专题1.6 完全平方公式（2大考点+9大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题1.6 完全平方公式 教学目标 1. 理解完全平方公式的几何与代数意义，掌握公式(a+b)2=a2+2ab+b2与 (a-b)2=a2-2ab+b2的推导过程。 2. 能准确识别完全平方式的结构特征，并能运用公式进行整式乘法运算与化简。 3. 发展数形结合思想，提升公式变形与简化计算的能力，并能解决简单的应用问题。 教学重难点 重点： 1. 掌握完全平方公式的结构特征，理解展开式中“两数平方和”与“两倍积”的关系。 2. 熟练运用公式进行计算、化简与求值，并能准确应用于相关代数问题。 难点： 1. 理解公式中符号与系数的对应关系，避免出现“漏项”或“符号错误”等常见错误。 2. 在综合运用中，特别是与平方差公式结合时，能准确辨别与选择适当的公式。 知识点01 完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 【即学即练】1．（25-26七年级上·上海·期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，为平方差公式，不符合题意； B、，为平方差公式，不符合题意； C、，可用完全平方公式计算，符合题意； D、，为平方差公式，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东济宁·周测）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式：熟练掌握应用完全平方公式是解决此类问题的关键（完全平方公式：． （1）直接利用完全平方公式计算； （2）直接利用完全平方公式计算； （3）利用完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值；根据平方差公式以及完全平方公式进行运算，即可作答． 【详解】解： ； 当时，原式 ． 知识点02 平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【即学即练】4．（25-26七年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了乘法公式，把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 5．（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可； （2）两次利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型01 判断是否完全平方公式运算 【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，能用完全平方公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．利用平方差公式，及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A．，此项不符合题意； B．，此项符合题意； C．，此项不符合题意； D．，此项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·甘肃白银·期中）在下列多项式乘法中，可以用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，完全平方公式的形式为，即两个相同二项式的乘积．需逐一分析选项，判断是否符合该形式． 【详解】A．原式，符合平方差公式，而非完全平方公式，故不符合题意； B．原式，符合完全平方公式，可用完全平方公式计算，故符合题意； C．原式，符合平方差公式，而非完全平方公式，故不符合题意； D．两括号中的项不同，既不符合平方差，也不符合完全平方公式的结构，故不符合题意． 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）下列代数式：①；②；③；④．其中，能直接利用完全平方公式进行变形的是（    ） A．①③ B．③④ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，判断各代数式是否符合完全平方公式的结构形式，逐一进行分析即可作答． 【详解】解：符合完全平方公式，故①符合题意； 不符合完全平方公式，故②不符合题意； 不符合完全平方公式，故③不符合题意； 符合完全平方公式，故④符合题意； 故选：D 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽·期中）下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 【详解】A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 题型02 运用完全平方公式进行运算 【典例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式是． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． （1）（2）（3）直接利用完全平方公式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式3】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）运用乘法公式计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）先计算完全平方公式和平方差公式，再合并同类项即可； （2）先运用平方差公式将表达式进行因式分解，再合并同类项，最后计算多项式的乘法即可； （3）连续运用两次平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 题型03 求完全平方式中的字母系数 【典例3】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）若 是完全平方公式，则m= 【答案】±4 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的结构特征，根据常数项确定的值，再根据中间项系数求，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是完全平方公式， 所以它可以写成， 比较系数，得， 所以， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海杨浦·期末）若关于的整式是某一个整式的平方，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，设原式为某个整式的平方，通过比较系数建立方程组求解 【详解】设整式为，则其平方为，与原式比较系数，得：，，，， 由得， 由且得， 代入得， 将代入得， 即， 解得， 则， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）若是完全平方式，则 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的系数，根据所给多项式可确定两平方项，则可确定一次项，据此比较系数求解的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：1或． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 题型04 平方差与完全平方综合进行运算 【典例4】（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，平方差公式． 通过观察表达式，将原式变形为平方差公式的形式，然后计算． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先逆用积的乘方计算，根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【变式2】（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）利用完全平方公式计算即可； （2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算； （3）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3） ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的乘法． （1）根据平方差公式计算即可； （2）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型05 利用完全平方公式进行简便运算 【典例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)40401 (2)806404 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式． （1）将201拆分为，根据完全平方公式计算即可； （2）将898拆分为，根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9604 (2)10201 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行简便运算是解题的关键； （1）先把原式写成，然后再运用完全平方公式进行计算即可； （2）先把原式写成，然后再运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键． （1）将改为，再利用完全平方公式即可计算； （2）将改为，再利用完全平方公式即可计算； （3）将改为，再利用完全平方公式即可计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】此题考查的是利用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，灵活运用完全平方公式和平方差公式是解决此题的关键． （1）利用完全平方公式进行简便运算即可； （2）利用平方差公式进行简便运算即可； （3）利用平方差公式进行简便运算即可； （4）利用平方差公式进行简便运算即可； （5）利用完全平方公式进行简便运算即可； （6）利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 题型06 与乘法公式有关的化简求值问题 【典例6】（25-26八年级上·贵州遵义·月考）先化简，再求值，其中，． 【答案】化简得，求值得3 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，已知字母的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·山西大同·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式，进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式2】（25-26八年级上·广东东莞·期中）先化简．再求值：，其中． 【答案】，42 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式及整式的加减运算，熟练掌握公式的展开法则与合并同类项的方法是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开式子，再合并同类项化简，最后代入数值计算． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式3】（25-26八年级上·吉林松原·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 先计算平方差式、完全平方式，单项式乘多项式，再合并同类项，最后将，代入求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 题型07 通过对完全平方公式变形求值 【典例7】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 【变式1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知，．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，代入，计算即可； （2）因为，代入，计算可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）已知，，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 【答案】(1)23 (2)30 (3)37 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据完全平方公式变形求解； （2）将（1）中所求的，以及代入即可求解； （3）根据，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式3】（25-26八年级上·山西朔州·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，灵活应用完全平方公式对所求代数式进行变形是解题的关键． （1）直接代入的值，根据乘方运算计算即可； （2）应用完全平方公式对所求代数式进行变形，再将已知的代数式的值代入计算即可； （3）通过通分和代数变形求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型08 利用完全平方式求代数式的最值问题 【典例8】（25-26八年级上·广西南宁·月考）阅读与思考 利用我们学过的完全平方公式、不等式等知识，可解决代数式求最大值，最小值问题． 【初步思考】观察下列式子： 求代数式的最小值． 即当时，的最小值是． 【直接应用】 （1）在横线上添上常数项，使式子成为完全平方式：______； （2）求当取何值时，代数式有最小值？最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）学校打算用一段长为20米的篱笆围成一个长方形种植园（篱笆无重叠，无损耗），设长方形的一边长为米． ①用含的式子表示种植园的面积：______平方米； ②请求出当取何值时，种植园的面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）9 （2）当时，的最小值是； （3）① ②当时，种植园的面积最大，最大面积是平方米． 【分析】本题考查了列代数式，完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，利用完全平方公式求解即可； （3）①设长方形的一边长为米，则另一边长为米，再根据长方形面积公式列式即可； ②将①所得式子展开，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：9； （2）， ， 即当时，的最小值是； （3）①设长方形的一边长为米，则另一边长为米， 种植园的面积为平方米， 故答案为：； ②， ， ， 即当时，种植园的面积最大，最大面积是平方米． 【变式1】（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： 因为 所以．所以当时，的值最小，最小值是． 所以的最小值是， 依据上述方法，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是能将代数式转化为含有完全平方公式形式的式子，再利用完全平方的非负性求出最值． （1）将化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）把原式化成，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的值最小，最小值是， 即的最小值是； （2）， ， ， ， ， 当时，的值最小，最小值是， 的最小值是． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 (1)求代数式的最小值； (2)判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 【答案】(1)最小值为 (2)代数式有最大值，最大值为12 (3)当时，生物园的面积有最大值，最大值为50 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）由，可知当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）设，则，由题意得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解： ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：      ， 当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）解：设，则， 由题意得，生物园的面积 ，      当时，生物园的面积有最大值，最大值为50． 答：当时，围成的生物园的面积最大． 【变式3】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）阅读理解并解答： 我们把多项式，叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． 例如：①， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式的最小值是2； ②， ∵是非负数，即，∴， 则当时，代数式存在最小值－7． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3, 3 (2)当时，y有最大值 (3) 【分析】本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即时代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 故答案为：3，3； （2）解： ， ，； 当，即时，有最大值，最大值； （3）解：由得； 则， 当时，取得最小值，最小值为． 题型09 完全平方公式在几何图形中的应用 【典例9】（25-26八年级上·吉林四平·期末）如图①是一个长为、宽为的长方形，其中，沿图中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形．       (1)图①中大长方形的面积为_____； (2)观察图②，直接写出代数式之间的关系_____； (3)已知，，求的值； (4)两个正方形、如图③摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4)9 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，正方形和长方形的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征，正方形和长方形的性质是解决问题的关键． （1）根据图①中大长方形的长为、宽为，即可得出大长方形的面积； （2）根据图②中“大正方形的面积﹣小正方形的面积4个长方形的面积和”得，由此即可得出答案； （3）由（2）的结论得，进而得，再将，，代入计算即可得出的值； （4）依题意得，，根据得，，由三角形面积公式得，由（2）的结论得，进而得，将，代入计算得，继而得，据此即可得出图中③阴影部分面积和． 【详解】（1）解：∵图①中大长方形的长为、宽为， ∴图①中大长方形的面积为：， 故答案为：； （2）解：∵图②中大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图②中大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∵图②四个长方形的长均为m，宽均为n， ∴图②四个长方形的面积均为， 又∵图②中“大正方形的面积小正方形的面积4个长方形的面积和”， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）的结论得：， ∴， ∵，， ∴； （4）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵正方形的边长为y， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）的结论得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴， ∴图中③阴影部分面积和为9． 【变式1】（25-26七年级上·湖北咸宁·期中）实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】（1）一个长为，宽为的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形．观察图形，写出一个，三者之间的等量关系式：__________________． 【知识应用】（2）运用（1）中的结论，若，求的值： 【类比迁移】（3）如图3，若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）30 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形面积的关系，完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）图2中大正方形面积为；四个小长方形面积为，中间空白的小正方形面积为，根据图形面积之间的关系可得答案； （2）结合第一问的，即可得代入即可； （3）根据，，求出，根据，即可得出答案． 【详解】解：（1）图2中大正方形的边长为，则其面积可以表示为； 图2中四个小长方形的面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则其面积可以表示为， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）∵，， ∴ ， ． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·月考）综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为，宽为的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形． 【操作发现】 （1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是______，利用此公式解决问题：若，且，求的值． 【解决问题】 （2）已知，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边作正方形和正方形为上一点，点在的延长线上，且，若，，求图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式与图形的面积，完全平方公式变形求值； （1）根据两个图形的面积相等即可得出等式，进而将，代入公式进行计算即可求解； （2）设，则，，再根据完全平方公式变形，即可求解； （3）设，根据题意得出，，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，图1中阴影部分的面积为， 图1中阴影部分的面积为 ， ∵图1和图2中阴影部分的面积相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：设， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积为． 【变式3】（25-26七年级上·山东济南·期末）【数学思想】数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． 观察图1，用等式表示图中大正方形面积的运算：_______________________． 【类比探究】观察下图①，用等式表示图中阴影部分的面积和：__________________． 【尝试应用】（1）根据图①所得的等式，若，，则_________； （2）若x满足，求的值． 【拓展延伸】如图②，某学校有一块四边形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量，种花区域的面积和为，则种草区域的面积和为_________． 【答案】数学思想：； 类比探究：； 尝试应用：（1）；（2）； 拓展延伸： 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解题意，数形结合得到是解决问题的关键． 数学思想：由图直接分析它包含哪些长方形和正方形，再由图形的拆解过程可得图中图形的面积运算情况； 类比探究：由【数学思想】中得到的，恒等变形即可确定图①中阴影部分图形的面积和； 尝试应用：（1）由【类比探究】知，两个正方形的面积和为，将题中代入计算即可得到答案； （2）采用换元法，令，，则，再根据代值计算即可得到答案； 拓展延伸：如图所示，设，，根据题意得到，再将恒等变形得到，将代入计算即可得到答案． 【详解】【数学思想】解：如图所示： 包含一个边长为的大正方形、一个边长为的小正方形、两个长为宽为的长方形； 用等式表示图中图形的面积的运算为：； 故答案为：； 【类比探究】解：如图所示： 由【数学思想】知，， 两个正方形的面积和为：， 故答案为：； 【尝试应用】（1）解：由【类比探究】知，两个正方形的面积和为：， ， ； 故答案为：10； （2）解：令，， ， ， ， 则， ； 【拓展延伸】解：如图所示： 设，， ， ， 种花区域的面积和为， ， 则， 种草区域的面积和为： ， ， ， 则种草区域的面积和为， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·重庆·月考）下列各式计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算，包括完全平方公式、积的乘方、合并同类项和平方差公式． 【详解】解：A．∵，而A中为，缺少，故此选项不符合题意． B．∵，而B中为，故此选项不符合题意． C．∵，而C中为，指数错误，故此选项不符合题意． D．∵，符合平方差公式，正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若，，则（    ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式变形计算即可. 【详解】解：∵，又∵，， ∴； 故选D 3．（25-26八年级上·甘肃陇南·月考）规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式，根据新定义可得，再利用完全平方公式去括号，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如果一个数（n为整数），那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（   ） A．66 B．88 C．94 D．126 【答案】B 【分析】先化简“奇差数”的表达式，得到，即“奇差数”是 8 的倍数，再验证各选项是否能被 8 整除． 本题考查了平方差公式的应用，化简是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ “奇差数”是 8 的倍数. A. ，不能被 8 整除； B. ，能被 8 整除； C. ，不能被 8 整除； D. ，不能被 8 整除. ∴ 只有 88 是“奇差数”． 故选 B． 5．（25-26八年级上·全国·期末）有两个正方形、，现将放在的内部得图甲，将，重新放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，现将三个正方形和两个正方形，按如图丙摆放，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式的应用，正确识图是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为,,且，根据图形作答即可． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为,,且， 由甲得：， 由乙得：， ∴，． 由丙得知：， 故选：A． 二、填空题 6．（25-26七年级上·上海黄浦·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．利用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值是 ． 【答案】或6 【分析】此题考查完全平方式，熟知完全平方式的特征是解答的关键． 根据整式为完全平方式，比较系数求解即可． 【详解】解：∵关于x的整式是某个关于x的整式的平方， ∴， ∴， ∴，解得或． 故答案为：或6． 8．（25-26七年级上·上海闵行·月考）一座边长为的正方形广场，扩建后的边长比原来增加了，则扩建后的广场面积比原来增大了 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式及完全平方公式．根据题意可得出扩建前广场面积为平方米，扩建后的面积为平方米，作差即可求解． 【详解】解：由题意可得：（平方米）． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 设，，则已知条件为，需求，利用完全平方公式 变形得，将和的值代入计算即可． 【详解】解：设，， 则，且， 所以， 即． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海·期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积， 图2中阴影部分的面积， ． ∵ ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式， ，熟悉完全平方公式是解题关键. （1）根据完全平方公式求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可； （3）根据完全平方公式求解即可. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式. 12．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解整式混合运算的运算顺序和计算法则，掌握乘法公式是解题关键． （1）先把原式变形为，利用完全平方公式计算，再次利用完全平方公式去括号计算即可； （2）先计算幂的乘方，再根据乘法分配律计算，最后合并同类项即可； （3）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可； （4）先利用完全平方公式计算，单项式乘以多项式，分配律计算，最后合并同类项即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 13．（14-15七年级下·江苏·期末）先化简后求值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】考查整式的化简求值，掌握合并同类项的法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和完全平方公式化简，再代入求值即可； （2）根据乘法分配律和完全平方公式化简，再代入求值即可． 【详解】（1） ， 当时，． （2） ， ，时，． 14．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）观察下列关于自然数的等式： ①； ②； ③；… 根据上述规律解决下列问 (1)第4个等式：________； (2)写出第2025个等式：________； (3)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1)17 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字规律探索、完全平方公式的应用及整式的运算，熟练掌握从已知等式中提取规律并进行代数验证是解题的关键． （1）观察已知等式的计算结果，前三个结果依次是5、9、13，差值为4，按此规律计算第4个等式的结果． （2）先找出等式中左边底数的规律（第一个底数是奇数，为；第二个底数是自然数），再代入得到等式，最后计算结果． （3）根据前几题的规律写出第个等式，再通过整式运算验证左右两边相等． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； ； ∴故第个等式，． ∴第2025个等式为，即， 故答案为：． （3）解：猜想第n个等式为： 验证：左边 右边， ∵左边=右边 ∴猜想成立． 15．（25-26八年级上·广东汕头·月考）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题： 【基础公式】请写出完全平方公式______； 【公式变形】公式可以变形为______； 【应用】 （1）已知：，，求的值； （2）已知：，求、的值． 【答案】[基础公式]； [公式变形]； [应用]（1）； （2）， 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，平方差公式． [基础公式]由完全平方和公式即可求解； [公式变形]根据完全平方公式的变形即可求解； [应用]（1）根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可； （2）运用完全平方公式变形得到，代入计算得到的值，进而求出，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：[基础公式]， 故答案为：； [公式变形]， 故答案为：； [应用]（1）∵，， ∴原式； （2）∵，， ∴， ∴ 即， ∴或． 16．（25-26八年级上·吉林长春·期中）阅读材料： 求多项式的最值．分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来求出． ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是2． 解决问题： (1)请在序号处填上数字，完成多项式的配方过程： (2)求多项式的最值． (3)式子有最______值（填“大”或“小”），是______． (4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的最大面积是______平方米． 【答案】(1)①2；②1；③3 (2)1 (3)大，4 (4)18 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）利用完全平方公式配方即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值； （3）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值； （4）设垂直于墙的长为x米，再表示出平行于墙的长，进而表示出鸡舍的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：①2；②1；③3． （2）解：， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是1． （3）解：， 无论取何值，， ∴， ∴， ∴时，有最大值是4． 故答案为：大，4； （4）解：设垂直于墙的长为x米，则平行于墙的边长为米， ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最大值是18． 即围成的鸡舍的最大面积是18平方米． 故答案为：18． 17．（25-26八年级上·河北邯郸·月考）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是________（用含，的代数式表示）； （2）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：________； 【解决问题】 （3）若，，且，求的值； 【实际应用】 （4）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据图形即可求解； （2）根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； （3）利用（2）所得的等量关系解得即可； （4）设，，可得，，再利用完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：（1）由图2知，阴影部分正方形的边长为， 故答案为：； （2）大正方形的面积为， 小正方形的面积为， 长方形的面积为， 由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴， 故答案为：； （3）由（2）可得，， ， ， 又， ， ， ， ， ； （4）设，， ， ， ，即， ， ， 无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米， ， ， ， 主舞台和观众区的面积和为． 18．（25-26八年级上·河南驻马店·月考）【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”-数形结合的思想方法．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，则的值为_______； 【知识延伸】 若满足，求的值．我们可以作如下解答：设，则，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若满足，求的值； 【拓展探索】 （3）如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点，与相交于点，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别交，于点，若四边形和四边形都是正方形，，求正方形的边长． 【答案】（1）20；（2）；（3）6 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据代入计算即可； （2）设，，由题意得，，由代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1），，而， ， 故答案为：20； （2）设， 由题意得， ， ， ， ； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意知， ，即， 长方形的面积为8， ， ， ， ， 正方形的边长为6． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.6完全平方公式 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01完全平方公式 知识清单 知识点02平方差和完全平方差区别 题型01判断是否完全平方公式运算 题型02运用完全平方公式进行运算 题型03求完全平方式中的字母系数 完全平方公式 题型04平方差与完全平方综合进行运算 题型05利用完全平方公式进行简便运算 题型精讲 题型06与乘法公式有关的化简求值问题 题型07通过对完全平方公式变形求值 题型08利用完全平方式求代数式的最值问题 题型0？完全平方公式在几何图形中的应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解完全平方公式的几何与代数意义，掌握公式(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b) 2=a2.2ab+b2的推导过程。 教学目标 2.能准确识别完全平方式的结构特征，并能运用公式进行整式乘法运算与化简。 3.发展数形结合思想，提升公式变形与简化计算的能力，并能解决简单的应用问题。 重点： 1. 掌握完全平方公式的结构特征，理解展开式中“两数平方和”与“两倍积”的关系。 教学重难点 2.熟练运用公式进行计算、化简与求值，并能准确应用于相关代数问题。 难点： 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.理解公式中符号与系数的对应关系，避免出现“漏项”或“符号错误”等常见错误。 2.在综合运用中，特别是与平方差公式结合时，能准确辨别与选择适当的公式。 知识清单 知识点01完全平方公式 完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加（减）它们积的2倍. 即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2；完全平方差(a-b)2=a2-2ab+b2 (1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 (2)公式的变化：①a2+b2=(a+b)2-2ab;②a2+b2=(a-b)2+2ab;③(a+b)2=(a-b)2+4ab;④(a-b)2= (a+b)2-4ab;⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab。 【即学即练】1.(25-26七年级上·上海期中)下列各式中，能用完全平方公式计算的是() A.（a+1)(-a+1) B.(a+b)(b-a) C.(-a+b)(a-b) D.(a-b)(a+b) 2.(25-26八年级上·山东济宁.周测)运用完全平方公式计算： (02x+5y2: (2-21-1)2； g0y: 3.(25-26八年级上.甘肃天水·期末)先化简，再求值：已知a=2,求 2a-1)-(a+2)(a-2)-(2a-3)(a-1的值. 知识点02平方差和完全平方差区别 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b 完全平方差公式：(ab)2=a2-2ab+b2 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【即学即练】4.(25-26七年级上·上海月考)计算：（x-2y+3)(x+2y-3) 5.(25-26八年级上·天津河西·月考)计算： (1)(2x+y-6)(2x-y+6) (2)(m-3n+2)2 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型精讲 题型01判断是否完全平方公式运算 【典例1】(24-25七年级下·全国课后作业)下列各式中，能用完全平方公式进行计算的是() A.（a+b)(a-b) B.-(-a-b)(a+b) C.(a+b)(-a+b) D.(-a-b)(a-b) 【变式1】(24-25七年级下.甘肃白银期中)在下列多项式乘法中，可以用完全平方公式计算的是() A.（-2a-3b)(-2a+3b) B.-3a+4b)(4b-3a C.(a+1)(a-1) D.(a2-b)(a+b2) 【变式2】(24-25七年级下，河南郑州期中)下列代数式：①a2-4a+4;②x2+4x;③m2n-2mn-1;④ 9m2+16n2+24mn.其中，能直接利用完全平方公式进行变形的是() A.①③ B.③④ C.②④ D.①④ 【变式3】(2425七年级下山东菏泽·期中)下列各式中，可以用乘法公式计算的是() A.（a+2b)(2a+bj B.(a-2b(-a+2b) c.(a-2b)(b+2a D.(a+2b)(2a-b 题型02运用完全平方公式进行运算 【典例2】(25-26七年级下全国课后作业)计算： (2)(2x+5)2; (3)(3y-4)2. 【变式1】(25-26七年级下·全国·课后作业)运用完全平方公式计算： (1)(3ab-4)2. 26m+3. (3)(-3x-y)}2. ④ 【变式2】(24-25七年级下·全国课后作业)计算： (1)(-3x+12. oGrj月 3/14 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)[(a+b)2+(a-b)2]2. 【变式3】(2025八年级上·河北邯郸专题练习)运用乘法公式计算： (1)2x+3)-(2x+3)(2x-3 (2(3x-5)2-(2x+7)2 (3)x2+4(x-2)(x+2 题型03求完全平方式中的字母系数 【典例3】(25-26八年级上，黑龙江大庆期末)若x2+2mx+16是完全平方公式，则m=」 【变式1】(25-26七年级上·上海杨浦·期末)若关于x的整式x4+x2+16是某一个整式的平方，则a的值 是 【变式2】(25-26八年级上·黑龙江伊春·期末)若x2-2m+3)x+16是完全平方式，则m= 【变式3】(25-26八年级上·四川眉山月考)已知4x2+x+9是一个完全平方式，那么k的值为 己知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项式的平方，则M为」 题型04平方差与完全平方综合进行运算 【典例4】(25-26七年级上·上海期中)计算：(2a-1+3b)1+2a-3b). 【变式1】(25-26八年级上江苏南通期中)计算： ((a-2b+c)2; (2)(a+b-2c)(a-b-2c; 3)(x-2y)2(x+2y)月 【变式2】(2025八年级上河北邯郸专题练习)计算： (10(x+2y-12 (2)x-y-5)(x+y-5): (3)3m+2n-p)(3m-2n+p）. 【变式3】(25-26七年级下·全国课后作业)计算： (0(x+5)2-(x-5)2: (2)(a+b+c(a+b-c; (3)a+b-c(a-b+c. 题型05利用完全平方公式进行简便运算 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例5】(25-26七年级下.全国·课后作业)用完全平方公式计算： (1)2012; (2)8982. 【变式1】(25-26七年级下，全国课后作业)用完全平方公式计算： (1)982; (2)1012. 【变式2】(24-25七年级下·全国·课后作业)用简便方法计算： (2)9.72. 3)9012. 【变式3】(2026七年级下·全国.专题练习)计算： (1)20012; (2)2001×1999; (3)992-1: (4)899×901+1; (5)999×999+1999; (61232-124×122. 题型06与乘法公式有关的化简求值问题 【典例6】(25-26八年级上贵州遵义：月考)先化简，再求值(a+b)+(2a+b)(2a-b),其中a=1,b=-1. 【变式1】(25-26八年级上山西大同月考)先化简，再求值：(2x-3y)+(x-3y)(x+3y),其中x=1, 【变式2】(25-26八年级上广东东莞期中)先化简.再求值：（x+2y)+x+y)(x-y)-3y2,其中 x=3,y=2. 【变式3】(25-26八年级上·吉林松原·月考)先化简，再求值：（a+2b)(a-2b)+(a+b)+2a(2a-b),其中 a=2,b=-3. 题型07通过对完全平方公式变形求值 【典例7】(25-26七年级上陕西西安期末)若x+y=4,且(x+1)(y+1)=8, (1)求y的值； (2)求x2+y2的值； 5/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26七年级上湖南株洲期末)己知a+b=7,ab=6.求： (1)a2+b2; (2)a-b. 【变式2】(25-26七年级下·全国周测)已知x+y=3,y=-7,求： (1)x2+y2的值 (2)x2-y+y2的值. (3)(x-y)2的值. 【变式3】(25-26八年级上：山西朔州期末)已知a+b=5,ab=3,求下列各式的值. (1)2+b÷2. (2)a2+b2. ⊙2+2 a b 题型O8利用完全平方式求代数式的最值问题 【典例8】(25-26八年级上·广西南宁·月考)阅读与思考 利用我们学过的完全平方公式、不等式等知识，可解决代数式求最大值，最小值问题 【初步思考】观察下列式子： 求代数式x2+2x-3的最小值. x2+2x-3=x2+2x+1-1-3=(x+12-4 :(x+1)2≥0 (x+12-4≥-4 即当x=-1时，x2+2x-3的最小值是-4. 【直接应用】 (1)在横线上添上常数项，使式子成为完全平方式：x2+6x+: (2)求当x取何值时，代数式x2-8x+12有最小值？最小值是多少？ 【知识迁移】 (3)学校打算用一段长为20米的篱笆围成一个长方形种植园（篱笆无重叠，无损耗），设长方形的一边长 为x米。 ①用含x的式子表示种植园的面积：平方米； ②请求出当x取何值时，种植园的面积最大，最大面积是多少平方米？ 【变式1】(25-26八年级上·甘肃陇南期末)老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要 求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值.同学们经过交流讨论，最后总结出如下“配方法”： x2+4x+5=x2+4x+4+1=x+2+1 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为(x+2)220, 所以(x+2)2+1≥1.所以当(x+2)=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1. 所以x2+4x+5的最小值是1， 依据上述方法，解决下列问题： (1)求代数式x2+6x-15的最小值： (2)已知-x2+5x+y+20=0,求y+x的最小值 【变式2】(25-26八年级上·广东广州·期末)先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式x2+2x+1写成(x+1)2,由于(x+1)2≥0，可 知当x=-1时，代数式x2+2x+1有最小值为0.同理，由x2+2x-4=x2+2x+1)-1-4=(x+1)2-5,可知 代数式2+2x-4有最小值为-5.类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或 最小值. 墙 生物园 【解决问题】 (1)求代数式(x-2)x-4)的最小值： (2)判断代数式-x2+4x+8有最大值还是有最小值？并求出这个最值； (3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形ABCD的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要 使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 【变式3】(25-26八年级上贵州遵义期末)阅读理解并解答： 我们把多项式a2+2ab+b2,a2-2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判 断这个多项式是不是一个完全平方式.同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以用来解决求代数式值 的最大（或最小）值问题. 例如：①x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)+2, :(x+1)是非负数，即(x+1)≥0，.(x+1)+2≥2， 则当x=-1时，代数式x2+2x+3的最小值是2： ②3x2-12x+5=3x2-4x+5=3x2-4x+4-4+5=3(x-2)-12+5=3x-2-7, :(x-2是非负数，即(x-2)2≥0，.3x-2-7≥-7， 则当x=2时，代数式3x2-12x+5存在最小值-7 (1)知识再现：当x=时，代数式x2-6x+12的最小值是 (2)知识运用：若y=-x2+2x-3,求当x为何值时，y有最大值，并求出最大值： 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)知识拓展：若-x2+3x+y+5=0,求y+x的最小值. 题型09完全平方公式在几何图形中的应用 【典例9】(25-26八年级上·吉林四平.期末)如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，其中m>n,沿图 中虚线用剪刀均匀分成四个小长方形，然后按图②形状拼成一个正方形， 】 m m n ① ② ③ (1)图①中大长方形的面积为： (2)观察图②，直接写出代数式(m+n,m-m),mn之间的关系一； (3)已知x+y=4,xy=-5,求(x-y)的值； 77 ④两个正方形A8CD、4EFG如图③摆放，边长分别为x,”若=4，BE=2,求图中阴影部分面积和。 【变式1】(25-26七年级上湖北咸宁期中)实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合” 的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”请你利用“数形 结合”的思想解决以下问题： 【知识生成】(1)一个长为2a,宽为2b的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个 小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所示的图形.观察图形，写出一个(a-b)2,(a+b)2,ab三者 之间的等量关系式： 【知识应用】(2)运用(1)中的结论，若a+b=10,ab=5,求(a-b)的值： 【类比迁移】(3)如图3，若a+2b=16,a-2b=4,求阴影部分的面积. b a a a a 图1 图2 图3 【变式2】(25-26八年级上福建泉州月考)综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为Q,宽为b的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形， 【操作发现】 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是， 利用此公式解决问题：若 x+y=5,y=6,且x>y,求x-y的值. 【解决问题】 (2)已知(2026-a2+(a-2025)2=7,求(2026-a(a-2025的值. 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ABC中，LACB=90°，分别以AC,BC为边作正方形ACDE和正方形BCFG,M为AC 上一应，点N在CB的延长线上，且=8N,若CM=3CN=8,S。-引，求图中阴影部分（两个正 方形的面积和)的面积. 图1 图2 图3 【变式3】(25-26七年级上·山东济南期末)【数学思想】数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过 计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式. 图1 观察图1，用等式表示图中大正方形面积的运算： 【类比探究】观察下图①，用等式表示图中阴影部分的面积和： 【尝试应用】(1)根据图①所得的等式，若a+b=4,ab=3,则a'+62= (2)若x满足9-xx-4)=3,求(9-x)+(x-4)2的值. 【拓展延伸】如图②，某学校有一块四边形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,该校计 划在ADE和△BCE区域内种花，在△ABE和△CDE的区域内种草.经测量AC=7,种花区域的面积和为 则种草区域的面积和为 25 9/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D a 花 草花 b对 B 图① 图② 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级上·重庆·月考)下列各式计算正确的是() A.(a+b)2=a2+b B.(ab)2=ab2 C.2a2+a2=3a D.(a+b)(a-b)=a2-b2 2.(25-26八年级上云南昆明期末)若(x+y2=10,xy=1,则(x-y)2=() A.14 B.12 C.8 D.6 3.(25-26八年级上甘肃陇南·月考)规定 a b x-22 c d =ad-bc,若3x-2 4,则x2-4x=() A.2 B.4 C.6 D.8 4.(25-26八年级上湖北十堰期末)如果一个数a=(2n+1)2-(2n-1)2(n为整数)，那么我们称这个数a 为“奇差数”.下列数中为“奇差数”的是（) A.66 B.88 C.94 D.126 5.(25-26八年级上·全国期末)有两个正方形A、B,现将B放在A的内部得图甲，将A,B重新放置后， 构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，现将三个正方形A和两个正方形 B,按如图丙摆放，则阴影部分的面积为() B B B 丙 A.94 B.77 C.78 D.79 10/14