专题一 3 力与曲线运动 导学案 -2026届高考物理二轮复习

专题一 力与运动 3.力与曲线运动 高考真题 1．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 核心突破 突破1. 运动的合成与分解 判断两个直线运动的合运动性质的方法 1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的性质。 2.常见的情况： 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 例题1. （多选）可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为，杆长为。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中时刻乙球速率最大，重力加速度大小为，不计一切摩擦，则（　　） A．时刻，轻杆与水平方向夹角为 B．时刻，乙球对地面的压力大小等于乙的重力大小 C．过程，甲球的加速度可能大于 D．过程，甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 例题2. （多选）在水平广场上建立平面直角坐标系Oxy，在x轴上关于坐标原点O对称的位置有两辆电动车A、B，它们到O点的距离均为。从时刻开始，A立即以的速度沿y轴正方向做匀速直线运动，B以的加速度从静止开始沿y轴负方向做匀加速直线运动。两电动车A、B的连线与y轴的交点设为P点。接下来的运动过程中，（　　） A．P点做匀速直线运动，速度大小为 B．P点做匀变速直线运动，加速度大小为 C．P点经过4s再次回到O点 D．P点再次回到O点时的速度大小为 突破2.平抛运动 (1)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (2)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 例题3. （多选）如图甲所示，挡板与水平面的夹角为，小球从点的正上方高度为的点以水平速度水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的点转动，改变挡板的倾角，小球平抛运动的初速度也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂直，关系图像如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．图乙的函数关系图像对应的方程式 B．图乙中的数值-2 C．当图乙中的值为 D．当，图乙中，则平抛运动的时间为 例题4. （多选）跳台滑雪项目的比赛场地别具一格，形似“如意”，该场地被称为“雪如意”，如图甲所示，其赛道的简易图如图乙所示。赛道由曲轨道和倾斜轨道组成，运动员由赛道上一定高度处滑下，由O点沿水平方向飞出，经过时间t落在倾角为α的倾斜轨道上的A点。假设运动员可视为质点，O、A间视为直道，空气阻力可不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．运动员在A点时的速度与水平方向的夹角为2α B．如果离开O点的速度减半，则运动员落在OA的中点 C．运动员落在A点时的速度为 D．整个过程中，运动员距倾斜轨道的最大距离为 突破3.斜抛运动 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 例题5. （多选）为了测试新设计的消防用高压水枪，测试人员站在高度为的平台上手持水枪向外喷射，地面测试人员以高台底部为原点，沿水平方向和竖直方向建立x、y轴并根据水柱轨迹绘制了图像，其轨迹为抛物线，如图所示，水枪喷口与水平方向夹角为。下列说法正确的是（　　） A．水枪喷射出水柱的初速度为 B．水柱从被喷射出到落地所用时间为 C．水枪喷口与水平方向夹角的正切值为 D．水柱落地位置距离喷射位置的水平距离为 例题6. （多选）在中国男篮2025年7月16日进行的国际热身赛中，中国男篮成功击败了荷兰队。假设某篮球运动员在练习投篮时，两次球出手的位置和速度方向保持不变（即抛出速度与水平方向的夹角θ保持不变），第一次击中篮板时速度方向为水平，第二次击中篮板的位置与抛出点处于同一高度，如图所示。则第一次与第二次投球过程中的初速度之比、运动的总时间之比、篮球上升的最大高度之比，以及速度偏转角的正切值之比的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 突破4.圆周运动 (1)水平面内的圆周运动 水平面内 动力学方程 临界情况示例 水平转盘上的物体 Ff=mω2r 恰好发生滑动 圆锥摆模型 mgtanθ=mrω2 恰好离开接触面 (2)竖直面及倾斜面内的圆周运动 轻绳模型 最高点：FT+mg=m 恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0 轻杆模型 最高点：mg±F=m 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力 带电小球在叠加 场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动 倾斜转盘上的物体 最高点：mgsin θ±Ff=mω2r 最低点Ff-mgsin θ=mω2r 恰好通过最低点 例题7. （多选）为了方便顾客食用菜品，饭店的餐桌上常常配备大转盘，该转盘可根据顾客需求调节转速。在转盘桌上放置两个材质相同但质量不同的碗，甲碗的质量大于乙碗的质量（两只碗均可视为质点）。甲、乙两碗放置在转盘上的同一条半径上，且乙碗距圆心的距离大于甲碗（如图所示）。已知转盘的半径为R，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现通过调节使转速缓慢增加至n（单位：r/s）时，下列说法正确的是（　　） A．当转速增大到一定值后，乙碗一定先滑动 B．当转速时，乙碗一定发生滑动（μ为碗与转盘间的动摩擦因数，g为重力加速度） C．两只碗均未发生滑动时，甲碗所受的摩擦力一定较大 D．两只碗均未发生滑动时，乙碗的向心加速度一定较大 例题8. （多选）如图所示，内、外壁均光滑、半径为R的圆轨道固定在竖直面内，O是轨道的圆心，NQ是竖直直径。甲、乙两小球（均视为质点）分别在轨道内、外壁上的Q、P两点，半径OP与竖直方向的夹角为37°，重力加速度为g，，下列说法正确的是（　　） A．若甲在Q点获得一水平向右的速度，正好能到达N点，则在N点的速度为0 B．若甲在Q点获得一水平向右的速度，正好能到达N点，则在Q点的速度大小为 C．若乙球在P点获得大小为沿切线斜向右上方的速度，则刚好能到达N点 D．若乙球在P点获得大小为沿切线斜向右上方的速度，则在P点对轨道刚好无压力 素养提升 1. 类斜抛运动，合力恒定，初速度与合力方向成一夹角，夹角范围，或。可以按照运动分解思想去处理类似问题。 2.小球沿竖直圆环的外轨道在点脱离轨道的条件， 即 得 同理沿内轨道脱离的条件也是如此。 实战演练 一、单选题 1．如图所示，轻杆中点固定一小球，端在水平面上运动时端不离开竖直墙面，当杆与水平面成角时，端速度大小为，则小球的速度大小为（　　） A． B． C． D． 2．如图甲所示，有两互相垂直动摩擦因数为的水平传送带，物块以的速度从一传送带垂直滑向另一速度大小为的传送带上，并最终与传送带共速，情景简化成乙图所示。则物块从滑上的传送带到共速的过程中，以地面为参考系，下列说法正确的是（　　） A．物块速度一直减小 B．物块运动过程中最小速度是 C．物块做匀变速曲线运动 D．物块加速度大小为 3．小球A从地面上方某一高度处出发，做平抛运动，同一时刻，在小球A出发点正下方的水平地面上，小球B开始做斜上抛运动，两个小球运动的轨迹如图所示。已知小球B运动的最高点与小球A的出发点位于同一水平高度，且小球A与小球B的落地点相同。下列说法中正确的是（　　） A．小球A和小球B速度的变化量相同 B．小球A和小球B同时落回地面 C．小球A和小球B可能在空中相遇 D．若小球A与小球B初速度大小相同，则小球B的初速度与水平方向的夹角为60° 4．如图所示，可视为质点的小球B停放在高的桌边上，另一个完全相同的小球A用一根长为的不可伸长的轻绳连接在悬挂点上，拉紧轻绳，让小球从与悬挂点等高处自由释放，并撞击B球，碰撞是弹性的。考察B的运动直到它首次碰到地面，不计空气阻力，我们虽然无法定量计算，但是可以定性做出判断，相较于B小球，A小球（　　） A．运动时间长，运动路程长 B．运动时间短，运动路程长 C．运动时间长，运动路程短 D．运动时间短，运动路程短 5．如图1所示，自行火炮打出的炮弹做斜抛运动，攻击正前方做匀速直线运动的无人目标车。若不计空气阻力，炮弹运动过程的简化模型如图2所示，炮弹从点1开始做斜抛运动的同时目标车正好经过点2，当目标车以速度匀速运动到点3时正好被炮弹击中。炮弹斜抛运动的最大高度为，1、2、3三点在同一水平面的一条直线上，且1、2两点间距离为2、3两点间距离的2倍。实际生活中一定存在空气阻力，假定空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，自行火炮发出的炮弹从点抛出沿轨迹运动，其中是最高点，如图3所示。重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．图2中，目标车从点2运动到点3的时间为 B．图2中，炮弹斜抛运动的水平射程为 C．图3中，炮弹在点时的加速度最大 D．图3中，炮弹在点时的速度最小 6．某部队在水平地面上训练时，火炮发射的炮弹轨迹如图所示。火炮先以发射第一枚炮弹，一段时间后，再以发射第二枚炮弹，最终二者同时击中同一目标。已知与水平方向夹角分别为，不计炮身高度和空气阻力，则（　　） A．一定小于 B．可能等于 C．一定小于 D．可能等于 7．如图所示，水平地面上固定一半径为的半圆形障碍物，有一小球自地面上A点以初速度v0斜向上射出。取重力加速度g = 10 m/s2，为使小球能够越过障碍物，则发射速度v0的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，在风洞实验室中，时刻从空中的A点以水平速度向左抛出一个质量为的小球，小球抛出后始终受到水平向右的恒定风力的作用，风力大小为小球重力的，一段时间后小球通过轨迹最左端的点，然后运动到A点正下方的点，重力加速度为。则（　　） A．A、两点间与、两点间的竖直高度之比为 B．经过点的速度大小为 C．A到C过程中速度最小的时刻 D．A到C过程中机械能最小的时刻 二、多选题 9．如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧—端固定在顶部，另一端与小物块P连接。当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点。则（　　） A．车轮静止且气嘴灯在最低点时，弹簧处于原长状态 B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 10．如图1所示，倾斜圆盘绕过其中心的转轴匀速转动，圆盘上距离转轴处放置有一可视为质点的物块，物块相对圆盘保持静止。图2所示为物块在随圆盘转动的过程中所受摩擦力大小的平方随时间变化的图线，图中、两时刻的时间间隔。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，取10。下列判断中正确的是（    ） A．物块所受向心力大小一定为3N B．圆盘的倾角可能为30° C．物块的质量可能为 D．时刻摩擦力一定指向圆心 11．如图所示，把一个可视为质点的小球放在光滑的球形容器中，使小球沿容器壁在某一水平面内做匀速圆周运动。已知圆周运动的轨道半径R=0.625m，小球所在位置切面与水平面夹角θ=45°，小球质量为m=0.2kg，重力加速度取g=10m/s2。关于小球的下列说法正确的是（　　） A．角速度大小为4rad/s B．线速度大小为5m/s C．向心加速度大小为10m/s2 D．所受支持力大小为N 三、解答题 12．如图，竖直墙壁上M点离地高度为，水平地面上A点到墙壁的距离为，B点到墙壁的距离为。将小球从A点斜向上抛出，运动一段时间后正好水平击中M点。不计一切阻力，重力加速度取。试求： (1)小球从A到M的时间以及水平击中M点前瞬间速度的大小； (2)从A点抛出的小球经过B点的正上方时离地的高度； (3)若从A点抛出小球后在B点竖直向上抛出另一个小球，则此球抛出时的速度为多大，能在上升过程中击中从A点抛出的小球。 13．公园中常有小朋友用发光转转球进行健身娱乐活动，如图1所示。情境可简化如下：不可伸长的轻绳一端系着质量m=1kg的小球，另一端系在固定竖直轴上。某次锻炼时，小球绕轴做角速度ω1=4rad/s的匀速圆周运动，此时轻绳与地面平行，拉力大小T1=4N，如图2所示。不计小球的一切阻力，小球可视为质点，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s2。 (1)求轻绳的长度L； (2)若小球绕轴做角速度的匀速圆周运动，此时轻绳与轴的夹角，结点为O，如图3所示。求此时小球对地面的压力大小FN； 10 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 力与运动 3.力与曲线运动 高考真题 1．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若小孩能接到球，则有， 联立解得 故选B。 2．（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得 故选C。 核心突破 突破1. 运动的合成与分解 判断两个直线运动的合运动性质的方法 1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的性质。 2.常见的情况： 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 例题1. （多选）可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为，杆长为。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中时刻乙球速率最大，重力加速度大小为，不计一切摩擦，则（　　） A．时刻，轻杆与水平方向夹角为 B．时刻，乙球对地面的压力大小等于乙的重力大小 C．过程，甲球的加速度可能大于 D．过程，甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 【答案】BD 【详解】A．设轻杆与水平方向的夹角为θ，甲、乙两球的速度大小分别为和，将和分别沿杆和垂直杆方向分解，则有 由图可知时刻有 解得，故A错误； B．由受力分析可得，杆对乙球的作用先是推力，后是拉力，时刻乙球速率最大，即此时杆恰好对乙球无作用力，则时刻乙球对地面的压力大小等于乙的重力大小，故B正确； C．时刻乙球速率最大，杆对乙球为推力，时刻杆对乙球推力为零，则杆对甲也是斜向左上的推力，对甲由牛顿第二定律有 则过程，甲球的加速度只能小于等于，故C错误； D．过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积即为该过程中甲、乙两球的位移，甲球的位移 乙球的位移 面积之比为，故D正确。 故选BD。 例题2. （多选）在水平广场上建立平面直角坐标系Oxy，在x轴上关于坐标原点O对称的位置有两辆电动车A、B，它们到O点的距离均为。从时刻开始，A立即以的速度沿y轴正方向做匀速直线运动，B以的加速度从静止开始沿y轴负方向做匀加速直线运动。两电动车A、B的连线与y轴的交点设为P点。接下来的运动过程中，（　　） A．P点做匀速直线运动，速度大小为 B．P点做匀变速直线运动，加速度大小为 C．P点经过4s再次回到O点 D．P点再次回到O点时的速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．由题可知，设A、B初始时刻的坐标为、，由于A沿y轴正方向做匀速直线运动，则其位置变化为， 同理B位置的变化为， 则A、B连线的斜率 则A、B的直线方程为 令可得 结合匀变速直线运动规律可知，P点的初速度为 加速度为，故，故A错误，B正确； CD．若A、B连线再次与y轴垂直，则有，即 解得或（无意义） 因此A、B连线不可能再次与y轴垂直，若P点再次回到O点，则有，即 解得（另一解即初始位置） 即经过4s时，P点回到O点，由前面得出的，当时，，故C正确，D错误。 故选BC。 突破2.平抛运动 (1)基本规律 如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy。 (2)平抛运动物体的速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示。 (3)两个推论 ①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 ②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，速度方向与水平方向的夹角θ和位移方向与水平方向的夹角α的关系为：tan θ＝2tan α。 例题3. （多选）如图甲所示，挡板与水平面的夹角为，小球从点的正上方高度为的点以水平速度水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的点转动，改变挡板的倾角，小球平抛运动的初速度也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂直，关系图像如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．图乙的函数关系图像对应的方程式 B．图乙中的数值-2 C．当图乙中的值为 D．当，图乙中，则平抛运动的时间为 【答案】ACD 【详解】A．设平抛运动的时间为t，如图所示 把平抛运动的位移分别沿水平和竖直方向分解，由几何关系 解得 根据几何关系有 联立整理，故A正确； B．结合图乙函数关系图像可得，故B错误； C．由 结合图乙可得函数关系图像的斜率 又有， 可得，故C正确； D．当，H=0.2m 根据 解得 根据 解得，故D正确。 故选ACD。 例题4. （多选）跳台滑雪项目的比赛场地别具一格，形似“如意”，该场地被称为“雪如意”，如图甲所示，其赛道的简易图如图乙所示。赛道由曲轨道和倾斜轨道组成，运动员由赛道上一定高度处滑下，由O点沿水平方向飞出，经过时间t落在倾角为α的倾斜轨道上的A点。假设运动员可视为质点，O、A间视为直道，空气阻力可不计，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．运动员在A点时的速度与水平方向的夹角为2α B．如果离开O点的速度减半，则运动员落在OA的中点 C．运动员落在A点时的速度为 D．整个过程中，运动员距倾斜轨道的最大距离为 【答案】CD 【详解】A．设运动员落在倾斜轨道上的瞬时速度方向与水平方向的夹角为，则 又 整理得 显然，故A错误； B．运动员由O到A的过程中，由 解得 运动员离开O点的速度减半，则运动员由O到落在倾斜轨道上的时间减半，则由可知运动员的水平位移为原来的，运动员的落地点距离O点的距离为OA距离的，故B错误； C．由 得 运动员落在A点时的竖直速度大小为 则运动员落在A点的速度大小为，故C正确； D．将运动员的初速度和重力加速度分别沿垂直于斜面和平行于斜面分解，则、 当运动员垂直斜面的速度减为零时，运动员距离倾斜轨道的距离最大，即，故D正确。 故选CD。 突破3.斜抛运动 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 (1)初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2)当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ①射高：h＝。 ②斜抛运动的飞行时间：t＝。 ③射程：s＝v0cos θ·t＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝。 例题5. （多选）为了测试新设计的消防用高压水枪，测试人员站在高度为的平台上手持水枪向外喷射，地面测试人员以高台底部为原点，沿水平方向和竖直方向建立x、y轴并根据水柱轨迹绘制了图像，其轨迹为抛物线，如图所示，水枪喷口与水平方向夹角为。下列说法正确的是（　　） A．水枪喷射出水柱的初速度为 B．水柱从被喷射出到落地所用时间为 C．水枪喷口与水平方向夹角的正切值为 D．水柱落地位置距离喷射位置的水平距离为 【答案】AD 【详解】A．设水枪喷射出水柱的初速度为，将速度沿水平、竖直方向分解，则有， 在竖直方向有 解得 解得，故A正确； B．根据 解得 水柱下落所用时间满足 解得 水柱从被喷射出到落地所用时间为，故B错误； C．根据 解得 解得，故C错误； D．水柱落地位置距离喷射位置的水平距离为，故D正确。 故选AD。 例题6. （多选）在中国男篮2025年7月16日进行的国际热身赛中，中国男篮成功击败了荷兰队。假设某篮球运动员在练习投篮时，两次球出手的位置和速度方向保持不变（即抛出速度与水平方向的夹角θ保持不变），第一次击中篮板时速度方向为水平，第二次击中篮板的位置与抛出点处于同一高度，如图所示。则第一次与第二次投球过程中的初速度之比、运动的总时间之比、篮球上升的最大高度之比，以及速度偏转角的正切值之比的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．将两次的初速度正交分解，由于每次的抛出角度不变，两次水平位移相同，即 第一次 第二次 可得，，故A错误B正确； C．根据位移公式有篮球第一次上升的最大高度 第二次上升的最大高度 可得，故C正确； D．第二次的末速度与初速度的大小相同，速度矢量关系如图所示，速度偏转角，正切值非2倍的关系，故D错误。 故选BC。 突破4.圆周运动 (1)水平面内的圆周运动 水平面内 动力学方程 临界情况示例 水平转盘上的物体 Ff=mω2r 恰好发生滑动 圆锥摆模型 mgtanθ=mrω2 恰好离开接触面 (2)竖直面及倾斜面内的圆周运动 轻绳模型 最高点：FT+mg=m 恰好通过最高点，绳的拉力恰好为0 轻杆模型 最高点：mg±F=m 恰好通过最高点，杆对小球的力等于小球的重力 带电小球在叠加 场中的圆周运动 等效法 关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置 恰好通过等效最高点，恰好做完整的圆周运动 倾斜转盘上的物体 最高点：mgsin θ±Ff=mω2r 最低点Ff-mgsin θ=mω2r 恰好通过最低点 例题7. （多选）为了方便顾客食用菜品，饭店的餐桌上常常配备大转盘，该转盘可根据顾客需求调节转速。在转盘桌上放置两个材质相同但质量不同的碗，甲碗的质量大于乙碗的质量（两只碗均可视为质点）。甲、乙两碗放置在转盘上的同一条半径上，且乙碗距圆心的距离大于甲碗（如图所示）。已知转盘的半径为R，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现通过调节使转速缓慢增加至n（单位：r/s）时，下列说法正确的是（　　） A．当转速增大到一定值后，乙碗一定先滑动 B．当转速时，乙碗一定发生滑动（μ为碗与转盘间的动摩擦因数，g为重力加速度） C．两只碗均未发生滑动时，甲碗所受的摩擦力一定较大 D．两只碗均未发生滑动时，乙碗的向心加速度一定较大 【答案】AD 【详解】A．两只碗由静摩擦力提供向心力，当达到最大静摩擦力时，即，可知当转速增大到一定值后，距离远的乙碗先滑动，故A正确； B．题目给出整个转盘的半径为R，代入数据得，解得，但是两只碗的轨迹半径均小于R，转速达到该值乙碗不发生滑动，故B错误； C．由A选项分析可知，两只碗均未发生滑动时，静摩擦力提供向心力，甲碗的质量大，半径小，无法确定二者静摩擦力的大小，故C错误； D．根据向心加速度公式，可得半径大的乙碗的向心加速度大，故D正确。 故选AD。 例题8. （多选）如图所示，内、外壁均光滑、半径为R的圆轨道固定在竖直面内，O是轨道的圆心，NQ是竖直直径。甲、乙两小球（均视为质点）分别在轨道内、外壁上的Q、P两点，半径OP与竖直方向的夹角为37°，重力加速度为g，，下列说法正确的是（　　） A．若甲在Q点获得一水平向右的速度，正好能到达N点，则在N点的速度为0 B．若甲在Q点获得一水平向右的速度，正好能到达N点，则在Q点的速度大小为 C．若乙球在P点获得大小为沿切线斜向右上方的速度，则刚好能到达N点 D．若乙球在P点获得大小为沿切线斜向右上方的速度，则在P点对轨道刚好无压力 【答案】BC 【详解】A．由可得甲在N点的速度为，A错误； B．甲从Q到N，由机械能守恒定律可得 解得，B正确； C．乙从P到N由机械能守恒定律可得 解得，C正确； D．乙在P点时对轨道刚好无压力，把重力分别沿着OP和垂直OP分解，则沿着OP方向的分力充当向心力，则有 解得，D错误。 故选BC。 素养提升 1. 类斜抛运动，合力恒定，初速度与合力方向成一夹角，夹角范围，或。可以按照运动分解思想去处理类似问题。 2.小球沿竖直圆环的外轨道在点脱离轨道的条件， 即 得 同理沿内轨道脱离的条件也是如此。 实战演练 一、单选题 1．如图所示，轻杆中点固定一小球，端在水平面上运动时端不离开竖直墙面，当杆与水平面成角时，端速度大小为，则小球的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分解A、B两点的速度，如图所示 则有 解得 以墙角为坐标原点，设C点横、纵坐标分别为x、y，杆长为L，则A点纵坐标为2y，B点横坐标为2x，则有 可得C点的轨迹方程为 即轨迹方程为圆，其速率满足 代入数据得，故选A。 2．如图甲所示，有两互相垂直动摩擦因数为的水平传送带，物块以的速度从一传送带垂直滑向另一速度大小为的传送带上，并最终与传送带共速，情景简化成乙图所示。则物块从滑上的传送带到共速的过程中，以地面为参考系，下列说法正确的是（　　） A．物块速度一直减小 B．物块运动过程中最小速度是 C．物块做匀变速曲线运动 D．物块加速度大小为 【答案】C 【详解】ACD．物块的速度可以分解为y轴正方向和x轴正方向，滑动摩擦力f可以分解为x轴正方向和y轴的负方向，运动轨迹为图中曲线，如图所示： 物块在传送带上运动的前阶段，合摩擦力方向与速度方向的夹角为钝角，物块的速度一直减小，当摩擦力方向与速度方向垂直时，物体的速度最小；后阶段，摩擦力方向与速度方向的夹角为锐角，物块的速度增加，物块受传送带的摩擦力大小 解得 加速度不变，所以物块做匀变速曲线运动，故AD错误，C正确； B．以传送带为参考，物块速度大小为 方向和摩擦力方向如图所示 则 最小速度为，故B错误； 故选C。 3．小球A从地面上方某一高度处出发，做平抛运动，同一时刻，在小球A出发点正下方的水平地面上，小球B开始做斜上抛运动，两个小球运动的轨迹如图所示。已知小球B运动的最高点与小球A的出发点位于同一水平高度，且小球A与小球B的落地点相同。下列说法中正确的是（　　） A．小球A和小球B速度的变化量相同 B．小球A和小球B同时落回地面 C．小球A和小球B可能在空中相遇 D．若小球A与小球B初速度大小相同，则小球B的初速度与水平方向的夹角为60° 【答案】D 【详解】B．设 A 由高 H 处水平抛出，则 A 下落时间满足 解得 设 B 以初速度斜上抛，其最高点与 A 的抛出点等高，则 B 从地面抛出到最高点用时与下落回地面时间相同，有 解得 B总飞行时间 故两球并不同时落地，故 B 错误； A．A 球在整个运动中仅竖直方向速度发生变化，速度的变化量为 B 球初速度竖直分量为，方向向上，落地时竖直分量为，方向向下，水平方向速度不变，则B球速度改变量 两者速度改变量大小并不相同，故A 错误； C．若两球在空中相遇，则应满足 即 整个过程，水平方向有 则 可见两球不可能在空中相遇，故C错误； D．若小球A与小球B初速度大小相同，根据 解得，故D正确； 故选D。 4．如图所示，可视为质点的小球B停放在高的桌边上，另一个完全相同的小球A用一根长为的不可伸长的轻绳连接在悬挂点上，拉紧轻绳，让小球从与悬挂点等高处自由释放，并撞击B球，碰撞是弹性的。考察B的运动直到它首次碰到地面，不计空气阻力，我们虽然无法定量计算，但是可以定性做出判断，相较于B小球，A小球（　　） A．运动时间长，运动路程长 B．运动时间短，运动路程长 C．运动时间长，运动路程短 D．运动时间短，运动路程短 【答案】C 【详解】A、B两球竖直方向运动距离相同，竖直方向初速度均为0，下落相同高度时，A的竖直方向加速度一直小于B的竖直方向加速度，故运动时间A更长； 对A球，由机械能守恒定律得 A、B碰撞过程有， 联立解得 以B初始位置为最高点作一个半径为的圆形光滑轨道，在最高点所需向心力 显然B在该处重力不足以充当向心力，B会脱离轨道做抛体运动（与无轨道时相同），故而其运动路程大于半径为的圆周，也就是大于A的运动路程。 另解：B球下落过程有， 联立解得 其运动路程 圆弧长 由于，所以B球运动路程更长。 故选C。 5．如图1所示，自行火炮打出的炮弹做斜抛运动，攻击正前方做匀速直线运动的无人目标车。若不计空气阻力，炮弹运动过程的简化模型如图2所示，炮弹从点1开始做斜抛运动的同时目标车正好经过点2，当目标车以速度匀速运动到点3时正好被炮弹击中。炮弹斜抛运动的最大高度为，1、2、3三点在同一水平面的一条直线上，且1、2两点间距离为2、3两点间距离的2倍。实际生活中一定存在空气阻力，假定空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，自行火炮发出的炮弹从点抛出沿轨迹运动，其中是最高点，如图3所示。重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．图2中，目标车从点2运动到点3的时间为 B．图2中，炮弹斜抛运动的水平射程为 C．图3中，炮弹在点时的加速度最大 D．图3中，炮弹在点时的速度最小 【答案】C 【详解】A．目标车从2到3的时间等于炮弹从1到3的时间，即，故A错误； B．目标车的位移大小为 根据题意可知，炮弹斜抛运动的水平射程为，故B错误； C．由于空气阻力大小与瞬时速度大小成正比，炮弹在点时速度斜向上方，速度最大，空气阻力斜向下方且最大，此时空气阻力与竖直方向夹角最小，炮弹所受的合力最大，加速度也最大，故C正确； D．炮弹在P点时，所受空气阻力水平向左，所受合力向左下方，与速度方向成钝角，说明炮弹的速度正在减小，故炮弹在P点时的速度不是最小，故D错误。 故选C。 6．某部队在水平地面上训练时，火炮发射的炮弹轨迹如图所示。火炮先以发射第一枚炮弹，一段时间后，再以发射第二枚炮弹，最终二者同时击中同一目标。已知与水平方向夹角分别为，不计炮身高度和空气阻力，则（　　） A．一定小于 B．可能等于 C．一定小于 D．可能等于 【答案】D 【详解】AB．据斜抛运动规律，设θ是发射角，v是初速度，g是重力加速度。 则炮弹的射程公式为 飞行时间公式为 两炮弹的初速度分别为、发射方向和水平方向夹角分别为，由于两炮弹击中同一目标，射程相同，有 两炮弹先后发射但同时击中，第一枚炮弹飞行时间更长，即 故，A错误，B错误； CD．当两炮弹发射角互补，且时， 解得，C错误，D正确。 故选D。 7．如图所示，水平地面上固定一半径为的半圆形障碍物，有一小球自地面上A点以初速度v0斜向上射出。取重力加速度g = 10 m/s2，为使小球能够越过障碍物，则发射速度v0的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以半圆形障碍物圆心为坐标原点建立xOy直角坐标系，设A点发射时水平方向分速度为vx，小球到达最高点时离地面高度为h，当小球的运动轨迹与半圆形障碍物的表面相切，小球发射速度才能取得最小值，小球在空中时的坐标为（x，y），由抛体运动规律得 ， 联立可得小球在空中运动的抛物线函数为 半圆形障碍物的表面函数为 联立可得 上述两函数刚好有交点，则有 可得 由机械能守恒定律得 联立可得 可得 故选D。 8．如图所示，在风洞实验室中，时刻从空中的A点以水平速度向左抛出一个质量为的小球，小球抛出后始终受到水平向右的恒定风力的作用，风力大小为小球重力的，一段时间后小球通过轨迹最左端的点，然后运动到A点正下方的点，重力加速度为。则（　　） A．A、两点间与、两点间的竖直高度之比为 B．经过点的速度大小为 C．A到C过程中速度最小的时刻 D．A到C过程中机械能最小的时刻 【答案】C 【详解】A．小球在水平方向，先向左减速后向右加速，且加速度不变，所以小球从A到B与从B到C的时间相等，根据 可知，A、B两点间与B、C两点间的竖直高度之比为1:3，故A错误； B．小球水平方向受风力作用，根据运动的对称性可知，小球经过C点时水平方向的分速度为 则有水平加速度 故A点到C点的运动的时间为 竖直方向小球做自由落体运动，经过C点的竖直分速度为 则小球经过C点时的速度大小为，故B错误； C．风力与重力的合力为，设与竖直方向的夹角为。可知， 小球运动加速度 将初速度沿平行于合力的方向和垂直于合力的方向分解，如图 可知，最小速度为垂直于合力的方向的速度，即 小球最小速度时平行于合力方向的速度恰好减小到零。运动时间，故C正确； D．当风力做的负功最大时，小球的机械能最小，小球运动时间为，故D错误。 故选C。 二、多选题 9．如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧—端固定在顶部，另一端与小物块P连接。当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点B与车轮圆心距离为R，车轮静止且气嘴灯在最低点时触点A、B距离为d，已知P与触点A的总质量为m，弹簧劲度系数为k，重力加速度大小为g，不计接触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、B均视为质点。则（　　） A．车轮静止且气嘴灯在最低点时，弹簧处于原长状态 B．要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为 C．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 D．要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为 【答案】BD 【详解】A．车轮静止且气嘴灯在最低点时，对m，由平衡条可知重力与弹力等大反向，故弹簧处于拉伸状态，故A错误； B．车轮转动前气嘴灯在最低点时有 气嘴灯在最低点，能发光的角速度满足 解得 故要使气嘴灯能发光，车轮匀速转动的最小角速度为，故B正确； CD．气嘴灯在最高点能发光的角速度满足 解得 故要使气嘴灯一直发光，车轮匀速转动的最小角速度为，故C错误，D正确。 故选BD。 10．如图1所示，倾斜圆盘绕过其中心的转轴匀速转动，圆盘上距离转轴处放置有一可视为质点的物块，物块相对圆盘保持静止。图2所示为物块在随圆盘转动的过程中所受摩擦力大小的平方随时间变化的图线，图中、两时刻的时间间隔。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，取10。下列判断中正确的是（    ） A．物块所受向心力大小一定为3N B．圆盘的倾角可能为30° C．物块的质量可能为 D．时刻摩擦力一定指向圆心 【答案】BC 【详解】BC．图中、两时刻的时间间隔，所以周期 当在最高点，摩擦力指向圆心时：在时刻 在时刻 联立解得， 当在最高点，摩擦力背离圆心时：在时刻 联立解得， 此时，故BC正确； A．由于倾斜圆盘绕过其中心的转轴匀速转动，物块相对圆盘保持静止，则无论物块在哪里，当时， 物块所受向心力大小都为，当时，物块所受向心力大小都为，故A错误； D．时刻摩擦力最小，在最高点，可能指向圆心也可能背离圆心，故D错误。 故选BC。 11．如图所示，把一个可视为质点的小球放在光滑的球形容器中，使小球沿容器壁在某一水平面内做匀速圆周运动。已知圆周运动的轨道半径R=0.625m，小球所在位置切面与水平面夹角θ=45°，小球质量为m=0.2kg，重力加速度取g=10m/s2。关于小球的下列说法正确的是（　　） A．角速度大小为4rad/s B．线速度大小为5m/s C．向心加速度大小为10m/s2 D．所受支持力大小为N 【答案】AC 【详解】A．对小球进行分析，根据牛顿第二定律有 解得，故A正确； B．小球运动的线速度大小 结合上述解得，故B错误； C．小球向心加速度大小 结合上述解得，故C正确； D．对小球进行分析，小球所受支持力大小为，故D错误。 故选AC。 三、解答题 12．如图，竖直墙壁上M点离地高度为，水平地面上A点到墙壁的距离为，B点到墙壁的距离为。将小球从A点斜向上抛出，运动一段时间后正好水平击中M点。不计一切阻力，重力加速度取。试求： (1)小球从A到M的时间以及水平击中M点前瞬间速度的大小； (2)从A点抛出的小球经过B点的正上方时离地的高度； (3)若从A点抛出小球后在B点竖直向上抛出另一个小球，则此球抛出时的速度为多大，能在上升过程中击中从A点抛出的小球。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）小球从A点斜向上抛出，可看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。 小球正好水平击中M点，则小球在竖直方向上的分速度为0，根据竖直上抛运动的规律，小球从A点到M点的运动时间 水平击中M点前瞬间速度的大小 （2）A点和B点之间的距离为 小球从A点运动到B点正上方的时间为 根据竖直上抛运动的规律，小球在A点时，竖直方向的分速度为 小球经过B点的正上方时离地的高度为 解得 （3）另一个小球从B点抛出到击中从A点抛出的小球，经历的时间为 根据竖直上抛运动的规律，有 解得 13．公园中常有小朋友用发光转转球进行健身娱乐活动，如图1所示。情境可简化如下：不可伸长的轻绳一端系着质量m=1kg的小球，另一端系在固定竖直轴上。某次锻炼时，小球绕轴做角速度ω1=4rad/s的匀速圆周运动，此时轻绳与地面平行，拉力大小T1=4N，如图2所示。不计小球的一切阻力，小球可视为质点，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s2。 (1)求轻绳的长度L； (2)若小球绕轴做角速度的匀速圆周运动，此时轻绳与轴的夹角，结点为O，如图3所示。求此时小球对地面的压力大小FN； 【答案】(1)0.25m (2)4N 【详解】（1）轻绳拉力充当向心力，有 代入数据可得，轻绳的长度 （2）此时小球做圆周运动的半径 绳拉力的水平分力充当向心力 竖直方向上受力平衡，有 可求得， 根据牛顿第三定律 20 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $