圆锥曲线 轨迹方程、离心率、弦长问题专项训练——2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、弦长问题专项训练 圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、弦长问题专项训练 考点目录 轨迹方程问题 离心率问题 弦长问题 考点一 轨迹方程问题 例1．（25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【详解】由题可知，， 因此动点P的轨迹为两条射线， 故选：B. 例2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 例3．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故答案为： 例4．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知，则的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】圆的方程可化为， 设圆心的坐标为，则满足， 由，得，且， 所以，圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，为中点，则动点的轨迹方程为 ，的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由为中点，则，故， 故动点的轨迹为以为原点，半径为的圆，即为； 对，令，解得，故过定点， 对，令，解得，故过定点， 又，故，故， 故点在以为直径的圆上，又中点为， ，且直线斜率存在， 则点的轨迹方程为（除点）， 由为中点，则，则， 又，，， ，则， 由，点在直线上， 故， 即，则.    故答案为：；. 变式1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．抛物线 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【详解】如图，设动圆的圆心为，半径为， 由题意得圆：，圆：， 则，，， 所以，所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆（除去点）. 故选：C. 变式2．（2025·江苏·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经点，且轴交于另一点，与轴交于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：为圆的直径，所以圆心坐标为，半径为， 因为点在圆上，所以， 整理得. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·福建泉州·月考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】解法一：当直线斜率存在时，设点，，直线斜率为，弦中点坐标为， 则，作差得，即①， 又因为抛物线的焦点，所以②， 联立①②得，即， 当直线斜率不存在时，易知线段的中点为，在上， 所以所求轨迹方程为， 故答案为： 解法二：抛物线的焦点为，设点，， 若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 则设直线的方程为， 联立得，， 则，所以， 设线段的中点为，则，，即， 所以，化简可得， 所以线段的中点的轨迹方程为， 故答案为： 变式4．（25-26高三上·广东湛江·月考）已知椭圆，直线，为直线上一点，射线交于点，点在上，且有，当点在上移动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】（不含原点） 【详解】设，且，则，由， 可得，从而，则，结合， 可得.又由题可得，，故，， 将分别代入中，可得，， 所以点的轨迹方程为，即（不含原点）． 故答案为：（不含原点）． 变式5．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设线段的中点为，点的坐标为. 因为是的中点，所以可得，即. 因为点在曲线上，所以将代入曲线方程可得.化简得： 故答案为：. 考点二 离心率问题 例1．（25-26高二上·陕西汉中·月考）如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知 方法一：因为， 则， 即，可得，所以椭圆的离心率. 方法二：由在以为直径的圆上可设，则， 易知，则， 所以，即，可得，所以椭圆的离心率. 故选：A. 例2．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线，与的两支交于两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知双曲线的焦点在轴上，过作圆的切线，设切点为， 因为，所以在双曲线的右支上.如图， 则，且，，由勾股定理知. 设，则，. 设， 由，即，得. 在中， . 由正弦定理得， 所以，. 又， 所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 例3．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过点的直线与C的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】的周长为. 因为周长的最小值为8a，所以可得的最小值为. 因为直线过点，所以当时，取得最小值. 令，得，则，解得. 故的离心率为. 故选：A 例4．（2026·陕西咸阳·一模）设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【详解】 ， 因为。所以， 所以， 所以 故答案为： 例5．（25-26高三上·辽宁·期末）已知为椭圆的左焦点，过且斜率为的直线与 在第四象限相交于点，设为坐标原点，若为等腰三角形，则的离心率为 . 【答案】 【详解】由直线的斜率为可得，所以， 因为为等腰三角形，点在第四象限，设，其中， 若，可得，整理得， 因为，所以，矛盾，舍去； 若，可得点在的垂直平分线上， 因为，与矛盾，舍去； 所以为等腰三角形，点在第四象限，可得， 又因为， 由余弦定理得，可得， 如图所示，设椭圆的右焦点为，连接则， 在中，由余弦定理得，则， 由椭圆的定义可知，即，即，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：.      例6．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【详解】 连接，因为点分别为和的中点， 所以， 又， 所以 设点到一条渐近线的距离，所以 ，又，所以， 中，满足， 又代入上式， 整理为：， 双曲线的离心率. 故答案为： 变式1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，点， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， 则， 所以 ， 由 ，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即，结合，解得. 故选：B 变式2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知椭圆的左焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与E交于M，N两点，若，则E的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【详解】不妨设E的半焦距为c，记右焦点为T，易知，， 由定义知， 记，显然其为锐角，故由，解得，在中由余弦定理得 ， 于是，即， 可得离心率或. 故选：A. 变式3．（25-26高三上·河北·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，为上一点，若，（为坐标原点），则的离心率为 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】不妨设，记，，，由，得， 在中，由余弦定理，得，两式相减，得， 因为为的中点，所以， 所以，又，所以， 所以，又，所以，解得， 所以. 故选：D 变式4．（25-26高三上·河南南阳·月考）双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为 【答案】或 【详解】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为， 不妨设双曲线的标准方程为，则， 设过的直线与圆相切于点，则在中，， 且点位于双曲线的右支，如图所示，    在中，由正弦定理得， ， 又， ， 在中，， 即， 化简得，即. 当直线与双曲线交于一支时，如图，    设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以为锐角， ，，， 过作直线的垂线，垂足为， 由此可得：，， 设，由，得，， ，， 由于，得：， 解得：， 所以. 故答案为：或 变式5．（25-26高二上·陕西延安·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．若椭圆上存在点P，使得，该离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，且，代入得： ，，即， 则：， 因为椭圆上的点到焦点的距离范围为（，且）， 则的范围：，将代入， 两边同时除以得： 该不等式可拆分为和， 当时：因 ，，且 ，故该不等式恒成立， 当时，得，解得（负根舍去）， 结合椭圆离心率，可得. 所以离心率的取值范围：. 故答案为：. 变式6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【详解】设直线与双曲线的两个交点坐标分别为、， 联立可得， 由题意可得，整理可得，可得， 故双曲线的离心率为， 即双曲线的离心率的取值范围是. 故答案为：. 考点三 弦长问题 例1．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于A，B两点，若线段的中点为，求直线的方程及线段的长度. 【答案】(1)； (2)直线的方程；. 【详解】（1）由椭圆：的离心率为， 得，则， 由椭圆过点，得，解得， 所以椭圆的标准方程是. （2）设交点坐标，，， 因为线段的中点为，所以，. 因为，两式相减得， 又因为，可得，即， 所以直线AB的方程为，即. 联立方程，消去y得， 可得，，， 所以. 例2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，的面积是，所以， 点在椭圆上，解得， 故椭圆的方程为. （2）依题意得，设直线， 联立消去得， 由解得， 设，，则，， 所以， 因为，所以， 所以，即的取值范围是. 例3．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知椭圆：（）过点与，是椭圆的左焦点，是椭圆上的一动点（点不在轴上），直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的离心率; (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的焦距. 由题意可得，解得. 因为，所以， 则椭圆C的离心率为. （2）由椭圆的对称性不妨设点，，直线的方程为，. 由得，则，， 故. 因为，所以，所以， 所以，所以， 则，即的取值范围为 例4．（25-26高二上·四川成都·期末）已知为坐标原点，双曲线的实轴长为2，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围； (3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足?若存在，求出圆的半径，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)的方程为. (2). (3)存在，圆的方程为，半径为. 【详解】（1）双曲线的实轴长为2，，即， 又双曲线经过点，，解得， 故的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，设， 将其代入双曲线方程，得， 又，解得， 此时， 当直线的斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 化简，得，此时， ， 当时，此时， 当时，此时， ，，故， 因此， 综上可得. （3）存在，理由如下： 设直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，即, 设， 联立， 根据韦达定理，得， 又总满足，根据切线的性质和双曲线的对称性可知，即， 又，，即， 要使上式对任意的都成立，则，解得， 故圆的方程为，半径为. 当或斜率不存在时，此时，显然满足题意. 综上，圆的方程为，半径为. 变式1．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，当时，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，     又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）设，两点的坐标分别为， 当时，      联立方程，消去后整理为， 则，可得，. 所以. 变式2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题设双曲线， 因为， 所以，直线的方程为， 联立方程解得， 故， 又因为， 所以， 所以，则， 而． 所以双曲线C的标准方程为； （2）如图所示：    法一：因为过点的直线与双曲线相交于两点，直线斜率为， 1）当不存在时，直线的方程，显然不是中点（舍）， 2）当存在时，设直线的方程为，即， 联立方程得①， 设，则， 因为为中点，所以，，解得， 故直线的方程为，即， 将代入①，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长， 法二：因为过点的直线与双曲线相交于两点， 为线段的中点可知，直线的方程不是， 设，直线的斜率为， 由，得， 所以， 因为为中点，则 即， 直线的方程为，即， 联立方程，得， 则， ， 故直线的方程为，弦长. 变式3．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是抛物线的焦点，是上的一点，且. (1)求的方程. (2)已知点均在上，且点与均不重合. （i）若直线经过点，且，求直线的方程. （ii）若直线与直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）是定值，定值为. 【详解】（1）抛物线的焦点，点在抛物线上， 则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）（i）由（1）知，抛物线的方程，焦点， 直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去并整理得，设， 则， ，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由（1）得，设，， 直线的斜率， 由直线与直线的倾斜角互补，得，则， 因此，直线的斜率， 所以直线的斜率是定值，该定值为. 变式4．（25-26高三上·上海·期中）已知拋物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，过点作拋物线的切线，该切线与轴交于点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)若点的坐标为，求 的面积； (3)证明：. 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为拋物线， 所以， 故焦点坐标为，准线方程为. （2）如图，    设过，抛物线的切线方程为， 则，即， 联立，可得， 所以，解得， 所以切线方程为， 令，可得，即, 所以. （3）设，过该点切线方程为， 则，可得， 联立方程，可得， 由，即，解得， 因为，所以， 由抛物线的定义知，， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、弦长问题专项训练 圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、弦长问题专项训练 考点目录 轨迹方程问题 离心率问题 弦长问题 考点一 轨迹方程问题 例1．（25-26高二上·四川凉山·期末）设，为平面上两个定点，动点满足，则动点P的轨迹为（    ） A．直线 B．两条射线 C．椭圆 D．双曲线 例2．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为 例4．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知，则的圆心的轨迹方程为 . 例5．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，为中点，则动点的轨迹方程为 ，的取值范围为 ． 变式1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（   ） A．抛物线 B．双曲线的一支 C．椭圆 D．圆 变式2．（2025·江苏·模拟预测）已知圆心在轴上移动的圆经点，且轴交于另一点，与轴交于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·福建泉州·月考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，则线段的中点的轨迹方程为 ． 变式4．（25-26高三上·广东湛江·月考）已知椭圆，直线，为直线上一点，射线交于点，点在上，且有，当点在上移动时，点的轨迹方程为 ． 变式5．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，O为原点，P为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为 ． 考点二 离心率问题 例1．（25-26高二上·陕西汉中·月考）如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆在第二象限交于且，则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线，与的两支交于两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·甘肃陇南·期末）已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过点的直线与C的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 例4．（2026·陕西咸阳·一模）设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为 . 例5．（25-26高三上·辽宁·期末）已知为椭圆的左焦点，过且斜率为的直线与 在第四象限相交于点，设为坐标原点，若为等腰三角形，则的离心率为 . 例6．（25-26高三上·四川巴中·月考）已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 . 变式1．（24-25高二上·广东汕头·期末）已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）已知椭圆的左焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与E交于M，N两点，若，则E的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 变式3．（25-26高三上·河北·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，为上一点，若，（为坐标原点），则的离心率为 （    ） A． B．2 C． D． 变式4．（25-26高三上·河南南阳·月考）双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为 变式5．（25-26高二上·陕西延安·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为．若椭圆上存在点P，使得，该离心率的取值范围是 ． 变式6．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线的离心率的取值范围是 . 考点三 弦长问题 例1．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于A，B两点，若线段的中点为，求直线的方程及线段的长度. 例2．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知点在椭圆上，是坐标原点，是椭圆的右顶点，的面积是. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知斜率为1的直线交椭圆于不同的两点，，求的取值范围. 例3．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）已知椭圆：（）过点与，是椭圆的左焦点，是椭圆上的一动点（点不在轴上），直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的离心率; (2)求的取值范围. 例4．（25-26高二上·四川成都·期末）已知为坐标原点，双曲线的实轴长为2，且经过点. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围； (3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足?若存在，求出圆的半径，若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，当时，求. 变式2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知双曲线的焦点在轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得的弦长． 变式3．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是抛物线的焦点，是上的一点，且. (1)求的方程. (2)已知点均在上，且点与均不重合. （i）若直线经过点，且，求直线的方程. （ii）若直线与直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 变式4．（25-26高三上·上海·期中）已知拋物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，过点作拋物线的切线，该切线与轴交于点. (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)若点的坐标为，求 的面积； (3)证明：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $