专题一 4 万有引力与宇宙航行 讲义 -2026届高考物理二轮复习

专题一 力与运动 4.万有引力与宇宙航行 高考真题 1．（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．太阳直径远小于金星的轨道半径，太阳直径忽略不计，根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为，故A错误； BCD．根据万有引力提供向心力有 解得，， 故可得周期之比为； 线速度大小之比为； 向心加速度大小之比为； 故BC错误，D正确 故选D。 2．（2025·浙江·高考真题）（多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度 【答案】BC 【详解】根据题意可知椭圆轨道的一个焦点为，设椭圆的另外一个焦点为，如图所示 设椭圆的半长轴为，焦距为，根据椭圆知识可知 根据开普勒第三定律可知如果物体沿椭圆运动的周期最短，则椭圆的半长轴最小，根据几何关系可知当垂直于时，半长轴最小，如图所示 由几何关系有 解得 C．根据几何关系可得椭圆的焦距，故C正确； A．根据几何关系可得发射点离月面的高度，故A错误； B．设物体绕月球表面做匀速圆周运动时的周期为，则由重力提供向心力得 结合开普勒第三定律 联立可得物体沿椭圆运动的周期为，故B正确； D．由引力势能公式 结合万有引力公式 结合机械能守恒定律有 联立可得，故D错误。 故选BC。 核心突破 突破1. 开普勒三大定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 推论1：近地点与远地点线速度之比 由开普勒第二定律可得Δl1·r1＝Δl2·r2，则有v1Δt·r1＝v2Δt·r2， 可得。 推论2：把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，k值只与太阳质量有关。 由＝mr得：，即k＝。 例题1. 地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和，且。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星（　　） A．在近日点的速度小于地球的速度 B．从b运行到c的过程中动能先增大后减小 C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍 【答案】C 【详解】A．地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 过近日点做一个以太阳为圆心的圆形轨道，卫星在该圆形轨道上的速度比彗星在椭圆轨道上近日点速度小，而比地球公转的速度大，因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误； B．从b运行到c的过程中万有引力与速度方向夹角一直为钝角，哈雷彗星速度一直减小，因此动能一直减小，B错误； C．根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同，根据可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确； D．万有引力提供加速度 则哈雷彗星的加速度与地球的加速度比值为 D错误。 故选C。 例题2. 与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比= 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误； B．根据 小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误； C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比 故C错误； D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比即为周期之比 ≈ 故D正确。 故选D。 突破2. 万有引力定律 星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度大小g' 地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg'＝，得g'＝。 例题3. 如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球表面的重力加速度为，某球体天体表面的重力加速度为，弹簧的劲度系数为，根据简谐运动的对称性有 可得 可得 设某球体天体的半径为，在星球表面，有 联立可得 故选C。 例题4. 北京时间2024年9月20日17时43分，我国在西昌卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天启星座29～32星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知卫星的运行速度的三次方与其周期的倒数的关系图像如图所示。已知地球半径为R，引力常量为G，卫星绕地球的运动可看作匀速圆周运动，下列说法正确的是（   ） A．地球的质量为 B．地球密度为 C．地球表面的重力加速度为 D．绕地球表面运行的卫星的线速度大小为 【答案】C 【详解】A．由万有引力提供向心力 化简可得 根据可得 联立可得 由图像可知 地球的质量为 故A错误； B．地球的体积 所以地球密度为 故B错误； C．在地球表面有 可得地球表面的重力加速度为 故C正确； D．由万有引力提供向心力 可得绕地球表面运行的卫星的线速度大小 故D错误。 故选C。 突破3. 天体质量和密度的计算 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例题5. （多选）2021年5月15日“祝融号”火星车成功着陆火星表面，是我国航天事业发展中具有里程碑意义的进展。此前我国“玉兔二号”月球车首次实现月球背面软着陆，若“祝融号”的质量是“玉兔二号”的K倍，火星的质量是月球的N倍，火星的半径是月球的P倍，火星与月球均视为球体，则（　　） A．火星的平均密度是月球的倍 B．火星的第一宇宙速度是月球的倍 C．火星的重力加速度大小是月球表面的倍 D．火星对“祝融号”引力的大小是月球对“玉兔二号”引力的倍 【答案】AD 【详解】A．根据密度的定义有 体积 可知火星的平均密度与月球的平均密度之比为 即火星的平均密度是月球的倍，故A正确； BC．由 可知火星的重力加速度与月球表面的重力加速度之比为 即火星的重力加速度是月球表面的重力加速度的，由 可知火星的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为 故BC错误； D．由万有引力定律 可知火星对“祝融号”引力大小与月球对“玉兔二号”引力大小之比为 即火星对“祝融号”引力大小是月球对“玉兔二号”引力大小的倍，故D正确。 故选AD。 例题6. 如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近（可视为相切），卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为。则星球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】卫星一、卫星二轨道的半长轴分别为 ， 由开普勒第三定律得 整理得 星球表面的重力加速度为g，根据万有引力提供重力得 星球质量的表达式为 联立得 故选A。 突破4. 人造卫星　宇宙速度 1.同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 　如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。 比较项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 2.第一宇宙速度的两个表达式 由G＝m得v＝ 由mg＝m得v＝ 3. 近地卫星运行周期T＝2π＝2π s≈85 min。 4.变轨问题 由低轨道高轨道变轨需加速，由高轨道向低轨道需减速。 例题7. 如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．若，小星球做匀速圆周运动 B．若，小星球做抛物线运动 C．若，小星球做椭圆运动 D．若，小星球可能与恒星相撞 【答案】A 【详解】A．根据题意，由万有引力提供向心力有 解得 可知，若，小星球做匀速圆周运动，故A正确； B．结合A分析可知，若，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而不是抛物线运动，故B错误； C．若，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误； D．若，小星球将脱离恒星引力束缚，做双曲线运动，不可能与恒星相撞，故D错误。 故选A。 例题8. 2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场发射升空，鹊桥二号踏上奔月征途，它将为地球和月球架起通信的天桥。其运动轨迹如图所示，已知远月点B与月球中心的距离约为近月点C与月球中心距离的9倍，地球半径约是月球半径的k倍，地球质量约是月球质量的p倍。下列说法正确的是（　　） A．鹊桥二号在B点由地月转移轨道进入环月轨道时必须加速 B．鹊桥二号在C、B两点受到的月球引力大小之比约为9∶1 C．地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值约为 D．地球表面的重力加速度与月球表面重力加速度的比值约为 【答案】C 【详解】A．鹊桥二号在地月转移轨道时必须减速，合外力大于向心力做近心运动，轨道半径才能减小，才能顺利进入环月轨道，故A错误； B．鹊桥二号在C点时根据牛顿第二定律有 同理在B点时有 代入题中数据联立解得 故B错误； C．在星球表面有 解得 可计算得地球的第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值约为，故C正确； D．在星球表面有 解得 可计算得地球表面的重力加速度与月球表面重力加速度的比值约为，故D错误。 故选C。 素养提升 1.万有引力的“两个推论” 　推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论 2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。 2. 天体“追及”问题的处理方法 1.相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或＝1。 2.相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t'＝π或。 3.若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意初始时刻两卫星与地心连线之间的夹角。 实战演练 一、单选题 1．天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 【答案】B 【详解】设红矮星质量为M1，行星质量为m1，半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有 联立可得 由于轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，可得 故选B。 2．太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 【答案】A 【详解】A．在P点变轨前后空间站所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确； B．因为变轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B错误； C．变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变，因此合速度变大，故C错误； D．由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D错误。 故选A。 3．嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力 月球的体积 月球的平均密度 联立可得 故选D。 4．在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 【答案】A 【详解】D．a、b、c三个天体角速度相同，由于m << M，则对a天体有 解得 故D错误； A．设c与a、b的连线与a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有 解得 α = 30° 则c的轨道半径为 由v = ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确； B．由a = ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误； C．c在一个周期内运动的路程为 故C错误。 故选A。 5．2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【答案】A 【详解】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 故选A。 二、多选题 6．2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（　　） A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 【答案】BD 【详解】AB．返回舱在该绕月轨道上运动时万有引力提供向心力，且返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径，则有 其中在月球表面万有引力和重力的关系有 联立解得 由于第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度，同理可得 代入题中数据可得 故A错误、B正确； CD．根据线速度和周期的关系有 根据以上分析可得 故C错误、D正确； 故选BD。 7．2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船仅用3.5小时完成了与空间站天和核心舱的对接，创造了神舟飞船与空间站对接的最快记录。如图所示，载人飞船先在半径为的轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，经过第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，再经第二次变轨后进入半径为的轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，忽略大气阻力，已知引力势能公式为（其中G为引力常量，M为地球质量，r为到地心的距离），下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨道Ⅰ的速度一定大于在轨道Ⅲ的速度 B．飞船在椭圆轨道Ⅱ上，P点的速度一定小于Q点的速度 C．若轨道Ⅰ周期为，则椭圆轨道的周期 D．第一次加速过程中飞船机械能的增加量大于第二次加速的增加量 【答案】AD 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 解得 由图可知，则飞船在轨道Ⅰ的速度一定大于在轨道Ⅲ的速度，故A正确； B．根据题意，由开普勒第二定律可知，飞船在椭圆轨道Ⅱ上，P点的速度一定大于Q点的速度，故B错误； C．根据题意，由开普勒第三定律有 解得椭圆轨道的周期，故C错误； D．飞船在轨道Ⅰ运行时的机械能为 同理可得，飞船在轨道Ⅲ运行时的机械能为 飞船在轨道Ⅱ上运行时，由开普勒第二定律有 由机械能守恒定律有 联立解得 则有， 可得 即第一次加速过程中飞船机械能的增加量大于第二次加速的增加量，故D正确。 故选AD。 8．如图所示，一卫星绕月球做匀速圆周运动的半径为r。太阳光可视为与轨道平面平行的平行光，这颗卫星绕月球运行一圈接收不到太阳光的时间内转过的角度为60°。已知月球的质量为M，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．卫星的线速度大小为 B．卫星的加速度大小为 C．月球的半径为 D．月球的密度为 【答案】AD 【详解】A．由，可得，A正确； B．由，可得，B错误； C．由几何关系可得，，解得；C错误； D．月球的密度，D正确。 故选AD。 9．“嫦娥六号”降落月球前经过三次关键变轨，简化如图所示，“嫦娥六号”经环月椭圆轨道Ⅰ的Q点变轨进入距离月球表面高度为的圆轨道Ⅱ，再经圆轨道Ⅱ的Q点变轨到更低的椭圆轨道Ⅲ。在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中经过Q点的速度大小分别为、、，加速度大小分别为、、，在圆轨道Ⅱ上运动的周期为，已知月球半径为，引力常量为，则（　　） A． B． C．月球质量 D．月球平均密度 【答案】AD 【详解】A．高轨道进入低轨道，在Q点要进行点火减速，所以，故A正确； B．在Q点，由万有引力提供向心力 解得 可知不同轨道在Q点的加速度有，故B错误； C．在Ⅱ轨道，由万有引力提供向心力 解得，故C错误； D．月球平均密度 故D正确。 故选AD。 10．2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射，采用自主快速交会对接模式，约3.5小时后与空间站组合体对接，将新乘组送入“天宫”。按计划，新乘组将驻留约6个月。在此次任务中，飞船还承担了另一项重要使命：对接后不久，它于2025年11月4日搭载已完成任务、在轨驻留约204天的神舟二十号乘组脱离空间站并成功返回地球，实现了“一船两用”的乘组轮换模式。已知地球半径为，地球表面重力加速度为，空间站的圆轨道距地面高度为。关于神舟二十一号的任务过程，下列判断正确的是（　　） A．空间站在轨运行的速率约为 B．为实现与空间站的快速对接，飞船在发射后需要先进入一个比空间站轨道更低的初始轨道，在初始轨道上的运行周期大于空间站的运行周期 C．若飞船在初始圆轨道上速度为，通过加速变轨后在目标圆轨道（空间站轨道）上速度为，则变轨过程中发动机做的功为 D．返回舱在再入大气层后减速下降的阶段，舱内航天员和货物均处于超重状态 【答案】AD 【详解】A．对空间站，根据万有引力提供向心力可得 在地球表面，万有引力等于重力则有 联立解得，故A正确； B．根据万有引力提供向心力可得 解得 因此轨道半径越大，周期越大，由于初始位置的轨道半径较小，其运行周期应小于空间站的运行周期，故B错误； C．从初始轨道变轨到目标轨道，发动机所做的功等于飞船动能的增加量加上势能的增加量，因此变轨过程中发动机做的功不等于，故C错误； D．返回舱减速下降的过程中，具有向上的加速度，因此航天员和货物受到的支持力大于其各自的重力，他们均处于超重状态，故D正确。 故选AD。 三、解答题 11．简谐运动与匀速圆周运动具有巧妙的联系。 (1)如图1所示，固定在竖直圆盘上的小球A随着圆盘以角速度沿顺时针方向做半径为的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球A，在圆盘下方的屏上可以观察到小球A在方向上的“影子”的运动，可以证明，“影子”的运动为简谐运动。 a.零时刻小球A在圆盘最上端，写出“影子”的位移随时间变化的关系式； b.写出“影子”的最大速度。 (2)未来人类设计的穿过地球的真空列车隧道，可使列车在地球表面任意两地间的运行时间大大缩短。如图2所示，假想凿通一条贯穿地心的极窄且光滑的隧道，只在引力作用下，人们可乘坐列车通过该隧道直通地球彼岸。已知列车的质量为，地球质量为、半径为，引力常量为。为简化研究，列车视为质点，地球视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转，不计空气阻力。 a.已知质量均匀分布的球壳内的质点所受万有引力的合力为零，以地心为原点，沿隧道方向建立轴，求列车在隧道内处受到的引力大小； b.根据匀速圆周运动与简谐运动的关系，计算列车通过隧道所用的时间； c.修建如图3所示的光滑隧道，图中为隧道的中点。列车（不需要引擎）从点由静止进入光滑隧道，在引力作用下，到达隧道另一端点，所用时间为。试比较与大小。 【答案】(1)a.；b. (2)a.；b.；c. 【详解】（1）a.设经过时间t小球与圆心连线转过的角度为φ，小球A的“影子”的位移为x=Rsinφ 又因为φ=ωt 解得x=Rsinωt b.小球A在最高点或最低点时“影子”的速度最大，则“影子”的最大速度。 （2）a.地球内部半径为的球体对的万有引力 其中 解得      b.近地卫星绕地球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律 由图1可知，列车在隧道内简谐运动周期与近地卫星运动周期相同，均为，列车通过隧道所用的时间 解得         c.设列车与地心之间的距离为，则列车所受地球的万有引力为 其中 解得 万有引力在A、B连线方向上的分力 解得 考虑方向， 令，则即列车在A、B之间做简谐运动。 列车在两个隧道做简谐运动时，回复力与位移的关系相同，运动周期与振幅无关，简谐运动的周期相同，列车从隧道一端到另一端的运动时间为周期的一半，即。 12．“嫦娥”五号探测器是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。现研究探测器先环绕地球再变轨，采集月壤后回到地球的过程。设探测器质量为m，首先在近地轨道上绕地球运行，如图甲所示。地球质量M，引力常量G，地球半径为R。 (1)求探测器变轨前的运行速度大小； (2)将探测器推至月球附近的过程，为了安全需经历多次变轨。研究其第一次变轨，在地表附近的A点迅速启动发动机，使探测器进入椭圆轨道，该轨道的远地点B距地心为8R。已知探测器的引力势能可表示为（无限远处势能为零） a.求变轨前探测器的机械能； b.结合开普勒第二定律，求点火过程中发动机对探测器做的功W； (3)在返回器完成研究任务、返回至地表附近时速度过大，以此速度直接冲入大气层会损伤返回器。科学家提出采用半弹道跳跃方式再入返回；如图乙所示，通过小角度擦入大气层，以“打水漂”的形式多次跳跃再入，通过返回器与大气层的摩擦逐步减速至安全速度内。返回器在“打水漂”过程中减少的动能转变为其内能主要通过烧蚀材料带走，剩余少量能量则通过向四周辐射的形式耗散。有天文爱好者质疑该计划的安全性；返回器产生的辐射是否会对地球表面产生显著影响？请你结合第一次“打水漂”过程的相关数据，与太阳对地球的辐射进行比较，给出结论并进行合理解释。（相关计算结果可保留一位有效数字）以下为可能用到的数据：返回器质量，第一次进入大气层的速度，跳出大气层的速度，返回器跳跃一次并恢复初始温度的总时长，辐射能量占比，跳跃时离地平均高度。地球半径，太阳辐射至地表的单位面积功率为。 【答案】(1) (2)a.；b. (3)见解析 【详解】（1）探测器变轨前在近地轨道上环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得 解得 （2）a.变轨前探测器的动能为 变轨前探测器的引力势能为 变轨前探测器的机械能为 b.变轨后探测器在椭圆轨道上运动，设其在A、B点的速度大小分别为、。变轨后探测器从A到B的过程，根据机械能守恒定律得 根据开普勒第二定律可得 联立解得 变轨的瞬间探测器的引力势能不变，根据功能关系可得点火过程中发动机对探测器做的功为 （3）根据能量守恒定律，结合题意可得第一次“打水漂”过程探测器辐射的能量为 假设这些能量均匀向四周辐射，辐射到地球表面（即平均辐射到以h为半径的球面）时单位面积的能量为 因此单位面积功率为 代入数据，解得 已知太阳辐射至地表的单位面积功率为 可得 可见返回器产生的辐射远小于太阳对地球的辐射，故返回器产生的辐射不会对地球表面产生显著影响。 . 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 力与运动 4.万有引力与宇宙航行 高考真题 1．（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 2．（2025·浙江·高考真题）（多选）月球有类似于地球的南北两极和纬度。如图所示，月球半径为R，表面重力加速度为，不考虑月球自转。从月球北极正上方水平发射一物体，要求落在纬度的M处，其运动轨迹为椭圆的一部分。假设月球质量集中在球心O点，如果物体沿椭圆运动的周期最短，则（　　） A．发射点离月面的高度 B．物体沿椭圆运动的周期为 C．此椭圆两焦点之间的距离为 D．若水平发射的速度为v，发射高度为h，则物体落到M处的速度 核心突破 突破1. 开普勒三大定律 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 推论1：近地点与远地点线速度之比 由开普勒第二定律可得Δl1·r1＝Δl2·r2，则有v1Δt·r1＝v2Δt·r2， 可得。 推论2：把行星绕太阳运行的轨道近似为圆轨道，k值只与太阳质量有关。 由＝mr得：，即k＝。 例题1. 地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和，且。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星（　　） A．在近日点的速度小于地球的速度 B．从b运行到c的过程中动能先增大后减小 C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍 例题2. 与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比 D．甲乙两星从远日点到近日点的时间之比= 突破2. 万有引力定律 星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝G，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度大小g' 地球上空距离地球中心r＝R＋h处由mg'＝，得g'＝。 例题3. 如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　） A． B． C． D． 例题4. 北京时间2024年9月20日17时43分，我国在西昌卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天启星座29～32星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知卫星的运行速度的三次方与其周期的倒数的关系图像如图所示。已知地球半径为R，引力常量为G，卫星绕地球的运动可看作匀速圆周运动，下列说法正确的是（   ） A．地球的质量为 B．地球密度为 C．地球表面的重力加速度为 D．绕地球表面运行的卫星的线速度大小为 突破3. 天体质量和密度的计算 1.利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg，得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝。 2.利用运行天体 已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝mr，得M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 例题5. （多选）2021年5月15日“祝融号”火星车成功着陆火星表面，是我国航天事业发展中具有里程碑意义的进展。此前我国“玉兔二号”月球车首次实现月球背面软着陆，若“祝融号”的质量是“玉兔二号”的K倍，火星的质量是月球的N倍，火星的半径是月球的P倍，火星与月球均视为球体，则（　　） A．火星的平均密度是月球的倍 B．火星的第一宇宙速度是月球的倍 C．火星的重力加速度大小是月球表面的倍 D．火星对“祝融号”引力的大小是月球对“玉兔二号”引力的倍 例题6. 如图所示，有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动，两颗卫星的近地点均与星球表面很近（可视为相切），卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为，卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响，已知引力常量为G，星球表面的重力加速度为。则星球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 突破4. 人造卫星　宇宙速度 1.同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 　如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为赤道面内的地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。 比较项目 近地卫星(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3) 向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力 轨道半径 r2>r1＝r3 角速度 ω1>ω2＝ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 2.第一宇宙速度的两个表达式 由G＝m得v＝ 由mg＝m得v＝ 3. 近地卫星运行周期T＝2π＝2π s≈85 min。 4.变轨问题 由低轨道高轨道变轨需加速，由高轨道向低轨道需减速。 例题7. 如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．若，小星球做匀速圆周运动 B．若，小星球做抛物线运动 C．若，小星球做椭圆运动 D．若，小星球可能与恒星相撞 例题8. 2024年3月20日8时31分，探月工程四期鹊桥二号中继星由长征八号遥三运载火箭在文昌航天发射场发射升空，鹊桥二号踏上奔月征途，它将为地球和月球架起通信的天桥。其运动轨迹如图所示，已知远月点B与月球中心的距离约为近月点C与月球中心距离的9倍，地球半径约是月球半径的k倍，地球质量约是月球质量的p倍。下列说法正确的是（　　） A．鹊桥二号在B点由地月转移轨道进入环月轨道时必须加速 B．鹊桥二号在C、B两点受到的月球引力大小之比约为9∶1 C．地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值约为 D．地球表面的重力加速度与月球表面重力加速度的比值约为 素养提升 1.万有引力的“两个推论” 　推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 推论 2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力，即F＝G。 2. 天体“追及”问题的处理方法 1.相距最近：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近。从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t＝2π或＝1。 2.相距最远：两同心转动的卫星(rA<rB)同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远。从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA－ωB)t'＝π或。 3.若两同心转动的卫星初始位置不在同一直径上时，找两卫星的运动关系时需注意初始时刻两卫星与地心连线之间的夹角。 实战演练 一、单选题 1．天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1000倍 2．太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（　　） A．空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B．空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C．空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小 D．空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 3．嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 4．在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动，假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体（图中未画出）质量为m（m << M），若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则（   ） A．c的线速度大小为a的倍 B．c的向心加速度大小为b的一半 C．c在一个周期内的路程为2πr D．c的角速度大小为 5．2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 二、多选题 6．2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是（　　） A．其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B．其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 D．其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍 7．2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船仅用3.5小时完成了与空间站天和核心舱的对接，创造了神舟飞船与空间站对接的最快记录。如图所示，载人飞船先在半径为的轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，经过第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，再经第二次变轨后进入半径为的轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，忽略大气阻力，已知引力势能公式为（其中G为引力常量，M为地球质量，r为到地心的距离），下列说法正确的是（　　） A．飞船在轨道Ⅰ的速度一定大于在轨道Ⅲ的速度 B．飞船在椭圆轨道Ⅱ上，P点的速度一定小于Q点的速度 C．若轨道Ⅰ周期为，则椭圆轨道的周期 D．第一次加速过程中飞船机械能的增加量大于第二次加速的增加量 8．如图所示，一卫星绕月球做匀速圆周运动的半径为r。太阳光可视为与轨道平面平行的平行光，这颗卫星绕月球运行一圈接收不到太阳光的时间内转过的角度为60°。已知月球的质量为M，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．卫星的线速度大小为 B．卫星的加速度大小为 C．月球的半径为 D．月球的密度为 9．“嫦娥六号”降落月球前经过三次关键变轨，简化如图所示，“嫦娥六号”经环月椭圆轨道Ⅰ的Q点变轨进入距离月球表面高度为的圆轨道Ⅱ，再经圆轨道Ⅱ的Q点变轨到更低的椭圆轨道Ⅲ。在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中经过Q点的速度大小分别为、、，加速度大小分别为、、，在圆轨道Ⅱ上运动的周期为，已知月球半径为，引力常量为，则（　　） A． B． C．月球质量 D．月球平均密度 10．2025年10月31日，神舟二十一号载人飞船成功发射，采用自主快速交会对接模式，约3.5小时后与空间站组合体对接，将新乘组送入“天宫”。按计划，新乘组将驻留约6个月。在此次任务中，飞船还承担了另一项重要使命：对接后不久，它于2025年11月4日搭载已完成任务、在轨驻留约204天的神舟二十号乘组脱离空间站并成功返回地球，实现了“一船两用”的乘组轮换模式。已知地球半径为，地球表面重力加速度为，空间站的圆轨道距地面高度为。关于神舟二十一号的任务过程，下列判断正确的是（　　） A．空间站在轨运行的速率约为 B．为实现与空间站的快速对接，飞船在发射后需要先进入一个比空间站轨道更低的初始轨道，在初始轨道上的运行周期大于空间站的运行周期 C．若飞船在初始圆轨道上速度为，通过加速变轨后在目标圆轨道（空间站轨道）上速度为，则变轨过程中发动机做的功为 D．返回舱在再入大气层后减速下降的阶段，舱内航天员和货物均处于超重状态 三、解答题 11．简谐运动与匀速圆周运动具有巧妙的联系。 (1)如图1所示，固定在竖直圆盘上的小球A随着圆盘以角速度沿顺时针方向做半径为的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球A，在圆盘下方的屏上可以观察到小球A在方向上的“影子”的运动，可以证明，“影子”的运动为简谐运动。 a.零时刻小球A在圆盘最上端，写出“影子”的位移随时间变化的关系式； b.写出“影子”的最大速度。 (2)未来人类设计的穿过地球的真空列车隧道，可使列车在地球表面任意两地间的运行时间大大缩短。如图2所示，假想凿通一条贯穿地心的极窄且光滑的隧道，只在引力作用下，人们可乘坐列车通过该隧道直通地球彼岸。已知列车的质量为，地球质量为、半径为，引力常量为。为简化研究，列车视为质点，地球视为质量分布均匀的球体，忽略地球自转，不计空气阻力。 a.已知质量均匀分布的球壳内的质点所受万有引力的合力为零，以地心为原点，沿隧道方向建立轴，求列车在隧道内处受到的引力大小； b.根据匀速圆周运动与简谐运动的关系，计算列车通过隧道所用的时间； c.修建如图3所示的光滑隧道，图中为隧道的中点。列车（不需要引擎）从点由静止进入光滑隧道，在引力作用下，到达隧道另一端点，所用时间为。试比较与大小。 12．“嫦娥”五号探测器是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器。现研究探测器先环绕地球再变轨，采集月壤后回到地球的过程。设探测器质量为m，首先在近地轨道上绕地球运行，如图甲所示。地球质量M，引力常量G，地球半径为R。 (1)求探测器变轨前的运行速度大小； (2)将探测器推至月球附近的过程，为了安全需经历多次变轨。研究其第一次变轨，在地表附近的A点迅速启动发动机，使探测器进入椭圆轨道，该轨道的远地点B距地心为8R。已知探测器的引力势能可表示为（无限远处势能为零） a.求变轨前探测器的机械能； b.结合开普勒第二定律，求点火过程中发动机对探测器做的功W； (3)在返回器完成研究任务、返回至地表附近时速度过大，以此速度直接冲入大气层会损伤返回器。科学家提出采用半弹道跳跃方式再入返回；如图乙所示，通过小角度擦入大气层，以“打水漂”的形式多次跳跃再入，通过返回器与大气层的摩擦逐步减速至安全速度内。返回器在“打水漂”过程中减少的动能转变为其内能主要通过烧蚀材料带走，剩余少量能量则通过向四周辐射的形式耗散。有天文爱好者质疑该计划的安全性；返回器产生的辐射是否会对地球表面产生显著影响？请你结合第一次“打水漂”过程的相关数据，与太阳对地球的辐射进行比较，给出结论并进行合理解释。（相关计算结果可保留一位有效数字）以下为可能用到的数据：返回器质量，第一次进入大气层的速度，跳出大气层的速度，返回器跳跃一次并恢复初始温度的总时长，辐射能量占比，跳跃时离地平均高度。地球半径，太阳辐射至地表的单位面积功率为。 . 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $