23.3矩形、菱形与正方形（第3课时正方形）课件【满分全攻略备课系列】-2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

八年级沪教版数学下册 第二十三章 四边形 23.3矩形、菱形与正方形 第三课时 正方形 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.理解正方形的概念. 2.理解平行四边形、矩形、菱形之间的包含关系，体会平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别. 3.会运用正方形的性质定理进行证明和计算，提升推理能力. 4.能应用正方形的判定解决简单的证明题和计算题. 定义 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形. 因为正方形的四个内角都是直角，结合矩形的定义，可知正方形必为矩形. 另一方面，因为正方形的四条边都相等，由菱形的定义，可知正方形必为菱形. 所以正方形既是矩形又是菱形. 反过来，根据矩形的定义和菱形的定义，可知既是矩形又是菱形的四边形是正方形. 矩形，菱形、正方形的关系如图所示 因为正方形既是矩形又是菱形，所以正方形具有矩形与菱形的所有性质. 已知：如图，已知:四边形ABCD是一个正方形，对角线AC、BD相交于点O. 求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形. 证明：∵四边形ABCD是一个正方形， ∴AC=BD(矩形的两条对角线相等), OA=OC=AC，OB=OD= BD(平行四边形的对角线互相平分). ∴OA=0C=0B=0D. ∵四边形ABCD是一个正方形， ∴AC⊥BD(菱形的两条对角线互相垂直). ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°. ∴ △ ABO、 △ BCO、 △ CDO、 △ DAO都是等腰直角三角形. A B C D O 证明:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 正方形是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴有几条? 正方形的性质： 对称性： 对称轴： 轴对称图形 4条 矩形 菱形 正方形 有一个角是直角 (或对角线相等) 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 要判定一个四边形是正方形，可以判定其既是矩形又是菱形. 如图,已知:E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE=BF=CM=DN. 求证:四边形EFMN是一个正方形. 证明：∵四边形ABCD是一个正方形，∴ AB=BC=CD=DA. ∵AE=BF=CM=DN， BE=AB-AE， CF=BC-BF， DM=CD-CM, AN=AD-DN, ∴ BE=CF=DM=AN. 又∵∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90°, ∴ △ BEF≌ △ CFM≌ △ DMN≌ △ ANE. ∴ EF=FM=MN=NE.∴四边形EFMN是一个菱形. ∵ △ BEF≌ △ CFM ∴∠BEF=∠CFM. ∵∠BEF+∠BFE=180°-∠B=90°,∴∠CFM+∠BFE=90°. ∴∠EFM=9O°. ∴四边形EFMN是一个矩形(有一个内角是直角的平行四边形是矩形). ∴四边形EFMN是一个正方形(既是矩形又是菱形的四边形是正方形). 教材 练习 课内练习 1.根据图形求出相应的x、y、z的值(两个图形都是正方形，第2个图形中的表示正方形对角线一半的长): 解：第一个图：在等腰直角三角形中，两个底角都是45度，顶角是90度。 因此，对于第一个图形，x和y都是等腰直角三角形的底角， 所以x=y=45度，z是顶角，所以z=90度x=45(度),y=45(度),z=90(度) 第二个：正方形的对角线长度等于边长乘以根号2，即对角线长度=(y+2)×。 因为x是对角线的一半，所以x=(y+2)×。 同时，根据题目给出的3y-6是正方形的边长，即y+2=3y-6。 解这个方程，我们得到y=4。 将y=4代入x的表达式中，我们得到X=（4+2）× = y+2=3y-62y=8y=4，x= y=4 2.如图，已知:在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别为E、F.求证:EF=DF-BE. 证明:∵四边形ABCD是正方形， ∴AB= AD, ∠BAD=90, ∵BE⊥AP， DF⊥AP,∴∠BEA=∠AFD=90°, ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3, 在△ABE和△DAF中， ∵∠BEA=∠AFD，∠1=∠3，AB=DA ∴ △ABE ≌ △DAF(AAS), ∴BE=AF， ∵EF=DF-AF， ∴EF=DF-BE。 1 2 3 3.如图，已知:在△ABC中，ACB=90，CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F.求证:四边形CEDF是一个正方形. 证明:∵CD平分∠ACB,DE⊥AC，DF⊥BC ∴DE=DF，∠CED=∠CFD=90°， ∵∠ACB=90° ∴四边形DECF是矩形， 又∵DE=DF ∴四边形CEDF是正方形 1.(1)把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ (2)如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？ 提示：(1)由对称性和平行线的性质可得是菱形.又有一角是直角，因此是正方形. (2)一块矩形木板，在其长边上截取短边长，再作平行于短边的直线即可. 基础巩固题 2.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C,D.李明和张华在边AB上取了 一点E，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？ A D B C E 解：在Rt△BEC中，BC===20(m)， 故场地的面积为BC2=800 m2. 对角线长为==40 (m). 所以这块场地的面积为800m2，对角线长为40m. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC, DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：四边形CEDF是正方形. 证明：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC, ∴四边形CEDF是矩形. 又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∴矩形CEDF是正方形. A B C D F E 4.王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合，见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合，王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾，你认为王芳买的这条丝巾是正方形样式吗？为什么？ 解：这条丝巾不一定是正方形样式. 理由：根据售货员的方法，只能说明这条丝巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说这条丝巾的两条对角线所在直线是对称轴，这只能保证这条丝巾是菱形，并不能保证它是正方形. 因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线所在直线外，还有两条是对边中点的连线所在的直线，所以只要拉起一组对边的中点将这条丝巾对折，看另一组对边是否重合，若另一组对边不能重合，那么此丝巾不是正方形；若另一组对边能重合，那么此丝巾一定是正方形. 5.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A,B, C,D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ A D B C E F 解：这两条路等长，即AF=BE，且AF⊥BE. 理由如下：设AF与BE交于点P， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADF=90°. 又DE=CF，∴AE=DF, ∴△ABE≌△DAF(SAS)，∴BE=AF，∠AEB=∠DFA， ∴∠DAF+∠AEB=∠DAF+∠DFA=90°，∴∠APE=90°，即AF⊥BE. P 能力提升题 解：（1）能．理由如下： ∵DF∥AC，EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形. ∵AF平分∠BAC,∴∠EAF=∠FAD. ∵AE∥DF，∴∠EAF=∠DFA，∴∠FAD=∠DFA，∴DF=DA， ∴四边形ADFE是菱形. 6.△ABC中，DF∥AC，EF∥AB，AF平分∠BAC． (1) 你能判断四边形ADFE是菱形吗？并说明理由． (2) ∠BAC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？并说明理由． （2）当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形. ∵四边形AEDF是菱形，∠BAC=90°，∴四边形ADFE是正方形． 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 课堂小结 18 判定一个四边形是正方形的思路 思考角度 证明思路 边 矩形+一组邻边相等→正方形. 角 菱形+一个角是直角→正方形. 对角线 矩形+对角线互相垂直→正方形. 菱形+对角线相等→正方形. 平行四边形+对角线相等且互相垂直→正方形. 四边形+对角线相等且互相垂直平分→正方形. 课堂小结 教科书第33-34页练习 第1，2，3题 布置作业 $