圆锥曲线 定点、定值、定直线问题专项训练——2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 定点问题 定值问题 定直线问题 考点一 定点问题 例1．（25-26高三上·上海浦东·月考）已知椭圆，直线与椭圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向椭圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交椭圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.问：直线是否过定点？若是，请求出此定点；若不是，请说明理由. 例2．（25-26高二上·四川泸州·期末）已知双曲线：的离心率为，焦点到的渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)若垂直于轴的直线与的右支相交于，两点，已知点，直线和的左支交于点. （ⅰ）若，是坐标原点，求直线的方程； （ⅱ）求证：直线过定点. 例3．（25-26高二上·河北·期末）已知椭圆：，过点作两条动直线，，分别交于两点，（，与不重合），且满足，其中，分别为直线，的斜率. (1)若直线的斜率为1，求线段的长度； (2)求直线的斜率； (3)设直线与分别交轴于点，，求证：的中点为定点. 例4．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知直线：与椭圆：交于，两点，，的中点为. (1)求证：直线（O为坐标原点）的斜率与直线斜率之积为定值； (2)（i）若直线过右焦点，直线与直线交于点，判断以线段为直径的圆是否过定点，如果圆过定点求出该定点坐标，如果不过定点，请说明理由； （ii）若，求点的轨迹方程. 变式1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 变式2．（25-26高二上·辽宁·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，圆心的轨迹为，斜率为的动直线与轨迹相交于不同的两点，坐标原点为. (1)求轨迹的方程； (2)若中点的横坐标等于1，求面积的最大值，并求出取最大值时的值； (3)若以为直径的圆经过点，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标. 变式3．（25-26高二上·湖北·月考）已知点在曲线上运动，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为2. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧.求直线斜率的取值范围； (3)若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点并求定点坐标. 变式4．（25-26高三上·江西抚州·期末）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，点为椭圆上的不同两点（异于上下顶点）且，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为. （ⅰ）求直线的方程，并判断直线与椭圆的位置关系； （ⅱ）试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 考点二 定值问题 例1．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆的长轴长为4，以椭圆C的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆C的左、右顶点． (1)求圆和椭圆C的方程； (2)已知分别是椭圆C和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 例2．（25-26高三上·重庆·月考）在平面直角坐标系 中，已知动点到点的距离和E到直线 的距离之比是常数 . (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点 ，使得,试问 是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由. 例3．（25-26高三上·上海奉贤·月考）已知双曲线，的离心率为，长轴长为．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，、是双曲线上两点，点也在双曲线上，直线、与轴分别交于点、，点在直线上．若、关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 例4．（25-26高三上·山东德州·期末）已知双曲线的左右顶点为，，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于，两点（其中在第一象限，且，异于点），为坐标原点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过分别作，的垂线，垂足分别为，，记，的面积为，，若，求的最大值； (3)设圆上一点处的切线．若与双曲线左右两支分别交于，，问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 变式1．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 变式2．（25-26高三上·安徽·期末）已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，，过点的直线交椭圆于另外一点，点是直线上不同于的一点，且满足，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线的斜率不为0，直线的斜率为，直线的斜率为，问是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 变式3．（25-26高三上·天津河西·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为B，离心率，． (1)求椭圆的标准方程； (2)点D是椭圆C上非顶点的一动点，直线交x轴于点P，直线交直线于点Q，是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 变式4．（24-25高二下·贵州遵义·月考）以直线：和直线：为渐近线的双曲线C过点． (1)求双曲线C的标准方程． (2)，是C的两个顶点，P是C上的动点，过点P且垂直于的直线与C交于另一点Q，设直线和相交于点H． ①求点H的轨迹的方程； ②在①的条件下，设，，直线与相交于点R，直线与相交于点T，且，．求证：为定值． 考点三 定直线问题 例1．（25-26高二上·四川眉山·期末）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，M是椭圆上一点，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于P，Q两点，R为线段中点. （ⅰ）求点R的轨迹方程； （ⅱ）点O为坐标原点，射线与椭圆交于点S，点G为直线上一动点，且，求证：点G在定直线上. 例2．（25-26高三上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为是椭圆C在第一象限上的动点．已知椭圆C过点且． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线分别与x轴和y轴交于点．记的面积分别为，求的值； (3)直线与直线交于点D，过D且与平行的直线交直线于点E．证明：点E在定直线上，并求出该直线方程． 例3．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 例4．（25-26高三上·浙江宁波·月考）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 变式1．（24-25高二下·广东惠州·月考）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 变式2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知和是椭圆的左、右顶点，椭圆上的点到其焦点距离的最大值为5，直线与椭圆相交于两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若，求实数的取值范围； (3)直线OM与椭圆的另外一个交点为S，直线与直线相交于点，直线OP与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 变式3．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 变式4．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 圆锥曲线：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点目录 定点问题 定值问题 定直线问题 考点一 定点问题 例1．（25-26高三上·上海浦东·月考）已知椭圆，直线与椭圆交于两点. (1)求； (2)点，过点向椭圆引切线，切点为，求直线的方程； (3)设过点的直线交椭圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.问：直线是否过定点？若是，请求出此定点；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)直线过定点. 【详解】（1）设， 由，得，即，化简得； 所以， 所以； （2）显然过点向椭圆引的切线的斜率均存在，设，， 由，得， 所以，化简得； ，， 所以，即，； 所以，即，又点在直线上，所以； 同理，又点在直线上，所以； 所以直线的方程为，即； （3）设， ①当直线的斜率不存在，即轴时，直线的方程为，与椭圆联立得；    设，则直线的方程为， 代入直线，得； 又，所以为的中点，所以， 所以的斜率， 所以直线为，即； ②当直线经过时，直线的斜率为，直线的方程为；    由，得，即， 所以或，所以或； 如图，取，所以，所以； 又为的中点，所以，所以； 所以的斜率，所以直线为，即； ③当直线的斜率存在，设直线的方程为，即，    由，得， ，解得或； ，， ， 由，得，， 又，所以，所以； 又为的中点，所以，所以； 所以的斜率， 所以直线为； 由①②知，当直线的斜率不存在时其方程为； 当直线的斜率为时其方程为； 由，得交点坐标为，所以若直线过定点则定点为； 现只要证明点满足即可， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证，上式显然成立， 综上，直线过定点. 例2．（25-26高二上·四川泸州·期末）已知双曲线：的离心率为，焦点到的渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)若垂直于轴的直线与的右支相交于，两点，已知点，直线和的左支交于点. （ⅰ）若，是坐标原点，求直线的方程； （ⅱ）求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)；证明见解析. 【详解】（1）易知的渐近线方程为，设双曲线的一个焦点为，则， 由双曲线对称性，不妨取的一条渐近线， 则到该渐近线的距离， 又C的离心率为，即，所以； （2）不妨设A在第一象限，由题意可设， ， 联立得， 则，整理得， （ⅰ）易知， 即， 解之得（舍去）或，所以，即. （ⅱ）直线， 整理得， 又在双曲线上，且在直线上， 即，则， 作差得， 化简得， 则， 即， 显然时，，即直线过定点. 例3．（25-26高二上·河北·期末）已知椭圆：，过点作两条动直线，，分别交于两点，（，与不重合），且满足，其中，分别为直线，的斜率. (1)若直线的斜率为1，求线段的长度； (2)求直线的斜率； (3)设直线与分别交轴于点，，求证：的中点为定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意可得：直线的方程为，即， 联立方程，消得，解得或， 所以. （2）设直线的方程为， 椭圆方程整理可得， 则， 整理可得， 即， 则，解得， 所以直线的方程为，可得. （3）设直线的斜率为，则直线的斜率为，    则直线的方程为， 令，解得点的横坐标，即； 同理可得：点的坐标为， 设的中点为，则，， 所以线段的中点为定点 例4．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知直线：与椭圆：交于，两点，，的中点为. (1)求证：直线（O为坐标原点）的斜率与直线斜率之积为定值； (2)（i）若直线过右焦点，直线与直线交于点，判断以线段为直径的圆是否过定点，如果圆过定点求出该定点坐标，如果不过定点，请说明理由； （ii）若，求点的轨迹方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）过定点，定点坐标为； （ii）. 【详解】（1）由题意设，，因为，两点在椭圆上， 所以，，将两式相减得， 即，整理得， 又，， 所以直线的斜率与直线斜率之积为定值. （2）（i）当直线过点时，可知直线方程为， 且由（1）可得直线的斜率，所以直线为. 可求得直线与直线交于点. 则，又，所以， 所以以线段为直径的圆过定点. 故以线段为直径的圆过定点，该定点坐标为.    （ii）当直线斜率存在时，设点，则，. 由题意可得，且，故. ，消y并整理得， 令可得， 设，，则，， 所以 ， 又，得， 两边平方得. 又因为①，将①代入，得， 将①代入， 整理得 因为，所以， 即， 展开整理得， 当直线斜率不存在时，易得点或满足上式， 故若，点的轨迹方程为. 变式1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，. 【详解】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得，则 ， 所以为定值. （ii）设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 变式2．（25-26高二上·辽宁·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，圆心的轨迹为，斜率为的动直线与轨迹相交于不同的两点，坐标原点为. (1)求轨迹的方程； (2)若中点的横坐标等于1，求面积的最大值，并求出取最大值时的值； (3)若以为直径的圆经过点，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1) (2)当时，面积的最大值为 (3)证明见解析， 【详解】（1），故圆内切于圆， 由可得，故切点坐标为，故， 设动圆的半径为，则圆与圆内切时，， 圆与圆外切时，， 所以， 由椭圆的定义可知，轨迹的方程为. （2）设直线的方程为，代入， 得， 所以当时， ，即 因为 所以， 当且仅当时取等号， 又因为，由此可解得或（舍）， 代入，可得，即（满足）， 所以当时，面积的最大值为. （3）    由，所以， 即， 即，所以， 所以或. 因为直线不经过点，所以， 所以直线为， 直线恒过定点. 变式3．（25-26高二上·湖北·月考）已知点在曲线上运动，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为2. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧.求直线斜率的取值范围； (3)若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点并求定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定点 【详解】（1）设，由动点到定点的距离和它到直线距离之比为2， 可得，化简得，即， 故点的轨迹的方程为 （2）由题意可知，当直线斜率不存在时，因为直线过,此时直线方程是, 显然与曲线没有交点，不符合题意； 当直线斜率存在时，因为直线过,设直线方程为， 直线与曲线的两个交点分别是，，联立方程得 ，将代入, 消去整理得，，因为直线与曲线有两个不同交点， 所以,且，又因为直线与曲线的交点分别在轴两侧， 所以, 解得，将代入判别式,显然满足判别式大于， 所以直线斜率的取值范围为 （3）设，点，，. 由可得， 因为与E在第一象限和第四象限各有一个交点，此时,所以， 且，， 由题可得，直线的斜率,其中， 又因为直线过，所以直线方程是， 令，则 又因为 .即直线恒过定点. 变式4．（25-26高三上·江西抚州·期末）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，点为椭圆上的不同两点（异于上下顶点）且，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为. （ⅰ）求直线的方程，并判断直线与椭圆的位置关系； （ⅱ）试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ），相切；（ⅱ）直线过定点，定点坐标为. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）由两点式知的方程为， 所以的方程为， 联立得方程组，消去得， 因为， 所以直线与椭圆只有一个交点， 又是轴上一点，所以直线与椭圆相切. （ⅱ）当的斜率存在时，如图，设的方程为，， 因为点为椭圆上的不同两点且异于上下顶点， 所以直线的斜率均存在，可设， 其中，    联立得方程组，消去得， 由，得 ， . 同理可得，， 所以 ， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点. 当的斜率不存在时，设的方程为，， 同理， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，也过点. 综上，直线过定点. 考点二 定值问题 例1．（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆的长轴长为4，以椭圆C的短轴为直径的圆经过椭圆的两个焦点，点分别是椭圆C的左、右顶点． (1)求圆和椭圆C的方程； (2)已知分别是椭圆C和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，得，， 所以圆方程，椭圆方程． （2）    设，， 则，，， 所以方程，令时，，即， 方程为，令时，，即， 则， 所以， 即，所以， 故为定值． 例2．（25-26高三上·重庆·月考）在平面直角坐标系 中，已知动点到点的距离和E到直线 的距离之比是常数 . (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的动直线(斜率存在)与曲线C交于，两点，在x轴上存在点 ，使得,试问 是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，. 【详解】（1）因为动点到点的距离和E到直线的距离之比是常数， 所以， 两边平方得到； 化简得到动点E的轨迹C的方程是. （2）法一：设过点的直线方程为， 联立方程，整理得到， 设，则； 因为，所以； 又因为，所以； 由角平分线逆定理得到，轴为的角平分线， 所以，即， 化简得到，即； 将代入上式得； 化简得到 即 因为，所以. 即； 整理得到； 即，解得. 因此是定值4. 法二：因为， 所以，即，所以． 显然过点的动直线不与轴重合，故设直线方程为， 设， 联立，可得， ，即时， 由韦达定理得， 因为，所以， 即， 整理得， 所以， 化简得， 即。 例3．（25-26高三上·上海奉贤·月考）已知双曲线，的离心率为，长轴长为．    (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，、是双曲线上两点，点也在双曲线上，直线、与轴分别交于点、，点在直线上．若、关于原点对称，且，证明：存在点，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)当为的中点时，，证明见解析 【详解】（1）双曲线的离心率为，长轴长为， ，解得，， ，， 双曲线的方程为：. （2）如图所示：   圆的方程为：，圆心，半径， ∵点是双曲线上的动点，是圆上的动点，直线与圆相切， ∴，， ， 设，因为点是双曲线上的动点， ，去分母得，即， ， 当时，取得最小值，且， . （3）如图所示：    由题意知，直线的斜率存在，设，， 设直线的方程为， 联立得：，整理得， 则且， 则，， 直线的方程为， 令，可得，即， 同理可得， 为的中点，， 即， 则， 可得， 整理得， 所以或， 若，即， 则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又为直角三角形，且为斜边， 当为的中点时，. 例4．（25-26高三上·山东德州·期末）已知双曲线的左右顶点为，，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于，两点（其中在第一象限，且，异于点），为坐标原点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过分别作，的垂线，垂足分别为，，记，的面积为，，若，求的最大值； (3)设圆上一点处的切线．若与双曲线左右两支分别交于，，问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是，定值为，理由见解析. 【详解】（1）双曲线左右顶点为，，且， ，解得， 双曲线的一条渐近线的斜率为，即，解得， 双曲线的方程为． （2）    设直线，联立双曲线方程得，整理得， 设，则， ，设，则， ， ， 是在上的投影， ， 的方程为， ，故，同理， ，令， ，当且仅当时等号成立， ，即的最大值为． （3）设点，则， 由切线的性质可知，设直线的斜率为， ， ， 直线的方程为：， 整理得，即， 联立双曲线得， 设，由韦达定理得， ，即， ， ， 是定值． 变式1．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【详解】（1）因为直线与轴的交点为，所以点的坐标为，半焦距， 又双曲线的渐近线方程为，即，由点到直线的距离公式得到点到其中一条渐近线的距离为，所以，则，又，所以双曲线的方程为 又设为抛物线的焦点，则，如图，已知，为到准线的距离且为垂足，则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立，所以，解得，因为，所以，故抛物线的方程为    （2）假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值      变式2．（25-26高三上·安徽·期末）已知椭圆的离心率为，其左、右顶点分别为，，，过点的直线交椭圆于另外一点，点是直线上不同于的一点，且满足，为坐标原点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线的斜率不为0，直线的斜率为，直线的斜率为，问是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为A，B分别为椭圆的左右顶点，所以，所以， 又离心率为，所以，所以， 所以，因此椭圆的方程为. （2）由（1）知，设直线的方程为，，， 由，得，因为与不同，所以， 所以，， 所以， 因为，所以， 得，又， 由，得，即， 化简得，所以，解得， 所以直线的方程为 （3）由（2）知， 由，得， 所以，， 所以，又， 所以， ， 所以， ， 所以. 所以，为定值. 变式3．（25-26高三上·天津河西·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为B，离心率，． (1)求椭圆的标准方程； (2)点D是椭圆C上非顶点的一动点，直线交x轴于点P，直线交直线于点Q，是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，为12 【详解】（1）因为离心率所以，，， 因为，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，， 因为点D是椭圆C上非顶点的一动点，所以直线的斜率一定存在且不为0，设为k 所以直线的方程为，交x轴于点 , 所以联立得, 因为，所以，所以， 直线的斜率, 直线的方程为, 因为直线的方程为, 联立得, 所以, 所以为定值12. 变式4．（24-25高二下·贵州遵义·月考）以直线：和直线：为渐近线的双曲线C过点． (1)求双曲线C的标准方程． (2)，是C的两个顶点，P是C上的动点，过点P且垂直于的直线与C交于另一点Q，设直线和相交于点H． ①求点H的轨迹的方程； ②在①的条件下，设，，直线与相交于点R，直线与相交于点T，且，．求证：为定值． 【答案】(1) (2)①；②，证明见解析. 【详解】（1）根据题意可设双曲线方程为：， 代入点，可得：， 即， 故双曲线C的标准方程为； （2）    ①设，且，则，由（1）可得 则直线方程为：， 直线方程为：， 上面两式相乘，可得的轨迹方程：，且 因为点在双曲线上，则， 即可得的轨迹方程为：， 故点H的轨迹的方程为； ②设，由，，则直线方程为：， 由直线方程与椭圆方程联立，消可得： ，    设，则， 同理可得直线方程为：， 由直线方程与椭圆方程联立，消可得： ， 设，则， 再由可得：， 由可得：， 则， 再代入可得： ， 又因为点满足椭圆方程，所以， 即, 故为定值. 考点三 定直线问题 例1．（25-26高二上·四川眉山·期末）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，M是椭圆上一点，，. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于P，Q两点，R为线段中点. （ⅰ）求点R的轨迹方程； （ⅱ）点O为坐标原点，射线与椭圆交于点S，点G为直线上一动点，且，求证：点G在定直线上. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 即，又，所以，解得， 所以，则，故椭圆的方程为； （2）（i）当的斜率不存在时，因为为的中点，此时为定点； 当的斜率为0时，直线的方程为， 与椭圆方程联立，得交点坐标为和， 因为为的中点，此时为定点.    当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立，得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 设R的坐标为，因为为线段中点， 所以，所以，得， 将代入，得， 整理得，即， 所以的轨迹方程为. 当直线的斜率为0或斜率不存在时，点也满足上式，所以的轨迹方程为. （ii）由（i）知，的方程为， 联立，得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 例2．（25-26高三上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为是椭圆C在第一象限上的动点．已知椭圆C过点且． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线分别与x轴和y轴交于点．记的面积分别为，求的值； (3)直线与直线交于点D，过D且与平行的直线交直线于点E．证明：点E在定直线上，并求出该直线方程． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，所以， 又，联立求得， 所以椭圆C的方程为. （2）由（1）得，设， 则，所以， 令，得， 同理，所以， 令，得， 则，， 所以 ， 由，代入化简可得.    （3）证明：由（1）得， 所以，则， 由（2）得， 联立，解得，即， 又，所以过D且与平行的直线方程为， 由（2）得， 联立， 得， 整理得， 由，代入化简可得交点E的横坐标， 则交点E的纵坐标， 所以点E在定直线上.    例3．（25-26高三上·福建厦门·月考）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线，的斜率分别为，且． (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）． （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）证明见解析 【详解】（1）   由题意可知，因为，所以. 设，则，所以， 又，所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：，解得或；    （ii）由（i）， 直线的方程为 直线的方程为． 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 例4．（25-26高三上·浙江宁波·月考）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 变式1．（24-25高二下·广东惠州·月考）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)； (2)8； (3)证明见解析， 【详解】（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为，于是，解得：， 所以抛物线的方程为． （2）由（1）知，直线的方程为，设， 由消去得：， 则， 所以． （3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为， 代人抛物线方程，整理得或． 设，则， 由， 得， 化简得， 当时，因，化简得，与直线的斜率存在矛盾，不合题意； 当时， 化简得． 即 化简得， 又，所以， 化简得， 所以点在直线上． 变式2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知和是椭圆的左、右顶点，椭圆上的点到其焦点距离的最大值为5，直线与椭圆相交于两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行. (1)求椭圆的方程； (2)设点，若，求实数的取值范围； (3)直线OM与椭圆的另外一个交点为S，直线与直线相交于点，直线OP与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【详解】（1）由题可得，解得， 所以， 则椭圆的方程为； （2）设，若，所以，则， 由于点、在椭圆上，则， 即， 消去得，， 由于且，则可得 因为，所以， 结合且，可得或， 故实数的取值范围是. （3）证明：设直线的方程为：， 由得， 则， 设，由三点共线，得， 由三点共线，得， 则 . 所以直线OP的斜率为， 则直线OP的方程为， 联立直线OP与直线的方程，可得，解得， 点在一条定直线上. 变式3．（25-26高三上·江苏徐州·期中）已知椭圆C：（）的右焦点为，点在C上，直线l经过F且与C交于两点（不在x轴上）. (1)求C的方程； (2)若直线l的斜率为，求； (3)设分别为C的左，右顶点，直线与交于点T.证明：点T在定直线上. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）点在C上得：， 右焦点为得：，联立解得：， 所以椭圆方程为； （2）直线l经过F且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由弦长公式可得：； （3）    设直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 由分别为C的左，右顶点，则， 所以直线方程为：，直线方程为：， 两式消得：， 整理得： 由可得：， 所以有， 即点T在定直线上. 变式4．（25-26高三上·湖北·开学考试）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）（i）由消去得，设点， 则，而，依题意， 所以. （ii）法一：设，由点关于原点的对称点为点，为中点，得， 直线的斜率，，， 由（i）得，解得，则直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 法二：由（i）得， 设，由点关于原点的对称点为点，得， 由三点共线，得，由三点共线，得， 则， 解得，因此直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $