精品解析：河北省保定市莲池区2025--2026学年上学期九年级1月期末数学试卷

2025—2026学年第一学期期末试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答题标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，将符合题目的要求的选项前的代号，填入题后括号内） 1. 将一元二次方程化成一般形式是（ ） A. B. C. D. 2. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数开口向下，则□可能是（ ） A. B. C. D. 5 4. 如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的盒子中装有20个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为0.30，估计盒子中黄球的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 兴趣小组同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（ ） A B. C. D. 8. 图是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 9. 图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 10. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 11. 如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，若双曲线与边长为6的等边的边分别相交于C，D两点，且，则实数k的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知，则的值为______． 14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是______． 15. 如图，四边形是矩形，四边形是正方形，其中点E在边上，点C在边上，若，，则正方形的周长是______． 16. 已知抛物线中，直线，若在直线l下方的抛物线C上，至少存在两个横坐标为整数的点，则k的取值范围是______． 三、解答下列各题（共72分） 17. 数学课堂上，张老师让嘉琪到黑板上板书计算一个方程解答过程：用配方法解． 嘉琪的解答过程如下： 解：原方程可化为，…第一步 配方，得，…第二步 即，…第三步 直接开平方，得，…第四步 所以，，…第五步 （1）嘉琪同学的解答过程从第______步开始出现错误． （2）请你写出正确的解答过程．（解题方法不限） 18. 《数学之美》特种邮票于去年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面． （1）洗匀后从中随机抽取1枚，抽到图案名称为“欧拉公式”的概率是______． （2）洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．请用列表法或者树状图求两次抽取的邮票图案名称相同的概率． 19. 为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是x米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米．求道路的宽是多少米？ 20. 【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 21. 当前中小学生的视力状况，备受关注．在做视力矫正时，验光师测得近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的部分数据如表： 镜片焦距（米） 近视眼镜的度数（度） （1）根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． （2）嘉琪同学原先配的眼镜镜片的焦距为米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜．验光师测得新镜片的焦距为米，问嘉琪同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ （3）若配镜师需配制一副度数小于度的近视眼镜，请求出焦距的取值范围． 22. 图1是一款笔记本电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度，它便于电脑散热，减轻使用者颈椎压力．图2、图3是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图．互相平分于点O，，． （1）求的长； （2）当时，求点D到底架的高；（参考数据：，，） （3）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图1所示的电脑支架．如图4，小明将电脑放置在电脑支架上，笔记本电脑屏幕宽，调节支撑杆位置后，点D恰好在的中点处，点E、F、G在同一直线上，且电脑屏幕垂直于桌面．已知电脑屏幕张角为，求点G距离桌面的高度．（参考数据：，，） 23. 在二次函数中，x与y的几组对应值如表格所示． x … 0 1 … y … 3 4 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标． （3）点，在二次函数的图象上，若，求n的取值范围． （4）将二次函数的图象向左平移m个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出m的值． 24. 已知，如图，在等边中，，点D为边中点，点E为边上任意一点，设长为x． 【尺规作图】 （1）在图1中，作出等边，点F在线段上方．（保留作图痕迹，不写作法） 【探索发现】 在上述尺规作图的基础上，所在直线与交于点G，连接． （2）点H是线段的中点，连接，则线段有何数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，求x的值． 【类比探究】 （4）直接写出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答题标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求，将符合题目的要求的选项前的代号，填入题后括号内） 1. 将一元二次方程化成一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将原方程所有项移至等号左边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程化成一般形式是， 故选：． 2. 将两本相同的书进行叠放，得到如图所示的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，即可得到答案． 【详解】解：从左边看是两个长方形，上面的长方形靠左，下面的长方形靠右， 故选C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形就是左视图． 3. 已知二次函数的开口向下，则□可能是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数性质是解题的关键． 二次函数开口向下需二次项系数为负，且□应为常数以保证函数为二次函数． 【详解】解：A、代入后函数变为 ，不是二次函数，故选项不符合题意； B、代入后，开口向下，故选项符合题意； C、代入后，不是二次函数，故选项不符合题意； D、代入后，开口向上，故选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图所示是嘉琪的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点A作于点H，交于点D，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵练习纸中竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 一个不透明的盒子中装有20个除颜色不同外其他都相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球并记录颜色，记录后放回．通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为0.30，估计盒子中黄球的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.30，然后根据概率公式计算出盒子中黄球的个数． 【详解】解：∵通过多次重复试验后发现摸到黄球的频率为0.30， ∴估计摸到黄球的概率为0.30， ∴估计盒子中黄球的个数为（个）． 故选：C． 6. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵点P为的黄金分割点（），且， ∴， 故选：B． 7. 兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，符合题意； D、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 图是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，矩形的判定与性质，过点作，垂足为，延长交于点，得四边形是矩形，所以，，求出，则，所以此人要能被摄像头识别，其身高不能超过，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴此人要能被摄像头识别，其身高不能超过， 故选：． 9. 图1是液体沙漏的平面示意图（数据如图），经过一段时间后的液体如图2所示，此时液面（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出截面图，过点作、的垂线，由，相似比等于对应高之比，列出等量关系式，，即可求解， 本题考查了，相似三角形的实际应用，求相似比，解题的关键是：将实际问题转化为数学模型． 【详解】解：如图所示为沙漏横截面，过点作，交于点，交于点， 由题意可知：，，， ∵， ∴、分别是、边上的高， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， 故选：A． 10. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及代数式求值，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴，即， 又∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图，在菱形中，，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，等腰直角三角形，菱形的性质，根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 12. 如图，若双曲线与边长为6的等边的边分别相交于C，D两点，且，则实数k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形性质、相似三角形的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，过点C作于点E，过点D作于点F，则，由，得到，设，得到点C和点D的坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，求得x的值，然后得到实数k的值． 【详解】解：过点C作于点E，过点D作于点F，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， ∵点C和点D在反比例函数图象上， ∴， 解得：（舍）或， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 已知，则的值为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 14. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，证明，可得，即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15. 如图，四边形是矩形，四边形是正方形，其中点E在边上，点C在边上，若，，则正方形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质和矩形的性质可得，，通过证明，可得，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即（负值舍去） ∴正方形的周长， 故答案为：． 16. 已知抛物线中，直线，若在直线l下方抛物线C上，至少存在两个横坐标为整数的点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，不等式的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．直线 下方的抛物线上至少存在两个横坐标为整数的点，即存在整数满足不等式 ，化简得．结合，可得且 ，即，再根据至少包含两个整数，则，即可得解． 【详解】解：由题意可知，， ， ，， ，即， ，即， 在直线l下方的抛物线C上，至少存在两个横坐标为整数的点， ， ， 若，当为整数，则只有一个整数点，不符合题意； 故答案为：． 三、解答下列各题（共72分） 17. 数学课堂上，张老师让嘉琪到黑板上板书计算一个方程的解答过程：用配方法解． 嘉琪的解答过程如下： 解：原方程可化为，…第一步 配方，得，…第二步 即，…第三步 直接开平方，得，…第四步 所以，，…第五步 （1）嘉琪同学的解答过程从第______步开始出现错误． （2）请你写出正确的解答过程．（解题方法不限） 【答案】（1）二 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据配方法的步骤，第二步配方时应方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可作答； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：由解答过程可知，嘉琪同学的解答过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 解：原方程可化为， 配方，得， 即 直接开平方，得， 解得：， 18. 《数学之美》特种邮票于去年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面． （1）洗匀后从中随机抽取1枚，抽到图案名称为“欧拉公式”的概率是______． （2）洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．请用列表法或者树状图求两次抽取的邮票图案名称相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键是根据题意利用表格或树状图列出所有等可能结果． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的这张邮票是“欧拉公式”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：分别用字母A、B、C、D表示图案圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带． 根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由上表可知，共有16种等可能的结果，抽到的两张邮票的图案恰好相同的结果有4种， ∴． 19. 为解决老小区停车难的问题，社区将一块矩形空地改造成了一个便民停车场．其布局如图所示，已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度是x米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米．求道路的宽是多少米？ 【答案】5米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，把阴影部分的停车位拼接起来，会形成一个新的矩形，新矩形的长为米，宽为米，依据题意，列出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意，道路的宽为x米， 把阴影部分的停车位拼接起来，会形成一个新的矩形，新矩形的长为米，宽为米， 根据题意得，， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， 答：道路的宽为5米． 20. 【学科融合】如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角． 【问题解决】如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离．图中，，，在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1）的长为； （2）点到地面的高度的长为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解题的关键． （）由题意得，，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可； （）先求出，由题意得，，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴的长为； 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴， 由题意得，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验，符合题意， ∴点到地面的高度的长为． 21. 当前中小学生的视力状况，备受关注．在做视力矫正时，验光师测得近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的部分数据如表： 镜片焦距（米） 近视眼镜的度数（度） （1）根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． （2）嘉琪同学原先配的眼镜镜片的焦距为米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜．验光师测得新镜片的焦距为米，问嘉琪同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ （3）若配镜师需配制一副度数小于度的近视眼镜，请求出焦距的取值范围． 【答案】（1）； （2）上升了度； （3）米． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （）根据每组与的乘积都相等，猜想函数模型是反比例函数，再利用待定系数法求解即可； （）分别求出当时和当时，的值，由此即可得； （）由，即，，所以，然后求出的范围即可． 【小问1详解】 解：由表格可得，，，，， 猜想与成反比例函数关系，设，则， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ∴上升了（度）， 答：嘉琪同学的眼镜度数上升了，上升了度； 【小问3详解】 解：由，即，， 所以， ， 答：焦距的取值范围为米． 22. 图1是一款笔记本电脑支架，该支架可通过调节支撑杆位置来调整高度，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图2、图3是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图．互相平分于点O，，． （1）求的长； （2）当时，求点D到底架的高；（参考数据：，，） （3）为改善坐姿守护健康，小明购买了如图1所示的电脑支架．如图4，小明将电脑放置在电脑支架上，笔记本电脑屏幕宽，调节支撑杆位置后，点D恰好在的中点处，点E、F、G在同一直线上，且电脑屏幕垂直于桌面．已知电脑屏幕张角为，求点G距离桌面的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点D到底架高的长约为 （3）点G距离桌面的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． （1）根据互相平分于点O，，得，再根据得为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出的长； （2）在中，，，则 （3）依题意得，点D是的中点，，则，则，解得，然后根据即可得出点G距离桌面的高度． 【小问1详解】 解：如图2所示：   ∵互相平分于点O，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 【小问2详解】 解：如图3所示： 在中，，， ∴， ∴． 答：点D到底架的高的长约为； 【小问3详解】 解：如图4所示： 依题意得：， ∴， ∵点D是的中点，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 答：点G距离桌面高度为． 23. 在二次函数中，x与y的几组对应值如表格所示． x … 0 1 … y … 3 4 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标． （3）点，在二次函数的图象上，若，求n的取值范围． （4）将二次函数的图象向左平移m个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出m的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，二次函数的平移，以及二次函数的最值问题，利用分类讨论的思想是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将二次函数化为顶点式求解即可； （3）根据表达式求出，，再结合列不等式求解即可； （4）根据二次函数的平移规律，得到平移后函数图象的对称轴，再分四种情况讨论，利用二次函数的最大值和最小值分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，解得：， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， 顶点坐标为． 【小问3详解】 解：点，在二次函数的图象上， ，， ， ， 解得： 【小问4详解】 解：二次函数的图象向左平移m个单位长度， 平移后对应的函数表达式为， 图象开口向下，对称轴为直线， ①当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：（不符合题意，舍）； ②当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：或（不符合题意，舍）； ③当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：或（不符合题意，舍）； ④当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值， ，， ， 解得：（不符合题意，舍）； 综上可知，m的值为或． 24. 已知，如图，在等边中，，点D为边中点，点E为边上任意一点，设长为x． 【尺规作图】 （1）在图1中，作出等边，点F在线段上方．（保留作图痕迹，不写作法） 【探索发现】 在上述尺规作图的基础上，所在直线与交于点G，连接． （2）点H是线段的中点，连接，则线段有何数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，求x的值． 【类比探究】 （4）直接写出的最大值． 【答案】（1）见解析（2），理由见解析（3）或（4）4 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作图是解答本题的关键． （1）分别以点D和点C为圆心，为半径画弧，两弧在上方交于点F，连接，则即为所作； （2）根据“”证明即可； （3）过点作于点，求出，，在中运用勾股定理得，即，解方程即可求解； （4）根据题意得点F的运动轨迹为线段，当在上时，点G与点H重合，此时，取最大值，即． 【详解】解：（1）如图，即为所作， （2），理由如下： 如图， ∵和均为等边三角形， ∴,；，； ∵点是的中点，是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又 ∴, ∴； （3）过点作于点，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， 又，‘ ∴，即， 解得或； （4）如图，取边中点，连接，并延长到，使，连接，则点F的运动轨迹为线段， 当在上时，点G与点H重合，此时，取最大值，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $