售收入为元，为避免亏本，销售收入应不小于进货成本元，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 7．不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集等知识点、正确求得不等式的解集是解题的关键． 先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ． 在数轴上表示如下： ． 故选C． 8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先分别求出各不等式的解集，即可写出不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则，将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为； 则不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：A． 二、填空题 9．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 所以不等式组的解集为， 故答案为：． 10．已知为非零实数，若的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 由不等式解集的形式判断的符号，再根据解集端点建立方程求解． 【详解】解：∵的解集为， ． 当时，解不等式，得． 又该不等式的解集为， ， 解得． 检验：符合题意， 故答案为：． 11．某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作 天． 【答案】20 【分析】本题考查工程问题与一元一次不等式的结合应用，掌握用工作量表示工作天数的方法，以及根据费用约束建立不等式的思路是解题的关键． 设甲工程队工作天，根据工程完成条件，乙工程队工作天数为，再根据施工费用限制列出不等式求解． 【详解】解：设甲工程队工作天，则乙工程队工作天数为 天． 总施工费用为 ． 化简得 ， 即 ， 所以 ， 解得 ． 故甲工程队至多工作天． 故答案为：． 三、解答题 12．解一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， 解得， ∴原不等式的解集为； （2）解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 13．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得：_____， (2)解不等式②，得：_____． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_____ 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可； （2）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）取两个不等式解集的公共部分即可求解． 【详解】（1）解： ， 解得， 故答案为：； （2）解： ， 解得， 故答案为：； （3）解：不等式解集在数轴上表示如下： （4）解：由（3）可得不等式组的解集为． 14．近年来，我国新能源汽车产业已形成“研发－制造－消费－出海”的全链条优势，成为全球电动化转型的核心引擎．某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件的质量是1.2吨，1个B型部件的质量是0.8吨，现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输这两种部件共16个去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 【答案】11个 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设这辆卡车运输个型部件，根据卡车的最大额定载重质量为15吨，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设这辆卡车运输个型部件，则运输个型部件， 根据题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为11． 答：这辆卡车最少要运输11个型部件． 15．某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，已知型客车每辆租金1250元，型客车每辆租金1000元．学校根据实际情况，计划租用两种客车共8辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)完成下表（用含的式子表示）： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车多少辆？ 【答案】(1)；， (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车4辆 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可直接进行求解； （2）由（1）及题意可列不等式为，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 （2）解：由题意，得， 解得． 答：若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车4辆． 能力提升进阶练 一、单选题 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 2．已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解不等式组，得到解集为，由于有且只有两个整数解，可知整数解为和，因此需满足，从而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为； ∵有且只有两个整数解， ∴整数解为和； ∴； ∴； 故选：B． 3．若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的整数解与一元一次方程的解，分别求解不等式组的解集、方程的解，结合条件确定的取值范围，进而得到符合条件的整数并求和． 【详解】解：先解不等式组，解不等式①，得；解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有2个整数解，结合，可知整数解为2、1， ∴，解得． 再解关于的方程，得， ∵方程的解为非正数，即， ∴，解得． 结合与，得，符合条件的整数为2、3， ∵它们的和为， ∴符合条件的整数的和是5． 故选：C． 4．如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，关键是掌握解不等式组的方法．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有且只有2个整数解，求出的取值范围即可求解． 【详解】解： ， 两边乘2得，， 解得，； ， 移项得，， 解得，， 不等式组的解集为． 恰有2个整数解， 整数解为2和3， ， 即， 对比选项，只有3.5满足． 故选：B． 5．某中学购买了一批新桌椅，学校组织200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次．最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用能力，设出桌椅的套数，表示出搬桌子、椅子的人数是解题的关键． 设可搬桌椅套，根据“规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次”，那么搬桌子需人，搬椅子需人，根据总人数为人，列不等式求解即可． 【详解】解：设可搬桌椅套，则搬桌子需人，搬椅子需人， 根据题意，得：， 解得： ∴最多可搬桌椅套， 故选：C． 6．小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是根据题意找出不等关系列出不等式． 设要跑，则步行时间为，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】解：设要跑，则步行时间为， ∵她步行每分钟可走，跑步每分钟可跑． ∴她跑步距离为，步行距离为， ∵总距离至少为，， ∴总距离需满足， 故选：B． 7．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 8．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 先根据题中所给的条件得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， . 故的取值范围是. 故选：D． 二、填空题 9．设x，y都是正整数，且满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，求一元一次不等式的整数解，已知字母的值，求代数式的值． 根据不等式的性质，可得，结合已知可得，求整数解，可得，，代入计算即可． 【详解】解：∵，都是正整数，， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵，，是正整数， ∴的可能取值为，，，， 当时，，， ∵， ∴，无正整数解， 当时，，， ∵， ∴，无正整数解， 当时，，， ∵， ∴，有正整数解， ∴，，，符合题意， ∴， 当时，，， ∵， ∴，有正整数解， 此时，，与“”矛盾， ∴的值为． 故答案为：． 10．有下列各数：①－3；②－2；③0；④5．其中能使不等式成立的为 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，掌握绝对值不等式等价于或是解题的关键． 解绝对值不等式，得到或，然后逐一验证各数是否满足条件． 【详解】解：由，得或，即或 ． ①，满足； ②，不满足； ③且，不满足； ④，满足． 故答案为：①④． 11．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求的值，然后根据解是正数，求出的取值范围即可． 【详解】解：解原方程得． ∵原方程的解是正数，即， ， 解得． 故答案为：． 12．一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式、程序图，根据程序图得到一元一次不等式是解题的关键． 根据运算程序首先得到第1次程序操作未能输出结果时的一元一次不等式，再对一元一次不等式进行求解即可． 【详解】解：由运算程序可得：要是经过第1次程序操作未能输出结果，应该满足， ∴解得：， 故答案为：． 三、解答题 13．（1）解不等式：； （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的解法，熟练掌握一元一次不等式（组）的解法是解答本题的关键． （1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解即可； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ， （2）解不等式组 解 得 ， 解 得 ， 所以不等式组的解集为 ． 14．已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 【答案】(1)-3 (2)，0 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集以及代数式求值，根据题意列出不等式组是解答本题的关键． （1）把代入整式计算即可； （2）根据题意可得不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意，得． （2）解：由题意，得， 解得， 的非正整数值为，． 15．某部队在执行一次任务时，准备将人员编成8个组．若每组人数比预定人数多1，总人数将超过100，则预定每组分配的人数至少为多少？ 【答案】预定每组分配的人数至少为12． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设预定每组分配的人数人，根据“每组人数比预定人数多，总人数将超过”，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出结论． 【详解】解：设预定每组分配的人数为人， 依题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最小值为． 答：预定每组分配的人数至少为人． 16．某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．投篮得分规则如下：在三分线外投篮，投中一球可得3分；在三分线内（含三分线）投篮，投中一球可得2分．某班级在其中一场比赛中共投中26个球（只有两分球和三分球），所得总分不少于56分，则该班级在这场比赛中至少投中了多少个三分球？ 【答案】该班级在这场比赛中至少投中了4个三分球 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，掌握根据得分条件建立不等式的方法是解题的关键． 设投中三分球的数量为未知数，用总投篮数表示出两分球的数量，再根据总分不少于分的条件列出不等式，求解得出三分球数量的最小值． 【详解】解：设该班级在这场比赛中投中了个三分球，则投中了个两分球． 根据题意，得， 解得． 答：该班级在这场比赛中至少投中了4个三分球． 17．温州一条道路长米，小华准备在道路两旁栽树起点一端都不栽，他决定每隔米种树，每隔米种树，种了树的地方不再种树；若种一棵树元，一棵树元． (1)一共要种多少棵树和多少棵树？ (2)不改变原来树的棵数，小华计划花费不超过元，则他最多种多少棵树？ 【答案】(1)树要种棵，树要种棵； (2)棵． 【分析】本题主要考查有理数乘除法的运用，一元一次不等式的应用，正确求出树的数量是解题的关键． （）根据道路长米，每隔米种树，且起点一端都不栽可求出在路的一旁种树的数量，再乘以即可得出种树的总数量；然后再用同样的方法求出种树的总数量即可； （）设最多可种棵树，则可种树数量为棵，根据计划花费元以下列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ∴道路一旁树的数量为棵， ∵是在道路两旁栽树， ∴树总数量为棵； ∵种了树的地方不再种树， ∴每隔米即和的最小公倍数种树，不种树， ∴道路一旁实际树数量为棵， ∴道路两旁树总数量为棵； 答：树要种棵，树要种棵； （2）解：设最多可种棵树，则可种树数量为棵， ∴， ∴， 答：小华最多种棵树． 26 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 一元一次不等式（复习讲义） 1.复习巩固不等式的概念及不等式的基本概念。 2.复习巩固一元一次不等式及不等式的解法，能够准确求解并正确表示解集。 3.能够正确分析实际问题中的不等关系，建立相应的不等式模型，能够准确列出不等式并求解。 知识点1 ：不等式的概念 1.不等式的定义：像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 2.常见的不等式基本语言及符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点2：不等式的基本性质 1.不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； 2.不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 3.不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 知识点3：不等式的解与解集 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 3.解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点4 ：一元一次不等式的定义 1.定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 2.一元一次不等式的一般形式：或. 3.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的所有解组成一元一次不等式的解集. 知识点5：解一元一次不等式 去分母→去括号→移项→化成ax>b（或ax<b等）的形式（其中a≠0）→两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集（化成x>或x<的形式） 步骤 具体做法 注意事项 去分母 把不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后分子整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外的因数是负数时，去括号后括号内的各项都要变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，常数项都移到不等式右边 1）移项时不等号的方向不改变； 2）所移的项改符号，不移的项不变号. 合并同类项 根据合并同类项法则，把不等式整理成或 的形式 只把系数（含符号）相加，字母及字母的指数不变 系数化为1 两边都除以a将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数； 2)根据a的符号决定不等号的方向是否发生改变. 知识点6：一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解。可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易地解决问题。 知识点7 ：一元一次不等式组的定义 关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 知识点8：解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 知识点9 ：列一元一次不等式解决实际问题的方法 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 知识点10：列一元一次不等式解决实际问题的步骤 一元一次不等式的应用 题型一 不等式的定义 【例1】下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】用不等式表示下列数量关系： (1)x的2倍与3的和小于15． (2)y的一半与1的差是负数． (3)与1的和不小于6． 题型二 不等式的基本性质 【例2】如果，那么下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】将不等式“”化为“”的结果是 ． 【变式2-2】下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 题型三 一元一次不等式定义 【例3】下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知是关于x的一元一次不等式，求b的值． 【变式3-2】关于x的不等式是一元一次不等式，则 ． 题型四 解一元一次不等式 【例4】解下列不等式： (1)； (2)． 【变式4-1】解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)． (2)． 【变式4-2】不等式的解集是 ． 题型五 一元一次不等式整数解 【例5】已知关于x的方程的解是不等式的负整数解，则a的值为 ． 【变式5-1】满足不等式的所有正整数解是 ． 【变式5-2】求不等式的负整数解． 题型六 一元一次不等式的应用 【例6】甲、乙两人分别从相距的，两地沿着同一条公路相向而行，甲、乙同时出发，且甲的速度是乙速度的3倍，如果要保证二人在以内相遇，那么甲的速度满足的条件是（   ） A．小于等于 B．小于等于 C．大于等于 D．大于等于 【变式6-1】某高速公路施工路段总长为90千米，若甲、乙两工程队合作，6个月可以完成．若甲工程队先做4个月，则剩下的部分乙工程队需要9个月可以完成． (1)求甲、乙两工程队每月的施工路段长度分别是多少千米； (2)按要求该工程需要在11个月内竣工．由甲工程队先做个月，剩下的部分由乙工程队来完成．为了保证该工程在要求工期内完成，则甲工程队至少做多少个月？ 【变式6-2】第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．在第十五届全国运动会到来之际，学校计划购买一批体育用品，经调查发现，同一款式的跳绳和足球在甲、乙两家商店标价均相同，其中跳绳每根标价10元，足球每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：跳绳和足球都按九折出售． 乙商店：买两个足球送一根跳绳 学校计划订购足球40个，跳绳若干（多于20根），单独在甲商店或者乙商店购买 (1)若订购跳绳的数量是30根，如果在乙商店订购，购买跳绳和足球的总费用是多少？ (2)当订购跳绳的数量是多少根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同？ (3)根据跳绳的购买数量，设计一种省钱的订购方案 题型七 一元一次不等式组定义 【例7】下列选项中是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】在下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 题型八 解一元一次不等式组 【例8】解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 【变式8-1】解不等式组： 【变式8-2】解下列不等式（组）： (1) (2) 题型九 一元一次不等式组整数解 【例9】若是不等式组的最大整数解，求的值． 【变式9-1】求不等式组：的所有整数解． 【变式9-2】解不等式组并写出非负整数解． 题型十 一元一次不等式组应用 【例10】为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【变式10-1】海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元． (1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； (2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 【变式10-2】某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 基础巩固通关测 一、单选题 1．a与b的平方差不小于3，用不等式表示为（） A． B． C． D． 2．若，下列运用不等式的基本性质变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．今年植树节时，某同学栽种了一棵树，此树的树围（树干的周长）为，已知以后此树树围每年增长，若生长年后此树树围超过，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 4．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如果的压力F作用于物体上，产生的压强P要大于，那么下列关于物体受力面积的说法正确的是（   ）． A．S小于 B．S大于 C．S等于 D．S大于 6．某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 9．不等式组的解集是 ． 10．已知为非零实数，若的解集为，则 ． 11．某小区王先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项工程．甲工程队单独完成此项工程需50天，由于工期过长，王先生要求装修公司再派一支乙工程队与甲工程队合作完成此项工程，乙工程队单独完成此项工程需30天．甲、乙工程队每天施工费分别为800元和1000元，若王先生要求施工费用不能超过34000元，则甲工程队至多工作 天． 三、解答题 12．解一元一次不等式（组）： (1) (2) 13．解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得：_____， (2)解不等式②，得：_____． (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为_____ 14．近年来，我国新能源汽车产业已形成“研发－制造－消费－出海”的全链条优势，成为全球电动化转型的核心引擎．某仓库放置若干个A型部件和B型部件．已知1个A型部件的质量是1.2吨，1个B型部件的质量是0.8吨，现有一种我国自产的卡车，最大额定载重质量为15吨，要用一辆这种卡车运输这两种部件共16个去往某地，由于其它方面都满足运输要求，只需考虑所载部件的总质量不能超过汽车的最大额定载重量．求这辆卡车最少要运输多少个B型部件？ 15．某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有型、型两种客车，已知型客车每辆租金1250元，型客车每辆租金1000元．学校根据实际情况，计划租用两种客车共8辆．设租用型客车辆，根据要求回答下列问题： (1)完成下表（用含的式子表示）： 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 (2)若要保证租车费用不超过9000元，最多租用型客车多少辆？ 车型 车辆数/辆 租金/元 型客车 型客车 能力提升进阶练 一、单选题 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 5．某中学购买了一批新桌椅，学校组织200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次．最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 6．小华同学现要在38min内完成4.1km的路程，已知她步行每分钟可走90m，跑步每分钟可跑210m．小华同学完成这段路程，至少要跑多少分钟？设要跑x min，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 7．若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 8．定义一种法则“”如下：，例如：．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．设x，y都是正整数，且满足，，则的值为 ． 10．有下列各数：①－3；②－2；③0；④5．其中能使不等式成立的为 （填序号）． 11．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 12．一个运算程序如图所示，从“输入x”到“是否≥37”为一次程序操作，若输入x后经过第1次程序操作未能输出结果，则x的取值范围为 ． 三、解答题 13．（1）解不等式：； （2）解不等式组 14．已知整式的值为． (1)当时，求的值； (2)若的取值范围如图所示，求的非正整数值． 15．某部队在执行一次任务时，准备将人员编成8个组．若每组人数比预定人数多1，总人数将超过100，则预定每组分配的人数至少为多少？ 16．某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．投篮得分规则如下：在三分线外投篮，投中一球可得3分；在三分线内（含三分线）投篮，投中一球可得2分．某班级在其中一场比赛中共投中26个球（只有两分球和三分球），所得总分不少于56分，则该班级在这场比赛中至少投中了多少个三分球？ 17．温州一条道路长米，小华准备在道路两旁栽树起点一端都不栽，他决定每隔米种树，每隔米种树，种了树的地方不再种树；若种一棵树元，一棵树元． (1)一共要种多少棵树和多少棵树？ (2)不改变原来树的棵数，小华计划花费不超过元，则他最多种多少棵树？ 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $