专题06 指数函数与对数函数-2026年高一数学寒假强化专练（人教A版必修第一册）

专题06 指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 专题06 指数函数与对数函数 一、知识回顾： （一）指数的运算 1．根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2．指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质：若，则 ①． ②． ③ 3．对数与对数运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系： （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，一般选用e或10作为底数。 ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. （二）指数函数及其性质 1．指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2．指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3．指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 （三） 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2．对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3．对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 二、考点聚焦： 地 城 考点01 指对数运算 【经典例题】 1． ． 【答案】 【详解】由题意知．故答案为：. 2．计算 ． 【答案】 【详解】.故答案为：. 3． “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为常数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的保鲜时间为（    ）小时. A．72 B．36 C．24 D．16 【答案】A 【详解】当时，；当时，，则，整理可得，于是，当时，．故选：A 【变式训练】 1．计算： （1）； （2）. 【答案】（1）3；（2）1 【详解】（1）原式 （2）原式 2．（1）计算； （2）计算． 【详解】（1） （2） 3．计算： (1)； (2)已知求的值. 【详解】（1）； （2）因为所以. 4．（多选）已知，均为正整数且，下列化简结果中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，均为正整数且，由指数的运算法则可得，A正确；，B正确；，C错误；，D正确.故选：ABD. 5．若实数，满足，，则 ． 【答案】1 【详解】令，因为和均在R上单调递增，所以为单调增函数，，有且仅有一个零点，又由题可知，即，所以，∴，即，∴．故答案为：1. 6．已知函数，若（其中），则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【详解】，由，且，即，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为，故选：B. 7．已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】因为是偶函数，所以，则，因为，所以，则是的一个周期，因为，所以，，.故选：C. 8．声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，故，则当时，有，解得. 故选：B. 【巩固练习】 1．的值为 ． 【答案】3 【详解】.故答案为：3. 2． . 【答案】 【详解】.故答案为： 3．求下列各式的值. (1)； (2). 【详解】（1）原式； （2）原式. 4．（多选）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因是正整数，且，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选BCD. 5．若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．6 C．36 D．1 【答案】C 【详解】方程的两根为，所以， 由.故选：C 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，.故选：B． 7．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【答案】B 【详解】由题，，所以，又由题当时，，即，所以，令即即，解得，故，所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73.故选：B. 地 城 考点02 指对函数的定义域与值域 【经典例题】 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为.故选：C 2．已知，求函数的值域为 ． 【答案】 【详解】令，由，则，则 ，由，则，又当时，，当时，，有，故，故函数的值域为.故答案为：. 3．已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为的值域为，所以函数的值域满足， 所以，解得.故答案为：. 【变式训练】 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，或，故．故选：D． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D．R 【答案】B 【详解】设,则,所以在上为增函数,所以. 所以函数的值域为:.故选B. 3．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意得：且， 解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）， 则<3，化简得 且， 解得或. 【巩固练习】 1．集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，，，所以.故选：B. 2．若函数f(x)＝loga(x＋a)  (a>0且a≠1) 的图象过点A(－1,0)． (1)求a的值； (2)求函数的定义域． 【详解】（1）由题意可得：，则，解得. （2）由（1）可得：， 对于函数，可得，解得且， 故函数的定义域为. 3．已知函数． (1)求的定义域； (2)求不等式的解集． 【详解】（1）由题意得，得，即的定义域为． （2）由题意得， 则由，得，得，即或． 因为的定义域为， 所以不等式的解集为． 4．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值． 【详解】（1）因为， 令，，则，函数转化为，， 则二次函数， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，即， 由，可知当时，取到最大值，即， 故当时，函数的值域为． （2）由题得， 令，则，即，解得或， 即或，解得或. 故不等式的解集为. （3）由于对于恒成立， 令，，则，即对于恒成立， 即对于恒成立，所以对于恒成立． 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则时，， 故当时，对于恒成立．所以，的最小值为． 地 城 考点03 指对函数的单调性 【经典例题】 1．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】因为复合函数是由与复合而得，而在上单调递减，所以的单调减区间即为的单调增区间，因为开口向下，对称轴为，所以的单调增区间,故函数的单调递减区间为.故答案为：． 2．已知函数，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得,或，∴的定义域为． ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，∴在上为增函数，∵函数在上单调递减，∴根据复合函数单调性法则可知函数的单调递减区间是．故选：C． 3．已知函数是定义在的奇函数，则的值为 ；当时，，若，则的取值范围是 . 【答案】1 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以；当时，，则，解得，所以；当时，，又是奇函数；所以，则，解得；所以，综上的取值范围是， 故答案为：1； 4．已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为当时，为减函数，又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数，当时，一次函数单调递减，当时，指数函数，以将代入得：，又因为在上为单调递减函数，所以，解得：. 故选：D． 【变式训练】 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为．故选：D. 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对数函数的性质知，解得或，所以函数的定义域为，因为函数的图象的对称轴为，开口向上，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，则函数为减函数，由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为.故选：D 3．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】因为，解得，所以定义域为，令，对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域内单调递增，由复合函数的单调性可知：的单调递增区间为，故答案为：． 4．已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设，则，当时，指数函数单调递增，因为，所以，即；当时，指数函数单调递减，因为，所以，即；故选：BD. 5．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，由题设及指数复合函数的单调性知，解得.故选：C. 6．已知函数（，且）在R上单调递增，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意，得，所以a的取值范围为．故答案为 7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，设，，因为，所以为奇函数，则．即，又，在R上均为减函数，所以在R上为减函数，由得，即，所以，解得或．故选：D． 8．已知函数，则不等式的解集 . 【答案】 【详解】函数是定义域在上的减函数，令函数，，函数是R上的奇函数，且在R上单调递减，不等式，因此，解得，所以原不等式的解集为.故答案为： 【巩固练习】 1．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】函数由外层函数，内层函数构成，内层函数的对称轴为，单调递增区间是，单调递减区间是，外层函数是增函数，所以函数的单调递减区间为.故答案为： 2．函数的单调递减区间是 【答案】 【详解】易知函数的定义域为，令，则，易知在上单调递减，在区间上单调递增，在上单调递减，所以的单调递减区间为，故答案为：. 3．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，令，即，解得或，所以函数的定义域为，又函数在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又在定义域上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，即函数的单调递减区间为.故选：B 4．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C．, D．, 【答案】D 【详解】根据题意，设，对称轴为，则，函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则在区间上单调递减，必有，解得，所以实数的取值范围是，．故选：D． 5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数，因为是上的增函数，所以，即，所以实数的取值范围为.故答案为： 6．若函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【详解】设，，，因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以在上递减，所以，函数的定义域为，令，则，因为函数为减函数，所以函数的单调递增区间，即的单调递减区间，函数的单调递减区间为，结合函数定义域为，所以函数单调递增区间为. 故答案为： 地 城 考点04 指对数比较大小 【经典例题】 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知得，，，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，故选：C. 2．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，，都有恒成立，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意，都有恒成立，即，令，所以当时，有，即，所以函数在上单调递减，又函数为奇函数，所以，即函数为偶函数，又，，，所以，，，又 ，函数在上单调递减，所以.故选：. 【变式训练】 1．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递减，所以，由对数函数在上单调递增知，，所以.故选：C 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，又幂函数在第一象限单调递增，所以，所以.故选：A. 3．设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，，，，.故选：C. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，由于为第二象限角，故， 故.故选：D. 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数在上单调递增，得，由指数函数在上单调递减，得，由三角函数在上单调递增，得，所以.故选：C. 6．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，其中， 所以，所以，故选：D. 【巩固练习】 1．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数单调性可知，由对数函数单调性可知，所以，所以，故选：D. 2．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，因为单调递增，所以，因为单调递减，所以，所以，综上,故选D. 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以．故选A． 4．已知函数，设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由恒成立，故的定义域为，，由，故为偶函数，则，又，，，，故，当时，，令，令，，由对勾函数性质可得该函数在上单调递增， 故在上单调递增，故.故选：A. 5．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，．因为函数在上单调递增，所以，即．故．故选：D. 6．设，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由对数函数的性质，可得，，即，又由指数函数的性质，可得，所以.故选：A. 7．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得，，且，所以，，所以，故选：A. 8．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，即；，即；，即，．故选：C 地 城 考点05 幂函数 【经典例题】 1．已知是幂函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题意得，得．故选：B. 2．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为幂函数在区间上单调递增，则，解得， 所以，则，即函数的图象过定点.故选：A. 【变式训练】 1．已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【详解】设，则，解得，所以，定义域为，且在定义域上单调递减， 故，解得.故答案为：. 2． “幂函数在单调递减”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】若为幂函数，则，解得或，因为当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立，即“幂函数在单调递减”是“”的既不充分也不必要条件.故选：A. 3．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 【答案】ACD 【详解】∵函数是幂函数，∴设. ∵幂函数的图象经过点，∴，∴，∴. ∵，当且仅当时等号成立，∴的最小值为0，故选项A正确； ∵的定义域为，关于原点不对称，∴函数是非奇非偶函数，故选项B错误； ∵，∴. ∵，∴， ∴，∴，故选项C正确； ∵， ∴由函数单调性的性质可知：函数是在上的减函数，故选项D正确. 故选：ACD. 4．（多选）已知幂函数，函数在区间上单调递减，则下列正确的是（    ） A． B．函数的图象经过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由函数为幂函数，有，解得或2．当时，，函数在单调递增，不符合题意；当时，，函数在单调递减，符合题意．故有，故A错误；对于B，由选项A，，可得，故B正确；对于C，由函数为偶函数，可知函数在区间上单调递增，可得，故C正确；对于D，由，，则，可得，故D正确．故选：BCD． 5．已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）设函数，由的图象过点，得，解得， 所以函数的解析式是. （2）由（1）知，，则，由，得， 即，令，依题意，任意，， 而函数在上单调递减，，因此， 所以实数的取值范围是. 【巩固练习】 1．已知幂函数的图像经过点，则 ． 【答案】 【详解】依题意，设函数，且为常数，则有，解得，即， 所以.故答案为： 2．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】设幂函数，由题意，解得，故，所以，则 ，即为.令，解得.根据在上为单调递增函数，则有，解得或，故所求解集为，故答案为. 3．（多选）已知函数的图象经过点，则（   ） A．的图象经过点 B．在内的值域为 C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称 【答案】AB 【详解】将点的坐标代入，可得，则，对A，当，，所以的图象经过点，A正确；根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，函数在内的值域为，故CD错误，B正确，故选：AB． 4．已知幂函数，且． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上是减函数，不满足，舍去； 当时，，满足， 所以； （2）由（1）知，定义域为， 因为，所以为偶函数， 由幂函数的性质可知在上单调递增， 又，则， 可得，则，即，解得， 所以实数的取值范围为． 三、达标检测 1．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，因为，所以，又因为，所以，所以．故选：B 2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，，∴.故选:B. 3．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A．27h B．27.5h C．28h D．28.5h 【答案】C 【详解】由题意，，则， 故选：C. 4．已知函数且的图象恒过定点，则定点的坐标为 . 【答案】 【详解】令，解得，则，所以定点的坐标为.故答案为：. 5．函数的单调增区间是 . 【答案】（或） 【详解】因为的定义域为R，又因为在定义域内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，可知在内单调递减，在内单调递增，所以函数的单调增区间是.故答案为：（或） 6．下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．已知，，则 C．若函数的定义域为，则的取值范围是 D．函数的值域是 【答案】ABD 【详解】对A，要使函数有意义，需使解得或．故的定义域为，故A正确；对B，令，则，则可化为，因为，所以，解得，故B正确；对C，由题意知恒成立．∴恒成立，∴，∴，故C错误；对D，因为，则，，即函数的值域是，故D正确；故选：ABD 7．（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 【答案】AD 【详解】解得，即的定义域为，A选项正确．，令，则．二次函数的图象的对称轴为直线，又的定义域为的图象关于直线对称．D选项正确．由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误．当时，有最大值，，C选项错误．故选：AD． 8．（多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的值域为 【答案】ACD 【详解】对于函数，有，可得，即函数的定义域为，且，令，则，D对；函数在上单调递增，在上单调递减，而外层函数为增函数，所以，函数在上单调递增，在上单调递增，A对，B错；因为 ，即的图象关于直线对称，C对.故选：ACD. 9．求下列各式的值. (1)； (2). 【详解】（1）原式； （2）原式. 10．已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 【详解】（1）由题意得，所以， 所以，由得或， 则的定义域为， 因为，所以的值域为． （2）由得： 所以，则方程的解为或4， 经检验或4，符合定义域为， 所以或4. 11．已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【详解】（1）幂函数在上单调递减， 则且，解得，故. （2）的定义域， 在上单调递减，且，在上单调递减，且. 显然且，当且，即时， 由不等式得，即，与不符， 当与一正一负时，若不等式成立， 只能有且，解得， 当且，即时，由不等式得，解得， 综上，不等式的解集为. 12．已知函数，其中且． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)证明：当时，函数在上为减函数； (3)求函数的值域． 【详解】（1）要使函数有意义，需满足，解得 ∴ 函数的定义域为， ∵ ，∴函数为偶函数． （2）由题意得, 设，且，则 ∵ ，又 ，，， ∴ ，∴ 又∴ ，∴ ，∴ 函数在上为减函数. （3）令，则．∵，∴ 当时，，故函数的值域为， 当时，，故函数的值域为． 综上可得，当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为． 13．若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． (1)试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． (2)已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 【详解】（1）对任意的，， 所以，、恒成立， 所以，函数、的定义域均为， ， 故函数与互为“和幂函数”； （2）①， 由函数与互为“积幂函数”， 则，即，故， 则与， 则， 令，即，令， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 故在定义域内单调递增， 又，， 故在上存在唯一零点， 即函数存在负零点，且负零点唯一； ②，则， 又，则当时，， 由在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，则当时， 在上单调递增，在上单调递减， 由，则，又，， 若函数在上有两个零点， 则在上有两个不同根，故. 试卷第1页，共3页 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 专题06指数函数与对数函数 一、知识回顾： (一)指数的运算 1.根式与分数指数幂 (1)根式的定义：一般地，如果x=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N。 式子√a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)根式的性质(n>l,且neN):(a)”=a;(Wa)”= a,n为奇数， la,n为偶数. (3)分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定：a”-a(a>0,m,neN,n>) 负分数指数幂：规定：口号。↓。 1 。”m（a>0m,n∈N,n>1) 性质：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 2.指数幂的运算性质 (1)无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a“(a>0,为无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. (2)指数幂的运算性质：若a>0,b>0,r∈R,则 ①aa'=a+5(a>0,r,s∈R).②(a）'=a(a>0,rs∈R). ③(ab)'=a'b 3.对数与对数运算 (1)对数的概念：如果=W(心0，且a1),那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x=logN,其中 a叫做对数的底数，N叫做真数，1ogN叫做对数式。 (2)对数的性质 对数式与指数式的互化：m=N台x=logN(a>0,且a时1)： ①log1=0,②log.a=1,③alog N-=N,④logv=N(a心0，且a1). 指数 真数 对数 指数式与对数式的关系： d=N N>0 log N=b 底数(a>0且a≠1) (3)对数的的运算法则与换底公式：如果心>0，且a1,M心0，心0 运算法则：①log(M)=logM什logN ②logN=log.M-logN ③logM=log M(n∈R) 换底公式：①ogb8ga>0,且a1,c>0,且c1,b>0,一般选用e或10作为底数 ②换底公式的三个重要结论：1oeb-心已01g少=鼎ogb:1ogb1ec1ogd=1ogd 1 1/30 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 (二)指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域 是R,a是指数函数的底数. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y y=a y=a'y 图象 (0,1) (0,1) y=1 -y=1 0 0 在x轴的上方，过定点(0,1) 图像特征 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 定义域 R 值域 (0,+0) 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 性质 当x<0时，0<y<1; 当x<0时，y>1: 范围 当x>0时，y>1: 当x>0时，0<y<1: 3.指数函数的常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“a>1”和0<a<1”两种情况讨论； (2)指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y=a(2)y=b;(3)y=c；(4)y=d的图象， 底数a,b,c,d与1的之间的大小关系为c>d>1>a>b: 规律：在y轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 （3)指数函数y=a与y日 的图象关于y轴对称。 2】 (1 (4) x=I (三)对数函数及其性质 1.对数函数的概念 2/30 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 (1)定义：函数y=log。x(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为(0，+∞)， (2)特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数y=1gx. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数y=lnx 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y:x=1 1x=1 图象 y=log x (1,0) 0 07(1,0)x y=log x 定义域：(0，十o) 值域：R 当x=1时，y=0,即过定点(1,0) 性质 当0<x<1时，y<0: 当0<x<1时，y>0: 当x>1时，y>0 当x>1时，y<0 在(0，+o)上为增函数 在(0，十o)上为减函数 3.对数函数图象的常用结论 (1)函数y=logx与y=log1x的图象x轴对称； (2)对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大， y=log x Y y=log x y=1 -y=logx y=logx 二、考点聚焦： 目目 考点01 指对数运算 【经典例题】 1.en3+273-tan 41r+g421g5=● 4 【答灯 3/30 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 【详解1由题意知e+27-m好2gs=3+m子2g0号故答案为：专 3 2.计算（π-4）+2+（反-1）°= 【答案】5 【详解】π-4)°+2+(V2-)°=(4-)+π+1=5故答案为：5. 3.“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不 便利如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合己知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x(单位：C)满足函数关系y=eb(a,b为常数)，若该果蔬在5C的保 鲜时间为216小时，在20C的保鲜时间为8小时，那么在10C时，该果蔬的保鲜时间为()小时. A.72 B.36 C.24 D.16 【答案】A 啡解】当x=5时.e26:当x=20时，e=8,则S。。-27,整理可得c=了，于混 0e306=8 e=216×3=648,当=10时，y=e=(ey.e2=×648=72.故选：A 9 【变式训练】 1.计算： (2)2lg5+lg2lg50+(1g2)2+lg0.1 【答案】(1)3：(2)1 【详解】(1)原式 1423 2」 =2 5 (2)原式=2lg5+lg2(1g50+lg2)-1=21g5+lg2)-1=1 2①计6”2922得)： (2)计算3g,2+2log23-log278+1og8+210g65, 【制(+9-2(6++-2 图2-号- 4/30 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 (2)3+21og,3-log8+31e。8+210g5=2+21og,3x1og,2+og2'+21b8e3 =2+2+log62+1og63=5 3.计算： ②)已知10=410=3求10产的值 】)可-+02〔9)=81--9*4=-7 （2)因为10=410=3所以10字-102 (10）_42_8 10 1033 4.（多选)已知a>0,m,n均为正整数且m≥2，n≥2，下列化简结果中正确的有() A.(a")"=am B.ai= ”am C.an= a” D. 【答案】ABD 【详解】a>0,m,n均为正整数且m≥2，n≥2，由指数的运算法则可得(a")”=am,A正确：a=a, B正确： 子=，C错误：。=六，D正确故选：AB即 5.若实数x,x满足e+x-2=0,为n+2x-1=0,则x(2-)=一 【答案】1 【详解】令f(x)=e+x-2,因为y=e*和y=x-2均在R上单调递增，所以f(x)为单调增函数， G=0,f)有且仅有一个零点，又由题可知nx-2=0,即e+(n)2=0,所以 f(-lnx2)=0,∴x=-nx2,即x2=e,.x2(2-x)=e.e=1.故答案为：1. 91 6.已知函数f)=1g写1g7若f)=f()(其中与*5)，则+元的最小值为() B C.3 D.9 【答案】B 【详解】f=ogog27=oe-l(og-3)=(oe,-4oe+3,由f(x)f(),且 46呢5g4:即4为8名侵2}子组仅当？号甲 5/30 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 ≤=27，飞=3时等号成立，放？+上的最小值为号，故选：B xx 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且f(x-1)是偶函数，当1≤x≤3时， f)-2+好则fe:40)=（） c.4 1 D.3 【答案】C 【详解】因为f(x-)是偶函数，所以f(x-)=f(-x-1),则f(x-3)=f(-x+),因为 f(1-x)=f(1+x),所以f(x-3)=f(1+x),则4是f(x)的一个周期，因为log232<log240<log264, 所以5<1og,40<6,1kog,40-4<2,f0og,40)=f(o8,40-4=2%+40t1故选：C 4164-4 8.声音的强弱通常用声强级D(dB)和声强I(W1m)来描述，二者的数量关系为D=lgl+n(m,n为常 数).一般人能感觉到的最低声强为102W1m,此时声强级为0dB；能忍受的最高声强为1W/m,此时 声强级为120dB.若某人说话声音的声强级为40B,则他说话声音的声强为() A.106W/m2 B.108W/m2 C.109W/m2 D.10-1oW/m2 【答案】B m=10 【详解】由题意可得 20g0这n20则当D=40时，有40=10e+20,解符110的 故选：B 【巩固练习】 1.g8+31g5的值为 【答案】3 【详解】lg8+3lg5=3lg2+3lg5=3(1g2+lg5)=3.故答案为：3. 2. 网++ 【答】 【带都】a+27+(会-+e1+291+-头故答案为： 16 44 3.求下列各式的值 -a 25 6/30 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 (2)10g49-1og 3 32 +2o83+10g23.l0g34. 【详解】1)原式=44(2号 (2)原式=1og,3-®g,3+1g,32+3+lg3×g4=1bg,2+1g2+3=5+2+3=10. lg2 1g3 1g2 4.（多选)设a>0,m,n是正整数，且n>1,则下列各式正确的是() B.(ai)=a C.a=a D.a 1 am 【答案】BCD 【详解】对于A,-a-a总a故A错误；对于B,==a故B正确：对于C,因 0光f发数.且则。-：战C正对FD,G手君广右戴DE疏地陆Bam 5.若方程x2+log26x+log23=0的两根为a,B, 44 的值为() A.-6 B.6 C.36 D.1 【答案】C 【详解】方程x2+x.log26+log23=0的两根为a,B,所以a+B=-log26, -= l0g26 =(22),6=36故选：C 6.已知lg2=a, 1g3=b,则1og018=() A. a+2b B.a+2b C.02b D.a-2b b-1 b+1 b-1 b+1 【答案】B 【详解】由题意，1og018=g18-g2+g9_1g2+21g34+2b 1g30g3+1g3+1=6+1故选：B. 7.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中， 指数衰减的学习率模型为L=L,D，,其中L表示每一轮优化时使用的学习率，马表示初始学习率，D表 示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G,表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5,衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所 需的训练迭代轮数至少为()（参考数据：lg2≈0.3） A.72 B.73 C.74 D.75 【答案】B 7/30 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 18 【详解】由题L=0.5,G,=18,所以L=0.5D,又由题当G=18时，L=0.4,即04=0.5D8÷D=0.8 G、lg04g4-1_2g2-1.2x03-1-4. 所以L=0.5×08品，令L<02即05x08品<02即0.8品<0.4解得8g081g8-g2-3×03- 故G>4×18=72,所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73.故选：B. 目目 考点02 指对函数的定义域与值域 【经典例题】 1 1.函数f()=+5-的定义域是（） A.(-0,-3)U(0,+0) B.(（-0,3] C.(0,3) D.[0,3) 【答案】C 【详解】对于函数f(x)=lgx+ 1 域为(0,3).故选：C 2.已知)≤x≤2，求函数y +2的值域为 【答案 【1r时2，-则周+-母得+a 4周付+=-*4则4传-11当 时，y=4t2-4t+2=4× 1 16 当1=2时，y=4-+2=4×}452=4-25,有 三--2月=25-片-85-0，故子4-2，故版=日-固+2的维 4 4 域为1故答案为： [ 3.已知函数f(x)=lg(x2+3x+a)的值域为R,则a的取值范围是 【答案】-,4 【详解】因为f(x)=g(x2+3x+a)的值域为R,所以函数y=x2+3x+a的值域M满足(O,+m)cM, .9 9 所以△=9-4a≥0，解得a≤2.故答案为： 4 【变式训练】 8/30 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 1.已知集合A={x2-x-2>0},B={xy=log3x},则A∩B=() A.(1,3) B.(0,3) C.1,2) D.(2,+0) 【答案】D 【详解】由x2-x-2>0可得，x<-1或x>2,B={x>0},故A∩B=(2,+o).故选：D. 2.函数y=4+2+1+1的值域为（) A.(0,+0) B.(1,+n) C.[1,+0) D.R 【答案】B 【详解】设t=2,则t>0,所以y=t+21+1=(t+1)在(0，+∞)上为增函数，所以y>1. 所以函数y=4+2+1的值域为：(L,+∞).故选B. 3.已知函数f(x)=h(2-)+ln(2+x). (1)求函数f()的定义域： (2)判断f(d)奇偶性，并加以证明： (3)若f(2m+1)<n3,求实数m的取值范围 【详解】(1)解：由题意得：2-x>0且2+x>0, 解得-2<x<2,所以函数定义域为(-2,2)： (2)因为f(x)的定义域为(-2,2)，关于原点对称， 又f(-x)=ln(2+x)+ln(2-x)=f(x), 所以f(x)为偶函数： (3)f(2m+)=ln1-2m)+ln(2m+3)=ln[1-2m(2m+3】<n3, 0:22引3.化筒得+m0且-子m<分 则 1 -2<2m+1<2 解得- 3 1 m<-1或0<m<2 【巩固练习】 1.集合A={x-3≤3}，B={yy=2,-2≤x≤1}，则AUB=() A.62习 B.[0,6 C.R D.⑦ 【答案】B 9/30 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 【详1根据题意，A=一斗s明=≤，B=y=2-2≤≤明=作y≤2，所以 AUB={x0≤x≤6.故选：B. 2.若函数fx)=log(x十a四(a心0且a时1)的图象过点A(-1,0). (1)求a的值： (2)求函数y f()的定义域. x+1 【详解】(1)由题意可得：f(-1)=log.（-1+a)=0,则-1+a=1,解得a=2. (2)由(1)可得：f(x)=log2(x+2), 「x+2>0 对于函数y-1o82+2）.可得+1≠0解得x>2且x≠- x+1 x+1 故函数y=f四的定义域为(-2，-1U(-1,+). x+1 3.己知函数f(x)=1og2(x-1)+log2(x-4). (1)求f(x)的定义域： (2)求不等式f(x)>2的解集. x-1>0 【详解】(1)由题意得 x-4>0得x>4,即f()的定义域为(4，+w）). (2)由题意得f(x)=1og2[(x-1)(x-4)】=log,(x2-5x+4), 则由f(x)=log2(x2-5x+4)>2,得x2-5x+4>4,得x2-5x>0,即x<0或x>5. 因为f(x)的定义域为(4，+o), 所以不等式f(x)>2的解集为(5，+o). 4.己知函数f(x)=2(1og4x-1)log4(2x). (1)当x∈[1,16]时，求该函数的值域： (2)求不等式f(x)>9的解集； (3)若f(x)≤mlog4x对于x∈[4,64]恒成立，求m的最小值， 【详解】4因为f()=20ogx-g,(2=2(0ogx-0og,x+ 10/30专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 专题06指数函数与对数函数 一、知识回顾： (一)指数的运算 1.根式与分数指数幂 (1)根式的定义：一般地，如果x=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N。 式子√a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)根式的性质(n>l,且neN):(a)”=a;(Wa)”= a,n为奇数， la,n为偶数. (3)分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定：a”-a(a>0,m,neN,n>) 负分数指数幂：规定：口号。↓。 1 。”m（a>0m,n∈N,n>1) 性质：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 2.指数幂的运算性质 (1)无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a“(a>0,为无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. (2)指数幂的运算性质：若a>0,b>0,r∈R,则 ①aa'=a+5(a>0,r,s∈R).②(a）'=a(a>0,rs∈R). ③(ab)'=a'b 3.对数与对数运算 (1)对数的概念：如果=W(心0，且a1),那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x=logN,其中 a叫做对数的底数，N叫做真数，1ogN叫做对数式。 (2)对数的性质 对数式与指数式的互化：m=N台x=logN(a>0,且a时1)： ①log1=0,②log.a=1,③alog N-=N,④logv=N(a心0，且a1). 指数 真数 对数 指数式与对数式的关系： d=N N>0 log N=b 底数(a>0且a≠1) (3)对数的的运算法则与换底公式：如果心>0，且a1,M心0，心0 运算法则：①log(M)=logM什logN ②logN=log.M-logN ③logM=log M(n∈R) 换底公式：①ogb8ga>0,且a1,c>0,且c1,b>0,一般选用e或10作为底数 ②换底公式的三个重要结论：1oeb-心已01g少=鼎ogb:1ogb1ec1ogd=1ogd 1 1/17 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 (二)指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域 是R,a是指数函数的底数. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y y=a y=a'y 图象 (0,1) (0,1) y=1 -y=1 0 0 在x轴的上方，过定点(0,1) 图像特征 当x逐渐增大时，图象逐渐上升 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 定义域 R 值域 (0,+0) 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 性质 当x<0时，0<y<1; 当x<0时，y>1: 范围 当x>0时，y>1: 当x>0时，0<y<1: 3.指数函数的常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“a>1”和0<a<1”两种情况讨论； (2)指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y=a(2)y=b;(3)y=c；(4)y=d的图象， 底数a,b,c,d与1的之间的大小关系为c>d>1>a>b: 规律：在y轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 （3)指数函数y=a与y日 的图象关于y轴对称。 2】 (1 (4) x=I (三)对数函数及其性质 1.对数函数的概念 2/17 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 (1)定义：函数y=log。x(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为(0，+∞)， (2)特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数y=1gx. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数y=lnx 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 y:x=1 1x=1 图象 y=log x (1,0) 0 07(1,0)x y=log x 定义域：(0，十o) 值域：R 当x=1时，y=0,即过定点(1,0) 性质 当0<x<1时，y<0: 当0<x<1时，y>0: 当x>1时，y>0 当x>1时，y<0 在(0，+o)上为增函数 在(0，十o)上为减函数 3.对数函数图象的常用结论 (1)函数y=logx与y=log1x的图象x轴对称； (2)对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大， y=log x y=log x y=1 -y=logx y=logx 二、考点聚焦： 目目 考点01 指对数运算 【经典例题】 1.en3+273-ta m4+lg21e5=— 1 4 3/17 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 2.计算（π-4）+2+(2-1)°= 3.一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不 便利如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.己知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x(单位：C)满足函数关系y=ea+b(a,b为常数)，若该果蔬在5C的保 鲜时间为216小时，在20C的保鲜时间为8小时，那么在10C时，该果蔬的保鲜时间为()小时. A.72 B.36 C.24 D.16 【变式训练】 1.计算： us-6e+: (2)2lg5+lg21lg50+(g2)2+lg0.1. 2.1)计5+29)-22-图： (2)计算3g,2+21og,3-10g78+10g68+21og6V5. 4/17 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 3.计算： a可-022 (2)已知10=4,10°=3求102的值 4.(多选)已知a>0,m,n均为正整数且m≥2，n≥2，下列化简结果中正确的有() A.(a)”=amB.ai=a c.a°=a D.。- 5.若实数x,为满足c+x-2=0,为血+2x-1=0,则x(2-)=一· 6.已知函数f(国=gg27若fG)-f(s)(其中气≠)，则+的最小值为《) 9 A C.3 D.9 7.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且f(x-1)是偶函数，当1≤x≤3时， f6)=2+4则f(og:40)=() A.5 2 c. D.3 8.声音的强弱通常用声强级D(dB)和声强I(W1m)来描述，二者的数量关系为D=mlgl+n(m,n为常 数).一般人能感觉到的最低声强为102W/m,此时声强级为0dB:能忍受的最高声强为1W/m,此时 声强级为120dB.若某人说话声音的声强级为40dB,则他说话声音的声强为() A.106W/m2B.108W/m2 C.109W1m2 D.10-10W/m2 5/17 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 【巩固练习】 1.g8+3lg5的值为： 2.64+27+(+(2=_ 100161 3.求下列各式的值 a-+( 30.1 (2)10g49-1og232 3 223+l0g23.log34. 4.(多选)设a>0,m,n是正整数，且n>1,则下列各式正确的是() 43 A.da=a B.(ai)=a C.a D.a- -1 5.若方程x2+log26x+log23=0的两根为a,B, 的值为() A.-6 B.6 C.36 D.1 6.已知lg2=a,lg3=b,则logo18=() A.a+2b B.a+2b C.a-2b D.a-2b b-1 b+1 b-1 b+1 7.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的在神经网络优化中， 指数衰减的学习率模型为L-L,D,，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表 示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5,衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所 需的训练迭代轮数至少为()（参考数据：g2≈0.3） A.72 B.73 C.74 D.75 6/17 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 目目 考点02 指对函数的定义域与值域 【经典例题】 x的定义域是() 1 1.函数f(x)=lgx+- A.（-0,-3)U(0,+0) B.(-0,3] C.(0,3) D.[0,3) 2.日知时xs2,求函数y-目份 +2的值域为 3.已知函数f(x)=lg(x2+3x+a)的值域为R,则a的取值范围是 【变式训练】 1.已知集合A={x2-x-2>0},B={xy=log3x,则A∩B=（) A.(1,3) B.(0,3) C.1,2) D.(2,+0) 2.函数y=4+2H+1的值域为() A.(0,+0) B.(L,+∞) C.[1,+o) D.R 3.己知函数f(x)=h(2-x)+ln(2+x). (1)求函数f()的定义域： (2)判断f(x)奇偶性，并加以证明： (3)若f(2m+)<n3,求实数m的取值范围. 7/17 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 【巩固练习】 1.集合A={x-3到≤3}，B={yy=2,-2≤x≤1，则AUB=() .22习 B.[0,6] C.R D.☑ 2.若函数fx)=logx+①(a心0且a≠1)的图象过点A(一1,0). (1)求a的值； (2)求函数y= f(四的定义域。 x+1 3.已知函数f(x)=1og2（x-1)+log2(x-4). (1)求f(x)的定义域： (2)求不等式f(x)>2的解集. 4.已知函数f(x)=2(1og4x-1)log4(2x). (1)当x∈[1,16]时，求该函数的值域： (2)求不等式f(x)>9的解集； (3)若f(x)≤mlog4x对于x∈[4,64]恒成立，求m的最小值. 目目 考点03 指对函数的单调性 【经典例题】 8-2r-2 1.函数f(x) 的单调递减区间为 2 8/17 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 2.已知函数f,=l1og(r-5x-6),则函数f)的单调递减区间是() C.(6,+0) D.(-w,-1) 3.已知函数f(x)是定义在a-3,a+1的奇函数，则a的值为；当0≤x≤a+1时，f(x)=x2-x, 若fl1og2m>0,则m的取值范围是 [(3a-2)x-4a,(x<1) 4.已知f(x)= 10g1x,(x≥1) 是R上的单调函数，则实数a的取值范围是() c.+o D.(-0,-2] 【变式训练】 函数f- 的单调递减区间为() C.e. 2.函数f()=log(2-2x-3)的单调递增区间是() A.(1,+o) B.(3,+∞) C.（-o,1) D.(-o,-1) 3.函数f(x)=log(-x+x+2)的单调递增区间为一· 4.已知正数x,yz满足x3=y4=z,则x,y,z的大小关系可能是() A.x<3<y B.x<y<z C.y<x<z D.z<y<x 9/17 专题06指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 5.已知函数f(x)=11-在(3，+w)上单调递增，则a的取值范围为() A.[3,+0) B.[6,+∞) C.(-0,6] D.(-0,3] 6.已知函数f(冈=5-ar+a-≤1（a>l,且a≠1)在R上单调递增，则a的取值范围为一 a'-a,x>1 亿.已知函数f①2x+2,则不等式了0)+了4=列<6的解集为() A.(-5,1)B.(-0,-1)U(5,+o)C.(-1,5)D.(-o,-5)(1,+o) 8已知函数f)三。a,则不等式f0+3)+f)>4-2a的解集一 【巩固练习】 1.函数f(x)=2-+2的单调递减区间为 -x2+4x-6 2.函数f(2 的单调递减区间是 3.函数f)=2421的单调递减区间为() A.(-0,2] B.(-0,-3] C.[2,+m) D.[7,+0) 4.设函数f(,)=3在区间(0，弓上单调递减，则实数a的取值范围是() A.(-0,-1 B.[-3,0) C.(0,1 D.[3,+) 5.若函数f(x)=2-a+3在区间(2,3)上单调递增，则实数a的取值范围是 6.若函数f(x)=a+在(1,3)上单调递减，则函数y=log（x2-2x)的单调递增区间是 10/17专题06 指数函数与对数函数 高一寒假数学复习资料 专题06 指数函数与对数函数 一、知识回顾： （一）指数的运算 1．根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2．指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质：若，则 ①． ②． ③ 3．对数与对数运算 （1）对数的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。 （2）对数的性质 对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)； ①loga1＝0，②logaa＝1，③alogaN＝N，④ logaaN＝N (a>0，且a≠1). 指数式与对数式的关系： （3）对数的的运算法则与换底公式：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0 运算法则：①loga(M·N)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN ③logaMn＝nlogaM(n∈R) 换底公式：①logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)，一般选用e或10作为底数。 ②换底公式的三个重要结论：logab＝； logambn＝logab； logab·logbc·logcd＝logad. （二）指数函数及其性质 1．指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2．指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3．指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 （三） 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 （1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数. ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 2．对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 3．对数函数图象的常用结论 （1）函数y＝logax与的图象x轴对称； （2）对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 二、考点聚焦： 地 城 考点01 指对数运算 【经典例题】 1． ． 2．计算 ． 3． “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为常数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的保鲜时间为（    ）小时. A．72 B．36 C．24 D．16 【变式训练】 1．计算： （1）； （2）. 2．（1）计算； （2）计算． 3．计算： (1)； (2)已知求的值. 4．（多选）已知，均为正整数且，下列化简结果中正确的有（    ） A． B． C． D． 5．若实数，满足，，则 ． 6．已知函数，若（其中），则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．9 7．已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D．3 8．声音的强弱通常用声强级和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）.一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为；能忍受的最高声强为，此时声强级为.若某人说话声音的声强级为，则他说话声音的声强为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．的值为 ． 2． . 3．求下列各式的值. (1)； (2). 4．（多选）设是正整数，且，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．6 C．36 D．1 6．已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 地 城 考点02 指对函数的定义域与值域 【经典例题】 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．已知，求函数的值域为 ． 3．已知函数的值域为，则的取值范围是 . 【变式训练】 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D．R 3．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【巩固练习】 1．集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数f(x)＝loga(x＋a)  (a>0且a≠1) 的图象过点A(－1,0)． (1)求a的值； (2)求函数的定义域． 3．已知函数． (1)求的定义域； (2)求不等式的解集． 4．已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值． 地 城 考点03 指对函数的单调性 【经典例题】 1．函数的单调递减区间为 ． 2．已知函数，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在的奇函数，则的值为 ；当时，，若，则的取值范围是 . 4．已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间为 ． 4．已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数（，且）在R上单调递增，则a的取值范围为 ． 7．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则不等式的解集 . 【巩固练习】 1．函数的单调递减区间为 . 2．函数的单调递减区间是 3．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 4．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A．, B．, C．, D．, 5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 6．若函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是 ． 地 城 考点04 指对数比较大小 【经典例题】 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，，都有恒成立，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．设，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．设，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，设，，，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 5．若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．设，，，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 7．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 幂函数 【经典例题】 1．已知是幂函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知函数为幂函数，且，若，则实数的取值范围是 . 2． “幂函数在单调递减”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 3．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．的最小值为0 B．为偶函数 C．若，则 D．是在上的减函数 4．（多选）已知幂函数，函数在区间上单调递减，则下列正确的是（    ） A． B．函数的图象经过点 C．若，则 D．若，则 5．已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【巩固练习】 1．已知幂函数的图像经过点，则 ． 2．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 3．（多选）已知函数的图象经过点，则（   ） A．的图象经过点 B．在内的值域为 C．在定义域上单调递减 D．的图象关于轴对称 4．已知幂函数，且． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 三、达标检测 1．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A．27h B．27.5h C．28h D．28.5h 4．已知函数且的图象恒过定点，则定点的坐标为 . 5．函数的单调增区间是 . 6．下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．已知，，则 C．若函数的定义域为，则的取值范围是 D．函数的值域是 7．（多选）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．的最大值为 D．的图象关于直线对称 8．（多选）已知函数，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的值域为 9．求下列各式的值. (1)； (2). 10．已知函数的图像过点． (1)求函数的值，并求的定义域和值域； (2)若，求实数的值． 11．已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 12．已知函数，其中且． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)证明：当时，函数在上为减函数； (3)求函数的值域． 13．若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． (1)试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． (2)已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 试卷第1页，共3页 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $